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专题 29.1 投影【八大题型】
【人教版】
【题型1 判断是平行投影或中心投影】..................................................................................................................2
【题型2 判断投影的形状】......................................................................................................................................3
【题型3 正投影】......................................................................................................................................................4
【题型4 根据投影求线段长度】..............................................................................................................................5
【题型5 根据投影求面积】......................................................................................................................................6
【题型6 坐标系中利用投影求值】..........................................................................................................................7
【题型7 由投影长度确定时间顺序】......................................................................................................................9
【题型8 视点、视角和盲区】..................................................................................................................................9
【知识点 投影】
1.投影
一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.
2.中心投影
若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中
心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪
的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：
(1) 等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物
体它的影子长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影
子越短，但不会比物体本身的长度还短.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在
同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.
注意：
光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向
也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.
3.平行投影
1.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物
体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的
长度.
2. 物高与影长的关系
（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在
变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影
长也是由长变短再变长.
（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.
即： .
利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.
注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.
注意：
1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻
和同一时刻.
2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.【题型1 判断是平行投影或中心投影】
【例1】（2023春·全国·九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．皮影可看成平行投影
B．无影灯（手术用的）是平行投影
C．日食不是太阳光所形成的投影现象
D．月食是太阳光所形成的投影现象
【变式1-1】（2023秋·贵州贵阳·九年级期末）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由
“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的
影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．则晷针在晷面上形成的投影是（ ）
A．中心投影 B．平行投影
C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定
【变式1-2】（2023秋·九年级单元测试）把下列物体与它们的投影连接起来．
【变式1-3】（2023春·九年级单元测试）下列光源形成的投影不同于其他三种的是（ ）
A．太阳光 B．灯光 C．探照灯光 D．台灯
【题型2 判断投影的形状】
【例2】（2023秋·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）正方形纸板在太阳光下的投影不可能是（
）
A．平行四边形 B．一条线段 C．矩形 D．梯形
【变式2-1】（2023春·九年级单元测试）将一个圆形纸板放在太阳光下，它在地面上所形成的影子的形状
不可能是( )
A．圆 B．三角形 C．线段 D．椭圆
【变式2-2】（2023·江苏南京·统考中考真题）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子
的形状可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023秋·陕西咸阳·九年级统考期中）小明拿一个三角形木板在阳光下玩，三角形木板在水平
地面上形成的投影的形状可能是 ．（只填一种形状即可）
【题型3 正投影】
【例3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，若投影线的方向如箭头所示，则图中物体的正投影是
（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2023秋·九年级单元测试）如图所示的圆台的上下底面与投影线平行，圆台的正投影是（
）A．矩形 B．两条线段 C．等腰梯形 D．圆环
【变式3-2】（2023·全国·九年级专题练习）某几何体在投影面P前的摆放方式确定以后，改变它与投影面
P之间的距离，其正投影的形状（ ）
A．不发生变化 B．变大 C．变小 D．无法确定
【变式3-3】（2023秋·九年级单元测试）下列投影是正投影的是( )
A．① B．② C．③ D．都不是
【题型4 根据投影求线段长度】
【例4】（2023秋·河南郑州·九年级校考期中）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，
他在某一时刻在地面上竖直立一个3米长的标杆CD，测得其影长DE=0.5米．
(1)请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF．
(2)如果BF=1.5，求旗杆AB的高．
【变式4-1】（2023春·九年级课时练习）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比
为3:5，且三角板的一边长为6cm，则投影三角板的对应边长为( )
A．15cm B．10cm C．8cm D．3.6cm
【变式4-2】（2023秋·山西晋中·九年级校考阶段练习）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，
他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段．
（2）如果灯杆高12m，小亮的身高1.6m，小亮与灯杆的距离13m，请求出小亮影子的长度．
【变式4-3】（2023春·九年级课时练习）如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部
（点O）5米的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，小方行走的路程AC＝
（ ）
A．7.2 B．6.6 C．5.7 D．7.5
【题型5 根据投影求面积】
【例5】（2023秋·山西晋中·九年级统考期末）如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板
与其投影是位似图形，其相似比是2:5，若三角板的面积是6cm2，则其投影的面积是（ ）
75
A．15cm2 B．30cm2 C．8√5cm2 D． cm2
2
【变式5-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为
A B C D ，其中边AB、CD与投影面平行，AD,BC与投影面不平行．若正方形ABCD的边长为5厘
1 1 1 1
米，∠BCC =45°，求其投影A B C D 的面积．
1 1 1 1 1【变式5-2】（2023春·全国·九年级专题练习）圆桌面（桌面中间有一个直径为1m的圆洞）正上方的灯泡
（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直
径为2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面2m，则地面圆环形阴影的面积是（ ）
A．2πm2 B．3πm2 C．6πm2 D．12πm2
【变式5-3】（2023秋·九年级单元测试）如图，在一间黑屋里用一白炽灯照射一个球，
（1）球在地面上的阴影是什么形状？
（2）当把白炽灯向上移时，阴影的大小会怎样变化？
（3）若白炽灯到球心距离为1米，到地面的距离是3米，球的半径是0.2米，求球在地面上阴影的面积是
多少？
【题型6 坐标系中利用投影求值】
【例6】（2023秋·九年级单元测试）如图，在直角坐标系中，点P(2,2) 是一个光源．木杆AB 两端的坐
标分别为(0,1)、(3,1) ．则木杆AB 在x轴上的投影长为（ ）A．3 B．5 C．6 D．7
【变式6-1】（2023春·天津和平·九年级专题练习）在直角坐标平面内，一点光源位于A(0，5)处，线段CD
垂直于x轴，D为垂足，C(3，1)，则DE的长为 ．
【变式6-2】（2023·山东济南·九年级统考期末）如图，直角坐标平面内，小明站在点A（﹣10，0）处观
察y轴，眼睛距地面1.5米，他的前方5米处有一堵墙DC，若墙高DC＝2米，则小明在y轴上的盲区（即
OE的长度）为 米．
【变式6-3】（2023春·全国·九年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，图形W在坐标轴上的投影长
度定义如下：设点 ， 是图形W上的任意两点，若 的最大值为m，则图形W在x
P(x ,y ) Q(x ,y ) |x -x |
1 1 2 2 1 2
轴上的投影长度为 ；若 的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度为 ．如图1，图形
l =m |y - y | l =n
x 1 2 y
W在x轴上的投影长度为l =|4-0|=4；在y轴上的投影长度为l =|3-0|=3．
x y(1)已知点A(1，2)，B(2，3)，C(3，1)，如图2所示，若图形W为四边形OABC，则l =__________，
x
l =___________；
y
3 1
(2)已知点C（ ，0），点D在直线y= x-1(x<0)上，若图形W为△OCD，当l =l 时，求点D的坐标；
2 2 x y
(3)若图形W为函数y=x2（a≤x≤b）的图象，其中（0≤al >l ，则A，B，C的先后顺序是（ ）
A C B
A．A、B、C B．A、C、B C．B、A、C D．B、C、A
【变式7-1】（2023·九年级单元测试）如图，从小区的某栋楼的A，B，C，D四个位置向对面楼方向看，
所看到的范围的大小顺序是（ ）
A．A＞B＞C＞D B．D＞C＞B＞A C．C＞D＞B＞A D．B＞A＞D＞C
【变式7-2】（2023春·九年级单元测试）小亮在上午8时、9时、12时、17时四次到室外的阳光下观察一
棵树的影子随太阳变化的情况，他发现这四个时刻这棵树影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为
；影子最短的时刻是 ．
【变式7-3】（2023春·九年级单元测试）某天小颖在室外的阳光下观察大树的影子随太阳转动的情况如下
图所示，这五张图所对应的时间顺序是 ．【题型8 视点、视角和盲区】
【例8】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的
广告牌，那么监视器的盲区是（ ）
A．△ACE B．△ADF C．△ABD D．四边形BCED
【变式8-1】（2023秋·宁夏中卫·九年级校考期末）“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层
楼．”这里主要是（ ）
A．增大盲区 B．减少盲区 C．改变光点 D．增加亮度
【变式8-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图所示，凯凯和乐乐捉迷藏，乐乐站在图中的P处，凯凯
藏在图中哪些位置，才不易被乐乐发现( )
A．M，R，S，F B．N，S，E，F C．M，F，S，R D．E，S，F，M
【变式8-3】（2023春·全国·九年级专题练习）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体
或门．在点A处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的
区域通常称为监控盲区．（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？
（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出
示意图，并说明理由．
