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专题 27.8 相似三角形的常见模型【八大题型】
【人教版】
【题型1 A字型】.................................................................................................................................................2
【题型2 “8”字形】.............................................................................................................................................3
【题型3 AX字型】................................................................................................................................................4
【题型4 子母型】...................................................................................................................................................6
【题型5 三角形内接矩形型】...............................................................................................................................8
【题型6 双垂直型】...............................................................................................................................................9
【题型7 手拉手型】.............................................................................................................................................11
【题型8 一线三角型】.........................................................................................................................................13
【基本模型】
①如图，在 中，点D在 上，点E在 上， ，则 ，
．
②模型拓展1：斜交A字型条件： ，图2结论： ；③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔ ．
【题型1 A字型】
【例1】（2022·湖南·永州柳子中学九年级期中）如图，王华晚上由路灯 下的 处走到 处时，测得影子
的长为1米，继续往前走2米到达 处时，测得影子 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么
路灯 的高度等于_________．
【变式1-1】（2022·江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝
6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点
N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．
（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的 ；
（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．
【变式1-2】（2022·全国·九年级专题练习）有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要
把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用
学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）．【变式1-3】（2022·云南楚雄·九年级期末）直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，
把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点
D，则线段BD的长度为（ ）
A． B． C． D．
【基本模型】
①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔ ；
②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔ ．
③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔ ．【题型2 “8”字形】
【例2】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE
交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( )
A．8 B．10 C．12 D．14
【变式2-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，BC＝6， ，动点P在射线EF上，
BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝ CE时，EP+BP的值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
【变式2-2】（2022·吉林·长春市赫行实验学校二模）如图，在 中， ， ，
，点 为 上一点，连接 ， 为 上一点， 于点 ，当 时，求 的长．
【变式2-3】（2022·陕西渭南·九年级阶段练习）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．
【基本模型】
A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.
【题型3 AX字型】
【例3】（2022·河南新乡·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交
AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022·河北石家庄·九年级期末）已知 中， ， （如图）．以
线段 为边向外作等边三角形 ，点 是线段 的中点，连接 并延长交线段 于点 ．
（1）求证：四边形 为平行四边形；（2）连接 ，交 于点 ．
①若 ，求 的长；
②作 ，垂足为 ，求证： ．
【变式3-3】（2022·湖南株洲·九年级期末）如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，
过D点的直线BC ⊥AC于C 交AB的延长线于B．
1 1 1 1
（1）请你探究： ， 是否都成立？
（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问 一定成立吗？
并证明你的判断．
（3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝ ，DE∥AC交AB于点E，试求 的
值．
【基本模型】
如 图 为 斜 “ A” 字 型 基 本 图 形 ． 当 时 ， ， 则 有 ．
．
如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．
当 时， ，则有 ．【题型4 子母型】
【例4】（2022·重庆实验外国语学校九年级期末）如图，在 中， ， ，
， ， ，则CD的长为______．
【变式4-1】（2022·辽宁·阜新市第四中学九年级阶段练习）已知：如图1， 中， 是 的角平
分线， ．
求证： 与 互为母子三角形．
（3）如图2， 中， 是中线，过射线 上点 作 ，交射线 于点 ，连结 ，射线
与射线 交于点 ，若 与 互为母子三角形．求 的值．
【变式4-2】（2022·辽宁鞍山·二模）在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长；
（2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F．
①求证：∠ABC＝∠EAF；
②求 的值．【变式4-3】（2022·北京市第一五六中学九年级期中）如图， 中， 点 分别
是 的中点， 与点 ．
（1）求证： ；
（2）求 的大小；
（3）若 ，求 的面积．
【基本模型】
由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。
结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，
【题型5 三角形内接矩形型】
【例5】（2022秋•南岗区校级月考）如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、
G分别在AB、AC上，EF在BC上．
（1）求正方形DEFG的边长；
（2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE= ．【变式5-1】（2022秋•道里区期末）如图，正方形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC于点D，交EH于点
M，BC＝10cm，AD＝20cm．求正方形EFGH的边长．
【变式5-2】（2022秋•八步区期中）一块直角三角形木板的面积为 ，一条直角边 为 ，怎样
才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说
明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．
【变式5-3】（2022秋•渭滨区期末）（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，
且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证： ；
（2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别
交DE于M，N两点．
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；
②如图3，求证MN2=DM·EN．【基本模型】
①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常
见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
②拓展：
在
（1） 正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在 和 内均有射影定理模
型．
（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型．
【题型6 双垂直型】
【例6】（2022秋•青羊区校级月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分
别以ED、EC为折痕将
两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（ ）
A. B．2 C. D．2【变式6-1】（2022秋•杜尔伯特县期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂
足分别为D、E两点，则图中与△ABC相似的三角形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式6-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且 ＝ ．
（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
【变式6-3】（2022秋•汝州市校级月考） 中， ， ，点E为 的中点，连接
并延长交 于点F，且有 ，过F点作 于点H．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若 ，求 的长．
【基本模型】
①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来源:Zxxk.Com]②如图所示， 和 都是等腰直角三角形， 的延长线与 相交于点P，则
，且相似比为 ， 与 的夹角为 ．
总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点
及其旋转后的对应点组成的三角形相似．
③如图所示， ，则 ， ，且 ．
【题型7 手拉手型】
【例7】（2022春•江阴市期中）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，
连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（ ）
A．5：3 B．4：3 C．√5：2 D．2：√3
【变式7-1】（2022秋•岳阳县期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；
（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝ ，请直接写出点D到CP的距离．
【变式7-2】（2022秋•炎陵县期末）如图，以 的两边 、 分别向外作等边 和等边
， 与 交于点 ，已知 ， ， ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数及 的长；
（3）若点 、 分别是等边 和等边 的重心（三边中线的交点），连接 、 、 ，作
出图象，求 的长．
【变式7-3】（2022春•栖霞市期末）如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的
一点， ，点M、N分别在直线BC、DC上．（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证： ；
（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为
；
（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若 ， ，求EF的长．
【基本模型】
(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.
(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.
特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.
补充：其他常见的一线三等角图形
【题型8 一线三角型】
【例8】（2022秋•灌云县期末）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、
B重合）， ．易证 ．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合）， ．若
， ， ，求AP的长．
【拓展】如图③，在 中， ， ，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作 ，PE与边BC交于点E，当 是等腰三角形时，直接写出AP的长．
【变式8-1】（2022•雨城区校级开学）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且
∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．
（1）求证△ABP∽△PCD；
（2）求△ABC的边长．
【变式8-2】（2022秋•渝中区期末）如图，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中点，连接AE，
tan∠AEB ，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点 处，当
是直角三角形时，PD的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【变式8-3】（2022秋•椒江区校级月考）【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，
CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证： ．【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若 ， ，求线段DE的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若 ，
，求 的值（用含k的代数式表示）．
