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专题 19.5 一次函数的应用【八大题型】
【人教版】
【题型1 分配方案问题】..........................................................................................................................................1
【题型2 最大利润问题】..........................................................................................................................................3
【题型3 行程问题】..................................................................................................................................................4
【题型4 工程问题】..................................................................................................................................................6
【题型5 调运问题】..................................................................................................................................................7
【题型6 体积问题】..................................................................................................................................................9
【题型7 平面几何图形问题】................................................................................................................................11
【题型8 分段收费问题】........................................................................................................................................12
【题型1 分配方案问题】
【例1】（2023春·河南商丘·八年级校联考期末）2022年河南省全民健身（线上）运动会最终各奖项于12
月20日公布，此次盛会充分展示疫情防控常态化下我省全民健身开展情况，某健身房于此推出“云健身”
服务，针对特殊人群开展活动．活动方案如下：方案一：不购买“云VIP”，每次收费10元；方案二：购
买“云VIP”，每次另行额外收费．
设王先生“云健身”次数为x（次)，按照方案一所需费用为y （元)，且y =k x(k ≠0)；按照方案二所
1 1 x 1
需费用为y （元)，且y =k x+b(k ≠0)．其函数图象如图所示．
2 2 2 2
(1)k = ；购买“云VIP”需 元；
1
(2)两种方案的函数图象交于点A，请求出点A的坐标并解释点A的实际意义；
(3)若王先生准备“云健身”25次，选择方案 （选填“一”或“二” )所需费用较少；若王先生准备180元进行“云健身”，选择方案 （选填“一”或“二” ) 可以获得更多的次数．
【变式1-1】（2023春·四川成都·八年级校考期中）成都教科院附属学校组织八年级学生和带队老师共700
人参加研学活动，已知学生人数的一半比带队老师人数的10倍还多35人．
(1)参加活动的八年级学生和带队老师各有多少人？
(2)某公司有A、B两种型号的客车，它们的载客量、每天的租金如表所示；
A型号客 B型号客
车 车
载客量（人
40 55
辆）
租金（元/辆） 900 1200
学校计划租用A、B两种型号的客车共16辆接送八年级师生，若每天租车的总费用不超过16200元．共有
几种不同的租车方案？最少的租车费用为多少元？
【变式1-2】（2023春·天津和平·八年级统考期末）某地地震发生后，根据救灾指挥中心的信息，甲、乙两
个重灾区急需一种大型挖掘机，甲地需要27台，乙地需要25台，A、B两省获知情况后慷慨相助，分别捐
赠该型号挖掘机28台和24台，并将其全部调运往灾区，如果从A省调运一台挖掘机到甲地耗资0.4万元，
到乙地耗资0.3万元；从B省调运一台挖掘机到甲地耗资0.5万元，到乙地耗资0.2万元，设从A调往甲地x
台挖掘机，A、B两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资y万元．
(1)用含x的代数式填写下表：
运往甲地（单位：台） 运往乙地（单位：台）
A省 x
B省
运往甲地耗资（单位：万
运往乙地耗资（单位：万元）
元）
A省 0.4x
B省
(2)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3)若总耗资不超过16.2万元，共有哪几种调运方案?
【变式1-3】（2023春·江苏苏州·八年级校联考期中）母亲节前夕，某工艺品店从厂家购进A、B两种礼盒，
已知A、B两种礼盒的单价之和为200元，购进2个A种礼盒和3个B种礼盒共花费520元．(1)求A、B两种礼盒的单价；
(2)若该店主购进这两种礼盒恰好用去9600元，且购进A种礼盒最多36个，B种礼盒的数据不超过A种礼盒
数量的2倍，共有几种进货方案？
(3)已知销售一个A种礼盒可获利10元，销售一个B种礼盒可获利18元，该店主决定每售出一个B种礼盒，
为爱心公益基金捐款m元，每个A种礼盒的利润不变，在（2）的条件下，要使A、B两种礼盒全部售出后
所有方案获利均相同，m的值应是多少？此时店主获利多少元？
【题型2 最大利润问题】
【例2】（2023春·江西景德镇·八年级统考期中）某公司有100个工人生产A、B、C三种型号的产品，
每个工人每天只能生产一种型号的产品，每个工人每天生产三种型号产品的数量及每个A、B、C型号产
品获利情况如下表所示．每天生产A、B、C三种型号产品共1240个．设安排x(名)工人生产A型号产品，
安排y (名)工人生产B型号产品．公司生产A、B、C三种型号产品每天获总利w (元)．
A B C
每个工人每天生产数量/个 15 12 10
每个产品获利/元 18 20 30
(1)分别求出y与x及w与x的函数关系式．
(2)若生产A、B、C每种都不小于27人，人数安排方案有几种？写出所有安排方案．
(3)若要使每天获利最大，应采用哪种安排方案？求出最大利润．
【变式2-1】（2023春·河北邢台·八年级统考期中）某工厂生产某种产品，每件产品的成本价为25元，出
厂价为50元．在生产过程中，每件产品产生0.5立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理．
方案1：自行处理，达标排放．每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元．
方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．问：
(1)设工厂每月生产x件产品，每月的利润为y元，分别求出按方案1，方案2处理污水时y与x的函数关系
式；
(2)工厂每月生产多少件产品时，采用两种方案所获利润相同？请说明理由；
(3)工厂每月生产6000件产品时，采用何种方案才能使工厂所获利润最大？请通过计算加以说明．
【变式2-2】（2023春·全国·八年级期末）“平遥古城三件宝，漆器牛肉长山药．”平遥推光漆器因其历史
悠久和独特的制作工艺，和福州脱胎漆器、扬州漆器、成都漆器并称为中国四大漆器．某漆器厂清明前生
产A、B两种首饰盒，若生产10件A首饰盒和20件B首饰盒，共需投入成本3100元；若生产20件A首饰盒
和10件B首饰盒，共需投入成本3800元．(1)每件A，B首饰盒的生产成本分别是多少元？
(2)该厂准备用不超过12900元的资金生产这两种首饰盒共100件，且要求生产A首饰盒数量不少于B首饰
盒数量的2倍，问共有几种生产方案？
(3)将漆器供应给商场后，每件A首饰盒可获利100元，每件B首饰盒可获利40元，在（2）的前提下，请你
设计出总获利最大的生产方案，并求出最大总获利．
【变式2-3】（2023春·福建厦门·八年级统考期末）“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时
服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，
其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表：
商品 进价 售价
丘乓球拍（元/套） a 45
羽毛球拍（元/套） b 52
已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元．
(1)求出a，b的值；
(2)该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，
售完这批体育用品获利y元．
①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（0<n<10），羽毛球拍的进
价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才能获利最大？
【题型3 行程问题】
【例3】（2023春·全国·八年级期中）货车和轿车分别沿同一路线从A地出发去B地，已知货车先出发10
分钟后，轿车才出发，当轿车追上货车5分钟后，轿车发生了故障，花了20分钟修好车后，轿车按原来速
9
度的 继续前进，在整个行驶过程中，货车和轿车均保持各自的速度匀速前进，两车相距的路程y（米）
10
与货车出发的时间x（分钟）之间的关系的部分图象如图所示，对于以下说法：①货车的速度为1500米/分；470
②OA//CD；③点D的坐标为(65,27500)；④图中a的值是 ，其中正确的结论有（ ）个
3
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-1】（2023春·安徽芜湖·八年级统考期末）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出
发，甲从A地步行匀速前往B地，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人
到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，
请结合图象解答下列问题：
(1)A、B两地之间的距离是 米，乙的步行速度是 米/分；
(2)图中a= ，b= ，c= ；
(3)求线段MN的函数解析式．
【变式3-2】（2023春·江苏盐城·八年级统考期末）数学活动课上：学校科技小组进行机器人行走性能试验，
在试验场地一条笔直的赛道上有A，B，C三个站点，A，B两站点之间的距离是90米（图1）．甲、乙两
个机器人分别从A，B两站点同时出发，向终点C行走，乙机器人始终以同一速度匀速行走．图2是两机
器人距离C站点的距离y（米）出发时间t（分钟）之间的函数图像，其中EF-FM-MN为折线段．请结
合图像回答下列问题：(1)乙机器人行走的速度是___________米/分钟；
(2)在4≤t≤6时，甲的速度变为与乙的速度相同，6分钟后，甲机器人又恢复为原来出发时的速度．
①图2中m的值为___________．
②请求出在6≤t≤9时，甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间t的值．
【变式3-3】（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考期末）在一条笔直的公路上依次有A,C,B三地，
甲，乙两人同时出发，甲从A地骑自行车匀速去B地，途经C地时休息1分钟后继续按原速骑行至B地，甲
到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行匀速从B地至A地，甲，乙两人距A地的距离y（米）与时
间x（分）之间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)甲骑行速度为_____米/分，乙步行速度为____米/分，A,B两地的距离为____米；
(2)求甲返回时距A地的距离y（米）与时间x（分）之间的关系式（不需要写自变量的取值范围）；
(3)两人出发后，在甲返回A地之前，设第x分钟时，两人距C地的距离相等，请直接写出x的值．
【题型4 工程问题】
【例4】（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期中）某地计划修建一条长36千米的乡村
公路，已知甲工程队修路的速度是乙工程队修路速度的1.5倍，乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程
队单独完成多20天．(1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？
(2)已知甲工程队修路费用为25万元/千米，乙工程队修路费用为20万元/千米．甲工程队先单独修路若干
天后，接到其它任务需要离开，剩下的工程由乙工程队单独完成．若要使修路总时间不超过55天，总费用
不超过820万元，且甲工程队所修路程需为整数，请问共有几种修路方案？哪种方案最省钱？
【变式4-1】（2023春·重庆·八年级重庆八中校考期中）某学校利用寒假维护其教学楼，若甲、乙两工程队
合作10天可完成；若甲工程队先单独施工5天，再由乙工程队单独施工20天也可完成．
(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
(2)现将该教学楼工程分成两部分，甲工程队做其中一部分工程用了m天，每天需付施工费3万元，乙工程
队做另一部分工程用了n天，每天需付施工费1.4万元，若m，n都是正整数，乙工程队做的时间不到17天，
求出此项工程总施工费用的最小值．
【变式4-2】（2023春·河南新乡·八年级校考期中）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1440米的
管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一任务，已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程
队铺设480米所用的天数与乙工程队铺设360米所用的天数相同．
（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
（2）如果要求完成该工程的工期不超过12天，工程分配给甲工程队m米，写出m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，施工时，每天需要支付甲工程队1520元，每天需要支付乙工程队1200元，完成
这项工程的总支出为y元，写出y关于m的函数解析式，并利用函数的性质，说明如何设计施工方案所支
付的总费用最少？
【变式4-3】（2023春·四川成都·八年级统考期末）某市计划修建一条长60千米的地铁，根据甲，乙两个
地铁修建公司标书数据发现：甲，乙两公司每天修建地铁长度之比为3：5；甲公司单独完成此项工程比乙
公司单独完成此项工程要多用240天．
（1）求甲，乙两个公司每天分别修建地铁多少千米？
（2）该市规定：“该工程由甲，乙两个公司轮流施工完成，工期不超过450天，且甲公司工作天数不少于
5
乙公司工作天数的 ”．设甲公司工作a天，乙公司工作b天．
6
①请求出b与a的函数关系式及a的取值范围；
②设完成此项工程的工期为W天，请求出W的最小值．
【题型5 调运问题】
【例5】（2023春·福建厦门·八年级统考期末）厦门市同安区A、B两村生产龙眼，A村生产的龙眼重量为
200吨，B村生产的龙眼重量为300吨．现将这些龙眼运到C、D两个冷藏仓库，已知C仓库可存储240吨，D仓库可存储260吨；从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C、D两处的费
用分别为每吨15元和18元设从A村运往C仓库的龙眼重量为x吨，A、B两村运往两仓库的龙眼运输费用
的分别为y 元和y 元
A B
(1)当x为何值时，A村和B村的运输费用相等；
(2)考虑到B村的经济承受能力，B村的龙眼运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎么样调运，才能
使两村运费之和最小?求出这个最小值．
【变式5-1】（2023春·安徽滁州·八年级校考期末）甲，乙两厂积极生产某种物资共500吨，乙厂的生产量
是甲厂的2倍少100吨，这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下：（单位：吨）
目的地
A B
生产厂
甲 20 25
乙 15 24
(1)求甲，乙两厂各生产了这批物资多少吨？
(2)设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并
设计使总运费最少的调运方案．
【变式5-2】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级统考期末）A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现
决定支援C村10台，D村8台，已知从A市调动一台机器到C村和D村的运费分别是100元和200元，从
B市调动一台机器到C村和D村的运费分别是90元和150元．
(1)设完成该任务所需总运费为y元，A市运往C村机器x台，求总运费y关于x的函数关系式，并指出x有
哪些可取值；
(2)若要求总运费不超过2400元，共有几种不同的调运方案；
(3)求出最低总费用，并把总运费最低时候的调运方案的数据写出来．
【变式5-3】（2023春·天津和平·八年级统考期末）某地地震发生后，根据救灾指挥中心的信息，甲、乙两
个重灾区急需一种大型挖掘机，甲地需要27台，乙地需要25台，A、B两省获知情况后慷慨相助，分别捐
赠该型号挖掘机28台和24台，并将其全部调运往灾区，如果从A省调运一台挖掘机到甲地耗资0.4万元，
到乙地耗资0.3万元；从B省调运一台挖掘机到甲地耗资0.5万元，到乙地耗资0.2万元，设从A调往甲地x
台挖掘机，A、B两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资y万元．
(1)用含x的代数式填写下表：
运往甲地（单位：台） 运往乙地（单位：台）A省 x
B省
运往甲地耗资（单位：万
运往乙地耗资（单位：万元）
元）
A省 0.4x
B省
(2)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3)若总耗资不超过16.2万元，共有哪几种调运方案?
【题型6 体积问题】
【例6】（2023春·河北唐山·八年级统考期末）如图，水平放置的甲容器内原有120mm高的水，乙容器中
有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙容器底面上）．现将甲容器中的水匀速注
入乙容器，且乙容器中水不外溢．甲、乙两个容器中水的深度y（mm）与注水时间x（min）之间的关系如
图．
(1)乙容器中原有水的高度是_________mm，铁块的高度是_________mm；
(2)注水多长时间时，甲、乙两个容器中水的深度相同：
(3)若乙容器底面积为900mm2（壁厚不计），直接写出乙容器中铁块的体积．
【变式6-1】（2023春·河北唐山·八年级统考期末）小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同
的小球进行了如下操作：
请根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球量筒中水面升高 cm；
（2）求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自
变量的取值范围）；
（3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？
【变式6-2】（2023春·江西赣州·八年级统考期末）我国是世界上水资源最缺乏的国家之一，同时又有很多
水龙头由于漏水造成大量的浪费.某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组用最大容量为200毫升的量
筒接水，每隔10秒钟观察量筒中水的体积，从某一时刻起记录1分钟内量筒中水的体积如下表（精确到
1ml）：
1 3
时间t(s) 20 40 50 60
0 0
量筒中的水量 3 6
45 75 90 105
V(ml) 0 0
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对
应的点；
（2）量筒中的水量V(ml)是否为时间t(s)的函数？如果是，试求出一个符合表中数据的函数解析式；
（3）若水费为3.6元/m3，按这样的漏水速度，这个水龙头一个月（30天）要浪费多少钱？（
1m3=106ml，结果保留整数）．
【变式6-3】（2023春·浙江·八年级期末）将一块a×b×c(a<b<c)的长方体铁块（图1）平放在一个长方
体水槽底部（图2），现向水槽内匀速注水，直至注满水槽为止，因铁块在水槽内有3种不同的放置方式，
所以水槽内的水深h与注水时间t的函数关系用图象来反映，其全过程有三种不同的图象（图3，图4，图
5）（注：长度单位：厘米；时间单位：秒）（1）判断t 与t 的大小关系：t_________________t；
1 2 1 2
（2）水槽深度为_________________厘米；a=_________________厘米，b=_________________厘米；
（3）求铁块的体积．
【题型7 平面几何图形问题】
【例7】（2023春·湖南永州·八年级校考期中）李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙、
用篱笆围成的另外三边总长恰好为24米，要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD，设BC边的长为x米，
AB边的长为y米．
(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)若BC边的长为5米时，求长方形的AB边的长．
【变式7-1】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）要将一个长为120m，宽为100m的长方形场地扩建成
一个正方形场地，设长增加xm，宽增加ym．
(1)求y与x之间的关系式；
(2)若x=80，求扩建成的正方形场地的面积．
【变式7-2】（2023春·河北石家庄·八年级校考期中）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为20m，
宽为15m的长方形空地上修建一条宽为a m的甬道，余下的部分铺设草坪建成绿地．
（1）甬道的面积为______m2，绿地的面积为______m2；（用含a的代数式表示）
（2）已知某园林公司修建甬道、绿地的造价W （元），W （元）与修建面积S(m2)之间的函数关系图像
1 2
如图2所示．
①直接写出修建甬道的造价W （元）、修建绿地的造价W （元）与a(m)的关系式；
1 2
②如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的甬道宽度不少于2m且不超过5m，那么甬道宽为多少时，修建的甬道和绿地的总造价最低？最低总造价为多少元？
【变式7-3】（2023春·四川成都·八年级统考期末）2019车8月8日至18日，第十八届“世警会”首次来
到亚洲在成都举办武侯区以相关事宜为契机，进一步改善区域生态环境．在天府吴园道部分地段种植白芙
蓉和醉芙蓉两种花卉．经市场调查，种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示．
（1）请直接写出两种花卉y与x的函数关系式；
（2）白芙蓉和醉芙蓉两种花卉的种植面积共1000m2，若白芙蓉的种植面积不少于100m2且不超过醉芙蓉
种植面积的3倍，那么应该怎样分配两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？
【题型8 分段收费问题】
【例8】（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）为发展我市旅游经济，丹东天桥沟景区对门票采用动态的
售票方法吸引游客，规定：门票定价为100元/人，非节假日打a折售票，节假日按团队人数分段定价售票，
即10人以下（含10人）的团队按原价售票；超过10人的团队，其中10人仍按原价售票，超过10人部分
的游客打b折售票。设某旅游团人数为x人，非节假日购票款为y （元），节假日购票款为y （元），y 、
1 2 1
y 与x之间的函数图象如图所示.
2
（1）观察图象可知：a=_______，b=__________；
（2）直接写出y 和y 的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
1 2
（3）导游小王10月1日带A团，10月20日（非节假日）带B团都到天桥沟景区旅游，共付门票款4600
元，A、B两个团队合计60人，求A、B两个团队各有多少人？【变式8-1】（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期中）某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按
月计算每户家庭的水费：月用水量不超过20m3时，按2.5元/ m3计费；月用水量超过20m3时，其中20m3
仍按2.5元/m3收费，超过部分按3.2元/ m3计费，设每户家庭月用水量为xm3时，应交水费y元．
（1）分别写出0≤x≤20和x>20时，y与x的函数表达式．
（2）小明家第二季度缴纳水费的情况 如下：
五月
月份 四月份 六月份
份
56.4
交费金额 40元 45元
元
小明家第二季度共用水多少立方米？
【变式8-2】（2023春·云南玉溪·八年级统考期末）我市水利资源丰富，并且得到了较好的开发，电力充足，
某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费，月用电x(KWt)与应交电费y(元)之间
的函数图象如图所示．
（1）填空，月用电量为100(KWt)时，应交电费______元
（2）当x≥100时，求y与x的函数关系式．
（3）月用电量为260(KWt)时，应交电费多少元？
【变式8-3】（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期中）作为网红城市的重庆，五一节小
长假将迎来旅行的高峰，为方便外地游客的出行，重庆市某约车公司推出了一种新型的打车方式，该打车
方式的费用收取是按照行驶的路程进行分段计费．小李选用了该打车方式出行，图中折线是小李打车所付
车费y（元）与路程x（千米）之间的关系，请根据图象信息，解决下列问题
（1）若小李打车的路程为26千米，则小李所付的车费为 ；
（2）请求出当3≤x≤6时车费y（元）与路程x（千米）之间的关系式；
（3）若小李支付的车费为37元，求小李打车的路程．
