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专题 19.5 一次函数的应用【八大题型】
【人教版】
【题型1 分配方案问题】..........................................................................................................................................1
【题型2 最大利润问题】..........................................................................................................................................3
【题型3 行程问题】..................................................................................................................................................4
【题型4 工程问题】..................................................................................................................................................6
【题型5 调运问题】..................................................................................................................................................7
【题型6 体积问题】..................................................................................................................................................9
【题型7 平面几何图形问题】................................................................................................................................11
【题型8 分段收费问题】........................................................................................................................................12
【题型1 分配方案问题】
【例1】（2023春·河南商丘·八年级校联考期末）2022年河南省全民健身（线上）运动会最终各奖项于12
月20日公布，此次盛会充分展示疫情防控常态化下我省全民健身开展情况，某健身房于此推出“云健身”
服务，针对特殊人群开展活动．活动方案如下：方案一：不购买“云VIP”，每次收费10元；方案二：购
买“云VIP”，每次另行额外收费．
设王先生“云健身”次数为x（次)，按照方案一所需费用为y （元)，且y =k x(k ≠0)；按照方案二所
1 1 x 1
需费用为y （元)，且y =k x+b(k ≠0)．其函数图象如图所示．
2 2 2 2
(1)k = ；购买“云VIP”需 元；
1
(2)两种方案的函数图象交于点A，请求出点A的坐标并解释点A的实际意义；
(3)若王先生准备“云健身”25次，选择方案 （选填“一”或“二” )所需费用较少；若王先生准备180元进行“云健身”，选择方案 （选填“一”或“二” ) 可以获得更多的次数．
【变式1-1】（2023春·四川成都·八年级校考期中）成都教科院附属学校组织八年级学生和带队老师共700
人参加研学活动，已知学生人数的一半比带队老师人数的10倍还多35人．
(1)参加活动的八年级学生和带队老师各有多少人？
(2)某公司有A、B两种型号的客车，它们的载客量、每天的租金如表所示；
A型号客 B型号客
车 车
载客量（人
40 55
辆）
租金（元/辆） 900 1200
学校计划租用A、B两种型号的客车共16辆接送八年级师生，若每天租车的总费用不超过16200元．共有
几种不同的租车方案？最少的租车费用为多少元？
【变式1-2】（2023春·天津和平·八年级统考期末）某地地震发生后，根据救灾指挥中心的信息，甲、乙两
个重灾区急需一种大型挖掘机，甲地需要27台，乙地需要25台，A、B两省获知情况后慷慨相助，分别捐
赠该型号挖掘机28台和24台，并将其全部调运往灾区，如果从A省调运一台挖掘机到甲地耗资0.4万元，
到乙地耗资0.3万元；从B省调运一台挖掘机到甲地耗资0.5万元，到乙地耗资0.2万元，设从A调往甲地x
台挖掘机，A、B两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资y万元．
(1)用含x的代数式填写下表：
运往甲地（单位：台） 运往乙地（单位：台）
A省 x
B省
运往甲地耗资（单位：万
运往乙地耗资（单位：万元）
元）
A省 0.4x
B省
(2)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3)若总耗资不超过16.2万元，共有哪几种调运方案?
【变式1-3】（2023春·江苏苏州·八年级校联考期中）母亲节前夕，某工艺品店从厂家购进A、B两种礼盒，
已知A、B两种礼盒的单价之和为200元，购进2个A种礼盒和3个B种礼盒共花费520元．(1)求A、B两种礼盒的单价；
(2)若该店主购进这两种礼盒恰好用去9600元，且购进A种礼盒最多36个，B种礼盒的数据不超过A种礼盒
数量的2倍，共有几种进货方案？
(3)已知销售一个A种礼盒可获利10元，销售一个B种礼盒可获利18元，该店主决定每售出一个B种礼盒，
为爱心公益基金捐款m元，每个A种礼盒的利润不变，在（2）的条件下，要使A、B两种礼盒全部售出后
所有方案获利均相同，m的值应是多少？此时店主获利多少元？
【题型2 最大利润问题】
【例2】（2023春·江西景德镇·八年级统考期中）某公司有100个工人生产A、B、C三种型号的产品，
每个工人每天只能生产一种型号的产品，每个工人每天生产三种型号产品的数量及每个A、B、C型号产
品获利情况如下表所示．每天生产A、B、C三种型号产品共1240个．设安排x(名)工人生产A型号产品，
安排y (名)工人生产B型号产品．公司生产A、B、C三种型号产品每天获总利w (元)．
A B C
每个工人每天生产数量/个 15 12 10
每个产品获利/元 18 20 30
(1)分别求出y与x及w与x的函数关系式．
(2)若生产A、B、C每种都不小于27人，人数安排方案有几种？写出所有安排方案．
(3)若要使每天获利最大，应采用哪种安排方案？求出最大利润．
【变式2-1】（2023春·河北邢台·八年级统考期中）某工厂生产某种产品，每件产品的成本价为25元，出
厂价为50元．在生产过程中，每件产品产生0.5立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理．
方案1：自行处理，达标排放．每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元．
方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．问：
(1)设工厂每月生产x件产品，每月的利润为y元，分别求出按方案1，方案2处理污水时y与x的函数关系
式；
(2)工厂每月生产多少件产品时，采用两种方案所获利润相同？请说明理由；
(3)工厂每月生产6000件产品时，采用何种方案才能使工厂所获利润最大？请通过计算加以说明．
【变式2-2】（2023春·全国·八年级期末）“平遥古城三件宝，漆器牛肉长山药．”平遥推光漆器因其历史
悠久和独特的制作工艺，和福州脱胎漆器、扬州漆器、成都漆器并称为中国四大漆器．某漆器厂清明前生
产A、B两种首饰盒，若生产10件A首饰盒和20件B首饰盒，共需投入成本3100元；若生产20件A首饰盒
和10件B首饰盒，共需投入成本3800元．(1)每件A，B首饰盒的生产成本分别是多少元？
(2)该厂准备用不超过12900元的资金生产这两种首饰盒共100件，且要求生产A首饰盒数量不少于B首饰
盒数量的2倍，问共有几种生产方案？
(3)将漆器供应给商场后，每件A首饰盒可获利100元，每件B首饰盒可获利40元，在（2）的前提下，请你
设计出总获利最大的生产方案，并求出最大总获利．
【变式2-3】（2023春·福建厦门·八年级统考期末）“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时
服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，
其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表：
商品 进价 售价
丘乓球拍（元/套） a 45
羽毛球拍（元/套） b 52
已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元．
(1)求出a，b的值；
(2)该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，
售完这批体育用品获利y元．
①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（020时，y与x的函数表达式．
（2）小明家第二季度缴纳水费的情况 如下：
五月
月份 四月份 六月份
份
56.4
交费金额 40元 45元
元
小明家第二季度共用水多少立方米？
【变式8-2】（2023春·云南玉溪·八年级统考期末）我市水利资源丰富，并且得到了较好的开发，电力充足，
某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费，月用电x(KWt)与应交电费y(元)之间
的函数图象如图所示．
（1）填空，月用电量为100(KWt)时，应交电费______元
（2）当x≥100时，求y与x的函数关系式．
（3）月用电量为260(KWt)时，应交电费多少元？
【变式8-3】（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期中）作为网红城市的重庆，五一节小
长假将迎来旅行的高峰，为方便外地游客的出行，重庆市某约车公司推出了一种新型的打车方式，该打车
方式的费用收取是按照行驶的路程进行分段计费．小李选用了该打车方式出行，图中折线是小李打车所付
车费y（元）与路程x（千米）之间的关系，请根据图象信息，解决下列问题
（1）若小李打车的路程为26千米，则小李所付的车费为 ；
（2）请求出当3≤x≤6时车费y（元）与路程x（千米）之间的关系式；
（3）若小李支付的车费为37元，求小李打车的路程．
