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专题 14.2 整式的乘除法【十一大题型】
【人教版】
【题型1 利用整式乘法求值】..................................................................................................................................1
【题型2 利用整式乘法解决不含某项问题】.........................................................................................................1
【题型3 利用整式乘法解决错看问题】..................................................................................................................2
【题型4 利用整式乘法解决遮挡问题】..................................................................................................................2
【题型5 整式乘法的计算】......................................................................................................................................3
【题型6 整式乘法的应用】......................................................................................................................................3
【题型7 整式除法的运算与求值】..........................................................................................................................5
【题型8 整式除法的应用】......................................................................................................................................6
【题型9 整式乘法中的新定义问题】......................................................................................................................7
【题型10 整式乘法中的规律探究】..........................................................................................................................8
【题型11 整式乘法与面积的综合探究】..................................................................................................................9
【知识点 整式的乘法】
单项式×单项式：系数相乘，字母相乘．
单项式×多项式：乘法分配律．
多项式×多项式：乘法分配律．
【题型1 利用整式乘法求值】
【例1】（2023春·江苏无锡·八年级期中）若 ，则 的值为 ．
(x-1)(x+b)=x2+ax-2 a+b
【变式1-1】（2023·八年级单元测试）已知x2+x+1=0，则x3-x2-x+7=
【变式1-2】（2023春·上海松江·八年级校考阶段练习）已知：x2+3x=10，则代数式
．
(x-2) 2+x(x+10)-5=
【变式1-3】（2023·八年级单元测试）如果a、b、m均为整数，且(x+a)⋅(x+b)=x2+mx+15，则所有的
m的和为 .【题型2 利用整式乘法解决不含某项问题】
【例2】（2023春·浙江·八年级专题练习）已知将（x3+mx+n）（x2-3x+4）展开的结果不含x3和x2项，求
m、n的值．
【变式2-1】（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如果（y+5）（y+m）的乘积中不含y的一次项．则
m的值为（ ）
A．-5 B．5 C．0 D．3
【变式2-2】（2023春·四川资阳·八年级统考期末）已知a为任意实数，有多项式M=x2+3ax+6，
N=x+3，且MN=A，当多项式A中不含2次项时，a的值为（ ）．
2
A．－1 B．0 C．- D．1
3
【变式2-3】（2023春·八年级课时练习）若 ( x2+3mx- 1) (x2-3x+n)的积中不含有x与x3项．
3
(1)直接写出m、n的值，即m=___________，n= ___________；
(2)求代数式
(-m2n) 3 +(9mn) 2+(3m) 2014n2016
的值．
【题型3 利用整式乘法解决错看问题】
【例3】（2023春·四川内江·八年级校考阶段练习）在数学课堂上，老师写出一道整式乘法题：
(2y+a)(3 y+b)．王建由于把第一个多项式中的“+a”抄成了“-a”，得到的结果为6 y2+5 y-10；李
楠由于漏抄了第二个多项式中y的系数，得到的结果为2y2-7 y+10．
（1）求正确的a，b的值；
（2）计算这道乘法题的正确结果．
【变式3-1】（2023春•潍坊期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成
除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），则正确的结果是（ ）
A．3x2﹣7xy+2y2 B．3x2+7xy+2y2
C．3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3 D．3x3﹣13x2y+16xy2+4y3
【变式3-2】（2023春•云县期末）在计算（x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙
错把a看成了﹣a，得到结果x2+x﹣6．你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数）
【变式3-3】（2023春•河源期末）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的
符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．
（1）求（﹣2a+b）（a+b）的值；
（2）若整式中的a的符号不抄错，且a＝3，请计算这道题的正确结果．【题型4 利用整式乘法解决遮挡问题】
【例4】（2023春•河南月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记
复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填
写（ ）
A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3 D．﹣10xy
【变式4-1】（2023春•天津期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记
本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为
“□”内应填写（ ）
A．9x2 B．﹣9x2 C．9x D．﹣9x
【变式4-2】（2023春•岳麓区校级期中）已知x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n），其中m、n是被墨
水弄脏了看不清楚的两处，请求出m2+6mn+9n2的值．
【变式4-3】（2023春•江都区期中）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿
出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题 3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3 ﹣ 3 x 3 y 2 ﹣
3x2y，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写 ﹣ 3 x 3 y 3 ．
【题型5 整式乘法的计算】
【例5】（2023春·重庆渝中·八年级校考期中）（1）计算：x⋅2x+x(x-2)；（2）
(m+1)(m-5)-m(m-6)
【变式5-1】（2023春·上海·八年级期中） ( - 1 x2y ) 2 ⋅ (4 x2-8xy+ 1)
2 5 3
【变式5-2】（2023春·八年级课时练习）先化简，再求值：x(x+2)+(1+x)(1-x)，其中x＝－2．
【变式5-3】（2023春·八年级课时练习）计算：
(1)(a－1)(a2＋a＋1)；
(2)(2x＋5)(2x－5)－(x＋1)(x－4)；
(3)(3x－2)(2x＋3)(x－2).
【题型6 整式乘法的应用】
【例6】（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）长方形的长和宽分别是a厘米、b厘米,如果长方形的长和宽
各减少3厘米．新长方形的面积比原长方形的面积减少了多少平方厘米（用含 的代数式表示）？
【变式6-1】（2023春·上海静安·八年级新中初级中学校考期末）用长为24米的木条，做成一个“目”字
形的窗框（如图所示，窗框外沿ABCD是长方形），若窗框的横条长度都为x米．（1）用代数式表示长方形ABCD的面积．
（2）当x=3时，求出长方形ABCD的面积．
【变式6-2】（2023春·上海·八年级专题练习）如图，用一张高为30cm，宽为20cm的长方形打印纸打印
文档，如果左右的页边距都为xcm，上下页边距比左右页边距多1cm.
（1）请用x的代数式表示中间打印部分的面积.
（2）当x=2时，中间打印部分的面积是多少平方厘米？
【变式6-3】（2023春·广东茂名·八年级校联考阶段练习）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会
自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和
﹣16（如图所示）．
例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．
(1)那么第二次按键后，A区显示的结果为______，B区显示的结果为______．
(2)计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝1时，代数式乘积的值．【知识点2 整式的除法】
单项式÷单项式：系数相除，字母相除．
多项式÷单项式：除法性质．
多项式÷多项式：大除法．
【题型7 整式除法的运算与求值】
1
【例7】（2023春·河北承德·八年级统考期末）下列计算27a2÷ a3÷9a2的顺序不正确的是（ ）
3
1 1
A．27a2÷( a3÷9a2
)
B．(27a2÷ a3 )÷9a2
3 3
1 1
C．(27÷ ÷9)a2-3-2 D．(27a2÷9a2 )÷ a
3 3
【变式7-1】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）已知4m2-7m+6=0，求代数式
的值．
(3m2-2m)÷m-(2m-1) 2
【变式7-2】（2023·四川·石室佳兴外国语学校八年级阶段练习）已知多项式2x2﹣4x﹣1除以一个多项式
A，得商式为2x，余式为x﹣1，则这个多项式A＝_____．
【变式7-3】（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，
得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法.多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进
行计算．
如图1：
∴278÷12=232，
．
∴(x3+2x2-3)÷(x-1)=x2+3x+3
即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下：
①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）．
②用竖式进行运算．③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式.若余式为零，说明被除式能被除式整除．
例如： 余式为 ， 能被 整除．
(x3+2x2-3)÷(x-1)=x2+3x+3 0 ∴x3+2x-3 x-1
根据阅读材料，请回答下列问题：
(1)多项式x2+5x+6除以多项式x+2，所得的商式为______ ；
(2)已知x3+2x2-ax-10能被x-2整除，则a= ______ ；
(3)如图2，有2张A卡片，21张B卡片，40张C卡片，能否将这63片拼成一个与原来总面积相等且一边长为
(a+8b)的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由．
【题型8 整式除法的应用】
【例8】（2023春·八年级统考期末）某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两片空
地上种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜．已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄瓜的
1
，如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为2：3：4，则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青
2
黄瓜产量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、
青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为 ．
【变式8-1】（2023春•渝中区校级期中）某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件，其中，配
5 3
件①是由大、小两个长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为： a、2a、 a，小长方体的长、宽、
2 2
a
高分别为：2a、a、 ；配件②是一个正方体，其棱长为a
2
（1）生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料（不计损耗）？
（2）若两个配件①与一个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获利30元，则
1000a3体积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？
【变式8-2】（2023春•蜀山区期中）爱动脑筋的丽丽与娜娜在做数学小游戏，两人各报一个整式，丽丽报
的整式A作被除式，娜娜报的整式B作除式，要求商式必须为﹣3xy（即A÷B＝﹣3xy）
（1）若丽丽报的是x3y﹣6xy2，则娜娜应报什么整式？
（2）若娜娜也报x3y﹣6xy2，则丽丽能报一个整式吗？若能，则是个什么整式？说说你的理由．【变式8-3】（2023·八年级单元测试）甲、乙两个同学从A地到B地，甲步行的速度为3千米/小时，乙步
行的速度是5千米/小时，两人骑车的速度都是15千米/小时.现在甲先步行，乙先骑自行车，两人同时从A
地出发，走了一段路程后，乙放下自行车步行，甲到乙放自行车的地方处改骑自行车.后面不断这样交替进
行，两人恰好同时到达B地.那么，甲走全程的平均速度是多少？
【题型9 整式乘法中的新定义问题】
【例9】（2023春·江苏宿迁·八年级统考期中）海伦是古希腊数学家，约公元62年左右活跃于亚历山大，
年青时海伦酷爱数学，他的代表作《量度论》主要是研究面积、体积和几何分比问题，其中一段探究三角
形面积的方法翻译如下：如图，设三角形面积为S，以三角形各边为边向外作正方形，三个正方形的面积
S +S +S
分别记作S 、S 、S ，定义：S= 1 2 3；S' =S-S ；S' =S-S ；S' =S-S ；
1 2 3 2 1 1 2 2 3 3
，经研究发现， ．如：三角形三条边分别为13、14、15，则
F =S' ×S' +S' ×S' +S' ×S' F =4S2
s 1 2 2 3 3 1 s
， ， ， ， ； ； ； ，所以
S =169 S =196 S =225 S=295 S' =126 S' =99 S' =70 F =28224
1 2 3 1 2 3 s
S2=28224÷4=7056=842，故三角形的面积S=84．
(1)若S =3，S =4，S =5，则S=_______．F =_______．
1 2 3 s
(2)当 ； ； 时．
S' =x-3 S' =x+3 S' =5-x
1 2 3
①求F 的表达式；
s
②若S +S +S =20，求三角形的面积．
1 2 3
|a b|
【变式9-1】（2023春·浙江衢州·八年级统考期中）定义新运算 =ad+3b-2c，如
c d
|1 5|
=1×7+3×5-2×3=7+15-6=16．
3 7| 2 3|
（1）计算 的值；
-1 4
（2）化简：| x+ y 7xy-x2|．
2xy-3x2+1 -3x- y
【变式9-2】（2023春·安徽六安·八年级六安市第九中学校考期中）给出如下定义：我们把有序实数对
(a,b,c)叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序
实数对(a,b,c)的特征多项式．
(1)关于x的二次多项式3x2+2x-1的特征系数对为__________；
(2)求有序实数对(1,4,4)的特征多项式与有序实数对(1,-4,4)的特征多项式的乘积；
(3)有序实数对(2,1,1)的特征多项式与有序实数对(a,-2,4)的特征多项式的乘积不含x2项，求a的值；
【变式9-3】（2023春·四川宜宾·八年级统考期中）阅读下列材料，解答下列问题：定义：如果一个数的平
方等于−1，记为i2＝−1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这
个复数的实部， b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：(2−i)+(5+3i)＝(2+5)+(−1+3)i＝7+2i；
(1+i)×(2−i)＝1×2−i+2×i−i2＝2+(−1+2)i+1＝3+i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3＝________，i4＝________；
（2）计算：（2＋3i）×（3－4i）；
（3）计算：i＋i2＋i3＋…＋i2019．
【题型10 整式乘法中的规律探究】
【例10】（2023春·广东梅州·八年级统考期末）若正整数a，b的和为10，则称a，b“互补”，如果两个两
位数的十位数字相同，个位数字“互补”（如24与26，52与58，简称它们“首同尾补”）；那么这两个
数的积是三位数或四位数，其末尾的两位数等于两数的个位数字之积，其起始的一位或两位数等于两数的
十位数字与比这个十位数字大1的数之积．
例如：24×26=624（积中的6=2×(2+1)，24=4×6）
52×58=3016（积中的30=5×(5+1)，16=2×8）
(1)直接写出下列各式运算结果：95×95=______，81×89=______；
(2)用ab和ac分别表示两个两位数，其中a表示十位数字，b和c表示它们的个位数字，且b+c=10，
①依据题意，两位数ab表示为______，两位数ac表示为______；
②上述速算规律可用等式表示为__________________；
③试说明②中等式的正确性．【变式10-1】（2023春·江苏·八年级专题练习）在运算中，我们如果能总结规律，并加以归纳，得出数学
公式，一定会提高解题的速度．在解答下列问题中，请探究其中的规律．
(1)计算后填空：(x+2)(x+3)=_________；
(x-1)(x+4)=_________；
(x-3)(x-2)=_________；
(2)归纳猜想后填空：(x+a)(x+b)=x2+______x+______
(3)运用（2）中得到的结论，直接写出计算结果：(x-2)(x+n)=______．
【变式10-2】（2023春·安徽六安·八年级六安市第九中学校考期中）观察下面的几个算式，发现规律，并
解决下列问题．
①16×14=224=1×(1+1)×100+6×4；
②23×27=621=2×(2+1)×100+3×7；
③32×38=1216=3×(3+1)×100+2×8；
…
(1)按照上面的规律，依照上面的书写格式，直接写出81×89的结果______．
(2)试说明上面所发现的规律（提示：可设这两个两位数分别是(10n+a)，(10n+b)，其中n，a，b均为1
～9的整数，且a+b=10）．
【变式10-3】（2023春·江西吉安·八年级统考期末）八年级某班数学小组研究系列算式：12×21，23×32，
34×43．．．．，将算式计算过程进行变形后，得到如下规律：
；
12×21=121×(12+1)+10
；
23×32=121×(22+2)+10
；
34×43=121×(32+3)+10
……
(1)根据以上规律，直接写出78×87的相应变形算式；
(2)请用含n的代数式直接表示 与 之积的计算结果，并通过计算验证结果的正
[10n+(n+1)] [(10n+10)+n]
确性．
【题型11 整式乘法与面积的综合探究】
【例11】（2023春·湖南株洲·八年级统考期中）从一个边长为a的正方形纸片（如图1）上剪去两个相同的
小长方形，得到一个美术字“5”的图案（如图2），再将剪下的两个小长方形拼成一个新长方形（如图3）．
(1)求：新长方形的周长（用含有a，b的式子表示），
(2)求：美术字“5”的图案的面积（用含有a，b的式子表示）．
(3)若a=8，剪去的小长方形的宽为1，求新长方形的周长和美术字“5”的图案的面积．
【变式11-1】（2023春·江苏扬州·八年级统考期中）将两张大小完全一样的长方形纸片和另两张大小完全
一样的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在长方形ABCD内，其中长方形纸片和正方形纸片的周长相等．
设大正方形边长PD=x，小正方形边长GH= y，则图中阴影部分的面积 ．
【变式11-2】（2023春·湖北·八年级统考期末）现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方
形（图中阴影部分）区域种植鲜花．设大长方形的相邻两边长分别am和bm，小长方形的相邻两边长分别
为xm和ym．
(1)如图1，若a=45，b=60，求x和y的值；(2)如图2，
①若小长方形的周长为4m，求大长方形的周长；
②若y比x大3，求种植草坪（空白部分）面积比种植鲜花（阴影部分）的面积的2倍多多少？
【变式11-3】（2023春·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期中）7张如图1的长为a，宽为b(b>0)
的小长方形纸片，按如图2、3的方式不重叠地放在长方形ABCD内；未被覆盖的部分（两个长方形）用
阴影表示．
(1)如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分的面积的
差为____________（用含a,b的代数式表示），长方形ABCD的面积为____________（用含a,b的代数式
表示）
(2)如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，CP=x.
①用含a,b,x的代数式表示AE；
②当的长度变化时，按照同样的放置方式，要使S始终保持不变，那么必须满足什么条件?
