文档内容
专题 19.5 一次函数的实际应用问题之五大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 利用一次函数解决分配方案问题】................................................................................................1
【考点二 利用一次函数解决最大利润问题】................................................................................................5
【考点三 利用一次函数解决行程问题】........................................................................................................9
【考点四 利用一次函数解决几何问题】......................................................................................................13
【考点五 利用一次函数解决其他问题】......................................................................................................19
【过关检测】............................................................................................................................................................23
【典型例题】
【考点一 利用一次函数解决分配方案问题】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间和双人间每天都
是600元，为吸引客源，促进旅游，在“十•一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优
惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房，要求租住的房间正好
被住满．
（1）如果一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？
（2）设三人间共住了x人，这个团一天一共花去住宿费y元，请写出y与x的函数关系式；
（3）一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种方案，并使住宿费用最低，请写出设计方
案，并求出最低的费用．
【答案】（1）三人间客房8间，双人间客房13间；（2）y＝﹣50x+7500；（3）不是，租住3人间客房16
间，租住2人间客房1间，此时费用为5100元
【分析】（1）根据在“十•一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的
旅游团在十月二号到该酒店住宿，一天一共花去住宿费6300元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据题意可以写出y与x的函数关系式；
（3）根据（2）中的函数关系式和一次函数的性质，可以求得x为何值时，费用最低，并写出最低费用时的住宿方案．
【详解】解：（1）设租住了三人间客房a间，双人间客房b间，
根据题意得： ，
解得： ，
答：租住了三人间客房8间，双人间客房13间；
（2）由题意可得，
y 600×0.5 600×0.5＝﹣50x+7500，
即y与x的函数关系式是y＝﹣50x+7500；
（3）∵y＝﹣50x+7500，k＝﹣50，
∴y随x的增大而减小，
∴当x满足 、 为整数，且 最大时，住宿费用最低，
∴当x＝48时，y取得最小值，此时y＝﹣50×48+7500＝5100， =16， =1，
∵5100＜6300，∴一天6300元的住宿费不是最低，
答：一天6300元的住宿费不是最低，住宿费用最低的设计方案为：租住3人间客房16间，租住2人间客
房1间，此时费用为5100元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，
列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答．
【变式训练】
1．为了满足开展“阳光体育”大课间活动的需求，某学校计划购买一批篮球．根据学校的规模，需购买
、 两种不同型号的篮球共300个．已知购买3个 型篮球和2个 型篮球共需340元，购买2个 型篮
球和1个 型篮球共需要210元．
（1）求购买一个 型篮球、一个 型篮球各需多少元？
（2）若该校计划投入资金 元用于购买这两种篮球，设购进的 型篮球为 个，求 关于 的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若购买 型篮球的数量不超过 型篮球数量的2倍，则该校至少需要投入资金多
少元？【答案】（1）购买一个 型篮球需80元，一个 型篮球需50元；（2） ；
（3）该校至少需要投入资金 元．
【分析】（1）设购买一个 型篮球需 元，一个 型篮球需 元，根据两种购买方式建立方程组，解方程
组即可得；
（2）根据（1）的结论可得购买 型篮球的费用和购买 型篮球的费用，再求和，然后根据 两种型号
的篮球个数均大于0求出 的取值范围即可；
（3）先根据“购买 型篮球的数量不超过 型篮球数量的2倍”建立不等式求出 的取值范围，再利用一
次函数的性质即可得．
【详解】解：（1）设购买一个 型篮球需 元，一个 型篮球需 元，
由题意得： ，
解得 ，符合题意，
答：购买一个 型篮球需80元，一个 型篮球需50元；
（2）由题意得：购买 型篮球的个数为 个，
则 ，
即 ，
，
，
则 关于 的函数关系式为 ；
（3） 购买 型篮球的数量不超过 型篮球数量的2倍，
，
解得 ，
又 ，
，
对于一次函数 ，
在 内， 随 的增大而增大，则当 时， 取得最小值，最小值为 ，
因此，在 内， ，
答：该校至少需要投入资金 元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识点，正确建立方程组和函数关系式是
解题关键．
2．某校决定购买一批羽毛球拍和足球，1副羽毛球拍和2个足球共需190元；2副羽毛球拍和3个足球共
需300元．
（1）求每副羽毛球拍和每个足球各需多少元？
（2）商场搞促销活动，若购买的足球个数超过10个，足球就给予九折优惠，学校打算购买羽毛球拍和足
球一共50件，设购买足球 个，总费用为 元，写出 关于 的函数关系式；
（3）在（2）的条件下学校要求购买的足球的数量不少于球拍副数的一半，本次如何购买，才能使总费用
最少？最少费用是多少元？
【答案】（1）每副羽毛球拍需30元，每个足球需80元；（2） ；（3）购买羽
毛球拍33个，足球17个，才能使总费用 最少，最少费用是2214元．
【分析】（1）设每副羽毛球拍需a元，每个足球需b元，再建立二元一次方程组，解方程组即可得；
（2）分 和 两种情况，结合（1）的结论，根据促销活动列出等式即可得；
（3）先求出x的取值范围，再根据一次函数的性质即可得．
【详解】（1）设每副羽毛球拍需a元，每个足球需b元，
由题意得： ，
解得 ，
答：每副羽毛球拍需30元，每个足球需80元；
（2）设购买足球 个，则购买羽毛球拍 个，
由题意，分以下两种情况：
①当 时， ，
②当 时， ，综上， 关于 的函数关系式为 ；
（3）由题意得： ，
解得 ，
为正整数，
的最小值为17，
，
，
由一次函数的性质可知，在 内， 随x的增大而增大，
则当 时， 取得最小值，最小值为 （元），
此时 ，
答：购买羽毛球拍33个，足球17个，才能使总费用 最少，最少费用是2214元．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用、一元一次不等式的实际应用、二元一次方程组的应用，依据题
意，正确建立一次函数和方程组是解题关键．
【考点二 利用一次函数解决最大利润问题】
例题：（2023下·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）某网店直接从工厂购进A、B两款自拍杆，进货价和销售
价如表：
类别 A款自拍杆 B款自拍杆
进货价（元/个） 30 25
销售价（元/个） 45 37
(1)网店第一次用850元购进A、B两款自拍杆共30个，求这两款自拍杆分别购进多少个？
(2)第一次购进的自拍杆售完后，该网店计划再次购进A、B两款自拍杆共80个（进货价和销售价都不变），
且进货总价不高于2200元．如何购进A、B两款自拍杆，才能使所获得的销售利润最大？最大利润值为多
少？
【答案】(1)网店第一次购进20个A款自拍杆，10个B款自拍杆
(2)A、B两款自拍杆各购进40个时，销售利润最大，最大利润为1080元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系
式．
（1）设网店第一次购进x个A款自拍杆，y个B款自拍杆，利用总价=单价×数量，结合网店第一次用850
元购进A、B两款自拍杆共30个，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m个A款自拍杆，则购进 个B款自拍杆，利用总价=单价×数量，结合总价不超过
2200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设再次购进A、B两款自拍杆的销
售利润为w元，利用总利润=每个的销售利润×销售数量（购进数量），可得出w关于m的函数关系式，再
利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设网店第一次购进x个A款自拍杆，y个B款自拍杆，
根据题意得： ，
解得： ．
答：网店第一次购进20个A款自拍杆，10个B款自拍杆；
（2）解：设购进m个A款自拍杆，则购进 个B款自拍杆，
根据题意得：
解得： ，
设再次购进A、B两款自拍杆的销售利润为w元，
则 ，
即 ．
∵ ，
∴w随m的增大而增大，
∴当 时，w取得最大值， ，
．
答：A、B两款自拍杆各购进40个时，销售利润最大，最大利润为1080元．
【变式训练】
1．某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：水果单价 甲 乙
进价（元/千克）
售价（元/千克） 20 25
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
(1)求甲、乙两种水果的进价；
(2)若该超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，若全部卖完所
购进的这两种水果，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)甲水果的进价是16元/千克，乙水果的进价是20元/千克
(2)购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元
【分析】（1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解
之即可；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果 千克，利润为y，列出y关于m的表达式，根据甲种水
果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m的范围，再利用一次函数的性质求出最大值．
【详解】（1）解：由题意可知：
，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，且符合题意，
，
甲水果的进价是16元/千克，乙水果的进价是20元/千克；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果 千克，利润为y元，
由题意可知：
甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，
，
解得： ，即 ，
在 中， ，则y随m的增大而减小，当 时，y最大，且为 （元），
购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元．
【点睛】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式．
2．夏季来临，某商场准备购进甲、乙两种空调，其中甲种空调比乙种空调进价每台少500元，用40000元
购进甲种空调数量与用50000元购进乙种空调数量相同．该商场计划一次性从空调生产厂家购进甲、乙两
种空调共100台，其中乙种空调的数量不超过甲种空调的2倍．若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每
台售价3000元．请解答下列问题：
(1)求甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元？
(2)设购进甲种空调x台，100台空调的销售总利润为y元，求出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值
范围；
(3)该商店购进甲、乙两种空调各多少台才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)甲、乙两种空调每台的进价分别是2000元和2500元
(2) ， ，且x为整数
(3)商店购进甲种空调34台，乙种空调66台，才能使总利润最大，最大利润是46600元
【分析】（1）设甲种空调每台的进价m元，则乙种空调每台的进价（ ）元，根据“用40000元购
进甲种空调数量与用50000元购进乙种空调数量相同”列分式方程求解即可；
（2）直接根据题意列出函数关系式，再根据“从空调生产厂家购进甲、乙两种空调共100台，其中乙种空
调的数量不超过甲种空调的2倍”求取值范围；
（3）根据一次函数的性质作答即可．
【详解】（1）解：设甲种空调每台的进价m元，则乙种空调每台的进价（ ）元，
由题意得： ，
解得 ，
经检验 是原分式方程的解，
∴ ，
答：甲、乙两种空调每台的进价分别是2000元和2500元．
（2）解：根据题意，y与x之间的函数关系式为：
，
∵乙种空调的数量不超过甲种空调的2倍，
∴ ，解得 ，
又∵ ，
∴自变量 x的取值范围是 ，且x为整数．
（3）解：在 中，
∵ ，
∴y随x的增大而减小，
又∵ ，且x为整数
∴ 时，y取得最大值，最大值为 ，
此时 ，
答：商店购进甲种空调34台，乙种空调66台，才能使总利润最大，最大利润是46600元．
【点睛】本题考查了列分式方程求解，列一次函数关系式，求自变量取值范围，一次函数的性质，熟练掌
握一次函数的性质是解题的关键．
【考点三 利用一次函数解决行程问题】
例题：（2024上·山西太原·八年级统考期末）某校组织八年级学生进行研学活动，他们沿着同样的路线从
学校出发步行前往科技馆．甲班比乙班先出发5分钟，如图线段 表示甲班离开学校的路程 （米）与
甲班步行时间 （分）的函数图像；折线 表示乙班离开学校的路程 （米）与甲班步行
时间 （分）的函数图像，图中 轴， 与 相交于点 ．请根据图像解答下列问题：
(1)学校到科技馆的路程为______米；线段 对应的函数表达式为______（ ）；
(2)求线段 对应的函数表达式（不必写自变量的取值范围）；
(3)图像中线段 与线段 的交点 的坐标为______，点 坐标表示的实际意义是_________．【答案】(1)3600；
(2)
(3) ；当甲班步行20分钟时，乙班追上甲班，他们离开学校的路程为1440米
【分析】本题考查函数综合，涉及从函数图像中得到信息、待定系数法确定函数关系式、函数图像交点求
法及其实际意义，熟练掌握待定系数法确定函数关系式是解决问题的关键．
（1）由线段 表示甲班离开学校的路程 （米）与甲班步行时间 （分）的函数图像即可得到答案；利
用待定系数法将 代入 确定函数关系式即可得到答案；
（2）根据题意，数形结合，得到 、 ，利用待定系数法将 、 代入
确定函数关系式即可得到答案；
（3）由（1），（2）所得函数表达式，联立方程组求解即可得到点 的坐标，从而根据函数图像交点的
实际意义即可得到答案．
【详解】（1）解：由线段 表示甲班离开学校的路程 （米）与甲班步行时间 （分）的函数图像可知，
学校到科技馆的路程为3600米；
设线段 的函数关系式为 ，
将 代入 得 ，
解得 ，
线段 对应的函数表达式为
故答案为：3600； ；
（2）解： 甲班比乙班先出发5分钟，
，
设线段 对应的函数表达式为 ，
将 、 代入 得 ，解得 ，
线段 对应的函数表达式为 ；
（3）解：联立 ，
解得 ，
图像中线段 与线段 的交点 的坐标为 ，点 坐标表示的实际意义是当甲班步行20分钟
时，乙班追上甲班，他们离开学校的路程为1440米，
故答案为： ；当甲班步行20分钟时，乙班追上甲班，他们离开学校的路程为1440米．
【变式训练】
1．（2024上·四川达州·八年级校考期末）一辆客车与一辆出租车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行．
设客车离甲地的距离为 千米，出租车离甲地的距离为 千米，两车行驶的时间为 小时， 、 关于
的函数图像如图所示：
(1)根据图像，直接写出 、 关于 的函数图像关系式；
(2)试计算：何时两车相距300千米？
【答案】(1) ，
(2) 或
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识，正确求出两函数解析式是解题关
键．（1）直接运用待定系数法就可以求出 、 关于 的函数图像关系式即可；
（2）分为两种情况：在相遇前， ；当两车相遇后， ，然后求解即可．
【详解】（1）解：设 ，将点 代入，
可得 ，解得 ，
∴ ；
设 ，将点 ， 代入，
可得 ，解得 ，
∴ ；
（2）①两车相遇前，可有 ，
即
解得 ；
②两车相遇后，可有 ，
即 ，
解得 ．
答：两车行驶 或 时两车相距300千米．
2．（2023上·山东青岛·八年级统考期中）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向 的
出行市场，现有 两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费 （元）与骑行时间 之间的
对应关系，其中 品牌收费方式对应 ， 品牌的收费方式对应 ，且超过十分钟时，对应的函数关系式是 ，请根据相关信息，解答下列问题：
(1)求出图中函数 ， 的图象交点 的坐标；
(2)求 关于 的函数解析式；
(3)①如果小明每天早上需要骑行 品牌或 品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的
平均行驶速度均为 ，小明家到工厂的距离为 ，那么小明选择___________品牌共享电动车更
省钱．（填“ ”或“ ”）
②当 为何值时，两种品牌共享电动车收费相差 元？
【答案】(1)点 的坐标为
(2) 关于 的函数解析式为
(3)① ；②当 为 或 时，两种品牌共享电动车收费相差 元
【分析】本题主要考查一次函数与行程问题的综合，掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的
性质是解题的关键．
（1）根据两条函数图象的交点的纵坐标为 ，代入函数解析式 中计算即可；
（2）运用待定系数法求解析式即可；
（3）①根据行程问题算出骑行的时间，分别算出两种品牌的费用即可求解；②分两种情况讨论，第一种
情况， ；第二种情况， ；由此即可求解．
【详解】（1）解：∵函数 ， 的图象交点 ，且点 的纵坐标为 ， 品牌的收费方式对应 ，且超
过十分钟时，对应的函数关系式是 ，∴ ，解得， ，
∴点 的坐标为 ．
（2）解：函数 经过点 ， ，
∴设 ，
∴ ，解得， ，
∴ ，
∴ 关于 的函数解析式为 ．
（3）解：① ，平均行驶速度均为 ，
∴行驶时间为 ，即 ，
∴骑行 品牌的费用 （元）；
骑行 品牌共享电动车，且 ，
∴费用 （元）；
∵ ，
∴小明选择骑行 品牌共享电动车，
故答案为： ；
②第一种情况， ，
∴ ，解得， ；
第二种情况， ，
∴ ，解得， ；
∴当 为 或 时，两种品牌共享电动车收费相差 元．
【考点四 利用一次函数解决几何问题】例题：如图，在平面直角坐标系中， 轴， 轴，且 ， ，
，动点 从点 出发，以每秒 的速度，沿 路线向点 运动；动点 从点 出发，以每秒
的速度，沿 路线向点 运动.若 ， 两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止.
(1)直接写出 ， ， 三个点的坐标；
(2)当 ， 两点出发 时，求 的面积；
(3)设两点运动的时间为 ，用含 的式子表示运动过程中 的面积；
(4)在点 ， 运动过程中，点 被包含在 区域 包含边界 的时长是______
【答案】(1) ， ，
(2) 的面积为
(3)
(4)
【分析】（1）根据坐标与图形性质求出 三个点的坐标；
（2）根据三角形的面积公式计算即可；
（3）分 ， 两种情况，根据三角形的面积公式、梯形的面积公式计算，得到答案；
（4）计算边界点：当 在 上时，计算 ，通过画图发现，在 时，点 被包含在 区
域 包含边界 ，从而可计算其时长．
【详解】（1）解： 轴， 轴， ， ， ，， ， ．
故答案为： ， ， ；
（2）当 两点出发 时，如图1， ， ，
点 在线段 上，
的面积 cm2；
（3）分两种情况：
①当 时， 在线段 上， 在 上，如图 ，
由题意得： ，
则 ；
②当 时， 在线段 上， 在 上，如图 ，
过点 作 轴交 的延长线于 ，
由题意得：
， ， ， ，
，则
；
综上所述， ；
（4）①如图 ，点 在 上，过点 作 于 ，过 作 于 ，交 于 ，
，
，
，
，
，
≌ （SAS），
，
，
；
如图 ，当 与 重合时，点 仍在 的内部；，
在点 运动过程中，点 被包含在 区域 包含边界 的时长是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，几何动点问题，三角形的面积，线段三角形全等的判定与性质，
从动态问题中得出一次函数的表达式等知识，是综合题，有一定的难度，灵活运用分情况讨论思想是解题
的关键．
【变式训练】
1．（2023上·内蒙古包头·八年级包头市第二十九中学校考期中）等边三角形 的位置如图所示，等边
三角形的边长为2．
(1)求 点的坐标；
(2)直线 过点 ，求该直线的表达式；
(3)在 轴上找一点 ，使得三角形 为等腰三角形，直接写出点 的坐标；
(4)在（2）的条件下，直线 与 轴交于点 ，在该直线上找一点 ，使得三角形 的面积为 ．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或 或
(4) 或
【分析】（1）由题意得， ，则 ，故 ，即可求解；
（2）将点 的坐标代入函数表达式，可得 ，即可求解；
（3）当 时，则 ，即可求解；当 或 时，同理可解；
（4）首先确定 点坐标，由三角形 的面积 ，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得， 为等边三角形，且边长为2，
∴ ， ，
∴ ，
过点 作 轴于点 ，
则 ， ，
∴ ，
则点 ，即点 的坐标分别为： ， ；
（2）将点 的坐标 代入函数表达式 ，
可得 ，
则 ，
则该一次函数的表达式为 ；
（3）设点 ，
由点 的坐标得 ， ， ，
当 时，则有 ，
解得 ，则点 ；
当 时，可有 ，
解得 （舍去）或 ；
当 时，可有 ，
解得 ．
综上所述，点 的坐标为： 或 或 或 ；
（4）对于直线 ，
令 ，即有 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，则三角形 的面积 ，
则 ，
将当 时，将其代入 ，
可得 ，解得 ，
将当 时，将其代入 ，
可得 ，解得 ，
即点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、待定系数法则求一次函数解析式、一次函数的图像与性质、等边三
角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题的关
键．
【考点五 利用一次函数解决其他问题】
例题：（2023·河南周口·模拟预测）某小区拟对地下车库进行喷涂规划，每个燃油车位的占地面积比每个
新能源车位的占地面积多5平方米，喷涂燃油车位每平方米的费用为20元，喷涂新能源车位每平方米的费
用为40元（含充电桩喷涂）．已知用150平方米建燃油车位的个数恰好是用120平方米建新能源车位个数
的 ．
(1)求每个燃油车位，新能源车位占地面积各为多少平方米？
(2)该小区拟混建燃油车位和新能源车位共200个，且新能源车位的数量不少于燃油车位数量的3倍．规划
燃油车位，新能源车位各多少个，才能使喷涂总费用最少？费用最少为多少？【答案】(1)每个燃油车位占地面积为 平方米，每个新能源车位占地面积为 平方米；
(2)建燃油车位 个，新能源车位 个，才能使喷涂总费用最少，费用最少为 元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确理解题意是解题关
键．
（1）设每个燃油车位占地面积为 平方米，则每个新能源车位占地面积为 平方米，根据“用150平
方米建燃油车位的个数恰好是用120平方米建新能源车位个数的 ”列分式方程求解即可；
（2）设建燃油车位 个，则建新能源车位 个，根据题意列一元一次不等式，求出 的取值范围，
设喷涂总费用为 ，根据题意列一次函数，再根据一次函数的性质求出最值即可．
【详解】（1）解：设每个燃油车位占地面积为 平方米，则每个新能源车位占地面积为 平方米，
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原分式方程的解，
，
答：每个燃油车位占地面积为 平方米，每个新能源车位占地面积为 平方米；
（2）解：设建燃油车位 个，则建新能源车位 个，
由题意得： ，
解得： ，
设喷涂总费用为 ，
则 ，
，
随 的增大而减小，
当 时， 有最小值，最小值为 ，
即建燃油车位 个，新能源车位 个，才能使喷涂总费用最少，费用最少为 元．
【变式训练】
1．（2024·陕西西安·一模）如图是小明“探究拉力 与斜面高度 关系”的实验装置，A、B是水平面上两个固定的点，用弹簧测力计拉着适当大小的木块分别沿倾斜程度不同的斜面 （斜面足够长）斜向上做
匀速直线运动，实验结果如图1、图2所示．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力 是高度 的
一次函数．
(1)求出 与 之间的函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围）
(2)若弹簧测力计的最大量程是 ，求装置高度 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 与 之间的函数表达式为 ，点 代入计算即可．
（2）根据一次函数的性质，列出不等式解答即可，本题考查了待定系数法，一次函数的性质，熟练掌握
待定系数法，一次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）设 与 之间的函数表达式为 ，
将点 代入得：
解得：
所以 与 之间的函数表达式为 ．
（2）当 时， ，
解得 ，
所以 ．2．（2023·河南信阳·三模）随着电子信息产业的迅猛发展，智能手机已经走入普通百姓家，也影响着人们
的生活．随着其功能的不断增加，致使手机电量的使用时间不断下降，手机充电问题便进入了大家的视线，
手机电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h）
某位助农达人在直播期间，两部相同的手机电池电量都剩余 ，为了不耽误助农直播卖农产品（建议充
电时，不玩手机、避免手机高温）；第二部手机在15分钟后电量剩余 时开始充电，已知两部手机的
电量E与充电时间t的函数图象如下：
(1)求出线段 对应的函数表达式．
(2)第一部手机充电时长为多少时，第二部手机电量超过了第一部的手机电量？
【答案】(1)
(2)当 时，第二部手机电量超过了第一部的手机电量
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出线段 对应的函数表达式为 ，根据 ，得出 ，求出t的范围
即可．
【详解】（1）解：设线段 对应的函数表达式为 ，
把 代入得，
，解得： ，
线段 对应的函数表达式为 ；
（2）设线段 对应的函数表达式为 ，
把 代入得，
，
解得： ，
线段 对应的函数表达式为 ，
当 时， ，解得 ，
当 时，第二部手机电量超过了第一部的手机电量．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，涉及利用待定系数法求一次函数的解析式，利用不等式或图象比
较大小的具体知识；做题的关键是从图象中读取信息，分析图象、将实际问题转化为函数问题．
【过关检测】
一、单选题
1．（22-23八年级下·重庆巫溪·期中）如图，小刚骑电动车到单位上班，最初以某一速度匀速行进，由于
途中遇到火车挡道，停下等待放行，耽误了几分钟，小刚加快了速度，仍保持匀速，行进距离y（千米）
与行进时间t（小时）的函数图象的示意图（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了函数图象，首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况：时间t和运动的
路程y之间的关系采用排除法求解即可．
【详解】解：开始随着时间的增多，行进的路程也将增多；由于途中遇到火车挡道，停下等待放行，此时
时间在增多，行驶路程不变，因此排除B；后来加快了速度，仍保持匀速行进，此时行驶的路程随时间的
增多，行驶的路程也增多，且比开始时，路程增加的比开始要快，因此可以排除 ，故C正确．
故选：C．
2．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在菱形 中，点A的坐标为 ，点C的纵坐标
为2，直线 的表达式为 ，交y轴于点E，若 ，则菱形 的面积为（ ）
A．24 B．26 C．30 D．32
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理的应用，求得 和 的长
是解题的关键．
连接 交 与点 ，根据菱形的性质得出 直线 ，且 ， ，即可求得直线 的
解析式为 ，进而求得 的坐标，从而求得 的坐标以及 的长，把 的坐标代入 ，求
得 的值，即可求得 的坐标，根据勾股定理求得 ，根据 ，即可得到 ，然后根据菱
形的面积公式即可求得．
【详解】解：连接 交 于点 ，如图所示．在 中
令 ，得到 ，
，
令 ，得到 ，
，
，
，
，
四边形 是菱形，
直线 ，
，
过点C作 轴于点H，
，
，
设 的表达式为 ，
将 和 代入 得：
解得：
直线 的解析式为 ，
四边形 是菱形，
且 平分 ，Q为 的中点，
， ，
， ，
，
把 的坐标代入 得， ，解得 ，
直线 为 ，
，
，
， ，
，
，
，
菱形 的面积为 ，
故选：D．
3．（2024·山西晋城·二模）杆秤是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来测定物体
质量的简易衡器．如图1所示是兴趣小组自制的一个无刻度简易杆秤，其使用原理：将待测物挂于秤钩
处，提起提纽 ，在秤杆上移动金属秤锤 （质量为 ），当秤杆水平时，金属秤锤 所在的位置对
应的刻度就是待测物的质量（量程范围内）．为了给秤杆标上刻度，兴趣小组做了如下试验，用 （单位：
）表示待测物的质量， （单位： ）表示秤杆水平时秤锤 与提纽 之间的水平距离，则水平距离
与待测物质量 之间的关系如图2所示．根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．待测物的质量越大（量程范围内），秤杆水平时秤锤 与提纽 之间的水平距离越小
B．当待测物的质量 时，测得的距离 为
C．若秤锤C在水平距离 为 的位置，则秤杆在此处的刻度应为
D．若秤杆长为 ，则杆秤的最大称重质量为
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意，即可判断A不正确；由待测物体质量为 ，秤杆水平时
秤锤 与提纽 之间的水平距离 为 ，即可判断B正确；金属秤锤 移动到 为 ，则秤杆 处的
刻度应为 ，判断C错误；若 ，则待测物体的质量为 ，判断D错误，不符合题意．
【详解】解：根据题意，重物的质量越大，则金属秤锥 与提纽 的水平距离越大，故A正确，符合题意；
由图2可知，待测物体质量为 ，则秤杆水平时秤锤 与提纽 之间的水平距离 为 ，故B正确，符
合题意；
若金属秤锤 移动到 处时，测得距离 为 ，则秤杆 处的刻度应为 ，故C错误，不符
合题意；
若 ，则待测物体的质量为 ，故D错误，不符合题意；
故选：B．
二、填空题4．（2023·北京顺义·一模）某京郊民宿有二人间、三人间、四人间三种客房供游客住宿，某旅游团有25位
女士游客准备同时住这三种客房共8间，如果每间客房都要住满，请写出一种住宿方案 ；如果
二人间、三人间、四人间三种客房的收费标准分别为300元/间、360元/间、400元/间，则最优惠的住宿
方案是 ．
【答案】 二人间2间，三人间3间，四人间3间（答案不唯一）； 二人间3间，三人间1间，
四人间4间．
【分析】设二人间、三人间分别需要 间， 间，则四人间需要 间，则 ，
整理得： ，再利用方程的非负整数解可得答案；设住宿总费用为： 元，而 ，则
，再利用一次函数的性质解答即可．
【详解】解：设二人间、三人间分别需要 间， 间，则四人间需要 间，则
，
整理得： ，
∵ ， ， 都为非负整数，
∴当 时， ， ，
∴可行的住宿方案为：二人间2间，三人间3间，四人间3间；
设住宿总费用为： 元，而 ，则
，
∵ ，
∴当 最大， 有最小值，
∵ ， ， ， 都为非负整数，
∴ 时最大，
此时 ， ；
∴最佳住宿方案为：二人间3间，三人间1间，四人间4间．故答案为：二人间2间，三人间3间，四人间3间（答案不唯一）；二人间3间，三人间1间，四人间4间．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的整数解的应用，一次函数的应用，理解题意，构建方程与一次函数
是解本题的关键．
5．（2024·山东济南·一模）如图，甲、乙两人以相同的路线前往距离单位 的培训中心参加学习． 图
中 分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程 （千米） 随时间 （分）变化的函数图象，乙出发
后 分钟追上甲．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象求出甲、乙的速度，设乙出发后 钟追上甲，再根据
路程相等即可求解，读懂函数图象是解题的关键．
【详解】解：由图象可得，甲的速度为 ，
乙的速度为 ，
设乙出发后 钟追上甲，则 ，
解得 ，
故答案为： ．
6．（22-23八年级下·重庆巫溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交于
点A、B，点M是线段 的中点，点N是线段 的中点，P是x轴上一个动点，则 的值最小时
P点的坐标是 ．
【答案】【分析】本题考查了一次函数图像中的最短距离问题，正确作出图形找到相应的 点是求解的关键．先作
点M关于x的对称点 ，过点 作 轴于点 ， 交 轴与 ,此时 距离最短，根
据中点可求出 、 的坐标，先求出 、 坐标，再证得 是 的中位线，进而求出 的值，
可求出 点坐标，即可求解．
【详解】解：∵直线 与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴ ， ，
∵点M是线段 的中点，点N是线段 的中点，
∴ ，
作点M关于x的对称点 ，过点 作 轴于点 ，则 ， ，
∵ ，
∴N， 关于x轴对称，
∴ ,
则有 ，根据三角形三边关系有：
∴当 时， 取最小值，
此时 三点共线，如图中的 点，
∵ 为 中点，且 ,
∴ 是 的中位线，
∵
∴ ．故答案为： ．
三、解答题
7．（2024·四川成都·模拟预测）2024年世界园艺博览会将在成都举行，某社区决定采购甲、乙两种盆栽美
化环境，若购买20盆甲种盆栽和10盆乙种盆栽，则需要130元；若购买30盆甲种盆栽和20盆乙种盆栽，
则需要220元．
(1)甲、乙两种盆栽的单价各是多少元？
(2)若该社区联合附近社区购买甲、乙两种盆栽共1000盆，设购买m盆（ ）乙种盆栽，总费用
为W元，请你帮社区设计一种购买方案，使总花费最少，并求出最少费用．
【答案】(1)甲种盆栽的单价为4元，乙种盆栽的单价为5元；
(2)当购买甲种盆栽和乙种盆栽各500盆时，总花费最少，最少费用为4500元
【分析】
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，理解题意，正确列出方程以及函数关系式是解答的关
键．
（1）设甲种盆栽的单价为x元，乙种盆栽的单价为y元，直接根据题意列方程组求解即可；
（2）根据（1）中单价，由费用=单价×数量列函数关系式，利用一次函数性质求解即可．
【详解】（1）解：设甲种盆栽的单价为x元，乙种盆栽的单价为y元，
根据题意，得 ，解得 ，
答：甲种盆栽的单价为4元，乙种盆栽的单价为5元；
（2）解：根据题意，得 ，
∵ ， ，
∴W随m的增大而增大，
∴当 时，W有最小值，最小值为 ，
（盆），
答：当购买甲种盆栽和乙种盆栽各500盆时，总花费最少，最少费用为4500元．
8．（2024·陕西西安·二模）为了响应“节能环保”号召，某公司研发出一款新能源纯电动车，如图是某款
新能源电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量 （千瓦时）关于已行驶路程 （千米）的函数图象．(1)当 时，每千瓦时的电量新能源纯电动车能行驶的路程为 千米，则 ______；
(2)当 时，求 关于 的函数表达式，并计算当新能源汽车已行驶180千米时，消耗了多少电
量．
【答案】(1)
(2) 关于 的函数解析式是 ，当汽车已行驶 千米时，蓄电池的剩余电量 千瓦时
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据函数图象中的数据， 千瓦时的电量新能源纯电动车能行驶的路程为 千米，汽车已经行驶的路
程，求出 的值；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出当 时， 关于 的函数解析式，然后将 代入
求出相应的 值即可．
【详解】（1）由图象可得，
当 时， 千瓦时的电量新能源纯电动车能行驶的路程为 千米，汽车能行驶 千米耗电为：
（千瓦时），
；
故答案为： ．
（2）当 时，设 关于 的函数解析式为 ，
点 ， 在该函数图象上，
，
解得 ，
即当 时， 关于 的函数解析式是 ；当 时， ，
答： 关于 的函数解析式是 ，当汽车已行驶 千米时，蓄电池的剩余电量 千瓦时．
9．（2024·河南许昌·一模）为有效落实双减政策，切实做到减负提质，某学校在课外活动中增加了球类项
目．学校计划用1800元购买篮球，在购买时发现，每个篮球的售价可以打六折，打折后购买的篮球总数量
比打折前多10个．
(1)求打折前每个篮球的售价是多少元？
(2)由于学生的需求不同，该学校决定增购足球．学校决定购买篮球和足球共50个，每个足球原售价为100
元，在购买时打八折，且购买篮球的数量不超过总数量的一半，请问学校预算的1800元是否够用？如果够
用，请设计一种最节省的购买方案；如果不够用，请求出至少需要再添加多少元？
【答案】(1)打折前每个篮球的售价是120元
(2)不够用，该学校至少还需要再添加2000元
【分析】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用．
（1）设打折前每个篮球的售价是 元，根据打折后购买的篮球总数量比打折前多10个列出方程即可；
（2）根据题意列出总费用关于篮球个数的一次函数再求解即可．
【详解】（1）设打折前每个篮球的售价是 元，则打折后每个篮球的售价是 元，
由题意，得 ，解得
经检验， 是原方程的解，且符合题意
答：打折前每个篮球的售价是120元；
（2）设购买篮球 个，则购买足球 个
设购买50个篮球和足球的总费用为 元
由题意，得
随着 的增大而减小
又
当 时， 取得最小值，最小值为
学校预算的1800元不够用（元）
该学校至少还需要再添加2000元．
10．（2023·河南平顶山·模拟预测）铁棍山药是河南焦作的著名特产之一，其营养价值丰富．近年来，铁
棍山药制品越来越受到人们的喜爱．为了满足顾客需求，某电商平台决定购进A种（铁棍山药粉）和B种
（铁棍山药饮品）铁棍山药制品．两种铁棍山药制品的进货价和销售价如下表：
类别
A种铁棍山药制品 B种铁棍山药制品
价格
进货价（元/件） 60 50
销售价（元/件） 98 78
(1)第一次，该平台用5400元购进了A，B两种铁棍山药制品共100件，求两种铁棍山药制品各购进了多少
件？
(2)第二次，该平台根据第一次的销售情况，决定再次购进A，B两种铁棍山药制品120件（两种铁棍山药
制品的进货价不变），但A种铁棍山药制品的进货量不超过B种铁棍山药制品的 ，应如何设计进货方案
才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)购进A种铁棍山药制品40件，购进B种铁棍山药制品60件
(2)当购进A种铁棍山药制品30件，购进B种铁棍山药制品90件时，获得的利润最大，最大为3360元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用：
（1）设购进A种铁棍山药制品 件，购进B种铁棍山药制品 件，根据等量关系列出方程，并解方程即可
求解；
（2）设第二次购进A种铁棍山药制品 件，获得的利润为 元，则第二次购进B种铁棍山药制品
件，根据不等关系列出不等式，并求得 ，则 ，根据一次函数的性质得，当
时， 有最大值，代入 即可求解；
理清题意，根据等量关系列出方程及不等关系列出不等式是解题的关键．
【详解】（1）解：设购进A种铁棍山药制品 件，购进B种铁棍山药制品 件，
由题意得： ，解得： ，
答：购进A种铁棍山药制品40件，购进B种铁棍山药制品60件．
（2）设第二次购进A种铁棍山药制品 件，获得的利润为 元，则第二次购进B种铁棍山药制品
件，
依题意得： ，
解得： ，
，
，
随 的增大而增大，
当 时， 有最大值，最大为： ，
此时B种铁棍山药制品有： （件），
答：当购进A种铁棍山药制品30件，购进B种铁棍山药制品90件时，获得的利润最大，最大为3360元．
11．（2024·江苏南京·模拟预测）已知A、B两地间有C地，客车由A地驶向C地，货车由B地经过C地去
A地（客货车在A、C两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶.货车的速度是客车速度的 .如
图是客车、货车离C站的路程 ， 与行驶时间 的函数关系图象.
(1)货车的速度为___________；A、B两地间的路程为___________；
(2)求客车 与x的函数关系式并直接写出货车 与x的函数关系式.
(3)出发后经过___________两车间路程是70km？
【答案】(1)60，840；(2) ，
(3)5.5小时或6.5小时．
【分析】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
（1）根据函数图象中的数据，可以先计算出客车的速度，然后根据货车的速度是客车速度的 ，即可计
算出货车的速度，然后再根据图象中的数据，即可计算出 、 两地间的路程；
（2）根据函数图象中的数据，可以分别计算出客车 与 的函数关系式和货车 与 的函数关系式；
（3）根据题意可知，分两种情况，相遇前和相遇后相距 ，然后列出相应的方程求解即可．
【详解】（1）（1）由图象可得，
客车的速度： ，
则货车速度： ，
与 两地间路程为： ，
故答案为：60，840；
（2）设客车 与 的函数关系式是 ，
，
解得 ，
即客车 与 的函数关系式是 ；
当 时，设货车 与 的函数关系式是 ，
货车的速度为 ， ，
该函数过点 ， ，
，解得 ，
即当 时，货车 与 的函数关系式是 ；
，
当 时，设货车 与 的函数关系式是 ，
点 ， 在该函数图象上，
，
解得 ，
即当 时，货车 与 的函数关系式是 ；
由上可得，货车 与 的函数关系式是 ；
（3）当两车相遇前相距70千米时，
，
解得 ，
当两车相遇后相距70千米时，
，
解得 ，
综上所述，出发后经过5.5小时或6.5小时，两车相距70千米．
故答案为：5.5小时或6.5小时．
12．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交A、
B两点，与直线y 相交于点 ．(1)求m和b的值；
(2)若直线 与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设
点P的运动时间为t秒．
①若点P在线段 上，且 的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使 为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)① ；②存在t的值，使 为等腰三角形，t的值为4或 或 或8
【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题
的关键．
（1）将点 代入 ，求出 的值，再代入 中求出 即可；
（2）①利用面积公式列出方程进行求解即可；②三种情况：当 时；当 时；当 时；
分别求出t的值即可．
【详解】（1）在 中，当 时， ；
当 时， ；
∴ ；
∵点C在直线 上，
∴ ，
又∵点 也在直线 上，
∴ ，
解得： ；（2）①在 中，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
设 ，则 ，过C作 于E，如图1所示：
则 ，
∵ 的面积为10，
∴ ，
解得： ；
②存在，理由如下：
过C作 于E，如图1所示：
则 ，
∴ ，
∴ ；
a、当 时， ，
∴ ，
∴ ；
b、当 时，如图2所示：则 ，
∴ ， ，
∴ ，或 ；
c、当 时，如图3所示：
设 ，则 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴P与E重合， ，
∴ ，
∴ ；
t的值为4或 或 或8．
13．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为 （如图1），
经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量 （单位： ）与充电时间 （单位：
）的函数图象分别为图2中的线段 ．根据以上信息，回答下列问题：
(1)求线段 对应的函数表达式：
(2)先用普通充电器充电 后，感觉充电较慢，再改为快速充电器充满电，一共用时 ，通过计算在图2中画出电量 （单位： ）与充电时间 （单位： ）的函数图象，并标注出 所对应的值．
【答案】(1)
(2) ，函数图象见解析
【分析】
本题考查了一次函数的应用：
（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）如图，折线 即为所求作的图形，其中 ，设线段AB的函数表达式为 ，利用
待定系数法得到线段AB的函数表达式为： ，设线段 的函数表达式为 ，利用待定
系数法得到线段 的函数表达式为： ，联立 即可求解.
【详解】（1）解：设线段 的函数表达式为
将 ， 代入 ，即 ，
解得 ，
∴线段 的函数表达式为 ．
（2）解：如图，折线 即为所求作的图形，其中 ；
设线段 的函数表达式为 ，将 ， 代入 ，解得 ，
∴线段 的函数表达式为： ，
∵ ，
∴设线段 的函数表达式为 ，将 代入 ，得： ，
解得 ，
∴线段 的函数表达式为： ，
联立
解得
∴ ．
14．（2024·吉林四平·模拟预测）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始
终以 的速度在离地面 高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P
的正下方．2号机从原点O处沿函数关系式为 的射线 方向爬升，到 高的A处便立刻转为水平
飞行，再过 到达B处开始沿直线 降落，要求 后到达高度为 的点C处．
(1)求2号机的爬升速度；
(2)求 的h关于s的函数关系式，并预计2号机着陆点的坐标；
(3)通过计算说明两机距离 不超过 的时长是多少．
【答案】(1)
(2)(3)两机距离PQ不超过3km的时长是
【分析】
本题考查了勾股定理，一次函数的应用及待定系数法求一次函数解析式，正确从图象中获取信息是解题的
关键．
（1）根据题意，得出点A的坐标，进而得出 ，再除以所用时间，即可求出速度；
（2）根据题意得出点B和点C的的坐标，再利用待定系数法求出h关于s的函数关系式，令 ，求出
的值即可；
（3）分别求出三段图象中两机距离不超过 的飞行的水平距离，再除以1号飞机的飞行速度，即可得
到答案．
【详解】（1）解：（1）∵2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方，
∴1号飞机和2号飞机在水平方向上通过相等的距离所用时间相等，
∵ ，
∴当 时， ，
∴点A的坐标为 ，
∴2号飞机从点O到点A飞行的距离为 ，
∵所用的时间为 .
∴2号机的爬升速度为 ；
（2）解：根据题意，得点B的横坐标为 ，点C的横坐标为 ，
∴点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，
设 的h关于s的函数关系式为 （k，b为常数，且 ），
将 和 分别代入 ，
得 ，解得 ，
∴ 的h关于s的函数关系式为 ，
当 时，得 ，
解得 ，
∴预计2号机着陆点的坐标为 ；
（3）解：当 时，当两机距离 时，得 ，解得 ；
当 时，当两机距离 时，
得 ，解得 ，
根据函数图象，当 时，两机距离 不超过 ，
．
