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专题 19.5 一次函数的应用【十大题型】
【人教版】
【题型1 行程问题】..................................................................................................................................................1
【题型2 工程问题】..................................................................................................................................................8
【题型3 调运问题】................................................................................................................................................13
【题型4 计时问题】................................................................................................................................................18
【题型5 分配问题】................................................................................................................................................24
【题型6 体积问题】................................................................................................................................................29
【题型7 最大利润问题】........................................................................................................................................35
【题型8 分段计费问题】........................................................................................................................................40
【题型9 方案设计问题】........................................................................................................................................44
【题型10 现实生活相关问题】................................................................................................................................50
知识点1：一次函数的应用
判断等量关系为 （1）函数图象是直线（或直线的一部分）；
一次函数的情况
（2）用表格呈现数据时：当自变量的变化值均匀时，函数的变化值也是均
匀的，而且当自变量的变化值为1时，函数的变化值就是自变量的系数 ；
（3）用语言呈现数据时：当自变量每变化1个单位时，因变量就相应变化
个单位
常见类型 （1）最优方案或方案选择问题：常通过比价函数值的大小关系确定方案；
（2）利润最大或费用最少问题：通过函数增减性确定最值.
注意：根据实际情况确定变量的取值范围
【题型1 行程问题】
【例1】（24-25八年级·四川南充·期末）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发
向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示
轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：(1)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？
(2)求线段CD对应的函数解析式．
(3)求货车从甲地出发后多长时间与轿车相遇．
【答案】(1)30千米
(2)y=110x−195 (2.5≤x≤4.5)
(3)3.9小时
【分析】本题考查一元一次函数的图象和应用，求出函数的解析式是解题的关键，
（1）先求出货车图象的解析式，根据图象得到轿车到达乙地的时间，代入函数的解析式可求出货车此时
距甲地的时间，即可求得答案；
（2）根据待定系数法进行求解即可；
（3）根据相遇时两车与甲地距离相等建立方程，即可求出答案．
【详解】（1）解：设货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系为y=kx，
根据题意得300=5k，
解得k=60，
∴y=60x，
根据图象可得轿车到达乙地时x=4.5，
此时货车距甲地的距离y=60×4.5=270千米，
∴货车距乙地300−270=30千米；
（2）解：设线段CD对应的函数解析式为：y=nx+b，
{80=2.5n+b
)
根据题意得 ，
300=4.5n+b
解方程组得n=110，b=−195，
∴线段CD对应的函数解析式为y=110x−195 (2.5≤x≤4.5)；（3）当货车与轿车距甲地的距离相等时，两车相遇，
故60x=110x−195，
解得x=3.9小时．
【变式1-1】（24-25八年级·甘肃武威·期末）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度
匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度速返回，直
至与货车相遇时停止．已知货车的速度为60千米/小时，两车之间的距离（千米）与货车行驶时间x（小
时）之间的函数图象如图所示
(1)求点B的坐标；
(2)求快递车返回的过程中y（千米）与x（小时）之间的函数关系式；
(3)当两车之间的距离是50千米时，直接写出x的值．
(15 )
【答案】(1) ,75
4
1275 1
(2)y=−150x+ （3≤x≤4 ）
2 4
5 47
(3)x= 或
4 12
【分析】本题主要考查从图像中获取信息和一次函数的性质，
(1)根据题意知，点B横坐标代表快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，纵坐标代表货车正
在向乙地行驶，此时两车的距离减少为货车所行驶的距离；
(2)设快递车返回的过程中y（千米）与x（小时）之间的函数关系式y=kx+b，利用待定系数法求解即
可；
(3)利用待定系数法求得快递车前往乙地过程中函数关系式y=k x+b ，即直线OA的解析式，分当快递车
1 1
和货车前往乙地相距50千米时和当快递车前往乙地，且货车返回甲地相距50千米时各自的时间即可．
【详解】（1）解：根据题意知，点B代表快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，即横坐标45 15 45
为3+ = (h)，货车正在向乙地行驶，此时两车的距离减少为货车所行驶的距离60× =45(km)，此
60 4 60
时距甲地为120−45=75(km)，
(15 )
则点B ,75 ；
4
（2）解：设快递车返回的过程中y（千米）与x（小时）之间的函数关系式y=kx+b，则
15
{ 75= k+b)
4
，
1
0=4 k+b
4
{k=−150
)
解得 1275 ，
b=
2
1275
那么，快递车返回的过程中y（千米）与x（小时）之间的函数关系式y=−150x+ ；
2
（3）解：设快递车前往乙地过程中y（千米）与x（小时）之间的函数关系式y=k x+b ，即为直线OA
1 1
，则
{ 0=b )
1 ，
120=3k +b
1 1
{k =40)
解得 1 ，
b =0
1
那么，直线OA的解析式为：y=40x，
5
①当快递车和货车前往乙地相距50千米时，则40x=50，解得x= ；
4
1275 47
②当快递车前往乙地，且货车返回甲地相距50千米时，则−150x+ =50，解得x= ；
2 12
5 47
即当两车之间的距离是50千米时，x= 或 ．
4 12
【变式1-2】（24-25八年级·吉林长春·期末）如图（1），一条笔直的公路上有A、B、C三地，ACy ，
甲 乙
所以，确定若该小区粉刷面积约为600m2，则选择乙装饰公司进行施工更合算．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，根据题意得出相等关系
是解题的关键．
【变式2-3】（24-25八年级·安徽马鞍山·期末）某项工程由甲、乙两个工程队合作完成，先由甲队单独做3
天，剩下的工作由甲、乙两工程队合作完成，工程进度满足如图所示的函数关系：
（1）求出图象中②部分的解析式，并求出完成此项工程共需的天数；
（2）该工程共支付8万元，若按完成的工作量所占比例支付工资，甲工程队应得多少元？
1 1
【答案】（1）y= x− ，完成此工程共需9天；（2）6万元．
8 8
1 1
【分析】（1）设一次函数的解析式（合作部分）是y=kx+b,将（3， ），（5， ）代入，可求得函数解
4 2
析式，令y=1，即可求得完成此项工程一共需要多少天.
1 1 3
（2）根据甲的工作效率是 ，于是得到甲9天完成的工作量是9× = ，即可得到结论．
12 12 4
【详解】解：（1）设一次函数的解析式（合作部分）是y=kx+b（k≠0，k，b是常数）．
1 1
∵（3， ），（5， ）在图象上．
4 21
{ =3k+b)
4
代入得
1
=5k+b
2
1
{ k= )
8
解得：
1
b=−
8
1 1
∴一次函数的表达式为y= x- ．
8 8
1 1
当y=1时， x- =1，解得x=9，
8 8
∴完成此房屋装修共需9天；
1 1
（2）由图象知，甲的工作效率是 ÷3= ，
4 12
1 3
∴甲9天完成的工作量是：9× = ，
12 4
3
∴ ×8=6万元．
4
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，数学公式（工作效率=工作总量÷工
作时间）的灵活运用，能根据图象提供的数据进行计算是解此题的关键，题型较好．
【题型3 调运问题】
【例3】（24-25八年级·湖北武汉·期末）A市和B市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10
台和D市8台．已知从A市调运一台机器到C市和D市的运费分别为200元和400元；从B市调运一台机
器到C市和D市的运费分别为300元和250元．
(1)设A市运往D市机器x台，求总运费w关于x的函数关系式；
(2)若要求总运费不超过5000元，共有几种调运方案？
(3)求总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？
【答案】(1)W =250x+3800
(2)有三种调运方案
(3)总运费最低的调运方案是：B市运往C市0台，运往D市6台；A市运往C市10台，运往D市2台；最
低运费4300元
【分析】本题考查的是不等式的应用和用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定
最值．
（1）从A市运往D市机器x台，从A市往C市运送(12−x)台，从B市运往D市(8−x)台，那么从B市运
往C市6−(8−x)=x−2台，根据题中运费即可得到总运费w关于x的函数关系式；
（2）根据运费单价列出函数关系式，根据每次运出台数为非负数，列不等式组求x的范围．
（3）因为所求一次函数解析式中，一次项系数250>0,x越小，w越小，为使总运费最低，x应取最小值．
【详解】（1）解：设A市运往D市机器x台，
由题意可知：w=400x+250×(8−x)+200(12−x)+300×(x−2)，
化简得：w=250x+3800．
（2）由题意得250x+3800≤5000，
解得：x≤4.8，
又∵从B市运往C市6−(8−x)=x−2台，
∴x≥2，
综上，2≤x≤4.8，
∴x可取2，3，4．
∴有三种调运方案；
（3）∵从B市最多运6台，
∴2≤x≤6，且w随x的值增大而增大，
当x=2时，w的值最小，最小值w=250×2+3800=4300元．
此时的调运方案是：B市运往C市0台，运往D市6台；A市运往C市10台，运往D市2台．
【变式3-1】（24-25八年级·湖北武汉·期末）A城有肥料200吨，B城有肥料300吨．现要把这些肥料全部
运往C，D两乡，C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，其运往C，D两乡的运费如下表：
两乡两
C/（元/吨） D/（元/吨）
城
A 20 24
B 15 17
设从A城运往C乡的肥料为x吨，从A城运往两乡的总运费为y 元，从B城运往两乡的总运费为y 元．
1 2
(1)分别直接写出y ,y 与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
1 2
(2)当A城运往两乡的总运费不低于4200元时，怎样调运，才能使A,B两城运往两乡的总费用的和最小？
并求出最小值；
(3)因路况原因，从B城到C,D两乡的运费分别增加了m元/吨和2m元/吨(m>0)，A城运往两乡的总运费不低于4400元且不高于4600元，当A,B两城运往两乡的总费用的和的最小值为10960元时，请直接写出
m的值．
【答案】(1)① y =−4x+4800，②y =2x+4620
1 2
(2)A城运150吨肥料到C城，运50吨肥料到D城，B城运90吨肥料到C城，运210吨肥料到D城总费用
和最小，最小费用为9120元
(3)4
【分析】（1）根据所给的运费标准列出对应的函数关系式即可；
（2）先根据A城运往两乡的总运费不低于4200元，求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即
可 ；
（3）同理求出50≤x≤100，设调整之后的总费用为w′元，列出w′关于x的一次函数关系式，根据一次函
数的性质结合总费用的和的最小值为10960元进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，y =20x+24(200−x)=−4x+4800，
1
y =15(240−x)+17[260−(200−x))=2x+4620；
2
（2）解：依题意：−4x+4800≥4200，
解得：x≤150
设两城总费用和为w元，则w=−4x+4800+2x+4620=−2x+9420，
∵−2<0，
∴w随着x的增大而减小，
当x=150时，w =−2×150+9420=9120，
min
此时调运方案为：A城运150吨肥料到C城，运50吨肥料到D城；B城运90吨肥料到C城，运210吨肥
料到D城．
{−4x+4800≥4400)
（3）解：依题意， ，解得：50≤x≤100．
−4x+4800≤4600
设调整之后的总费用为w′元，则
w′=(−4x+4800)+(240−x)(15+m)+(x+60)(17+2m)=(m−2)x+360m+9420，
①若02（舍去）；
min 23
②若m=2时，则k=0，∴w′=10140≠10960（舍去）；
③若m>2时，k=m−2>0，w′随着x的增大而增大，当x=50时，w′ =50m−100+360m+9420=10960，解得：m=4>2．
min
综上所得：m的值是4．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出对应的
函数关系式是解题的关键．
【变式3-2】（24-25八年级·广东湛江·期末）北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可
支援外地10台，上海厂可支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台．如果从北京运往汉口、重庆的
运费分别是400元/台、800元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是300元/台、500元/台．求：
(1)若总运费为8400元，上海运往汉口应是多少台？
(2)若要求总运费不超过8200元，共有几种调运方案？
(3)求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少元？
【答案】(1)上海运往汉口应是4台
(2)共有4种调运方案
(3)总运费最低的调运方案为：上海运往重庆4台，北京运往汉口6台，运往重庆4台，最低总运费是7600
元
【分析】（1）设出未知数，分别表示出北京、上海运往汉口、重庆的计算机台数，列出方程即可解决问
题；
（2）结合（1），求出总运费y关于x的函数关系式，列出不等式即可解决问题；
（3）根据一次函数的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：设上海运往汉口x台，则：
北京运往汉口(6﹣x)台，北京运往重庆(4+x)台，上海运往重庆(4﹣x)台，
由题意得：300x+500（4﹣x）+400（6﹣x）+800（4+x）＝8400，
解得：x＝4，
答：上海运往汉口应是4台．
（2）解：设上海运往汉口x台，总运费为y元，由（1）知：总费用为：
y＝300x+500（4﹣x）+400（6﹣x）+800（4+x）
＝200x+7600
∵y≤8200，即200x+7600≤8200，
∴x≤3，而x≥0，
∴x＝0或1或2或3，即共有4种调运方案．
（3）解：∵y＝200x+7600，k＝200＞0，
∴y随x的增大而增大，
故当x＝0时y取最小值，
此时y＝7600，
答：总运费最低的调运方案为：上海运往重庆4台，北京运往汉口6台，运往重庆4台，最低总运费是
7600元．
【点睛】本题主要考查了一次函数在解决现实生活中调运问题方面的应用问题；解题的关键是准确把握题
意，找准命题中隐含的数量关系，列出函数或方程来分析、判断或解答．
【变式3-3】（24-25八年级·安徽合肥·期中）某超市鸡蛋供应紧张，需每天从外地调运鸡蛋600千克．超
市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出400千克，乙养殖场每天最多可调
出450千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表：
到超市的路程（千
运费（元/千克·千米）
米）
甲养殖场 90 0.05
乙养殖场 40 0.03
设从甲养殖场调运鸡蛋x千克，总运费为W元．
(1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为______，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示
为______；
(2)试写出W与x的函数关系式；
(3)请求出自变量取值范围，说明怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？
【答案】(1)4.5x元，(600−x)千克；
(2)W与x的函数关系式为W =3.3x+720；
(3)自变量取值范围为150≤x≤400，当从甲养殖场调运150斤鸡蛋，从乙养殖场调运450斤鸡蛋时，每天
的总运费最省，总运费最低是1215元．
【分析】（1）由题从甲养殖场调运鸡蛋x千克，则从乙养殖场调运鸡蛋(600−x)千克，表格列出到到甲养
殖场的费用单价，乘上数量和路程即可；
（2）总费用W等于甲的费用加上乙的费用，甲的费用第一问已经表示出来，乙的费用由乙的单价0.03乘
上乙的总路程和数量即可；
（3）W的表达式为一次函数，由一次函数的的增减性可以得到当x取得最小值时总运费W最小，再由“甲养殖场每天最多可调出400千克，乙养殖场每天最多可调出450千克”得到x的取值范围即可得到方案；
本题考查了一次函数实际问题，读懂题意，理清数量之间的关系是解题的关键．
【详解】（1）从甲养殖场调运鸡蛋x千克，则从乙养殖场调运鸡蛋(600−x)千克，
则从甲养殖场调运鸡蛋的运费为90x×0.05=4.5元，
故答案为：4.5x元，(600−x)千克；
（2）由题意得W =4.5x+(600−x)×40×0.03=4.5x+720−1.2x=3.3x+720，
∴ W与x的函数关系式为W =3.3x+720；
（3）由题意得，∵ 00，
∴ W随x的增大而增大，
∴当x=150时，W取得最小值，此时W =3.3×150+720=1215，
此时600−x=600−150=450，
答：当从甲养殖场调运150斤鸡蛋，从乙养殖场调运450斤鸡蛋时，每天的总运费最省，总运费最低是
1215元．
【题型4 计时问题】
【例4】（24-25八年级·山西晋中·期末）在“制作计时器”项目式学习中，小明利用古代漏壶原理制作如
下计时器模型：A是一个高为60cm的圆柱形玻璃容器，B是塑料制作的底托，C为轻质塑料标尺，将水
龙头调至匀速滴水，经过2小时标尺显示底托高度由0cm上升到12cm，其中标尺显示底托的高度y(cm)是
滴水时间x(小时)的正比例函数．
(1)求y与x的函数关系式．
(2)该装置最多可计时多长时间？
【答案】(1)y=6x(2)10小时
【分析】本题考查了一次函数的应用，正比例函数解析式．熟练掌握一次函数的应用，正比例函数解析式
是解题的关键．
（1）设y与x的函数关系式为y=kx，将x=2，y=12代入可求k=6，进而可得y与x的函数关系式；
（2）将y=60代入y=6x，计算求解即可．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为y=kx，
将x=2，y=12代入得，12=2k，
解得，k=6，
∴y与x的函数关系式为y=6x；
（2）解：将y=60代入y=6x得，60=6x，
解得，x=10，
∴该装置最多可计时10小时．
【变式4-1】（24-25八年级·四川成都·期末）漏刻是中国古代的一种计时工具．中国最早的漏刻出现在夏
朝时期，在宋朝时期，中国漏刻的发展达到了巅峰，其精确度和稳定性得到了极大的提高．漏刻的工作原
理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间．水从上面漏壶源源不断地补充给下面的漏壶，再均匀地流
入最下方的箭壶，使得壶中有刻度的小棍匀速升高，从而取得比较精确的时刻．某学习小组复制了一个漏
刻模型，研究中发现小棍露出的部分y（厘米）是时间x（分钟）的一次函数，且当时间x=0分钟时，
y=2厘米．表中是小明记录的部分数据，其中有一个y的值记录错误．
x（分 …
10 20 30 40
钟） …
y（厘 …
2.6 3.2 3.6 4.4
米） …
(1)你认为y的值记录错误的数据是________；
(2)利用正确的数据确定函数表达式；
(3)当小棍露出部分为8厘米时，对应的时间为多少?【答案】(1)3.6
3
(2)y= x+2
50
(3)对应的时间是100分钟．
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的性质、一次函数的应用等知识点，求出函数解析
式是关键．
（1）分析表格中数据即可得到结论；
（2）利用正确的数据，由待定系数法求函数解析式即可；
（3）把y=8代入（2）中解析式，求出x的值即可．
3.2−2.6 3 3.6−2.6 1 4.4−2.6 3
【详解】（1）解：∵ = , = , = ，
10 50 20 20 30 50
∴y的值记录错误的数据是3.6．
故答案为：3.6．
（2）解：设y=kx+b(k≠0)，
∵x=10，y=2.6，x=20，y=3.2，
{10k+b=2.6)
∴ ，
20k+b=3.2
{ k= 3 )
解得： 50 ，
b=2
3
∴y与x的解析式为y= x+2．
50
3
（3）解：将y=8代入函数解析式得： x+2=8，
50
解得x=100．
答：对应的时间是100分钟．
【变式4-2】（24-25八年级·广西贺州·期末）综合与实践：
【问题背景】沙漏又称“沙钟”，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器漏到另一个
容器的数量来计量时间．综合实践小组在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套
“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔
漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．
【实验操作】该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到表1．
问题1：建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间x，纵坐标表示精密电子称的读数y，描出以表
1中的数据为坐标的各点，
【建立模型】问题2：观察上述各点的分布规律，依次将各点连接起来，判断它们是否在同一条直线上，
如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式；如果不在同一条直线上，请说明理
由．
【结论应用】问题3：应用上述发现的规律估算：
（1）若漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为多少？
（2）若本次实验开始记录的时间是上午7：30，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？（时间为24时
制）
沉沙时间x（ℎ） 0 2 4 6 8
电子秤读数y 3
6 18 42 54
（克） 0
【答案】问题1：见解析；
问题2：在，y=6x+6；
问题3：（1）精密电子称的读数为60克；
（2）经过11小时的漏沙时间为18：30（或者下午6：30）
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，包括描点法画函数图像，待定系数法求解析式等知识，正
确求得函数自变量或函数值是解决本题的关键．
问题1：结合表1数据描出各点即可；
问题2：连线可得，这些点在同一线上，并且符合一次函数图像；设一次函数表达式为y=kx+b(k≠0)，
根据待定系数法求解即可；问题3：（1）根据函数表达式，令x=9，求解即可获得答案；（2）根据函数表达式，令y=72时，解得x
的值，然后结合起始时间是上午7：30即可获得答案．
【详解】解：问题1：如图所示；
问题2：如图所示，连线可得，这些点在同一线上，并且符合一次函数图像．
设一次函数表达式为：y=kx+b(k≠0)，
将点(0,6),(2,18)代入解析式中，
{ b=6 ) {a=6)
可得 ，解得 ，
2k+b=18 b=6
∴函数表达式为：y=6x+6；
问题3：（1）由任务2可知函数表达式为：y=6x+6，
∴当x=9时，y=60，
∴漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克；
（2）解：由任务2可知函数表达式为：y=6x+6，
∴当y=72时，x=11，
∵起始时间是上午7：30，
∴经过11小时的漏沙时间为18：30（或者下午6：30）．
【变式4-3】（24-25八年级·山东临沂·期末）刻漏是人类最早制造的不完全依赖天象、相对独立运行的计
时仪器．刻漏以水等液体（也有少数例外，如水银或沙等）为工作物质，根据流水的量与流逝时间的对应
关系，通过漏壶中的水量变化来度量时间的．我国使用刻漏的时间非常早，最早可追溯到中国历史上第一
个王朝—夏朝（大约公元前2070年），约在汉武帝时期发明了浮箭漏．如图所示为单级浮箭漏示意图．某
兴趣小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：【实验观察】实验小组通过观察，每1小时记录一次箭尺读数，得到如表：
供水时间x（小时） 0 1 2 3 4
2
箭尺读数y（厘米） 6 12 18 30
4
【探索发现】
（1）在所给的平面直角坐标系中，描出以供水时间x为横坐标，箭尺读数y为纵坐标的各点．
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所
对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
（3）供水时间达到10小时时，箭尺的读数为多少厘米？
（4）如果本次实验记录的开始时间是上午7:30，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为
100厘米）
【答案】（1）见解析；（2）在同一条直线上，y=6x+6；（3）66厘米；（4）22:30
【分析】（1）根据题意描出各点，即可；
（2）观察上述各点的分布规律，得它们在同一条直线上，再利用待定系数法解答，即可求解；
（3）把x=10代入函数解析式，即可求解；
（4）把y=96代入函数解析式，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意，画出图形，如图，（2）观察上述各点的分布规律，得它们在同一条直线上，
设这条直线所对应的函数表达式为y=kx+b，
{ b=6 )
根据题意得： ，
2k+b=18
{k=6)
解得： ，
b=6
∴这条直线所对应的函数表达式为y=6x+6；
（3）当x=10时，y=6×10+6=66，
∴供水时间达到10小时时，箭尺的读数为66厘米；
（4）当y=96时，6x+6=96，解得：x=15，
∴供水时间为15小时，
∵本次实验记录的开始时间是上午7:30，7.5+15=22.5，
∴当箭尺读数为96厘米时是22:30．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．
【题型5 分配问题】
【例5】（2024·河南商丘·模拟预测）随着自媒体的快速发展，出现了抖音等多种平台的直播带货销售模
式．某水果电商对甲、乙两种水果进行网上销售，若销售甲种水果10千克，乙种水果20千克，共收入
1180元；若销售甲种水果20千克，乙种水果10千克，共收入1520元．若顾客在限定时间内拍下甲种水果
超过40千克，则超过部分的价格打八折，乙种水果的销售价格不变，设电商销售甲种水果x千克，甲种水
果的销售额y（元）与x（千克）之间的函数关系如图所示．(1)求甲种水果打折前的销售单价和乙种水果的销售单价．
(2)求y与x之间的函数表达式．
(3)若电商计划在限定时间内销售甲、乙两种水果共120千克，且甲种水果不少于50千克，但又不超过80
千克，如何分配甲、乙两种水果的销售量，才能使电商的销售额达到最大？最大值是多少？
【答案】(1)甲种水果打折前的售价62元/千克，乙种水果的售价为28元/千克
y= { 62x(0≤x≤40) )
(2)
49.6x+496(x>40)
(3)销售甲种水果80千克，乙种水果40千克时销售额达到最大，最大值为5584元
【分析】本题主要考查了一次函数、二元一次方程组、一元一次不等式的应用，解题关键是根据自变量的
取值范围确定函数的解析式.
（1）设甲种水果打折前的售价m元/千克，乙种水果的售价为n元/千克，根据“销售甲种水果10千克， 乙
种水果20千克， 共收入1180元； 销售甲种水果20千克，乙种水果10千克，共收入1520元”列出方程
组，解方程组即可；
（2）分0≤x≤40和x>40两种情况列出y与x的函数解析式即可；
（3）设甲种水果销售a(50≤a≤80)千克，则乙种水果销售(120−a)千克，销售额为w元，根据总销售=销
售两种水果的销售额之和列出函数解析式，由函数的性质求函数最值.
【详解】（1）设甲种水果打折前的售价m元/千克，乙种水果的售价为n元/千克，
{10m+20n=1180)
则
20m+10n=1520
{m=62)
解得
n=28
答：甲种水果打折前的售价62元/千克，乙种水果的售价为28元/千克；
（2）当0≤x≤40时， y=62x；
当 x>40时，y=40×62+62×0.8(x−40)=49.6x+496；∴y与x之间的函数表达式为
y= { 62x(0≤x≤40) )
；
49.6x+496(x>40)
（3）设甲种水果销售a(50≤a≤80)千克，则乙种水果销售(120−a)千克，销售额为ω元，则
w=49.6a+496+28(120−a)=21.6a+3856，
∵21.6>0,50≤a≤80，
∴当a=80时， w有最大值， 最大值5584，此时120−80=40(千克)，
答：电商销售甲种水果80千克，乙种水果40千克时销售额达到最大，最大值为5584元.
【变式5-1】（24-25八年级·福建福州·期末）某校要购买A型和B型两种运动器材丰富学生的体育活动．
学校发现，如果买1套A型器材和2套B型器材要花费2600元；如果购买3套A型器材和1套B型器材要
花费2800元．
(1)求每套A型器材和每套B型器材售价各多少元？
(2)现在学校计划购买A型和B型两种运动器材共20套（A型和B型都需要购买）考虑到场地限制和学生使
用的需求，购买的A型器材数量不超过B型器材的3倍．那么学校应该如何分配A型和B型器材的购买数
量，才能使总费用最低？总费用最低是多少元？
【答案】(1)每套A型器材和每套B型器材售价分别为600元，1000元
(2)当购买A型器材15套，购买B型器材5套时，花费费用最少，为14000元
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用：
（1）设每套A型器材和每套B型器材售价分别为x元，y元，根据买1套A型器材和2套B型器材要花费
2600元；购买3套A型器材和1套B型器材要花费2800元，列出方程组进行求解即可；
（2）设购买A型器材m套，则购买B型器材(20−m)套，根据购买的A型器材数量不超过B型器材的3
倍，列出不等式，求出m的范围，设总费用为w元，列出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质，求
出最小值即可．
【详解】（1）解：设每套A型器材和每套B型器材售价分别为x元，y元，
{x+2y=2600) { x=600 )
由题意，得： ，解得： ；
3x+ y=2800 y=1000
答：每套A型器材和每套B型器材售价分别为600元，1000元．
（2）设购买A型器材m套，则购买B型器材(20−m)套，
由题意，得：m≤3(20−m)，
解得：m≤15，
设总费用为w元，则：w=600m+1000(20−m)=−400m+20000，∴w随着m的增大而减小，
∴当m=15时，w的值最小为：−400×15+20000=14000；
∴当购买A型器材15套，购买B型器材5套时，花费费用最少，为14000元．
【变式5-2】（24-25八年级·天津河东·期末）落实五育并举，加强劳动教育．某中学在当地政府的支持
下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：
甲种蔬菜成本为50元/m2．乙种蔬菜的种植成本与其种植面积之间的关系如下图所示．设乙种蔬菜种植成
本为y（元/m2），乙种蔬菜的植面积为x（m2）（其中200≤x≤700）．
(1)根据题意，填写下表：
种植面积x（m2） 200 400 500 600 700
乙种蔬菜种植成本y（元/m2） 20 ① ② 40 ③
(2)设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
【答案】(1)见解析
(2)当甲种蔬菜的种植面积为400m2，乙种蔬菜的种植面积为600m2时，W最小
1
【分析】（1）当200≤x≤600时，待定系数法求解析式为y= x+10，即
20
{ 1 x+10(200≤x≤600) )
y= 20 ，分别求当x=400时，当x=500时，当x=700时的y值，然后填表即可；
40(6000，
20
∴当x=400，W有最小值，最小值为42000，
∴1000−x=600；
当60010)
【分析】（1）（1）描点、连线，画出函数图象；
（2）由图象可知y与t近似成一次函数关系，根据点的坐标利用待定系数法即可求出该函数关系式；
（3）根据一个月30天、一天24小时、一小时60分钟，1分钟=60秒，可将一个月时间转化为秒，将其代
入（2）的函数关系式中可求出漏水的体积，再结合水的密度，即可得出结论．
【详解】解：（1）描点、连线，画出函数图象，如图所示：
（2）量筒中的水量V(ml)是时间t(s)的函数，
当0≤t≤10时，V =3t；
当t>10时．设V =kt+b，
{10k+b=30) {k=1.5)
则 ，解得 ，
30k+b=60 b=15
∴V =1.5t+15，
V = { 3t(0≤t≤10) )
∴ ；
1.5t+15(t>10)
（3）(1.5×30×24×60×60+15)÷1000000×3.6≈14（元)．
答：这个水龙头一个月(30天）要浪费14元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、函数图象、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的
坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征求出一个月的漏水量．
【变式6-2】（24-25八年级·贵州铜仁·期末）小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小
球进行了如下操作，请根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球量筒中水面升高 cm；
（2）直接写出放入小球后量筒中水面的高度y(cm)与放入小球个数x（个）之间的函数关系式（不需要写
出自变量的取值范围），并求出当x=6时y的值；
（3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？
【答案】（1）2 （2）y＝2x＋30；42 （3）10个
【分析】（1）根据中间量筒可知，放入一个小球后，量筒中的水面升高2cm；
（2）本题中关键是如何把图象信息转化为点的坐标，无球时水面高30cm，就是点（0，30）；3个球时水
面高为36，就是点（3，36），从而求出y与x的函数关系式；
（3）列不等式可求出量筒中小球的个数．
【详解】（1）由题意得6÷3=2cm
故答案为2；
（2）设水面的高度y与小球个数x的表达式为y=kx+b．
当量筒中没有小球时，水面高度为30cm；当量筒中有3个小球时，水面高度为36cm，
因此，（0，30），（3，36）满足函数表达式，
{ b=30 )
则 ，
3k+b=36
{k=2
)
解，得 ．
b=30
则所求表达式为y=2x+30；
当x=6时，得
y=2×6+30=42
故答案为y=2x+30；42；
（3）由题意，得2x+30>49，
解，得x>9.5．
故至少要放入10个小球．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，朴实而有新意，以乌鸦喝水的小故事为背景，以一次函数为模
型，综合考查同学们识图能力、处理信息能力、待定系数法以及函数所反映的对应与变化思想的应用．
【变式6-3】（2024·江苏扬州·中考真题）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆
柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙两
个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下
列问题：
（1）图2中折线ABC表示________槽中水的深度与注水时间的关系，线段DE表示_______槽中水的深度
与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点B的纵坐标表示的实际意义是
________________________________；
（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？
（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；
（4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，求甲槽底面积（壁厚不计）．（直接写出结果）
【答案】（1）乙，甲，铁块的高度为14cm（或乙槽中水的深度达到14cm时刚好淹没铁块，说出大意即
可）（2）注水2分钟时，甲、乙两水槽中水的深度相同．（3）铁块的体积为6×14=84cm3．（4）甲槽
底面积为60cm2．
【分析】（1）由图象可得乙槽中水的深度达到14cm时刚好淹没铁块；（2）用等待系数法求函数解析
式；（3）设乙槽底面积与铁块底面积之差为S，则(14−2)S=2×36×(19−14)，可解得S；（4）设甲
2s×(6−4) 2s×4
槽底面积为scm2，由题意得 − =8，可解得s.
19−14 14−2
【详解】解：（1）乙，甲，铁块的高度为14cm（或乙槽中水的深度达到14cm时刚好淹没铁块，说出大
意即可）
（2）设线段DE的函数关系式为y=k❑x+b❑，则
1 1¿ ∴ ¿
∴DE的函数关系式为y=−2x+12．
设线段AB的函数关系式为y=k❑x+b❑，则
2 2
¿ ∴ ¿
∴ AB的函数关系式为y=3x+2．
由题意得¿，解得¿．
∴注水2分钟时，甲、乙两水槽中水的深度相同．
（3）∵水由甲槽匀速注入乙槽，
∴乙槽前4分钟注入水的体积是后2分钟的2倍．
设乙槽底面积与铁块底面积之差为S，则
(14−2)S=2×36×(19−14)，解得S=30cm2．
∴铁块底面积为36−30=6cm2．
∴铁块的体积为6×14=84cm3．
（4）甲槽底面积为60cm2．
∵铁块的体积为112cm3，∴铁块底面积为112÷14=8cm2．
设甲槽底面积为scm2，则注水的速度为
12s
=2scm3/min
6
2s×(6−4) 2s×4
由题意得 − =8，解得s=60．
19−14 14−2
∴甲槽底面积为60cm2．
【题型7 最大利润问题】
【例7】（24-25八年级·福建福州·期末）随着信息化技术水平的进步，为进一步促进教育现代化与教育强
国．《中国教育现代化2035》进一步明确加快信息化时代教育变革，“着力构建基于信息技术的新型教育
教学模式、教育服务供给方式以及教育治理新模式．”为积极推广混合式教学、翻转课堂，大力推进智慧
教室建设，构建线上线下相结合的教学模式．某教育科技公司销售A，B两种多媒体教学设备，这两种多
媒体设备的进价与售价如表所示：
进价(万元/套) 售价(万元/套)
A 3 4
B 3.2 4.7该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体设备共20套，设购进A种多媒体设备x套，销售A，B两种多媒
体教学设备利润共y万元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若公司要求购进B种多媒体设备的数量不超过A种多媒体设备的4倍，当该公司把购进的两种多媒体设
备全部售出，求购进A种多媒体设备多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？
【答案】(1)y=−0.5x+30
(2)购进A种多媒体设备5套时，能获得最大利润，最大利润是27.5万元
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用；
（1）已知该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体设备共20套，设购进A种多媒体设备x套，可得购进
B种多媒体设备多少套，根据A，B两种多媒体教学设备利润=A种多媒体教学设备利润×购进A种多媒体
设备套数+B种多媒体教学设备利润×购进B种多媒体设备套数，可得y与x之间的函数关系式；
（2）根据公司要求购进B种多媒体设备的数量不超过A种多媒体设备的4倍，购进A，B两种多媒体设备
共20套，确定x的取值范围，可得购进A种多媒体设备多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万
元．
【详解】（1）解：由题意得，购进B种多媒体设备(20−x)套，
y=(4−3)x+(4.7−3.2)(20−x)=−0.5x+30；
（2）∵公司要求购进B种多媒体设备的数量不超过A种多媒体设备的4倍，
∴20−x≤4x，
解得：x≥5，
∵购进A，B两种多媒体设备共20套，
∴x<20，
∴5≤x<20，且x为整数，
∴x=5时，y取最大值为27.5，
答：购进A种多媒体设备5套时，能获得最大利润，最大利润是27.5万元．
【变式7-1】（24-25八年级·新疆阿克苏·期末）由于阿克苏独特的地理环境和气候条件，当地的核桃和红
枣品质都十分优良，而网络直播带货的发展，也为各种农产品的销售带来了巨大的市场．一商人为了推销
家乡的樱桃和红枣，在网上直播带货，他每天在家乡收购这两种干果共600千克，且当天全部售出．干果
成本和销售单价如表所示：
干
干果成本（元/千克） 销售单价（元/千克）
果核
18 33
桃
红
20 36
枣
设该商人每天进货核桃x千克，每天获得的利润为y元．
(1)求y关于x的函数解析式（不必写自变量x的取值范围）
(2)若该商人每天投入的总成本不超过11200元，应怎样安排核桃和红枣的进货量，可使该商人一天所获得
的利润最大？并求出最大利润和此时两种干果的进货量．
【答案】(1)y=−x+9600
(2)核桃每天进货400千克，红枣每天进货200千克，可使该天所获得的利润最大，最大利润9200元
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数的性质、一元一次不等式的应用等知识点．根据题意
正确的列等式和不等式是解题的关键．
（1）由题意可得：y=(33−18)x+(36−20)(600−x)，然后整理即可解答；
（2）由题意得，18x+20(600−x)≤11200，得到x的范围，然后根据一次函数的性质求利润的最大值以
及两种干果的进货量即可解答．
【详解】（1）解：根据题意得：y=(33−18)x+(36−20)(600−x)=−x+9600
∴y与x之间的函数关系式为y=−x+9600；
（2）解：∵该商人每天投入总成本不超过11200元，
∴18x+20(600−x)≤11200，
解得：x≥400，
∵y=−x+9600，k=−1<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=400时，y取得最大值，最大值为−400+9600=9200，
则600−x=200，
∴核桃每天进货400千克，红枣每天进货200千克，可使该天所获得的利润最大，最大利润9200元．
【变式7-2】（24-25八年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）某商店销售一种产品，该产品成本价为6元/件，售价
为10元/件，销售人员对该产品一个月（30天）销售情况记录绘成图象．如图中的折线ODE表示日销量y
（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，若线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少
5件．(1)第25天的日销量是________件，这天销售利润是________元．
(2)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
(3)求该产品这个月内日销售利润最大为多少元？
【答案】(1)145，580
{ y=10x(1≤x≤18) )
(2)
y=−5x+270(180，
∴w随x的增大而增大，
∴当x=80时，w值最大．
2
综上所述，当5≤m<12时，x=67获得利润最大；当m=12时，购进“神舟”模型数量在66 ≤x≤80内x
3
取任意整数值，均获得利润最大；当12a）收费．设一户居民月用水x/t，应交水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．
(1)求a的值；若某户居民上月用水8t，应交水费多少元？
(2)求b的值，并写出当x>10时，y与x之间的函数表达式；
(3)若某户居民八月份应缴水费29元，则该户居民八月份用水量是多少？
【答案】(1)a的值为1.5，某户居民上月用水8t，应交水费12元
(2)b=2，y=2x−5
(3)17t
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，从函数图像上获取信息，求出一次函数解析式是解题的关
键．
（1）先根据图像求出a的值，进而即可求解；
（2）根据图像求出b的值，即可求出一次函数解析式，
（3）把y=29代入一次函数解析式，求出对应自变量的值即可．
【详解】（1）解：由图像知用水量10t时应缴水费15元，
所以a=15÷10=1.5，
8a=8×1.5=12，
答：a的值为1.5，某户居民上月用水8t，应交水费12元；
（2）设(20−10)b+15=35，解得b=2，
当x>10时，y与x之间的函数表达式为y=2(x−10)+1.5×10，即y=2x−5；
（3）∵y=29>15，
∴x>10，
∴2x−5=29，
解得x=17，
答：该户居民八月份用水量是17t．
【变式8-1】（24-25八年级·陕西咸阳·期中）某出租车公司采用分段计费的方法来计算乘车费用，收费规
则为；行车距离不超过3km时，只收起步价8元；行车距离超过3km时，每增加1km，加收1.2元（不足
1km的按1km算）．
(1)当行车距离x(km)大于3km时，请写出乘车费用y（元）与行车距离x(km)之间的函数关系式；
(2)若乘车费用总计为29.6元时，请计算行车的最远距离．
【答案】(1)y=1.2x+4.4(x>3)
(2)此人行车的最远距离为21千米．
【分析】（1）由题意得：应付车费=起步价+超过3千米部分应付的钱，再列函数关系式即可；
（2）把y=29.6代入y=1.2x+4.4，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意可得：y=8+1.2(x−3)=1.2x+4.4(x>3)；
（2）∵29.6>8，
把y=29.6代入y=1.2x+4.4，
可得：1.2x+4.4=29.6，
解得：x=21
答：此人行车的最远距离为21千米．
【点睛】本题考查的是一次函数的实际应用，已知函数值求解自变量的值，理解题意，列出正确的函数关
系式是解本题的关键．
【变式8-2】（24-25八年级·四川成都·期末）我市一水果批发市场某商家批发苹果采取分段计价的方式，
其价格如下表：
购买苹果数x（千克） 不超过50千克的部分 超过50千克的部分
每千克价格（元） 10 8
（1）小刚购买苹果40千克，应付多少元？
（2）若小刚购买苹果x千克，用去了y元．分别写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x的关系式；
（3）计算出小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用少多少元？
【答案】（1）400元；（2）当0≤x≤50时，y与x的关系式是y＝10x，当x＞50时，y与x的关系式是y＝
8x+100；（3）少60元
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出小刚购买苹果40千克，应付多少元；
（2）根据表格中的数据，可以分别写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x的关系式；
（3）根据（2）中的函数关系式，可以求得两种情况下的花费，然后作差即可解答本题．
【详解】解：（1）由表格可得，
40×10＝400（元），
答：小刚购买苹果40千克，应付400元；
（2）由题意可得，
当0≤x≤50时，y与x的关系式是：y＝10x，
当x＞50时，y与x的关系式是：y＝10×50+8（x﹣50）＝8x+100，
（3）小刚若一次性购买80千克所付的费用为：8×80+100＝740（元），
分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用为：40×10×2＝800（元），
800﹣740＝60（元），
答：小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用少60
元．
【点睛】本题考查的是一次函数的应用，同时考查了分段付费的问题，难点是理解自变量的范围的变化对
费用的影响，掌握以上知识是解题的关键．
【变式8-3】（24-25八年级·辽宁抚顺·期末）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算
每户家庭的电费，分两档收费：第一档是当月用电量不超过220kW•h时实行“基础电价”；第二档是当用
电量超过220kW•h时，其中的220kW•h仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费．设
每个家庭月用电量为xkW•h时，应交电费为y元．具体收费情况如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1）“基础电价”是 元/kw•h；
（2）求出当x＞220时，y与x的函数解析式；
（3）若小豪家六月份缴纳电费121元，求小豪家这个月用电量为多少kW•h？【答案】（1）0.5；（2）y＝0.55x﹣11；（3）小豪家这个月用电量为240kW•h．
【分析】（1）由用电220度费用为110元可得；
（2）当x＞220时，待定系数法求解可得此时函数解析式；
（3）由121＞110知，可将y=121代入（2）中函数解析式求解可得．
110
【详解】（1）“基础电价”是 ＝0.5元/度，
220
故答案为：0.5；
（2）当x＞220时，设y＝kx+b，
220k+b=110
由图象可得：{ ，
300k+b=154
k=0.55
解得{ ，
b=−11
∴y＝0.55x﹣11；
（3）∵y＝121＞110
∴令0.55x﹣11＝121，
得：x＝240．
答：小豪家这个月用电量为240kW•h．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与待定系数求函数解析式，分段函数是在不同区间有不同对应方式
的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，理解每个区间的实际意义是解题关键．
【题型9 方案设计问题】
【例9】（24-25八年级·广西南宁·期末）某公司每月生产甲、乙两种型号的果汁共20万瓶，且所有果汁当
月全部卖出，其中成本、售价如表：
甲 乙
成
12元/瓶 4元/瓶
本
售
18元/瓶 6元/瓶
价
(1)设甲种型号的果汁有x万瓶，公司所获利润为W元，如果该公司四月份投入成本不超过216万元，应该
怎样安排甲、乙两种型号果汁的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．
(2)“五一”黄金周期间，为扩大销量，该公司对乙种型号果汁进行优惠，优惠方案如下：
方案一：购买乙种型号果汁一律打9折；
方案二：购买168元会员卡后，乙种型号果汁一律8折．某超市到该公司购买乙种型号果汁，请帮该超市设计出合适的购买方案．
【答案】(1)当甲种型号的果汁生产了17万瓶，乙种的果汁生产了3万瓶时，该月公司所获利润最大，最
大利润为108万元；
(2)当0280时，
选择方案二购买更合算．
【分析】（1）根据该公司四月份投入成本不超过216万元，可列出关于x的一元一次不等式，解之导出x
的取值范围，利用总利润=每瓶甲种号的果汁的销售利润×生产甲种型号的果汁量+每瓶乙种型号的果汁的
销售利润×生种型号的果汁的数量，可找出W关于x的关系式，再利用一次函数的性质，即可解值问题；
（2）设该超市到该公司购买乙种型号果汁y瓶，选择方案一所需费用为5.4x元；选择方案而需费用为
(168+4.8x)元，分5.4 y<168+4.8 y, 5.4 y=168+4.8 y及 5.4 y>168+4.8 y三种情况，可求出y的直
范围或y的值，进而可得出结论．
本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式应用以及一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关
键．
【详解】（1）解：∵该公司每月生产甲、乙两种型号的果汁20万瓶，且甲种型号的果汁生产了x万瓶，
乙种型号的果汁生产了(20−x)万瓶，
据题意得：12x+4(20−x)≤216,
解得：x≤17，
∵公司所获利润为W元，
∴W =(18−12)x+(6−4)(20−x),
∴W =4x+40,
∵4>0,
∴W随x的增大而增大，
∴当x=17时，W取得最大值，最大值为4×17+40=108，此时20−x=20−17=3，
∴当甲种型号的果汁生产了17万瓶，乙种的果汁生产了3万瓶时，该月公司所获利润最大，最大利润为
108万元；
（2）解：设该超市到该公司购买乙种型号果汁y瓶，则选择方案一所需费用为：6×0.9 y=5.4 y元，选择
方案二所需费用为：168+6×0.8 y=(168+4.8 y)元，
若5.4 y<168+4.8 y，则y<280，
当0168﹢4.8 y，则y>280，
当y>280时，选择方案二购买更合算．
∴当0280时，
选择方案二购买更合算．
【变式9-1】（24-25八年级·河北沧州·期末）某商家计则购进A，B两种品牌的红酒进行销售，经调查，用
30000元即买A品m红酒的数量是用9000元购买B品牌红酒数量的3倍，一箱A品牌红酒的进价比一箱B
品牌红酒的进价多20元．
(1)求A，B两种品牌红酒一箱的进价分别为多少元；
(2)若该商家购进A，B两种品牌的红酒共210箱进行试销，其中A品牌红酒的数量不多于B品牌红酒数量
的2倍，且不少于100件，已知A品牌红酒的售价为320元/箱，B品牌红酒的售价为280元/箱，且全部售
出，设购进A品牌红酒m箱．
①求商家销售这批红酒的利润P与m之间的函数解析式，并写出所获利润最大时的进货方案；
②在①的条件下，商家决定在试销活动中每售出一箱A品牌红酒，就从所得的利润中抽取a元支援贫困山
区的儿童，求该商家售完所有红酒并支援贫困山区儿童后获得的最大收益．
【答案】(1)一箱A品牌红酒的进价为200元，一箱B品牌红酒的进价为180元；
(2)①p=20m+21000，当商家购进A品牌红酒140箱，B品牌红酒70箱时，所获利润最大；②当
020时，该商家
售完所有红酒并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是(23000−100a)元
【分析】本题考查的是分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用；
（1）设一箱B品牌红酒的进价为x元，则一箱A品牌红酒的进价为(x+20)元，根据用30000元即买A品
m红酒的数量是用9000元购买B品牌红酒数量的3倍，再建立分式方程求解即可；
（2）①由总利润等于两种品牌红酒的利润之和列函数关系式，再利用函数的性质解决问题即可；②由总
利润等于两种品牌红酒的利润之和列函数关系式，再分情况讨论即可；
【详解】（1）解：设一箱B品牌红酒的进价为x元，则一箱A品牌红酒的进价为(x+20)元，
30000 9000
根据题意得 = ×3
x+20 x
解得x=180，
经检验，x=180是原方程的解，∴x+20=180+20=200.
答：一箱A品牌红酒的进价为200元，一箱B品牌红酒的进价为180元；
（2）解：①由题意得：p=(320−200)m+(280−180)(210−m)=20m+21000
{m≤2×(210−m))
，解得100≤m≤140，
m≥100
∵p=20m+21000，W随m的增大而增大，
∴当m=140时，W最大，
即当商家购进A品牌红酒140箱，B品牌红酒70箱时，所获利润最大
②设该商家售完所有红酒并支援贫困山区的儿童后获得的收益是Q元，
根据题意得Q=20m+21000−am=(20−a)m+21000，100≤m≤140，
当020时，Q随m的增大而减小，
∴m=100时，Q最大，最大值为(20−a)×100+21000=23000−100a.
答：当020时，该商家售完所有红酒并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是(23000−100a)元.
【变式9-2】（24-25八年级·湖北咸宁·期末）某文具专卖店计划购进A，B两种笔记本共100个，要求B种
1 1
笔记本数量不低于A种笔记本数量的 ．且不高于A种笔记本数量的 ，已知A，B两种笔记本的进货价
4 3
分别是10元/个，15元/个，设购进A种笔记本x个．
(1)求该专卖店计划购进这两种笔记本所需总费用y（元）与x之间的函数关系式：
(2)求该专卖店按计划购进这两种笔记本有多少种满足条件的方案？
(3)由于市场行情波动，实际进货时，A笔记本单价上调了2a元/个（a＞0），B笔记本单价下调了3a
元/个，此时专卖店购进这两种笔记本所需的最少费用为1215元，求a的值．
【答案】(1)y=−5x+1500
(2)6种
(3)1.2
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题目的条件列出函数解析式并准确找到自变量的取值范围和一次函数的性质．
（1）根据单价乘以数量等于总价，表示出购买A、B两种笔记本的总价，然后将其相加就是总共所需要的
费用；
1 1
（2）根据题目条件B种笔记本数量不低于A种的 ，且不高于A种的 ，可以构建不等式组，接出不等式
4 3
组就可以求出x的取值范围，从而得到购买方案；
（3）根据题目条件，构建购买这两种笔记本所需最少费用为1215元的不等式，然后分情况讨论，最后就
可确定出a的值．
【详解】（1）解：由题意得：
y=10x+15(100−x)=−5x+1500，
（2）解：购进A种笔记本x个，则购进B种笔记本(100−x)个，根据题意，得
1
{ 100−x≥ x)
4
1
100−x≤ x
3
解得：75≤x≤80
∵x整数，
∴x=75，76，77，78，79，80．
则100−x=25，24，23，22，21，20．
即方案一：A种笔记本75个，B种笔记本25个，
方案二：A种笔记本76个，B种笔记本24个，
方案三：A种笔记本77个，B种笔记本23个，
方案四：A种笔记本78个，B种笔记本22个，
方案五：A种笔记本79个，B种笔记本21个，
方案六：A种笔记本80个，B种笔记本20个，
综上：购买两种笔记本有6种方案．
（3）解：由题意，费用y=(10+2a)x+(15−3a)(100−x)=(5a−5)x−300a+1500
当5a−5<0时，a<1，y随x增大而减小，
∵75≤x≤80
∴当x=80时，y有最小值，可得(5a−5)×80−300a+1500=1215，
解得a=1.15（舍去），
当5a−5>0时，a>1，y随x增大而增大，∵75≤x≤80
∴当x=75时， y有最小值，(5a−5)×75−300a+1500=1215，
解得a=1.2
所以当a=1.2时，购买这两种笔记本所需最少费用为1215元．
【变式9-3】（24-25八年级·陕西西安·期末）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，
基本规则简明易懂．国家“双减”政策实施后，某校为了发展棋社，决定增添x(x>20)副中国象棋．文具
店中国象棋的标价为40元/副，现推出优惠活动，方案如下：
方案一：购买中国象棋超过20副时，超过部分每副打六折；
方案二：不论购买多少副中国象棋，全部按八折销售．
(1)设按照方案一购买的总费用为y ，按照方案二购买的总费用为y ，请分别写出y ，y 与x之间的关系
1 2 1 2
式；
(2)学校怎样选择购买方案更划算？
【答案】(1)y =24x+320；y =32x
1 2
(2)购买中国象棋40副时，两种方案总费用相同；购买中国象棋少于40副时，方案二划算；购买中国象棋
多于40副时，方案一划算．
【分析】此题考查了一次函数和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出一次函数是解题的关键．
（1）购买中国象棋超过20副时，超过部分每副打六折；不论购买多少副中国象棋，全部按八折销售．据
此分别列出一次函数解析式即可；
（2）根据题意列出方程和一元一次不等式，分别解方程和不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，y =40×20+(x−20)×40×60%=24x+320，
1
y =40×80%x=32x，
2
即y ，y 与x之间的关系式分别为y =24x+320；y =32x
1 2 1 2
（2）解：当y = y 时，24x+320=32x，解得x=40，
1 2
即购买中国象棋40副时，两种方案总费用相同；
当y >y 时，24x+320>32x，解得x<40，
1 2
即购买中国象棋少于40副时，方案二划算；
当y 40，
1 2
即购买中国象棋多于40副时，方案一划算；
综上可知，购买中国象棋40副时，两种方案总费用相同；购买中国象棋少于40副时，方案二划算；购买
中国象棋多于40副时，方案一划算．【题型10 现实生活相关问题】
【例10】（24-25八年级·福建泉州·期末）【综合与实践】杆秤是一种生活中常见的称重工具，它的设计巧
妙地运用了物理原理，使得测量物体质量变得简单而准确．杆秤的物理原理，包括杠杆原理、力的平衡以
及刻度与读数等方面的内容．某兴趣小组想利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后
动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：(m +m)⋅l=M⋅(a+ y)
0
．其中秤盘质量m 克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的
0
水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【方案设计】目标：设计简易杆秤．设定m =10，M=100，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻
0
线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡；
当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡；
（1）求l和a的值．
任务二：确定刻线的位置．
（2）根据任务一，求y关于m的函数解析式．
1
【答案】（1）¿；（2）y= m
20
【分析】本题考查了一次函数的应用；
（1）依据题意，又当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡；当秤盘放入质量为1000克的重物，秤
砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，可得10l=100a,且(10+1000)l=100(a+50)，进而计算可以得
解；
1 1
（2）依据题意，由（1）可知：l=5，a= ，则5(10+m)=100( + y)，进而可以得解．
2 2
【详解】解：（1）由题意得：m =10，M=100，
0当m=0，y=0时，10l=100a，
∴l=10a①；
当m=1000，y=50时，(10+1000)l=100(a+50)，
∴101l=10a+500②；
联立①②可得¿，
解得¿．
1
（2）由（1）可知：l=5，a= ，
2
1
∴5(10+m)=100( + y)，
2
1
∴y= m．
20
1
∴y关于m的函数解析式为y= m．
20
【变式10-1】（2024·陕西咸阳·二模）随着科技的不断发展，人工智能已经成为我们生活中不可或缺的一
部分．某游泳馆安装了智能温泉泳池系统，让用户享受四季泳池．泳池的排水系统在每次换水时将泳池的
水先排完，然后再注入消杀后的水，水位到达水位线后，停止注水，水位线的高度为1.2m．在某次注水的
整个过程中，水位的高度y（m）与注水时间x（h）之间的函数关系如图所示．根据下面图象，回答下列
问题：
(1)求线段AB所表示的函数关系式；
(2)求开始注水到停止注水所用的时间．
【答案】(1)y=0.1x+0.4
(2)8小时【分析】本题考查了一次函数应用，待定系数法求解析式，根据图像获得信息是解题的关键．
（1）把点A(6,1.0)、B(7,1.1)代入y=kx+b，即可求出线段AB所表示的函数关系式；
（2）求出当y=1.2时，对应的注水时间x=8即可．
【详解】（1）设线段AB所表示的函数关系式为y=kx+b，把点(6,1.0)，(7,1.1)代入y=kx+b，得
{6k+b=1.0)
7k+b=1.1
{k=0.1)
解得 ，
b=0.4
∴线段AB所表示的函数关系式为y=0.1x+0.4．
（2）令y=1.2时，0.1x+0.4=1.2，解得x=8
∴开始注水到停止注水所用的时间为8小时．
【变式10-2】（24-25八年级·山西临汾·期末）项目式学习
项目主题：重视水龙头滴水的浪费现象．
项目背景：日常生活中，经常存在由于水龙头阀门损坏，从而出现水龙头不断向外滴水的情况，造成水资
源浪费．某校学习小组以“重视水龙头滴水的浪费现象”为主题展开项目学习．
驱动任务：探究水龙头滴水量与时间的关系．
研究步骤：
（1）准备好量筒和计时器．
（2）确定因损坏而滴水的水龙头．
（3）在控制影响水龙头滴水量的其他变量（如刮风等）的情况下，将量筒放在所选水龙头正下方接水，
每隔一分钟记录量筒中的总水量．但由于操作延误，开始计时时量筒中已经接了少量的水，因而得到如下
表所示的一组数据．
（4）分析数据，形成结论．
试验数据：
时间t/min 1 2 3 4 5 …
总水量 1 2
7 12 22 …
V/mL 7 7
问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务：
（1）①根据上表中的数据，判断量筒中的总水量V与时间t是______（填“正比例”“一次”或“反比
例”）函数关系；
②求V与t之间的函数关系式．
（2）已知所用量筒的量程是0∼100mL，求当计时多少分钟时，量筒内的水刚好到达量程的最大刻度处．（3）若一个人一天大约饮用1500mL的水，求这个水龙头10天的滴水量可供一个人饮用多少天．
【答案】（1）①一次；②V =5t+2；（2）19.6分钟；（3）可供一个人饮用48天
【分析】本题考查一次函数的应用，求一次函数代数式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
（1）观察表格可知，V与t符合一次函数关系，用待定系数法可得函数解析式；
（2）当时V =100，可求出此时的时间；
（3）列式计算可得这个水龙头10天的漏水量可供一人饮用48天．
【详解】解：（1）①观察表格可知，V与t是一次函数关系，
故答案为：一次；
②设函数关系式为：V =kt+b，把(1,7)，(2,12)代入得：
{ 7=k+b ) {k=5)
，解得： ，
12=2k+b b=2
∴V =5t+2；
（2）当V =100时，100=5t+2，
∴t=19.6，
∴当计时19.6分钟时，量筒内的水刚好到达量程的最大刻度处；
（3）由（1）可知，这个水龙头每分钟漏水5ml，
∴10天漏水5×60×24×10=72000ml，
∵72000÷1500=48天，
∴这个水龙头10天的滴水量可供一个人饮用48天．
【变式10-3】（2024·广西南宁·二模）在日常生活中，当手机剩余电量为20%时，张老师便会给手机充
电，他发现单独使用快充充电器和单独用普通充电器对该手机充电，手机电量y（单位：%）与充电时间x
（单位：分钟）的函数图象分别为图中的线段AB，AC．请根据图中信息，解答下列问题：
(1)张老师单独用快充充电器充满电比用普通充电器少用____________分钟；
(2)求线段AB对应的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)张老师若先用普通充电器充电m分钟后，再改用快充充电器直至充满，共用70分钟，请求出m的值．
【答案】(1)80(2)线段AB对应的函数表达为y=2x+20
(3)m=45
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，灵活运用函数图象所给的信息是解题的关键．
（1）从函数图象获取时间后相减即可；
（2）利用待定系数法运算求解即可；
（3）利用图象获取充电的速度，再根据普通充电器充电总量+快充充电器充电总量=工作总量，列出式子
运算即可．
【详解】（1）解：根据函数图象可得：快充充电器充满时间为40分钟，普通充电器充满时间为120分钟，
∴时差=120−40=80；
（2）由函数图象可得：线段AB过点(0,20)，(40,100)
∴设线段AB的函数解析式为：y=kx+20，
把(40,100)代入y=kx+20可得：100=40k+20，
解得：k=2，
∴线段AB的函数解析式为：y=2x+20；
100−20 100−20 2
（3）解：快充充电器充电速度为： =2，普通充电器充电速度为： = ，
40 120 3
∵普通充电器充电m分钟，则快充充电器充了(70−m)分钟，
2
∴ m+2(70−m)=80，
3
解得：．
