文档内容
专题 28.5 锐角三角函数章末八大题型总结（培优篇）
【人教版】
【题型1 利用设参数法求锐角三角函数值】.........................................................................................................1
【题型2 在网格中求锐角三角函数值】..................................................................................................................2
【题型3 特殊角的三角函数值的计算与应用】.....................................................................................................3
【题型4 锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】.............................................................................................3
【题型5 锐角三角函数与一元二次方程的综合应用】.........................................................................................5
【题型6 灵活运用已知条件解直角三角形】.........................................................................................................5
【题型7 解双直角三角形】......................................................................................................................................6
【题型8 解直角三角形与四边形的综合应用】.....................................................................................................7
【题型1 利用设参数法求锐角三角函数值】
【例1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）如图，AB=BC=AD，AD⊥BC于点E，AC⊥CD，
则sin∠B= ．
【变式1-1】（2023秋·广西贺州·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，BE=2，
3
cosA= ，则菱形的周长为 ．
5
【变式1-2】（2023秋·山西运城·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的4
中点，连接CD，过点D作DE⊥CD交BC于点E，若tanA= ，BE=7，则DE的长为 ．
3
【变式1-3】（2023·山西太原·太原五中校考一模）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，D、E分别在
CA、CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA=
．
【题型2 在网格中求锐角三角函数值】
【例2】（2023·湖北省直辖县级单位·校联考模拟预测）如图是6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，
菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角( ∠O )为60°，点A，B，C，D都在格点上，且线段AB，CD
相交于点P，则tan∠BPD的值是( )
1 1 √3 √3
A． B． C． D．
3 2 3 2
【变式2-1】（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方
形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC= ．【变式2-2】（2023秋·上海·九年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）如图，A、B、C三点在
正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC'B'，使点B'落在射线AC上，则
cos∠B'CB的值为 ．
【变式2-3】（2023·四川广元·统考二模）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、
∠β如图所示，则sin(α+β)=（ ）
2√7 √7 √2 √3
A． B． C． D．
7 7 2 2
【题型3 特殊角的三角函数值的计算与应用】
√2
【例3】（2023春·山东泰安·九年级校考期末）在 ABC中，若cosA= ，tanB=√3，则这个三角形一定
2
△
是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【变式3-1】（2023秋·河北保定·九年级统考期末）计算：
2sin30°+√2cos45°-√3tan60°+(π-√5) 0
【变式3-2】（2023·上海嘉定·模拟预测）计算：
1 √2
(1) sin30°+ cos45°+sin30°tan60°；
2 2sin60°⋅tan45° tan45°
(2) sin45°⋅cos45°+ +3tan230°+ ．
tan45°⋅tan60° cos30°
【变式3-3】（2023秋·甘肃嘉峪关·九年级校考期末）在 中， ，则
△ABC |2cosA-1|+(√3-tanB) 2=0
△ABC的形状是 ．
【题型4 锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】
【例4】（2023·江苏·九年级江阴市祝塘中学校考阶段练习）如图，长度为5的动线段AB分别与坐标系横
轴、纵轴的正半轴交于点A、点B，点O和点C关于AB对称，连接CA、CB，过点C作x轴的垂线段
CD，交x轴于点D
(1)移动点A，发现在某一时刻， AOB和以点B、D、C为顶点的三角形相似，求这一时刻点C的坐标；
1 △
(2)移动点A，当tan∠OAB= 时求点C的坐标．
2
【变式4-1】（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸
1 4
板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A、B恰好分别落在函数y=- (x<0)，y= (x>0)的图像上，
x x
则sin∠ABO的值为（ ）
1 √6 2 √5
A． B． C． D．
3 4 5 5
【变式4-2】（2023春·江苏连云港·九年级专题练习）如图，点O为坐标系原点，点A为y轴正半轴上一点，
点B为第一象限内一点，OA=AB，∠OAB=90°，将△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角度数至△OA'B'，
k
此时反比例函数y= (k>0)刚好经过OA'，OB'的中点，则tan∠AOA'= ．
x【变式4-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，
15 3
点O为坐标系的原点，直线y=kx- 交x轴于点A，交y轴于点B，tan∠OAB= ．
2 4
（1）求直线AB的解析式；
（2）在线段AB上有一点P，连接OP，设点P的横坐标为t，△AOP的面积为S，求S关于t的函数解析式
（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，在直线y=2x的第一象限上取一点D，连接AD，若S=15，
∠AOP+∠BPO=2∠ADO，求点D的坐标．
【题型5 锐角三角函数与一元二次方程的综合应用】
a+1
【例5】（2023·全国·九年级假期作业）已知sin30°= ，则一元二次方程x2+ax+2=0解的情况是
a
（ ）
A．有两个相同的实数根 B．有两个不同的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【变式5-1】（2023秋·山东东营·九年级校联考阶段练习）关于x的一元二次方程x2-2x+tanα=0有两个
相等的实数根，则锐角α= ．
【变式5-2】（2023·北京朝阳·九年级专题练习）α为锐角，且关于x的一元二次方程x2－2√2sin α·x＋1＝0
有两个相等的实数根，则α＝（ ）
A．30° B．45° C．30°或150° D．60°
【变式5-3】（2023春·九年级单元测试）若cosα是关于x的一元二次方程2x2－3√3x＋3＝0的一个根，则锐角α＝ ．
【题型6 灵活运用已知条件解直角三角形】
【例6】（2023秋·广东河源·九年级校考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，c=8√3，∠A=60°，解这
个直角三角形．
【变式6-1】（2023秋·甘肃张掖·九年级校考期中）在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别
为a，b，c
（1）已知a＝6，b＝2√3，解这个直角三角形
（2）已知∠B＝45°，a+b＝6，解这个直角三角形
1
（3）已知sinA＝ ，c＝6，解这个直角三角形．
2
【变式6-2】（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）在RtΔABC中，∠C=90°，∠A-∠B=30°，
a-b=2√3-2，解这个直角三角形．
【变式6-3】（2023秋·山东烟台·九年级统考期中）在ΔABC中，已知∠C=90°，b+c=30，
∠A-∠B=30°．解这个直角三角形．
【题型7 解双直角三角形】
1
【例7】（2023秋·山西运城·九年级统考期末）如图，在△ABC中，BC=2，tanB= ，点D是BC延长
2
3
线上一点，tan∠ACD= ．
4
(1)求点A到BD的距离；
(2)求sinA的值．
【变式7-1】（2023秋·安徽蚌埠·九年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=√5，点D是
1 1
AC上一点，连接BD．若tanA= ，tan∠ABD= ，则CD= ．
2 3【变式7-2】（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°,AB=2．连接
1 4
AC,AC⊥CD．若sin∠ACB= ,tan∠DAC= ，求CD的长．
3 3
【变式7-3】（2023·湖北武汉·校考一模）如图，已知D为等腰Rt△ABC的腰AB上一点，CD绕点D逆时
1 DM
针旋转90°至ED，连接BE，CE，M为BE的中点，则当tan∠EDA= 时， = ．
2 BC
【题型8 解直角三角形与四边形的综合应用】
【例8】（2023秋·湖南衡阳·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E在AB上，
AE=5，P是AD上一点，将矩形沿PE折叠，点A落在点A'处．连接AC，与PE相交于点F，设AP=x．
(1)AC=________；(2)若点A在∠BAC的平分线上，求FC的长；
(3)求点A'，D距离的最小值，并求此时tan∠APE的值．
【变式8-1】（2023春·广东揭阳·九年级统考期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
△COD关于CD的对称图形为△CED．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
8
(2)连接AE，若CD=6cm，AD= cm．
3
①求sin∠EAD的值；
②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段
5
OP匀速运动到点P，再以 cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动．设点Q沿上述
3
路线运动到点A所需要的时间为t，求t的最小值．
【变式8-2】（2023春·湖南株洲·九年级统考期中）中国最早的一部数学著作《周髀算经》中记载着勾股定
理，约1400年后的汉代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的证明．
√5
这就是如图所示的“赵爽弦图”，若|sinα-cosα|= ，则小正方形与直角三角形的面积比为（ ）
5
A．1:√5 B．1∶1 C．2:√5 D．1∶5
【变式8-3】（2023秋·山西运城·九年级统考期末）如图，在 ▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交
AD，BC于点E，F，EF与AC相交于点O，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF是菱形；√5
（2）已知sin∠ACF= ，CF=5，AB=6，请你写出sinB的值．
5
