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第 24 节 直线、平面平行的判定与性质
基础知识要夯实
1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
平面外一条直线与此平面内的
a α，b α，
判定定理 一条直线平行，则该直线平行
a∥b a∥α
⊄ ⊂
于此平面
⇒
一条直线和一个平面平行，则
a∥α，a β，α∩β＝
性质定理 过这条直线的任一平面与此平
b a∥b
⊂
面的交线与该直线平行
⇒
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
一个平面内的两条相交直线 a α，b α，a∩b＝
判定定理 与另一个平面平行，则这两 P，a∥β，
⊂ ⊂
个平面平行 b∥β α∥β
⇒
两个平面平行，则其中一个
平面内的直线平行于另一个 α∥β，a α a∥β
平面
⊂ ⇒
性质定理
如果两个平行平面同时和第
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ
三个平面相交，那么它们的
＝b a∥b
交线平行
⇒
核心素养要做实考点一 直线与平面平行的判定与性质
【例1】在如图所示的几何体中，四边形 ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段
AD，PB的中点，PA＝AB＝1.
(1)证明：EF∥平面PDC；
(2)求点F到平面PDC的距离.
【解析】(1)证明 取PC的中点M，连接DM，MF，
∵M，F分别是PC，PB的中点，∴MF∥CB，MF＝ CB，
∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，
∴DE∥CB，DE＝ CB，
∴MF∥DE，MF＝DE，∴四边形DEFM为平行四边形，
∴EF∥DM，∵EF 平面PDC，DM 平面PDC，
∴EF∥平面PDC.
⊄ ⊂
(2)解 ∵EF∥平面PDC，∴点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，在Rt PAD中，PA＝AD＝1，∴DP＝ .
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB，
△
∴CB⊥PB，则PC＝ ，∴PD2＋DC2＝PC2，
∴△PDC为直角三角形，
∴S ＝ ×1× ＝ .
PDC
连接△EP，EC，易知V ＝V ，设E到平面PDC的距离为h，
E－PDC C－PDE
∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，
则 ×h× ＝ ×1× × ×1，∴h＝ ，
∴点F到平面PDC的距离为 .
【例2】如图所示，在正方体ABCD－ABC D 中，棱长为2，E，F分别是棱DD ，C D 的中点.
1 1 1 1 1 1 1(1)求三棱锥B－ABE的体积；
1 1
(2)试判断直线BF与平面ABE是否平行，如果平行，请在平面ABE上作出与BF平行的直线，并
1 1 1 1
说明理由.
【解析】(1)如图所示，V ＝V ＝ S · DA＝ × ×2×2×2＝ .
B1－A1BE E－A1B1B A1B1B
△
(2)BF∥平面ABE.延长AE交AD延长线于点H，连BH交CD于点G，则BG就是所求直线.证明如
1 1 1
下：
因为BA∥平面CDD C ，平面ABH∩平面CDD C ＝GE，所以AB∥GE.
1 1 1 1 1 1 1
又AB∥CD，所以GE∥CD.
1 1 1
又E为DD 的中点，则G为CD的中点.
1
故BG∥BF，BG就是所求直线.
1
【方法技巧】1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形
的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.
2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到
“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.
【跟踪训练】
1.(2020·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，
F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
【解析】(1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD，
则AB∥EF.
∵AB 平面ABC，EF 平面ABC，
⊂ ⊄∴EF∥平面ABC.
(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC 平面BCD，
∴BC⊥平面ABD.
⊂
∵AD 平面ABD，∴BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC，AB 平面ABC，BC∩AB＝B，
⊂
∴AD⊥平面ABC，
⊂
又因为AC 平面ABC，∴AD⊥AC.
考点二 面面平行的判定与性质
⊂
【例2】如图所示，在三棱柱ABC－ABC 中，E，F，G，H分别是AB，AC，AB ，AC 的中点，
1 1 1 1 1 1 1
求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA∥平面BCHG.
1
【解析】(1)∵G，H分别是AB，AC 的中点，
1 1 1 1
∴GH是△ABC 的中位线，则GH∥BC .
1 1 1 1 1
又∵BC ∥BC，
1 1
∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
⊄ ⊂
又G，E分别为AB，AB的中点，AB 綉AB，
1 1 1 1
∴AG綉EB，
1
∴四边形AEBG是平行四边形，∴AE∥GB.
1 1
∵AE 平面BCHG，GB 平面BCHG，
1
∴AE∥平面BCHG.又∵AE∩EF＝E，
1 ⊄ ⊂1
∴平面EFA∥平面BCHG.
1
【方法技巧】1.判定面面平行的主要方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).
2.面面平行条件的应用
(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行.(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.
提醒 利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.
【跟踪训练】
1.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，
侧面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，
平面CEF∥平面PAD.
(1)确定点E，F的位置，并说明理由；
(2)求三棱锥F－DCE的体积.
【解析】(1)因为平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面ABCD＝CE，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以CE∥AD，又AB∥DC，
所以四边形AECD是平行四边形，
所以DC＝AE＝ AB，
即点E是AB的中点.
因为平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面PAB＝EF，平面PAD∩平面PAB＝PA，
所以EF∥PA，又点E是AB的中点，
所以点F是PB的中点.
综上，E，F分别是AB，PB的中点.
(2)连接PE，由题意及(1)知PA＝PB，AE＝EB，
所以PE⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
所以PE⊥平面ABCD.
又AB∥CD，AB⊥AD，
所以V ＝ V ＝ S ×PE＝ × ×2×2×2＝ .
F－DEC P－DEC DEC
∴CE＝1. △
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一、单选题
1．设 是直线， 是平面，则能推出 的条件是（ ）
A．存在一条直线 ， ， B．存在一条直线 ， ，C．存在一个平面 ， ， D．存在一个平面 ， ，
【答案】C
【解析】对于A，若 ，可满足 ， ，但无法得到 ，A错误；
对于B，若 ，可满足 ， ，但无法得到 ，B错误；
对于C，由面面平行的性质知：若 ， ，则 ，C正确；
对于D，若 ，可满足 ， ，但无法得到 ，D错误.故选：C.
2．如图，正方体 中，E为AB中点，F在线段 上.给出下列判断：①存在点F
A B C D
使得 平面 ；②在平面 1 1 1 1内总存在与平面 平行的直线；③平面 与平面
ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点F的位置无关；④三棱锥 的体积与点F的位置无
关.其中正确判断的有（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】D
【解析】对于①，假设存在F使得 ⊥平面 ，则 ⊥ ，又 ⊥ ， ∩ ＝ ，
∴ ⊥平面 ，则 ⊥ ，这与 ⊥ 矛盾，所以①错误；
A B C D A B C D
对于②，因为平面 与平面 1 1 1 1相交，设交线为 ，则在平面 1 1 1 1内与 平行的直线平
行于平面 ，故②正确；对于③，以 点为坐标原点，以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，
建立空间坐标系，则平面 的法向量为 而平面 的法向量 ，随着 位置变化，
故平面 与平面 所成的二面角（锐角）的大小与点 的位置有关，故③错误；
对于④，三棱锥 的体积即为三棱锥 ，因为 ∥平面 ，所以，当 在线
段 上移动时， 到平面 的距离不变，故三棱锥 的体积与点 的位置无关，即
④正确．故选：D．
3．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形 为截面，长方形 为底面，则四
边形 的形状为（ ）
A．梯形 B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形 D．矩形
【答案】B
【解析】因为平面 //平面 ,且平面 平面 ,平面 平面
,根据面面平行的性质可知 // ,同理可证明 // .
所以四边形 为平行四边形.故选：B.
4．如图，ABCD﹣ABC D 为正方体，则以下结论：①BD∥平面CB D；②AC ⊥BD；③AC ⊥平
1 1 1 1 1 1 1 1
面CB D 其中正确结论的个数是（ ）
1 1A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】由正方体的性质得BD∥ ，所以结合线面平行的判定定理可得：BD∥平面 ；所
以①正确.
由正方体的性质得 AC⊥BD， ⊥BD，可得 ⊥平面 ，所以 ⊥BD，所以②正确.
由正方体的性质得 BD∥ ，由②可得 ⊥BD，所以 ⊥ ，同理可得 ，进而
结合线面垂直的判定定理得到： ⊥平面 ，所以③正确.故选：D.
5．平面 ∥平面 ， ，则直线 和 的位置关系（ ）
A．平行 B．平行或异面 C．平行或相交 D．平行或相交或异面
【答案】B
【解析】∵平面 平面 ，∴平面 与平面 没有公共点∵ ， ，∴直线 ， 没有公共点
∴直线 ， 的位置关系是平行或异面，故选：B.
6．如图，在正三棱台 中， ， ， . ， 分别是 ， 的
中点，则（ ）
A．直线 平面 ，直线 与 垂直
B．直线 平面 ，直线 与 所成角的大小是
C．直线 与平面 相交，直线 与 垂直
D．直线 与平面 相交，直线 与 所成角的大小是
【答案】B
【解析】取 中点 ，连接 ， ，由题意可知， ， ，
所以平面 平面 ，
所以直线 平面 ，
取 中点 ， 中点 ， 中点 ，连接 ， ， ， ， ，
易知 ， ，
所以直线 与直线 所成角即为直线 与 所成角，
在等腰梯形 中， ， ， ，可得 ， ， ， 分别为 ， 中点，所以 ，
同理： ，
在等腰梯形 中， ， ， ，可得 ，
在 中， ， ，
由余弦定理可得： ，
所以 ，即直线 与直线 所成角的大小是 ，
因此直线 与 所成角的大小是 ，故选：B.
7．给出以下四个命题，能判断平面α和平面β平行的条件是
A．α内有无数条直线都与β平行 B．α内的任一条直线都与β平行
C．直线 ，直线 ，且 ， D．直线 ，且
【答案】B
【解析】A.平面 内有无数条直线与平面 平行时，两个平面可能平行也可能相交，故A不满足条
件；
B.平面 内的任何一条直线都与平面 平行，则能够保证平面 内有两条相交的直线与平面 平行，故B满足条件；
C. 直线 ，直线 ，且 ， ，则两个平面可能平行也可能相交，故C不满足条件；
D. 直线 ，且 ，则两平面可能相交或平行，故D不满足条件故选：B.
8．如图，在棱长为 的正方体 中，点 在线段 上运动，则下列命题中错误的
是（ ）
A．直线 和平面 所成的角为定值
B．点 到平面 的距离为定值
C．异面直线 和 所成的角为定值
D．直线 和平面 平行
【答案】A
【解析】对A，由 平面 ，当点 分别在点 或 时，线面角不一致，故A错误；
对B，由 // , 平面 , 平面 ,所以 //平面 ，
所以点 到平面 的距离为直线 上任意点到平面 的距离，故B正确
对C，由平面 即平面 , , ,平面 ，所以 平面 ，所以 ，故C正确
对D，由平面 即平面 ， // ， 平面 ，
平面 ，所以 //平面 ，所以D正确故选：A
二、多选题
9．在正方体 中，点P在线段 上运动，则下列命题正确的是（ ）
A．异面直线 和 所成的角为定值
B．直线 和平面 相交
C．三棱锥 的体积为定值
D．直线 和直线 可能相交
【答案】AC
【解析】对于A，因为在正方体 中， ， ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以 ，
故这两个异面直线所成的角为定值90°，所以A正确；
对于B，因为平面 与面 是同一平面，
， 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，即 平面 ，故B错误；
对于C，三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积，
而平面 为固定平面，且 大小一定，
又因为 ，因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以点A到平面 的距离即为点P到该平面的距离，为定值，
所以三棱锥 的体积为定值，故C正确；
对于D，直线 和直线 是异面直线，不可能相交，故D错误.
故选：AC.
10．如图，已知四棱锥 中， 平 ， ，
， 为 中点， 在 上， ， ，则下列结论正
确的是（ ）
A． 面
B． 与平面 所成角为30°C．四面体 的体积为
D．平面 平面
【答案】ACD
【解析】对于A，连结 ， ，因为 ， ，
所以 ， ，故 ，
同理可得 ，故 ，
所以F为 的中点，又E为 的中点，故 ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
又因为 ， ，
所以 ，故 ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
又 ， ， 平面 ，
所以平面 平面 ，又 平面 ，所以 平面 ，故A正确；
对于B，因为 平面 ，所以 与平面 所成的角即为 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又 ，故 ，故选项B错误；
对于C， ，
因为 平面 ， ，所以 平面 ，
又 ，所以 ，
故 ，故选项C正确；
对于D，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 ，故选项D正确．
故选：ACD．11．如图，在正四棱锥 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点，动点 在线段
上运动时，下列四个结论中恒成立的为（ ）.
A． B． C． 面 D． 面
【答案】AC
【解析】如图所示，连接 ､ 相交于点 ，连接 ， .
由正四棱锥 ，可得 底面 ， ，所以 .
因为 ，所以 平面 ，
因为 ， ， 分别是 ， ， 的中点，
所以 ， ，而 ，
所以平面 平面 ，所以 平面 ，所以 ，故A正确；
由异面直线的定义可知: 与 是异面直线，不可能 ，因此B不正确；
平面 平面 ，所以 平面 ，因此C正确；
平面 ，若 平面 ，则 ，与 相矛盾，
因此当 与 不重合时， 与平面 不垂直，即D不正确.
故选:AC.12．如图，已知正方体 ，则四个推断正确的是（ ）
A． B．
C．平面 平面 D．平面 平面
【答案】BCD
【解析】在正方体 中，
对于A，由正方体的性质可知 ，
所以 即为异面直线 与 所成的角，
在 中显然 ，所以 与 成 角，故A错误；对于B， ， ， ，故B正确；
对于C， ， ， 、 平面 ， 、 平面 ，
∴ 平面 ， 平面 ，又 ，
平面 平面 ，故C正确；
对于D， ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面
平面 平面 ，故D正确．故选：BCD．
三、填空题
13．已知 ， ， 是三条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，有下列命题：
① ；②若 ， ，则 ；
③ ， ，则 ；④直线 ，直线 ，那么 ；
⑤若 ， ， ，则 ；⑥若 ， ，则 ．
其中正确的说法为______（填序号）
【答案】①⑥
【解析】对于①，根据平行的性质有： ，即 ，故①正确；
对于②，由 得 或 相交，故②错误；
对于③，由 得 ，或 异面，故③错误；
对于④，由直线 ，直线 ，可得 ， 异面， 相交，故④错误；
对于⑤，由 ，得 或 相交，故⑤错误；
对于⑥，若 ，由面面平行的传递性得 ，故⑥正确，
故答案为：①⑥.14．如图，正方体 的棱长为1， ， 分别是棱 ， 的中点，过直线 的
平面分别与棱 ， 交于点 ， ，设 ，给出下列四个结论：
①四边形 一定为菱形；
②若四边形 的面积为 ， ，则 有最大值；
③若四棱锥 的体积为 ， ，则 为单调函数；
④设 与 交于点 ，连接 ，在线段 上取点 ，在线段 上取点 ，则 的
最小值为 ．
其中所有正确结论的序号是________．
【答案】①④
【解析】① 平面 ∥平面 ，平面 平面 ＝EN，平面 平面
＝MF， ．同理可证 ．
四边形 为平行四边形.连接MN、AC、BD、 ：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵ ⊥平面ABCD，∴ ⊥AC，
∵ BD＝B，∴AC⊥平面 ，
∵MN 平面 ，∴AC⊥MN.
∵EA与FC平行且相等，
∴ACFE是平行四边形，
∴AC∥EF，
∴EF垂直MN，
∴MEFN是菱形.故①正确．
②四边形 面积 ，EF为定值，当 为B或 时，即x＝0或x＝1时，
最长，此时面积最大，但0＜x＜1，即M不能取线段 的端点，∴四边形MENF面积无最大
值．故②错误．
③连结 、 、 ，则四棱锥被分割成两个小的三棱锥，它们是都以 为底，以 、
分别为顶点的两个三棱锥．△ 的面积是一个定值.
同②中证明AC⊥平面 ，也可证明BD⊥平面 ，
则B到平面AEF的距离即为 .
∵B ∥A ，∴B ∥平面AEF，
∴M到平面AEF的距离即为B到平面AEF的距离 ，
同理N到平面AEF的距离也为 ，
∴ 、 到平面 的距离之和是定值BD，
∴四棱锥 的体积为常数．故③错误．
④如图，将Rt 沿着 翻转到与矩形 在同一平面，过 作 于Q，交
于 ，则此时 最短.过 作 于 ，
则四边形 是直角梯形，
由题可知 是 中点， 是梯形的中位线，∴
设 ，设
在 中， ， ，
，
∴在 中，
∴ .故④正确.
故答案为：①④.
15．已知直线m，n，平面α，β，若 ， ， ，则直线m与n的关系是___________
【答案】平行或异面
【解析】由题意， ， ，
故直线m与n没有交点
故直线m与n平行或异面
故答案为：平行或异面16．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论：
① 平面DE；
② 平面AF；
③平面 平面AFN；
④平面 平面NCF.
其中正确结论的序号是______.
【答案】①②③④.
【解析】如图，
对①，因为 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，而 平
面DE， 平面DE，则 平面DE.正确；
对②，因为 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，而 平面
AF， 平面AF，则 平面AF.正确；
对③，因为 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又因为 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，而
，所以平面BDM∥平面AFN.正确；对④，因为 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，同由③：
，而 ，所以平面 平面NCF.正确.
故答案为：①②③④.
四、解答题
17．如图所示，已知四棱柱 的底面 为菱形.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）在直线 上是否存在点 ，使 平面 ？若存在，确定点 的位置；若不存在，说明
理由.
【解析】（1）由棱柱 的性质可知， ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
同理可证 平面 ，而 ， 平面 ，
∴平面 平面 ；
（2）存在这样的点 ，使 平面 ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ，如图所示：
在 的延长线上取点 ，使 ，连接 ，
∵ ， = ，∴ ，
∴四边形 为平行四边形，则 ，
∴ ，又 平面 平面 ，∴ 平面 .
18．已知空间四边形 中， 分别是 、的中点，且 ．
（1）判断四边形 的形状，并加以证明；
（2）求证： 平面 ．
【解析】（1）证明：取AC的中点为G，连结GE，GB，在△ACC 中，EG为中位线，所以EG CC ， ，
1 1
又因为CC BB，CC ＝BB，F为BB 的中点，
1 1 1 1 1
所以EG BF，EG＝BF，
所以四边形EFBG为平行四边形，
所以EF GB，又EF 平面ABC，GB 平面ABC，
所以EF 平面ABC．
（2）因为E为AC 的中点，
1
所以E到底面ABC的距离是C 到底面ABC的距离的一半，
1
即三棱锥 平面 ， ， ．
21．如图，已知正方形 和矩形 所在的平面互相垂直， ， ， 是线段
的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的大小；（3）若线段 上总存在一点 ，使得 ，求 的最大值．
【解析】（1）法一：设 ，连结 ， ，
因为矩形 中 是线段 的中点， 是线段 的中点，
所以 ， ，所以 为平行四边形，
故 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
法二：由题意，正方形 和矩形 所在的平面互相垂直，
因为平面 平面 ，
，所以 平面 ，
以 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
因为 ， ， 是线段 的中点，
则 ， ， ， ， ， ，
从而 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则由 ，可知 ，
不妨令 ，则 ， ，从而平面 的一个法向量为 ，
计算可知 ，又 平面 ，
所以 ，从而 平面 .（2）若 ，则 ， ，
平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，则由 ，可知 ，
不妨令 ，则 ， ，
从而平面 的一个法向量为 ，
设二面角 的平面角为 ，
因为 为锐角，所以 ，
所以二面角 的大小为 .
（3）因为点 在线段 上，而 ，
设 ，其中 ，
则 ，从而 点坐标为 ，
于是 ，而 ，
则由 可知 ，即 ，所以 ，解得 ，故 的最大值为 .
