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第28章 锐角三角函数单元提升卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
❑√3
1．（3分）（23-24九年级·北京·期末）在△ABC中，∠A和∠C都是锐角，且sin A= ，tanC=❑√3，
2
则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了特殊角的三角函数，等边三角形判定，利用特殊角的三角函数值得出∠A及∠C的度
数，继而可判断△ABC的形状．
❑√3
【详解】解：由题意得，sin A= ，tanC=❑√3，
2
∴ ∠A=60°，∠C=60°，
即△ABC是等边三角形．
故选：C．
2．（3分）（23-24九年级·山东聊城·期末）如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三
角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中
较小的锐角为α，则cosα的值为（ ）
3 4 8 4
A． B． C． D．
4 3 5 5
【答案】D
【分析】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握锐角三角函
数的定义，难点是设置适当的未知数，利用勾股定理构造方程求出三角形的边．
【详解】解：∵小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，
∴小正方形的边长为 1，大正方形的边长为5，
设直角三角形中较短的直角边为a，则较长的直角边是a+1，其中a>0，由勾股定理得：a2+(a+1) 2=52，
整理得：a2+a−12=0
解得：a =3，a =−4（不合题意，舍去）．
1 2
∴a+1=4，
4
∴ cosα= ．
5
故选：D．
3．（3分）（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°,AC=12,AB的垂直平分线
ED交AC于点D，连接BD，若 BC=2❑√6，则cos∠BDC的值是 （ ）
❑√6 5 ❑√6 2❑√6
A． B． C． D．
5 7 7 7
【答案】B
【分析】本题考查了线段的垂直平分线，勾股定理，余弦函数的计算，设BD=AD=x，则
CD=AC−BD=12−x，根据勾股定理(12−x) 2+(2❑√6) 2=x2，再根据余弦计算即可．
【详解】∵∠C=90°,AC=12,AB的垂直平分线ED交AC于点D，BC=2❑√6，
∴设BD=AD=x，
则CD=AC−BD=12−x，
∴(12−x) 2+(2❑√6) 2=x2，
解得x=7，
∴CD=12−x=5，
CD 5
∴cos∠BDC= = ，
BD 7
故选：B．
4．（3分）（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，点C是线段AB的中点，∠A=30°，∠DCB=45°，
若AB=10，则BD的长是（ ）A．2❑√10 B．3❑√5 C．4❑√3 D．5❑√2
【答案】D
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，勾股定理，过点D作DM⊥AB，交AB的延长线于点M，根
据正切和勾股定理计算即可．
【详解】解：过点D作DM⊥AB，交AB的延长线于点M，
∵点C是线段AB的中点，AB=10，
∴AC=CB=5，
设DM=x，
∵∠DCB=45°，
∴CM=DM=x，BM=CM−CB=x−5，
∵∠A=30°，
DM DM x ❑√3
∴tan A=tan30°= = = = ，
AM AC+CM x+5 3
5❑√3+5
解得x= ，
2
5❑√3−5
∴BM=x−5= ，
2
∴BD=❑√DM2+BM2=❑√50=5❑√2，
故选D．
5．（3分）（23-24九年级·湖北随州·期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用．
我们已经知道30°，45°，60°角的三角函数值，现在来求tan22.5°的值：如图，在Rt△ACB中，
∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°．设AC=1，则BC=1，AC 1
AB=AB=❑√2=BD，所以tan22.5°= = =❑√2−1，类比这种方法，计算tan15°的值为（ ）
AD 1+❑√2
A．❑√3−❑√2 B．2−❑√3 C．❑√3+❑√2 D．❑√3−2
【答案】B
【分析】本题考查了正切值的求解勾股定理，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB使
AC
BD=AB，连接AD，得∠D=15°，设AC=1，则BA=BD=2，BC=❑√3，根据tan15°=tanD=
CD
进行求解即可．
【详解】解：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB使BD=AB，连接AD，得
∠D=15°，
设AC=1，则BA=BD=2，BC=❑√AB2−AC2=❑√3，
∴CD=BC+BD=2+❑√3，
在Rt△ACD中，
AC 1
tan15°=tanD= = =2−❑√3，
CD 2+❑√3
故选：B．
6．（3分）（2024·广东佛山·三模）如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接AB、CD
交于点P，则∠BPC的正切值是（ ）3 ❑√5 2❑√3
A．2 B． C． D．
2 2 3
【答案】A
【分析】本题考查了正切函数，勾股定理，正方形的性质等，连接BE、AE，∠BDC=∠DBE
=∠BED=∠AED=45°，由平行线的性质得∠BPC=∠ABE，由勾股定理求出AE、BE的长，由正切
函数求出tan∠ABE的值；掌握正切函数的定义，作出辅助线使得∠BPC=∠ABE，构建直角三角形求
解是解题的关键．
【详解】解：如图，连接BE、AE，
由正方形的性质得：
∠BDC=∠DBE =∠BED=∠AED=45°，
∴BE∥CD，∠AEB=90°，
∴∠BPC=∠ABE，
∴AE=❑√22+22 =2❑√2，
BE=❑√12+12 =❑√2，
AE 2❑√2
∴tan∠ABE= = =2，
BE ❑√2
∴tan∠BPC=2；
故选：A．
7．（3分）（23-24九年级·四川达州·期末）如图，点C在线段AB上，等腰△ADC的顶角∠ADC=120°，
点M是矩形CDEF的对角线DF的中点，连接MB，若AB=6❑√3，AC=6，则MB的最小值为（ ）A．9−2❑√3 B．9−2❑√2 C．8−2❑√3 D．8−2❑√2
【答案】A
【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，特殊角的三角函数等知识．连接EC，过
点M作MJ⊥CD于J，交AB于T，根据矩形的性质得DM=CM，从而得出点M的运动路径，再利用特
殊角的三角函数进行计算即可．
【详解】解：如图，连接EC，过点M作MJ⊥CD于J，交AB于T，
∵ EFCD M DF
四边形 是矩形，点 是 的中点，
∴点M是DF，EC的交点，
∴MD=MC，
∵MJ⊥CD，
∴DJ=JC，
∴点M在CD的垂直平分线上运动，
当BM⊥MJ时，BM的值最小，
∵DA=DC，∠ADC=120°，AC=6，
∴∠A=∠DCA=30°，
3
∴CD= =2❑√3，
cos30°
∴CJ=DJ=❑√3，
∴CT=CJ÷cos30°=2，
∵AB=6❑√3，AC=6，
∴BT=BC+CT=(6❑√3−6)+2=6❑√3−4，
∵∠CJT=90°，∠JCT=30°，
∴∠BTM=60°，
❑√3
∴BM=BT⋅sin60°=(6❑√3−4)× =9−2❑√3，
2
∴MB的最小值为9−2❑√3，
故选：A．
8．（3分）（23-24九年级·重庆九龙坡·期末）如图，矩形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接AE、1
DE，若AE平分∠BED，AB=4，tan∠AEB= ，则△ADE的面积为（ ）
4
A．12 B．17 C．20 D．21
【答案】B
【分析】由矩形的性质可得出AD=BC，AD∥BC，∠B=90°，结合已知条件可得出∠DAE=∠AED，
由等角对等边可得出AD=DE， 解直角三角形可得出BE=16，设AD=DE=BC=x，CE=16−x，利
用勾股定理解出x， 再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解： 四边形ABCD是矩形，
AD=BC，A∵D∥BC，∠B=90° ，
∴∠DAE=∠AEB，
∴AE平分∠BED，
∵∠DEA=∠BEA
∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE，
∴ AB 1
tan∠AEB= = ，AB=4，
BE 4
∵
BE=16，
∴设AD=DE=BC=x，
CE=16−x，
∴CD2+CE2=DE2
∵
4+(16−x) 2=x2，
∴
17
x=
2
∴
1 17
△ADE的面积： × ×4=17，
2 2
∴
故选 B
【点∶睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定以及性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理的应用， 掌握这些性质是解题的关键．
9．（3分）（23-24九年级·重庆北碚·阶段练习）学校某数学兴趣小组想测学校旗杆高度如图，明明在稻香
园一楼A点测得旗杆顶点F仰角为45°，在稻香园二楼B点测得点F的仰角为37°．明明从A点朝旗杆方
向步行4米到C点，沿坡度i=1:3的台阶走到点D，再向前走5米到旗杆底部E，已知稻香园AB高度为
4.5米，则旗杆EF的高度约为（ ）（参考数据：sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan37°=0.75）
A．13.5米 B．15米 C．16.5米 D．18米
【答案】B
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角与俯角问题以及坡度问题，等腰直角三角形的判定和性
质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
延长FE、AC交于点G，作DH⊥AG于H，BM⊥FE于M，则△AFG是等腰直角三角形，得
FG=AG=BM，由CD的坡度得CH=3DH，设EG=DH=x米，则CH=3x米，
4.5+3x 3
BM=FG=AG=(9+3x)米，FM=(4.5+3x)米，在Rt△BFM中，由三角函数定义得出 = ，解
9+3x 4
得x=3，进而得出答案．
【详解】解：如图，延长FE、AC交于点G，作DH⊥AG于H，BM⊥FE于M，
则BM=AG，GM=AB=4.5米，GH=DE=5米，EG=DH，∠MBF=37°，∠GAF=45°，
∴△AFG是等腰直角三角形，
∴FG=AG=BM，∵CD的坡度i=1:3，
DH
∴ =1:3,
CH
∴CH=3DH，
设EG=DH=x米，则CH=3x米，
∴BM=FG=AG=GH+CH+AC=5+3x+4=(9+3x)米，
∴FM=FG−GM=9+3x−4.5=(4.5+3x)米，
FM
在Rt△BFM中，tan∠MBF= =tan37°=0.75，
BM
4.5+3x 3
∴ = ，
9+3x 4
解得：x=3，
∴FG=18米，EG=3米，
∴EF=FG−EG=18−3=15米；
故选：B．
10．（3分）（2024·浙江台州·一模）如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中
∠AOB=90°，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若IJ=❑√2，则
该“风车”的面积为（ ）
A．❑√2+1 B．2❑√2 C．4−❑√2 D．4❑√2
【答案】B
【分析】连接AC,由题意可得Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH，进而说明△OAC为等腰直角三角形，
再说明分CD、GI垂直平分AB，进而说明∠OBH=∠OHB=45°，然后再运用解直角三角形求得AI，然后再
求得三角形AOB的面积，最后求风车面积即可．
【详解】解：如图：连接AC由题意可得：Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH
∴OA=OC, ∠OAB= ∠OCD
∵∠AOC=∠AOB=90°
∴△OAC为等腰直角三角形
又∵∠OAB= ∠OCD：
∴∠AJD=180°-∠ADJ-∠OAB
=180°-∠ODC-∠OCD=90°，即AJ⊥CD
又∵CJ=DJ
∴AJ垂直平分CD
同理：GI垂直平分AB
∴AC=AD,AJ是等腰三角形顶角∠CAD的角平分线
1 1
即∠DAJ= ∠CAD= ×45°=22.5°
2 2
易得IH=BJ,IJ=IB+BJ=IB+IH
又∵IB=IA
∴IJ=IB+BJ=IH+IA=❑√2
在Rt△ABO中，∠ABH=∠BAH=22.5°
∴∠OBH=OHB=45°
设OB=OH=a，即AH=BH=❑√2OB=❑√2a
BO a
∴tan∠A=
= =❑√2−1
AO a+❑√2a
IH
∴ =tan∠A=❑√2−1
IA
设IH=（❑√2−1）x，AI=x
∴IH+IA=❑√2x=❑√2，即x=1
1
∴S = ×AB×IH=❑√2−1
△ABH 2
S OH 1
又∵ ΔBOH = =
S AH ❑√2
ΔABH
❑√2
∴S =1−
△BOH 2❑√2 ❑√2
∴S =S +S =❑√2−1+1− =
△AOB △ABH △BOH 2 2
❑√2
∴S =4S =4× =2❑√2．
风车 △AOB 2
故选B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知
识以及数形结合思想成为解答本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24九年级·山东威海·期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，
3
∠DBC=∠A，若AC=4，tanA= ，则BD的长度为 ．
4
15
【答案】
4
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，由锐角三角函数求出BC，再由锐角三角函数求出CD，利
用勾股定理即可求出BD的长度，掌握解直角三角形是解题的关键．
3
【详解】解：∵∠C=90°，tan A= ，
4
BC 3
∴ = ，
AC 4∵AC=4，
BC 3
= ，
4 4
∴BC=3，
∵∠DBC=∠A，
3
∴tan∠DBC=tanA= ，
4
CD 3
∴ = ，
BC 4
CD 3
即 = ，
3 4
9
∴CD= ，
4
∴BD=❑√BC2+CD2=❑
√
32+
(9) 2
=
15
，
4 4
15
故答案为： ．
4
12．（3分）（23-24九年级·上海普陀·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边的中点，
过点D作DE⊥AB，垂足为E，如果AD=2，AB=6，那么cos∠ADE= ．
❑√5
【答案】
3
【分析】本题主要考查了解直角三角形，先由线段中点的定义得到AC=4，则由勾股定理可得BC=2❑√5，
BC ❑√5 ❑√5
则cosB= = ，再证明∠ADE=∠B，则cos∠ADE=cosB= ．
AB 3 3
【详解】解：∵D是AC边的中点，AD=2，
∴AC=2AD=4，
∵∠C=90°，∴由勾股定理得BC=❑√AB2−AC2=2❑√5，
BC ❑√5
∴cosB= = ，
AB 3
∵DE⊥AB，
∴∠A+∠ADE=90°，
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠ADE=∠B，
❑√5
∴cos∠ADE=cosB= ，
3
❑√5
故答案为： ．
3
13．（3分）（23-24九年级·江苏常州·期末）如图，在Rt ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下
列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④△sinα=cosβ.其中正确的结论有 .
【答案】①②③④
【分析】根据∠A=90°，AD⊥BC，可得∠α=∠B，∠β=∠C，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．
【详解】∵∠A=90°，AD⊥BC，
∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，
∴∠α=∠B，∠β=∠C，
∴sinα=sinB，故①正确；
sinβ=sinC，故②正确；
AC AC
∵在Rt ABC中sinB= ，cosC= ，
BC BC
△
∴sinB=cosC，故③正确；
∵sinα=sinB，cos∠β=cosC，
∴sinα=cos∠β，故④正确；
故答案为①②③④．
【点睛】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．
14．（3分）（2024·甘肃武威·中考真题）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，∠AED=90°,∠EAD=30°,F是AD边的中点，EF=4cm，则BE= cm．
【答案】6
【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解AD, 再利用锐角三角函数依次求解AE,BE
即可得到答案．
【详解】解：∵∠AED=90°, F是AD边的中点，EF=4cm，
∴AD=2EF=8,
∵∠DAE=30°,
❑√3
∴AE=cos30°×AD=8× =4❑√3,
2
∵ 矩形ABCD，
∴AD//BC,∠ABE=90°,
∴∠AEB=∠DAE=30°,
❑√3
∴BE=AE·cos30°=4❑√3× =6.
2
故答案为：6.
【点睛】本题考查的是矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数的应用，掌
握锐角三角函数的应用是解题的关键．
15．（3分）（23-24九年级·江苏宿迁·期末）如图，光源A(−3,2)发出的一束光（y轴）上的点B的反射光
线BC交x轴于点C(−1,0)，再被平面镜（x轴），则直线CD的解析式为 ．
1 1
【答案】y=− x−
2 22−b b
【分析】根据反射定律，∠ABD=∠CBE，设点B(0,b)，由tan∠ABD=tan∠CBE，得到 = ，
3 1
1
得到直线AB的解析式，根据两直线平行k值相等，设直线CD的解析式为y=− x+n，将点C(−1,0)代
2
入，即可求解，
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、正切定义，解题的关键是：设出点B坐标．
【详解】解：设点B的坐标为(0,b)，过点B作y轴的垂线，过点A作垂直于该直线的垂线相交于点D，作
CE⊥BD，垂足为E，
根据反射定律，∠ABD=∠CBE，
∴tan∠ABD=tan∠CBE，
2−b b 1
∴ = ，解得：b= ，
3 1 2
( 1)
∴B 0, ，
2
1
( 1)
{2=−3k+m
)
{ k=−
2
)
设直线AB的解析式为y=kx+m，将点A(−3,2)，B 0, 代入得： 1 解得： ，
2 =m 1
2 m=
2
1 1
∴直线AB的解析式为：y=− x+ ，
2 2
∵AB∥CD，
∴直线AB和CD解析式中的k值相等，
1 1 1
设直线CD的解析式为y=− x+n，将点C(−1,0)代入得： +n=0解得：n=− ，
2 2 2
1 1
∴直线CD的解析式为：y=− x− ，
2 2
1 1
故答案为：y=− x− ．
2 216．（3分）（23-24九年级·湖北·期末）如图，矩形ABCD中，AB:BC=3:5，将矩形ABCD绕点C顺时
BF
针旋转得到矩形CEGF，若点E在AD上，连接BF，DF，则 值为 ．
DF
❑√130
【答案】
3
【分析】过F作FP⊥CD于点P，交AB于点Q，由旋转和矩形的性质可得：AB=CD=CF，BC=CE，
∠ECF=∠BCD=90°，设AB=CD=CF=3a，则CE=BC=5a，根据勾股定理求出CD=4a，进而得
4 PC 4
到cos∠DEC= ，根据同角的余角相等可得∠DEC=∠PCF，推出cos∠PCF= = ，可求出
5 CF 5
12 12
PC= a，进而求出PF、PD和DF，证明四边形BCPQ是矩形，得到BQ=PC= a，PQ=BC=5a，
5 5
根据勾股定理求出BF，即可求解．
【详解】解：如图，过F作FP⊥CD于点P，交AB于点Q，
由旋转和矩形的性质可得：AB=CD=CF，BC=CE，∠ECF=∠BCD=90°，
∵ AB:BC=3:5，
∴设AB=CD=CF=3a，则CE=BC=5a，
在Rt△CDE中，CD=❑√CE2−CD2=❑√(5a) 2−(3a) 2=4a，
DE 4
∴ cos∠DEC= = ，
CE 5
∵ ∠DEC+∠DCE=90°，∠PCF+∠DCE=90°，∴ ∠DEC=∠PCF，
PC 4
∴ cos∠PCF=cos∠DEC= = ，
CF 5
4 12
∴ PC=cos∠PCF·CF= ×3a= a，
5 5
∴ PF=❑√CF2−PC2=❑ √ (3a) 2− (12 a ) 2 = 9 a，PD=CD−CP=3a− 12 a= 3 a，
5 5 5 5
∴ DF=❑√PF2+PD2=❑ √ (9 a ) 2 + (3 a ) 2 = 3❑√10 a，
5 5 5
∵ ∠ABC=∠BCD=∠CPQ=90°，
∴四边形BCPQ是矩形，
12
∴ BQ=PC= a，PQ=BC=5a，
5
9a 34
∴ QF=PQ+PF=5a+ = a，
5 5
∴ BF=❑√BQ2+QF2=❑ √ (12 a ) 2 + (34 a ) 2 =2❑√13a，
5 5
BF 2❑√13a ❑√130
= =
∴ DF 3❑√10 3 ，
a
5
❑√130
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，三角函数，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关
知识．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24九年级·福建南平·期末）计算：
(1)3sin30°·cos60°−tan230°；
tan60°+2sin45°
(2) −cos30°．
tan45°
5
【答案】(1)
12
❑√3
(2) +❑√2
2【分析】本题考查了特殊角三角函数值、实数的混合运算；熟记特殊角三角函数值是解题关键．
（1）代入特殊角三角函数值，再根据实数的运算，可得答案；
（2）代入特殊角三角函数值，再根据实数的运算，可得答案．
【详解】（1）3sin30°·cos60°−tan230°
1 1 ❑√3 2
=3× × −( )
2 2 3
3 1
= −
4 3
5
= ；
12
tan60°+2sin45°
（2）解： −cos30°
tan45°
❑√3+❑√2 ❑√3
= −
1 2
❑√3
= +❑√2．
2
18．（6分）（23-24九年级·江西·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，
4
BE⊥CD，垂足为E，BC=8，cos∠ABC= ．
5
(1)求CD的长．
(2)求∠DBE的正弦值．
【答案】(1)5
7
(2)
25
【分析】本题考查了正弦与余弦、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握正弦与余弦的概念
是解题关键．
（1）先根据余弦的定义可得AB=10，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得；4
（2）先求出cos∠BCE=cos∠ABC= ，利用余弦可求出CE的长，从而可得DE的长，再在Rt△BDE
5
中，利用正弦的定义求解即可得．
4
【详解】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，cos∠ABC= ，
5
BC 8 4
∴cos∠ABC= = = ，
AB AB 5
5
∴AB=8× =10，
4
∵D是边AB的中点，
1
∴CD= AB=5，
2
所以CD的长为5．
（2）解：∵D是斜边AB的中点，
1
∴CD=BD= AB=5，
2
∴∠BCE=∠ABC，
4
∴cos∠BCE=cos∠ABC= ，
5
∵BE⊥CD，
CE 4 CE 4
∴cos∠BCE= = ，即 = ，
BC 5 8 5
32
解得CE= ，
5
7
∴DE=CE−CD= ，
5
DE 7
∴sin∠DBE= = ，
BD 25
7
所以∠DBE的正弦值为 ．
25
19．（8分）（23-24九年级·江苏常州·期末）小强在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸
片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在
BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值．你能说明小强这样做的道理吗？写出你的说理过程！【答案】理由见解析．
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正切的定义，设AB=x，由第一次折叠
可得AB=BE=x，∠AEB=∠EAB=45°，即得AE=❑√2x，由第二次折叠可得AE=EF=❑√2x，
∠EAF=∠EFA=45°÷2=22.5°，进而可得∠FAB=67.5°，最后根据正切的定义即可求解，掌握折叠
的性质是解题的关键．
【详解】解：设AB=x，
∵将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，
∴AB=BE=x，∠AEB=∠EAB=45°，
∴AE=❑√2x，
∵还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，
∴AE=EF=❑√2x，∠EAF=∠EFA=45°÷2=22.5°，
∴∠FAB=90°−22.5°=67.5°，
FB ❑√2x+x
∴tan∠FAB=tan67.5°= = =❑√2+1．
AB x
20．（8分）（23-24九年级·安徽·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将
△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△A′B′C′，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，若点B′恰
好落在AB边上．
(1)连接A A′，求证：A A′=❑√3BB′．
(2)若BC=1，求点A到直线A′C的距离．
【答案】(1)证明见解析
3
(2)
2【分析】（1）根据含30°的直角三角形的性质，得到AC=❑√3BC，证明△CBB′为等边三角形，△CA A′
为等边三角形，即可证明；
（2）过点A作AD⊥A′C于点D．求出AC,CD，根据△CA A′为等边三角形，解直角三角形即可．
【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴AC=❑√3BC，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△A′B′C′．
∴CA=C′ A′，CB=C′B′，∠AC A′=∠BCB′=60°，
∴△CBB′为等边三角形，△CA A′为等边三角形．
∴A A′=AC=A′C，BB′=BC=B′C，
∴A A′=❑√3BB′．
（2）解：如图，过点A作AD⊥A′C于点D．
∵BC=1，
∴AC=❑√3BC=❑√3，
1 ❑√3
∴CD= AC= ．
2 2
∵△CA A′为等边三角形，
∴∠CA A′=60°，
∴∠CAD=30°．
CD
∵tan∠CAD= =❑√3，
AD
❑√3 3
∴AD=❑√3CD=❑√3× = ．
2 2
3
∴点A到直线A′C的距离为 ．
2
【点睛】本题考查的是旋转的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与
性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．21．（8分）（23-24九年级·重庆荣昌·期末）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客
中心A的正北方向的B处，其中AB=2km，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备
把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东60°方向缓慢前进．
15分钟后，他们再游客中心A的北偏西37°方向的点D处相遇．
(1)求妈妈步行的速度；
(2)求明明从C处到D处的距离．
【答案】(1)妈妈步行的速度为6km/h
1+❑√3
(2)明明从C处到D处的距离约为 km
2
【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，
掌握方向角定义．
（1）根据正切函数求出BD的长，即路程，则速度=路程÷时间，代入计算即可；
（2）过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，设AE=CE=akm，过点D作DF⊥CE于点F，得矩形
BEFD，可得EF=DB=1.5(km)，表示出DF，CF，进而得出结论．
【详解】（1）解：根据题意可知：AB=2km,∠BAD=37°，
∴BD=AB·tan37°≈2×0.75=1.5(km)，
15
∴1.5÷ =6(km/h)，
60
答：妈妈步行的速度为6km/h；
（2）解：如图，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，
∵∠CAE=45°,∠AEC=90°，∴△AEC是等腰直角三角形，
∴AE=CE，
设AE=CE=akm，
过点D作DF⊥CE于点F，得矩形BEFD，
∴EF=DB=1.5(km)，DF=BE=AE−AB=(a−2)km，
∴CF=CE−EF=(a−1.5)km，
DF
在Rt△CDF中，tan∠DCF= ，
CF
a−2
∴tan30°= ，
a−1.5
❑√3
∴ (a−1.5)=a−2，
3
9+❑√3
∴a= ，
4
1+❑√3
∴DF=a−2= ，
4
1+❑√3
∴CD=2DF= (km)，
2
1+❑√3
答：明明从C处到D处的距离约为 km．
2
22．（8分）（23-24九年级·河北石家庄·期末）【网格中的锐角三角函数】求一个锐角的三角函数值，我
们往往需要找出（或构造出一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形．
(1)如图，在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在格点上，则
cos∠ABC的值为__________．
(2)如图，在边长为l的正方形网格中，连接格点D,N和E,C，DN和EC相交于点P，结合下面的分析，
直接写出tan∠CPN的值为__________．【分析】观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法实现角的转移，
从而解决此类问题，比如连接格点M,N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么
∠CPN就变换到Rt△DMN中．
(3)如图，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，则sin∠CPN的值为__________．
4
【答案】(1)
5
(2)2
❑√2
(3)
2
【分析】（1）过点A作AD⊥BC，交BC延长线于点D，由图可知点D在格点上，由勾股定理可得
AB=5，然后在Rt△ABD中计算cos∠ABC即可；
（2）由平行线的性质可得∠CPN=∠DNM，即有tan∠CPN=tan∠DNM，再在Rt△MND中，由
DM
tan∠CPN=tan∠DNM= 求解可获答案；
MN
（3）取格点D，连接CD,DM，由平行线的性质可得∠CPN=∠DCM，由图易知△DCM为等腰直角三
角形，即有∠DCM=∠CDM=45°，由sin∠CPN=sin∠DCM=sin45°即可获得答案．
【详解】（1）解：如下图，过点A作AD⊥BC，交BC延长线于点D，
由图可知点D在格点上，AD=3,BD=4，
∴AB=❑√AD2+BD2=❑√32+42=5，BD 4
∴cos∠ABC= = ．
AB 5
4
故答案为： ；
5
（2）∵MN∥EC，
∴∠CPN=∠DNM，
∴tan∠CPN=tan∠DNM，
∵∠DMN=90°，
DM 2❑√2
∴tan∠CPN=tan∠DNM= = =2．
MN ❑√2
故答案为：2；
（3）如下图，取格点D，连接CD,DM，
∵CD∥AN，
∴∠CPN=∠DCM，
∵△DCM为等腰直角三角形，
∴∠DCM=∠CDM=45°，
❑√2
∴sin∠CPN=sin∠DCM=sin45°= ．
2
❑√2
故答案为： ．
2
【点睛】本题主要考查了格点三角形、平行线的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题关键是运用
转化思想和数形结合的思想分析问题．
23．（8分）（2024·北京·二模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连
接CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）(1)如果∠A=30°
①如图1，DE与BE之间的数量关系是______
②如图2，点P在线段CB上，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，补全
图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图3，若点P在线段CB的延长线上，且∠A=α(0°<α<90°)，连接DP，将线段DP绕点逆时针旋转
2α得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）．
【答案】(1)①DE=❑√3BE ②CP=BF
(2)BF-BP=2DEtanα
【分析】(1) ①利用60°的角的正切值计算即可；②利用旋转的性质,直角三角形的性质,证明 CDP≌△BDF
即可； △
(2) 利用旋转的性质,直角三角形的性质,证明 CDP≌△BDF即可．
【详解】（1）①DE与BE之间的数量关系是△DE=❑√3BE．理由如下：
如图，∵∠ACB=90°，DE⊥BC，∠A=30°，
∴∠B=60°，
DE
∴tan60°= =❑√3，
BE
∴DE与BE之间的数量关系是DE=❑√3BE，
故答案为：DE=❑√3BE．
②CP、BF之间的数量关系是CP=BF．理由如下：
∵∠ACB=90°，DE⊥BC，CD是AB边的中线，∠A=30°，
∴CD=AD=DB，∠B=60°，
∴△CDB是等边三角形，∴∠CDB=60°，
根据旋转的性质，得∠PDF=60°，DP=DF，
∵∠CDB -∠PDB=∠PDF -∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
∵CD=BD，DP=DF，
∴△CDP≌△BDF，
∴CP=BF．
（2）DE、BF、BP三者的数量关系是BF-BP=2DEtanα．理由如下：
∵∠ACB=90°，DE⊥BC，CD是AB边的中线，∠A=α，
∴CD=AD=DB，∠CDB=2α，
根据旋转的性质，得∠PDF=2α，DP=DF，
∴2α+∠PDB=2α+∠PDB，
故∠CDB +∠PDB=∠PDF +∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
∵CD=BD，DP=DF，
∴△CDP≌△BDF，
∴CP=BF，
∴BF=BC+BP，
∵CD=DB，DE⊥BC，∠A=α，
∴BC=2CE=2BE，DE∥AC，∴∠EDB=α，
BE
∴tanα= ，即BE=DE tanα，
DE
∴BC=2BE=2 DE tanα，
∴BF-BP=2DEtanα．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，特殊角的三角函数值，三角形全等的判定和性质，直角三角
形的性质，熟练掌握直径上全等的判定和性质，灵活运用锐角三角函数是解题的关键．
