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第七章 立体几何与空间向量（测试）
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知圆台上下底面半径之比为 ，母线与底面所成的角的正弦值
为 ，圆台体积为 ，则该圆台的侧面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
做出圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为 ，则下底面半径为 ，
作 ，垂足为 ，则 ，母线与底面所成的角的正弦值为 ，
即 ，设圆台的母线长为 ，高为 ，则 ， ，
因为圆台的体积为 ，由圆台的体积公式 ，计算得 ，
所以 .
再由圆台侧面积公式 ，可得圆台的侧面积为 .
故选：C.
2．（2023·甘肃天水·高三校考阶段练习）设 ，向量 ， ， 且
，则 （ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【解析】由向量 且 ，
可得 ，解得 ，所以 ， ，
则 ，所以 .故选：C.
3．（2023·北京·高三强基计划）设 ，则V的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，V是由 四点构成的四面体 及其内部，
其体积为 ．
故选：D.
4．（2023·陕西西安·统考一模）如图，球面上有 、 、 三点， ， ，球心 到
平面 的距离是 ，则球 的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在 中， ， ，
则 外接圆的直径为 ，所以， ，
因此，球心 到平面 的距离为 ，
所以，球 的半径为 ，
因此，球 的体积为 .
故选：B.
5．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）以下什么物体能被放进底面半径为 ，高为
的圆柱中（ ）
A．底面半径为 ，母线长为 的圆锥B．底面半径为 ，高为 的圆柱
C．边长为 的立方体
D．底面积为 ，高为 的直三棱柱
【答案】B
【解析】由于 ，故该圆锥无法放入圆柱中，A错误；
B选项，如图所示，将底面半径为 ，高为 的圆柱放入半径为 ，高为 的圆柱中，如图所
示，
则 ，因为 ，由勾股定理得 ，
设 ，则 ，则 ， ，
由勾股定理得 ，
因为 ，则 ， ，
，
故能被放进底面半径为 ，高为 的圆柱中，B正确；
C选项，边长为 的立方体，面对角线长为 ，体对角线长为 ，
要想放进高为 的圆柱内，需要如图所示放入，
其外接球 的直径为 ，故要想放入圆柱中，只能放入以球 为内切球的圆柱中，
如图，过点 的母线交上底面于点 ，交下底面于点 ，
设 ， ，由勾股定理得 ，
连接 ，则 ，由勾股定理得 ，
解得 ，即边长为 的立方体可放入底面半径为 ，高为 的的圆柱中，
因为 ，故C错误；
D选项，底面积为 ，高为 的直三棱柱体积为 ，
由于底面半径为 ，高为 的圆柱体积为 ，
故无法放进放进底面半径为 ，高为 的圆柱中，D错误.
故选：B
6．（2023·北京·高三强基计划）在正方体 中，动点M在底面 内运动且满足
，则动点M在底面 内的轨迹为（ ）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线一支的一部分 D．前三个答案都不对
【答案】A
【解析】因为 ，故 在圆锥面上，该圆锥以 为轴， 为顶点，
而M在底面 内，
故动点M在底面 内的轨迹是以D为圆心的四分之一圆弧 ．
故选：A.
7．（2023·四川·校联考一模）如图，在棱长为1的正方体 中，点P是线段 上的动点，
下列说法错误的是（ ）A． 平面
B．
C．异面直线AP与 所成的角的最小值为
D．三棱锥 的体积为定值
【答案】C
【解析】对于A，易知 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理 平面 ，又 ，所以平面 平面 ，
又 平面 ，所以 平面 ，故A正确；
对于B，易知 ，又 ，则 平面 ，
又 平面 ，则 ，同理 ，又 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，故B正确；
对于C，如图所示：
过点D作 ，连AQ，知 就是异面直线AP与 所成的角的最小角，
有 ，故C错误；
对于D， ，其中 是定值，
面 平面 ，知点P到面 的距离是一个定值.故D正确.
故选：C
8．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）四面体ABCD的四个顶点都在球 的球面
上， ， ，点E，F，G分别为棱BC，CD，AD的中点，现有如下结
论：①过点E，F，G作四面体ABCD的截面，则该截面的面积为2；②四面体ABCD的体积为 ；③
过 作球 的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4.则上述说法正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C【解析】选项①中，如图（1）所示，找 的中点 ，过点E，F，G做四面体ABCD的截面即为面
，
则 , ，所以四边形 为平行四边形，
找 的中点 ,连接 ，因为 ，所以
平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，所以 ，
所以四边形 为矩形， ， ，
所以截面的面积 ，故①正确；
选项②中， 中，由勾股定理得： ，
同理 ，过点 作 ,则 ，所以由勾股定理得：
，
所以 ，
由选项①可得： 平面 ,
所以 ， ，故②错误；
选项③中，可以将四面体放入如图（2）所示的长方体中，由题可求得， ，
所以外接球的半径 ，截面面积的最大值为 ；平面 截得的面积为最小面积，
半径 ，截面积最小为 ，所以截面面积的最大值与最小值的比为5：4，故
③正确.
图（1）图（2）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·全国·高三专题练习）若点D，E，F分别为 的边BC，CA，AB的中点，且 ，
则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】 ， ，
，故选项A正确；
，故选项B正确；
， ，故选项C正确；
，故选项D错误．
故选： ．
10．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）如图，四棱锥 的底面为梯形， 底
面 ， ， ， 为棱 的中点，则（ ）
A． 与平面 所成的角的余弦值为B．
C． 平面
D．三棱锥 的体积为
【答案】CD
【解析】对于A项，如图取AD中点F，连接EF，则EF∥PD，由题意可得：EF⊥面ABCD，
连接CF，∠ECF即 与平面 所成的角，由条件可得EF=2， ，
，故A错误；
对于B项，连接AC，易得 ，又E为PA中点， ，故PA与CE不垂直，故B错
误；
对于C项，如图所示，在梯形ABCD中，过B作BG⊥CD，由条件可得，BG=AD=GC=2，故
，由勾股定理逆定理可得BD⊥BC，
又PD⊥面ABCD，BC 面ABCD，则PD⊥BC，PD BD=D，PD、BD 面ABCD，
所以BC⊥面PBD，故C正确；
对于D项，由条件得 ，
由上可得 ，故 ，故D正确.
故选：CD
11．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知点P为正方体 底面ABCD的中心，用与直线
垂直的平面 截此正方体，所得截面可能是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】ABC
【解析】如图，设棱长为1，过点 作 ，交 于点 ，连结 ，
因为 ，则 ，
即 ，所以 ，所以点 为 的中点，
因为 ， ，且 ，且 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ,
所以 ，且 ， ，且 平面 ，
所以 平面 ，此时平面 就是满足条件的一个 ,
此时所得截面为三角形 ，
当点 平移至点 ，对应的点 平移至点 （ 分别是 的中点），形成平面 ，
此时截面为四边形 ，
夹在平面 和平面 之间的形成五边形 ，如下图，若截面在平面 下方时，形成的截面为三角形，直至缩成一个点，如下图，
若截面在平面 的上方时，形成的截面为五边形，如下图，
当点 分别移到点 的位置，点 移到 的中点 位置，形成的截面为三角形 ，再往上形
成的截面也为三角形，直至缩成一个点，
如下图，
综上可知，所的截面为三角形，四边形，五边形，没有六边形.
故选：ABC
12．（2023·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知正方体 的棱长为 为空间中任
一点，则下列结论中正确的是（ ）A．若 为线段 上任一点，则 与 所成角的范围为
B．若 在正方形 内部，且 ，则点 轨迹的长度为
C．若 为正方形 的中心，则三棱锥 外接球的体积为
D．若三棱锥 的体积为 恒成立，点 的轨迹为椭圆或部分椭圆
【答案】ABD
【解析】对于A，当 与 不重合时，过 作 交 于 ，连接 ，如图，
由 平面 ， 平面 ，得 ，有 ，显然 ，
则 为 与 所成的角， ，当 与 重合时， ，
当 由点 向点 移动过程中， 逐渐增大， 逐渐减小，则 逐渐增大，
因此 ， ，当 与点 重合时，有 ， ，
所以 与 所成角的范围为 ，A正确；
对于B，由 平面 ，得 是直角三角形， ，如图，
点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的 圆弧（不含弧的端点），轨迹长度为 ，B正确；
对于C，连接 ，连接 ，如图，显然 分别为 中点，则 ，
因此点 是三棱锥 外接球球心，球半径为 ，体积为 ，C错误；
对于D，连接 ，如图， ， 面积 ，
设点 到平面 的距离为 ，由三棱锥 的体积为 ，得 ，解得 ，
由 平面 ， 平面 ，得 ，又 ， 平面 ，
则 平面 ，而 平面 ，于是 ，同理 ，
又 平面 ，从而 平面 ，同理 平面 ，则平面 平
面 ，
三棱锥 的体积 ，于是点 到平面 距离为 ，
同理点 到平面 距离为 ，又 ，即平面 与平面 的距离为 ，
因此点 在平面 上或在过点 与平面 平行的平面 上，
令 与平面 交于点 ，连接 ，有 ， ，
于是直线 与平面 所成角的余弦 ，即直线 与平面 所成角大于 ，
则点 在平面 上，由 ，得点 在以直线 为轴， 为顶点，轴截面顶角为 的圆锥侧面
上（除顶点外），显然点P的轨迹是平面 与上述圆锥侧面的交线，所以平面 截上述圆锥侧面为椭圆，D正确.
故选：ABD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023·广东揭阳·高三校考开学考试）一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球
缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球缺的体积公式为
，其中 为球的半径， 为球缺的高.2022北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”（如图1）深
受广大市民的喜爱，它寓意着创造非凡、探索未来，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可
能 它的外形可近似抽象成一个球缺与一个圆台构成的组合体（如图2），已知该圆台的底面半径分别 和
，高为 ，球缺所在球的半径为 ，则该组合体的体积为 ．
【答案】 /
【解析】由题意知圆台的体积为 ，
如图可知 ，则球心到圆台上底面的距离为 ，
故球缺的高为 ，
故球缺的体积为 ，
所以组合体的体积为 ，
故答案为： ．
14．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知四棱锥 的底面为平行四边形，点 ， 分别是 、的中点，过 ， ， 三点的平面与棱 的交点为 ，若 ，则 ．
【答案】2
【解析】如图所示，延长 和 交于点 ，
由 ，且 为 的中点，所以 ，即 ，
连接 交 于点 ，连接 ，则过点 的截面即为截面 ，
取 的中点 ，连接 ，因为 为 的中点，所以 ，且 ，
所以 ，可得 ，即 ，所以 ，
因为 ，所以 .
故答案为： .
15．（2023·全国·高三专题练习）毛泽东在《七律二首•送瘟神》中有句诗为“坐地日行八万里，巡天遥看
一千河.”前半句的意思是：人坐在地面上不动，由于地球的自转，每昼夜会随着地面经过八万里路程.诗中
所提到的八万里，指的是人坐在赤道附近所得到的数据.设某地所在纬度为北纬 （即地球球
心 和该地的连线与赤道平面所成的角为 ），且 .若将地球近似看作球体，则某人在该地每昼
夜随着地球自转而经过的路程约为万里.
【答案】6
【解析】由题意可知，赤道周长为 万里，则地球半径 万里.
设某地随着地球自转，所形成圆的半径为 ，
则 万里，则该圆的周长 万里.故答案为：6.
16．（2023·广东河源·高三校联考开学考试）在长方体 中， ， ， ，
为 ， 的中点， 在 上，且 .过 ， ， 三点的平面与长方体的六个面相交得到六边
形 ，则点 到直线 的距离为 .
【答案】
【解析】如图所示，在长方体 中，连接 ,
因为 ， ， ， 为 ， 的中点，截面与平面 ，平面 分别相交于直
线 ，
所以 ，
所以 ， ， ，
所以 ，延长 与 的延长线交于 ,延长 与 相交于 ，连接 ， ,
与 的交点为 ， 与 的交点为 ，
因为 ，所以 ，因为 ， ，所以 ，
因为 ， 为 的中点，所以 ，
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，同理 ， ，在 上取一点 ，
使得 ，过 作 与 垂直，垂足为 ，连接 ， ,
由于 平面 ，所以 平面 ， 平面 ，
故 ,又 平面 ,
所以 平面 , 平面 ,故 ，
且 ，因为
，
，
所以 ，所以 ，所以 .
故答案为： .四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2023·贵州·高三统考开学考试）如图，直四棱柱 的底面 为菱形，且 ，
，E，F分别为BC， 的中点．
(1)证明：平面 平面 ．
(2)求平面 和平面 的夹角的余弦值．
【解析】（1）在直四棱柱 中，底面 为菱形， ，连接 ，如图，
显然 为正三角形，由 为 的中点，得 ，而 平面A B C D ，
1 1 1 1
平面A B C D ，则 ，又 ， 平面 ，
1 1 1 1
因此 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 ．
（2）连接 ，由（1）知 是正三角形， 为 的中点，则 ，而 ，即有
，
又 平面 ，于是 两两垂直，
以A为原点，分别以 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，由 ，得 ，
， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得 ，
因此 ，
所以平面 和平面 的夹角的余弦值为 ．
18．（12分）
（2023·四川泸州·校考三模）如图，已知直四棱柱 的底面是边长为2的正方形， ， 分
别为 ， 的中点．
(1)求证：直线 、 、 交于一点；
(2)若 ，求多面体 的体积．
【解析】（1）连接 、 ，
因为 、 分别为 、 的中点，所以 且 ．
因为 是直四棱柱，且底面是正方形，所以 ，且 ，即四边形 是平行四边形，
所以 且 ，所以 ，且 ，
所以四边形 为梯形，所以 与 交于一点，记为 ，
即 ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
又因为平面 平面 ，则 直线 ，
所以直线 、 、 交于一点 .
（2）连接 ，
由题意可得： .
19．（12分）
（2023·贵州毕节·校考模拟预测）在梯形 中， ， ， ， ，如图
1.沿对角线 将 折起，使点 到达点 的位置， 为 的中点，如图2.
(1)证明： .
(2)若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】（1）因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，则 ，又 ，所以 为等边三角形，所以 ，又 为 的中点，
连接 交 于点 ，则 ， ，
所以 ，所以 ，即 ，
则折起后 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 .
（2）由（1）易知 ， ， 是二面角 的平面角，
即 ，所以 是等边三角形，设 为 的中点，则 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
， 平面 ，所以 平面 ，且 ，
如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，
则 ，
所以 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
20．（12分）
（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）图1是直角梯形 ，四边形 是边长为2的菱形，并且 ，以 为折痕将 折起，使点 到达 的位置，且 ，如图
2.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得 到平面 的距离为 ？若存在，求出直线 与平面 所成
角的正弦值.
【解析】（1）（1）证明：如图所示：
在图1中连接AC，交BE于O，
因为四边形 是边长为2的菱形，并且 ，
所以 ，且 ，
在图2中，相交直线 均与BE垂直，
所以 是二面角 的平面角，
因为 ，则 ，
所以平面 平面 ；
（2）由（1）分别以 为x，y，z建立如图所示空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，设 ，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，
因为 到平面 的距离为 ，
所以 ，解得 ，
则 ，所以 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为： .
21．（12分）
（2023·西藏日喀则·统考一模）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为
鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背
节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六
而一即得.”
如图，在鳖臑ABCD中，侧棱AB⊥底面BCD；
(1)若 ， ， ，试求异面直线AC与BD所成角的余弦值.(2)若 ， ，点P在棱AC上运动.试求 面积的最小值.
【解析】（1）如图，以 为临边作平行四边形 ，连结 ，则异面直线 和 所成的角为
或其补角，
当 时， ，
且由（1）可知， ， ， ，
中， ，
所以异面直线 和 所成的角的余弦值为 ；
当 时， ， ， ，
中， ，
所以异面直线 和 所成的角的余弦值为 ；
综上可知，异面直线 和 所成的角的余弦值为 或 ；
（2）
如图，作 于点 ，作 于点 ，连结 ，
中， 都垂直于 ，所以 ，
所以 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，设 ， ，由 ，
得 ， ，
中， ，
得 ，
,当且仅当 时，等号成立，
所以 .
所以 面积的最小值是 .
22．（12分）
（2023·全国·校联考模拟预测）在 中， 对应的边分别为 ，且 ．且
(1)求 ；
(2)若 ， 上有一动点 （异于B、C），将 沿AP折起使BP与CP夹角为 ，求 与平
面 所成角正弦值的范围．
【解析】（1）方法一：由 ，结合二倍角公式可得，
，
即 .
若 ，则 ，于是 ，
根据正弦函数 在 上递增可得，
，类似的有 ，
于是 ，
这与 矛盾；
若 ，则 ，于是 ，根据正弦函数 在 上递增可得，
，
类似的有 ，于是
，
这与 矛盾；
若 ，即 ，此时 确实成
立.
综上所述， .
方法二：将 代入 可得
，
再利用两角和的正弦公式和二倍角的余弦公式，化简即可得
所以 ，
即 ，
再由和差化积公式可得：
，
所以
不妨设 ，则 ，
所以 ，
即 ，又 ，所以 ，
可得 ，所以 .
（2）由题意，折叠后的几何体如下，设 ，则
在 中，若 ，由余弦定理得，
.
下以 为原点， 分别为 轴，过 垂直于平面 的直线为 轴.
设 ，则 ， ，由
①
②
③，
由①②解得： ，
由①③解得： ，
根据线面角的定义，（不妨取 是正数），
则 与平面 所成角正弦值为 .
记 ，则
，
注意到 ，于是 ，
又
，而 ，
故 ，故 ，
根据多项式除法， 约去因式 ，得到 ，即 ，
根据求根公式可得， 的正实根为 ，
故 在 上递增，在 上递减，
经计算得到 ，故 在 上的值域为 ，注意到
，
故 ，于是 ，故 ，即 ，
于是直线 与平面 所成角正弦值的范围是 .
在 中，若 ，同理可得，直线 与平面 所成角正弦值的范围是 .
方法二：
作 底面 ，垂足为 ，连接 ，设 到平面 的距离为 ， 到平面 的距离为 ，
，由题意知 .
先说明 和平面 不可能垂直，否则由 平面 可得 ，由 ， 可得
，这与 矛盾，于是 是平面 的斜线，即 .
由 可得， ，即
.
设 ，根据线面角的定义， 即为 与平面 所成角.
于是 ，即 .
