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第七章 立体几何与空间向量（测试）
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知圆台上下底面半径之比为 ，母线与底面所成的角的正弦值
为 ，圆台体积为 ，则该圆台的侧面面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·甘肃天水·高三校考阶段练习）设 ，向量 ， ， 且
，则 （ ）
A． B． C．3 D．4
3．（2023·北京·高三强基计划）设 ，则V的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·陕西西安·统考一模）如图，球面上有 、 、 三点， ， ，球心 到
平面 的距离是 ，则球 的体积是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）以下什么物体能被放进底面半径为 ，高为
的圆柱中（ ）
A．底面半径为 ，母线长为 的圆锥
B．底面半径为 ，高为 的圆柱
C．边长为 的立方体
D．底面积为 ，高为 的直三棱柱6．（2023·北京·高三强基计划）在正方体 中，动点M在底面 内运动且满足
，则动点M在底面 内的轨迹为（ ）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线一支的一部分 D．前三个答案都不对
7．（2023·四川·校联考一模）如图，在棱长为1的正方体 中，点P是线段 上的动点，
下列说法错误的是（ ）
A． 平面
B．
C．异面直线AP与 所成的角的最小值为
D．三棱锥 的体积为定值
8．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）四面体ABCD的四个顶点都在球 的球面
上， ， ，点E，F，G分别为棱BC，CD，AD的中点，现有如下结
论：①过点E，F，G作四面体ABCD的截面，则该截面的面积为2；②四面体ABCD的体积为 ；③
过 作球 的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4.则上述说法正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·全国·高三专题练习）若点D，E，F分别为 的边BC，CA，AB的中点，且 ，
则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）如图，四棱锥 的底面为梯形， 底
面 ， ， ， 为棱 的中点，则（ ）A． 与平面 所成的角的余弦值为
B．
C． 平面
D．三棱锥 的体积为
11．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知点P为正方体 底面ABCD的中心，用与直线
垂直的平面 截此正方体，所得截面可能是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
12．（2023·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知正方体 的棱长为 为空间中任
一点，则下列结论中正确的是（ ）
A．若 为线段 上任一点，则 与 所成角的范围为
B．若 在正方形 内部，且 ，则点 轨迹的长度为
C．若 为正方形 的中心，则三棱锥 外接球的体积为
D．若三棱锥 的体积为 恒成立，点 的轨迹为椭圆或部分椭圆
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023·广东揭阳·高三校考开学考试）一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球
缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球缺的体积公式为
，其中 为球的半径， 为球缺的高.2022北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”（如图1）深
受广大市民的喜爱，它寓意着创造非凡、探索未来，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可
能 它的外形可近似抽象成一个球缺与一个圆台构成的组合体（如图2），已知该圆台的底面半径分别 和
，高为 ，球缺所在球的半径为 ，则该组合体的体积为 ．14．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知四棱锥 的底面为平行四边形，点 ， 分别是 、
的中点，过 ， ， 三点的平面与棱 的交点为 ，若 ，则 ．
15．（2023·全国·高三专题练习）毛泽东在《七律二首•送瘟神》中有句诗为“坐地日行八万里，巡天遥看
一千河.”前半句的意思是：人坐在地面上不动，由于地球的自转，每昼夜会随着地面经过八万里路程.诗中
所提到的八万里，指的是人坐在赤道附近所得到的数据.设某地所在纬度为北纬 （即地球球
心 和该地的连线与赤道平面所成的角为 ），且 .若将地球近似看作球体，则某人在该地每昼
夜随着地球自转而经过的路程约为万里.
16．（2023·广东河源·高三校联考开学考试）在长方体 中， ， ， ，
为 ， 的中点， 在 上，且 .过 ， ， 三点的平面与长方体的六个面相交得到六边
形 ，则点 到直线 的距离为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2023·贵州·高三统考开学考试）如图，直四棱柱 的底面 为菱形，且 ，
，E，F分别为BC， 的中点．
(1)证明：平面 平面 ．
(2)求平面 和平面 的夹角的余弦值．
18．（12分）（2023·四川泸州·校考三模）如图，已知直四棱柱 的底面是边长为2的正方形， ， 分
别为 ， 的中点．
(1)求证：直线 、 、 交于一点；
(2)若 ，求多面体 的体积．
19．（12分）
（2023·贵州毕节·校考模拟预测）在梯形 中， ， ， ， ，如图
1.沿对角线 将 折起，使点 到达点 的位置， 为 的中点，如图2.
(1)证明： .
(2)若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
20．（12分）
（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）图1是直角梯形 ，四边形 是边
长为2的菱形，并且 ，以 为折痕将 折起，使点 到达 的位置，且 ，如图2.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得 到平面 的距离为 ？若存在，求出直线 与平面 所成
角的正弦值.
21．（12分）
（2023·西藏日喀则·统考一模）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为
鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背
节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六
而一即得.”
如图，在鳖臑ABCD中，侧棱AB⊥底面BCD；
(1)若 ， ， ，试求异面直线AC与BD所成角的余弦值.
(2)若 ， ，点P在棱AC上运动.试求 面积的最小值.22．（12分）
（2023·全国·校联考模拟预测）在 中， 对应的边分别为 ，且 ．且
(1)求 ；
(2)若 ， 上有一动点 （异于B、C），将 沿AP折起使BP与CP夹角为 ，求 与平
面 所成角正弦值的范围．
