文档内容
第 24 节 直线、平面平行的判定与性质
基础知识要夯实
1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
平面外一条直线与此平面内的
a α，b α，
判定定理 一条直线平行，则该直线平行
a∥b a∥α
⊄ ⊂
于此平面
⇒
一条直线和一个平面平行，则
a∥α，a β，α∩β＝
性质定理 过这条直线的任一平面与此平
b a∥b
⊂
面的交线与该直线平行
⇒
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
一个平面内的两条相交直线 a α，b α，a∩b＝
判定定理 与另一个平面平行，则这两 P，a∥β，
⊂ ⊂
个平面平行 b∥β α∥β
⇒
两个平面平行，则其中一个
平面内的直线平行于另一个 α∥β，a α a∥β
平面
⊂ ⇒
性质定理
如果两个平行平面同时和第
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ
三个平面相交，那么它们的
＝b a∥b
交线平行
⇒
核心素养要做实考点一 直线与平面平行的判定与性质
【例1】在如图所示的几何体中，四边形 ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段
AD，PB的中点，PA＝AB＝1.
(1)证明：EF∥平面PDC；
(2)求点F到平面PDC的距离.
【例2】如图所示，在正方体ABCD－ABC D 中，棱长为2，E，F分别是棱DD ，C D 的中点.
1 1 1 1 1 1 1
(1)求三棱锥B－ABE的体积；
1 1
(2)试判断直线BF与平面ABE是否平行，如果平行，请在平面ABE上作出与BF平行的直线，并
1 1 1 1
说明理由.
【方法技巧】1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形
的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.
2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到
“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.
【跟踪训练】
1.(2020·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，
F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
考点二 面面平行的判定与性质
【例2】如图所示，在三棱柱ABC－ABC 中，E，F，G，H分别是AB，AC，AB ，AC 的中点，
1 1 1 1 1 1 1
求证：(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA∥平面BCHG.
1
【方法技巧】1.判定面面平行的主要方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).
2.面面平行条件的应用
(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行.
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.
提醒 利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.
【跟踪训练】
1.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，
侧面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，
平面CEF∥平面PAD.
(1)确定点E，F的位置，并说明理由；
(2)求三棱锥F－DCE的体积.
达标检测要扎实
一、单选题
1．设 是直线， 是平面，则能推出 的条件是（ ）
A．存在一条直线 ， ， B．存在一条直线 ， ，
C．存在一个平面 ， ， D．存在一个平面 ， ，
2．如图，正方体 中，E为AB中点，F在线段 上.给出下列判断：①存在点FA B C D
使得 平面 ；②在平面 1 1 1 1内总存在与平面 平行的直线；③平面 与平面
ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点F的位置无关；④三棱锥 的体积与点F的位置无
关.其中正确判断的有（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
3．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形 为截面，长方形 为底面，则四
边形 的形状为（ ）
A．梯形 B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形 D．矩形
4．如图，ABCD﹣ABC D 为正方体，则以下结论：①BD∥平面CB D；②AC ⊥BD；③AC ⊥平
1 1 1 1 1 1 1 1
面CB D 其中正确结论的个数是（ ）
1 1A．0 B．1 C．2 D．3
5．平面 ∥平面 ， ，则直线 和 的位置关系（ ）
A．平行 B．平行或异面 C．平行或相交 D．平行或相交或异面
6．如图，在正三棱台 中， ， ， . ， 分别是 ， 的
中点，则（ ）
A．直线 平面 ，直线 与 垂直
B．直线 平面 ，直线 与 所成角的大小是
C．直线 与平面 相交，直线 与 垂直
D．直线 与平面 相交，直线 与 所成角的大小是7．给出以下四个命题，能判断平面α和平面β平行的条件是
A．α内有无数条直线都与β平行 B．α内的任一条直线都与β平行
C．直线 ，直线 ，且 ， D．直线 ，且
8．如图，在棱长为 的正方体 中，点 在线段 上运动，则下列命题中错误的
是（ ）
A．直线 和平面 所成的角为定值
B．点 到平面 的距离为定值
C．异面直线 和 所成的角为定值D．直线 和平面 平行
二、多选题
9．在正方体 中，点P在线段 上运动，则下列命题正确的是（ ）
A．异面直线 和 所成的角为定值
B．直线 和平面 相交
C．三棱锥 的体积为定值
D．直线 和直线 可能相交
10．如图，已知四棱锥 中， 平 ， ，
， 为 中点， 在 上， ， ，则下列结论正
确的是（ ）
A． 面
B． 与平面 所成角为30°
C．四面体 的体积为
D．平面 平面
11．如图，在正四棱锥 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点，动点 在线段
上运动时，下列四个结论中恒成立的为（ ）.A． B． C． 面 D． 面
12．如图，已知正方体 ，则四个推断正确的是（ ）
A． B．
C．平面 平面 D．平面 平面
三、填空题
13．已知 ， ， 是三条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，有下列命题：
① ；②若 ， ，则 ；
③ ， ，则 ；④直线 ，直线 ，那么 ；
⑤若 ， ， ，则 ；⑥若 ， ，则 ．
其中正确的说法为______（填序号）
14．如图，正方体 的棱长为1， ， 分别是棱 ， 的中点，过直线 的
平面分别与棱 ， 交于点 ， ，设 ，给出下列四个结论：①四边形 一定为菱形；
②若四边形 的面积为 ， ，则 有最大值；
③若四棱锥 的体积为 ， ，则 为单调函数；
④设 与 交于点 ，连接 ，在线段 上取点 ，在线段 上取点 ，则 的
最小值为 ．
其中所有正确结论的序号是________．
15．已知直线m，n，平面α，β，若 ， ， ，则直线m与n的关系是___________
16．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论：
① 平面DE；
② 平面AF；
③平面 平面AFN；
④平面 平面NCF.
其中正确结论的序号是______.
四、解答题17．如图所示，已知四棱柱 的底面 为菱形.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）在直线 上是否存在点 ，使 平面 ？若存在，确定点 的位置；若不存在，说明
理由.
18．已知空间四边形 中， 分别是 、的中点，且 ．
（1）判断四边形 的形状，并加以证明；
（2）求证： 平面 ．
21．如图，已知正方形 和矩形 所在的平面互相垂直， ， ， 是线段
的中点．（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的大小；
（3）若线段 上总存在一点 ，使得 ，求 的最大值．
