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第 24 练 空间向量及其应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．直三棱柱 中，若 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由已知得 ，
故选：A.
2．在正方体 中O为面 的中心， 为面 的中心.若E为
中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设正方体的边长为 ，建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 .
故选：B3．已知正六棱柱 的底面边长为1， 是正六棱柱内（不含表面）的
一点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，且 ，
由正六边形的性质可得， ，
设 ，其中 ，
所以 ， ，
所以 ，所以 的取值范围 .
故选：A.4．在四面体OABC中，E为OA中点， ，若 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
.
故选：D
5．在正方体 中，E，F，G分别是 ， 的中点，则（ ）
A． 平面 B． 平面
C． 平面 D． 平面
【答案】A
【详解】
解：取 、 、 的中点分别记为 、 、 ，连接 、 、 、 ，
根据正方体的性质可得面 即为平面 ，
对于A：如图 ， ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故A
正确；对于B：如图 ，在平面 中， ，则 平面 ，所以B错误；
对于C、D：如图 ， 平面 ，因为过平面 外一点作 （ ）仅能作
一条垂线垂直该平面，故C、D错误；
其中 平面 可按如下证明：如图建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为 ，则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，即 ， ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ；故选：A
6．如图，在正四棱柱 中， 是底面 的中心， 分别是
的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． //
B．
C． //平面
D． 平面
【答案】B
【详解】
在正四棱柱 中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
令 ， 是底面 的中心， 分别是 的中点，则 ， ，
，
对于A，显然 与 不共线，即 与 不平行，A不正确；
对于B，因 ，则 ，即 ，B正确；
对于C，设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得
，
，因此 与 不垂直，即 不平行于平面 ，C不正确；
对于D，由选项C知， 与 不共线，即 不垂直于平面 ，D不正确.
故选：B
7．已知直三棱柱 各棱长均相等，点D，E分别是棱 ， 的中点，则异
面直线AD与BE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设直三棱柱的棱长为1，则 ，
点D，E分别是棱 ， 的中点，
， ，
，
所以 ．
所以异面直线AD与BE所成角的余弦值为 ．
故选：A．8．已知向量 ， ， ，若 ，则实数 （ ）
A．－2 B．2 C．1 D．－1
【答案】B
【详解】
，因为 ，所以 ，所以
，所以 2.
故选：B
9．如图，四边形 中， ．现将 沿 折起，
当二面角 处于 过程中，直线 与 所成角的余弦值取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
设向量 与 所成角为 ，二面角 的平面角大小为 ，因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
, ，
则 ，
所以
，
取 中点E，连接 ，则 ， ，
, ,
在 中， ，即 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
因为直线夹角范围为 ，所以直线 与 所成角的余弦值范围是 ．
故选：D．
10．如图，已知正方体 的棱长为1，则线段 上的动点P到直线 的
距离的最小值为（ ）A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】
如图建立空间直角坐标系，则 ，
设 ，则 ，
∴动点P到直线 的距离为
，当 时取等号，
即线段 上的动点P到直线 的距离的最小值为 .
故选：D.
二、多选题
11．若 ， 表示两条不同的直线， ， 表示两个不同的平面，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 与 不平行，且 ，则平面 内不存在与 平行的直线
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．存在两条异面直线 ， ，使得 ， ，且 ，
【答案】ABD
【详解】对于A，若平面 内存在与 平行的直线，则 ，与已知矛盾，故A正确；
对于B，由线面平行的性质定理易知B正确；
对于C， ， 可能平行，也可能相交，所以C错误；
对于D，若 ，易知D正确.
故选：ABD.
12．若 ， ， 与 的夹角为120°，则 的值为（ ）
A． B．17 C．1 D．
【答案】BD
【详解】
由题意得
解得 或
故选：BD
13．如图所示，在正方体 中， 分别是 的中点，则下列说法
正确的是（ ）
A． 与 垂直 B． 与 垂直
C． 与 平行 D． 与 平行
【答案】ABC
【详解】
如图所示，易知 是 中点，又 分别是 的中点，根据向量的运算：
，显然 不共线，故 ，又 ，
故 ，于是A，C正确；
又 ，且 ，故 ，故B正确；
若 ，结合 ，根据平行的传递性，可知 ，又 ，则
，显然是错误的，故D错误.
故选：ABC.
14．在空间直角坐标系 中，已知点 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．点 关于 平面对称的点的坐标为
B．若平面 的法向量 ，则直线 平面
C．若 ， 分别为平面 ， 的法向量，则平面 平面
D．点 到直线 的距离为
【答案】ACD
【详解】
解：对于A：因为 ，所以点 关于 平面对称的点的坐标为 ，故A正确；
对于B：因为 ， ，所以 ，因为平面 的法向量 ，所
以 ，所以直线 与平面 不平行，故B错误；
对于C：因为 、 ，所以 ，因为 ， 分别为平面
， 的法向量，所以平面 平面 ，故C正确；
对于D：因为 ， ，所以 ，所以点 到直线 的距离
，故D正确；
故选：ACD
三、解答题
15．如图，在直三棱柱 中， ，点 分别在棱
和棱 上，且 ．
(1)设 为 中点，求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
【解析】(1)
证明：取 中点 ，连接 、 ，
则 ，且 ，所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ．
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
(2)
解：因为直三棱柱 中 ，所以 、 、 两两垂直．
分别以 、 、 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标
系，
则 ， ，
所以 ， ， ，
设平面 法向量为 ，则 ， ，
即 ，令 ，得到平面 的一个法向量 ．
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．16．如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ，
， ， 为 上一点，且 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成的锐二面角的大小.
【解析】(1)
证明：∵ 底面 ， ，
故以 为原点， 分别为 轴､ 轴､ 轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ､ ､ ､ ､ ､ ，
所以 ， ， ，
则 ， ，即 ， ，又 ，所以 平面
(2)
由(1)知 ， ， ，
设平面AEB的一个法向量为 ，则 ， ，
即 ，令 ，可得 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ， ，
即 ，令 ，可得 ， ，
所以平面 与平面 锐二面角的大小为
