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第三章 一元函数的导数及其应用（测试）
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则 （ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【解析】由题意知 ,所以 ，解得 ，则
，故 ．
故选：B
2．（2023·四川凉山·三模）已知函数 的导函数 ，若1不是函数 的极值
点，则实数a的值为（ ）．
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】由题意可知 ，若1不是函数 的极值点，则
，即 ，
当 时， ，故当 ，当 ，因此
是 的极值点，1不是极值点，故 满足题意，
故选：D
3．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）已知函数 的导函数为 ，且满足
，则（ ）
A．函数 的图象关于点 对称 B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 的图象关于直线 对称 D．函数 的图象关于点 对称
【答案】D
【解析】由 ，可知函数 的图象关于直线 对称；
对 求导，得 ，
则函数 的图象关于点 对称，所以ABC错误，D正确.
故选：D．4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线 与曲线 相切，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设切点坐标为 ，
因为 ，所以 ，
所以切线的斜率 ，解得 ，
又 ，即 ，
所以 .
故选：A.
5．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知函数 存在减区间，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知 ,
因为函数 存在减区间,则 有解,
即 有解,
令 , ,
令 ,解得 ; 令 ,解得 ,
所以 在 单调递减, 单调递增,
所以 ,
因为 有解,所以 ,
解得 .
故选:D.
6．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）已知 ，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令函数 ，则 恒成立，故函数 在 上单调递增，
所以当 时， ，则 ，于是 ，即 ；
当 时， ，则 ，所以 ，
而 ，于是 ，即 ；
综上： .
故选：C
7．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor，
1685.8~1731.11）以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式，我们可知：如果函数 在包含
的某个开区间 上具有 阶导数，那么对于 ，有
，若取 ，则
，此时称该式为函数 在 处的 阶泰勒公式.
计算器正是利用这一公式将 ， ， ， ， 等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数
值近似求出原函数的值，如 ， ，则运用上面的想法求
的近似值为（ ）
A．0.50 B． C． D．0.56
【答案】B
【解析】由三角恒等变换的公式，化简得 ，
又由 ，
可得 ，所以 .
故选：B.
8．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数 ，若 ，不等式恒成立，则正实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，其中 ，则 ，且 不恒为零，
所以，函数 在 上为增函数，
又因为 ，故函数 为奇函数，
由 可得 ，
所以， ，所以， ，
令 ，因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以， .
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知直线 与曲线 相切，则下列直线中可能与 垂直的是
（ ）
A．x+4 y=0 B．
C． D．
【答案】AB
【解析】 的定义域为 ，
，即直线 的斜率 ，
设与 垂直的直线的斜率为 ，则 ，
所以 ， ．
故选：AB．
10．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设函数 在R上存在导函数 ，对任意的 有
，且在 上 ，若 ，则实数a的可能取值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】AB【解析】
令 ，即 ，则 为奇函数，
当 时， ，则 在区间 上单调递增，
故 在区间 上单调递增，则 在R上单调递增，
∵ ，即 ，
∴ ，解得 ，
故A、B正确，C、D错误.
故选：AB．
11．（2023·湖南永州·统考一模）对于函数 ，则（ ）
A． 有极大值，没有极小值
B． 有极小值，没有极大值
C．函数 与 的图象有两个交点
D．函数 有两个零点
【答案】AD
【解析】 ，则 ，
因为 在 恒成立.
所以当 时， ， 在 单调递减；
当 时， ， 在 单调递增；
所以 在 处有极大值，没有极小值，故A正确，B错误；
根据 的单调性，画出函数 图像，以及 的图象，如图：
由此可知，函数 与 的图象只有一个交点，故C错误；函数 有两个零点等价于函数 与 图像有两个交点，如下图所示：
由此可知，函数 与 图像有两个交点，即函数 有两个零点；故D正确.
故选：AD.
12．（2023·全国·模拟预测）设函数 ，若 恒成立，则满足条
件的正整数 可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】ABC
【解析】若 恒成立，则 恒成立，
构建 ，则 ，
∵ ，故 ，则有：
当 ，即 时，则 当 时恒成立，
故 在 上单调递增，则 ，
即 符合题意，故满足条件的正整数 为1或2；
当 ，即 时，令 ，则 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，
构建 ，则 当 时恒成立，
故 在 上单调递减，则 ，
∵ ，
故满足 的整数 ；
综上所述：符合条件的整数 为1或2或3，A、B、C正确，D错误.
故选：ABC.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（2023·四川成都·成都七中校考一模）函数 的图象在 处的切线方程为________．
【答案】
【解析】因为 ，则 ， ，
则 ，
所以切线方程为 ，整理得 .
故答案为：
14．（2023·广东佛山·校考模拟预测）写出一个同时具备下列性质①②③的函数 ______.
①定义城为 ，②导函数 ；③值域为
【答案】 （答案不唯一）
【解析】取 ，
因为 ，解得 ，所以 的定义城为 ，符合①；
，符合②；
因为 ，所以 的值域为 ，符合③.
故答案为： （答案不唯一）
15．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数 ，若
恰有两个极值点，则实数 的取值范围是_________.
【答案】
【解析】∵ ， 为连续函数， 为单调函数，
所以 在 上无极值点；
又 在 上至多有一个极值点，
则 的对称轴为 ，
要使 恰有两个极值点，
∴ 和 是必为 的两个极值点，∴ ，解得： ，所以 是 的极大值点，
又 在 上单调递减，要使 为 的极值点，
则 在 上单调递增，∴ ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
故答案为： .
16．（2023·河北·校联考三模）已知 分别是函数 图象上的动点，则 的最小值
为_________．
【答案】
【解析】因为 反解得 ，
所以 与 互为反函数，关于 对称，
所以 的最小值为点 到直线 的距离的最小值的2倍，
当曲线 在点 处的切线与 平行时，点 到直线 的距离有最小值，
，令 ，解得 ，所以 ，则点 到直线 的距离 ,
所以 的最小值为 .
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2023·四川成都·成都七中校考一模）设函数 ，
(1)求 、 的值；
(2)求 在 上的最值．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，取 ，则有 ，即 ；所以 ，取 ，则有 ，即 ．
故 ， ．
（2）由（1）知 ， ，
则 ，
所以 、 与 ， 的关系如下表：
0 1 2
0
单调递增 极大值 单调递减
故 ， ．
18．（12分）
（2023·北京西城·统考一模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，证明： 在 上单调递增；
(3)判断 与 的大小关系，并加以证明．
【解析】（1） ,所以 ， ．
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2）由题设， ．
所以 ．
当 时，因为 ，所以 ．
所以 在 上单调递增．
（3） ．
证明如下：
设 ．
则 ．
由（2）知 在 上单调递增，所以 ．所以 ，即 在 上单调递增．
所以 ，即 ．
19．（12分）
（2023·全国·高三专题练习）为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用
所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万
元，每生产 万件，需另投入流动成本 万元.已知在年产量不足4万件时， ，在年产
量不小于4万件时， .每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售
完.
(1)写出年利润 （万元）关于年产量 （万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动
成本.）
(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？
【解析】（1）由题意，当 时， ；当 时，
.
所以 .
（2）当 时， ，令 ，解得 .
易得 在 上单调递增，在 上单调递减，所以当 时，
.
当 时， ，
当且仅当 ，即 时取等号.
综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.
20．（12分）
（2023·江西宜春·校联考模拟预测）设 ， ，且a、b为函数 的极值点
(1)判断函数 在区间 上的单调性，并证明你的结论；(2)若曲线 在 处的切线斜率为 ，且方程 有两个不等的实根，求实数m的取值
范围.
【解析】（1）依题设方程 ，即方程
的两根分别为a、b∴
∴
因为 ，且 ，则 ，
∴ ，∴当 且 时， ，
∴ 在区间 ， 上单调递增.
（2）由 ，得 ，∴ ，∴ ，
时 或 ，当x在 上变化时， ， 的变化情况如下：
0
0 + + 0
极大值
极小值
∴ 的大致图象如图,
∴方程 有两个不等根时，转化为直线 与函数 的图象有两交点，
则 .
21．（12分）
（2023·广西南宁·统考一模） ，
(1)讨论 的单调性；(2)当 时，证明 ；
(3)证明对于任意正整数 ，都有 .
【解析】（1） 的定义域为 ，
①若 ，当 时， ，所以 在 上单调递增；
②若 ，当 时， ；
当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上所述， 时， 在 上单调递增；
时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）当 时，由（1）知 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
即证 .
（3）由（2）知当 且 时， ，
对于任意正整数 ，令 得 ，
所以
.
即证： .
22．（12分）
（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）已知函数 和函数 ，且
有最大值为 ．
(1)求实数a的值；
(2)直线y＝m与两曲线 和 恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为 ， ， ，且
，证明： ．
【解析】（1） 的定义域为R，且 ， ，当 时， ， 递增；当 时， ， 递减；
所以 ，
所以 ，解得 ，又 ，所以a＝1.
（2）证明：由（1）可知： 在 递增，在 递减，
又 ，所以 在 递增，在 递减，
和 的图象如图所示：
设 和 的图象交于点A，则当直线y＝m经过点A时，
直线y＝m与两条曲线 和 共有三个不同的交点，
则 ，且， ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ， ，且 在 递增，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ， ，且 在 递减，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 ．
