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跟踪训练 01 基本立体图形
一．选择题（共15小题）
1．在四面体 中， 底面 ， ， ，点 为三角形
的重心，若四面体 的外接球的表面积为 ，则
A． B．2 C． D．
【解答】解：设 的中点为 ，
点 是 的重心， ，
设 的外心为 ，由题意点 在 上，
令 ，则 ，
即 ，解得 ，
平面 ，
四面体 的外接球的半径 满足 ，
由题意得， ，
解得 ，
．
故选： ．2 ． 已 三 棱 锥 中 ， 是 以 角 为 直 角 的 直 角 三 角 形 ，
为 的外接圆的圆心， ，那么三棱
锥 外接球的半径为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
设三棱锥 外接球的球心为 ，半径为 ，连接 ， ， ， ，
是以角 为直角的直角三角形， 为圆 的直径，
则 ，
， ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，得 ，
则 ，得 ， ，
， 为 的中点， ，， ， 平面 ， 平面 ，
三棱锥 外接球的球心 在直线 上，得 ，
在 中，由 ，得 ，解得 ，
三棱锥 外接球的半径为 ．
故选： ．
3．已知等腰直角 中， 为直角，边 ， ， 分别为 ， 上的动点
与 不重合），将 沿 折起，使点 到达点 的位置，且平面 平面
．若点 ， ， ， ， 均在球 的球面上，则球 体积的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解：显然 不与 重合，由点 ， ， ， ， 均在球 的球面上，得 ，
， ， 共圆，则 ，
又 为等腰直角三角形， 为斜边，即有 ，
将 翻折后， ， ，又平面 平面 ，
平面 平面 ，平面 ， 平面 ，于是 平面 ， 平面 ，
显然 ， 的中点 ， 分别为△ ，四边形 外接圆圆心，
则 平面 ， 平面 ，因此 ， ，
取 的中点 ，连接 ， ，则有 ， ，
四边形 为矩形，设 且 ， ， ，
设球 的半径 ，有 ，
当 时， ，所以球 体积的最小值为 ．
故选： ．
4．正四棱锥 的底面边长为 ，则平面 截四棱锥 外
接球所得截面的面积为
A． B． C． D．
【解答】解：设正方形 边长为 ，
设底面中心为 ， 中点为 ，连接 ， ， ， ，
如图所示：由题意得 ，且正四棱锥的外接球球心
在 上，设外接球半径为 ，则 ，
在 中， ，且 ，所以 ，
解得 ，即 ，
在 中， ，
过 作 ，则 即为点 到平面 的距离，且 为平面 截其外接球所得
截面圆的圆心，
所以 ，则 ，
所以 ，
所以截面的面积 ．
故选： ．
5．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为A． B． C． D．
【解答】解：由给定的三视图知，这个几何体是底面直径为2，高为2的圆柱，上接一个
底面直径为2，
高为 的圆锥构成的组合体，如图，
则有圆锥的母线为 ，圆锥的侧面积 ，圆柱的侧面积
，
圆柱下底面圆面积 ，
这个几何体的表面是圆锥的侧面、圆柱的侧面、圆柱的下底面组成，
所以这个几何体的表面积为 ．
故选： ．
6．圆台 的内切球 的表面积与圆台的侧面积之比为 ，则圆台母线与底面所成角的正切值为
A． B．1 C． D．
【解答】解：根据题意，设圆台 的上底半径为 ，下底半径为 ，其内切球 的半径
为 ，
该圆台和其内切球的轴截面如图：作 ，交 于点 ，作 ，交 于点
，
分析可得 ， ，则圆台的母线为 ，
在 中， ， ， ，
则有 ，变形可得 ，
故该圆台的侧面积 ，
内切球的表面积 ，
又由圆台的内切球 的表面积与圆台的侧面积之比为 ，则有 ，
变形可得 ，即 ，
设圆台母线与底面所成角为 ，则 ．
故选： ．
7．祖暅原理的内容为“幂势既同，则积不容异”，其意思是夹在两个平行平面间的两个几
何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等．设 ， 为夹在两个平行平面间的两个几何体， ， 的体积相
等， ， 在同一高处的截面积总相等．根据祖暅原理可知， 是 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由祖暅原理可知：由 ， 在同一高处的截面积总相等，可得 ， 的体积
相等，即 ，
必要性成立；
反之：若两几何体 ， 的体积相等，但两几何体 ， 在同一高处的截面积不一定相等，
即 ，
充分性不成立，
是 的必要不充分条件．
故选： ．
8．已知直四棱柱 的棱长均为2， ．以 为球心， 为半径
的球面与侧面 的交线长为
A． B． C． D．2
【解答】解：如图所示：由已知，连接 、 ，则 ，
因为直四棱柱 的棱长均为2， ，
所以△ 为等边三角形．且 平面 ，取 的中点 ，连接 ，则
，
又 平面 ，所以 ，
又 ，所以 平面 ，故平面 截球面的截面圆的圆心是点 ，取 、 的中点 、 ，
连接 ， 、 ，则 ，
故 、 在球面上， ， ，
所以 为直角三角形， 球面与侧面 的交线是侧面上以 为圆心，
为半径的圆弧 ．
故选： ．
9．已知四棱锥 的顶点都在球 的球面上，底面 是矩形，平面 底面
， 为正三角形， ，则球 的表面积为
A． B． C． D．
【解答】解：令 所在圆的圆心为 ，则圆 的半径 ，
因为平面 底面 ，
所以 ，
则球 的半径 ，所以球 的表面积 ．
故选： ．
10．在正三棱锥 中， ， 分别为侧棱 ， 的中点，若 ，且
，则三棱锥 外接球的表面积为
A． B． C． D．
【 解 答 】 解 ： 如 图 ， 因 为 为 正 三 棱 锥 ， 所 以 ，
．
取线段 的中点 ，连接 ， ，因为 为 的中点，
所以 ， ．因为 ，所以 ．
在 中， ，
由勾股定理，得 ．设 ， ，
在 中，由余弦定理的推论，得 ①．
同理，在 中，由余弦定理的推论，得 ②．
联立①②，解得 ， ．在 中，由余弦定理，
得 ，
所以 ．取 的中心 ，连接 ， ，则 平面 ，
三棱锥 的外接球球心 在 上，连接 ，设外接球半径为 ．
在 中， ， ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，
所以所求外接球的表面积为 ．
故选： ．
11．已知某几何体由两个有公共底面的圆锥组成，两个圆锥的顶点分别为 ， ，底面半
径为 ．若 ，则该几何体的体积最大时，以 为半径的球的体积为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知该几何体的体积为 ，
令 ，则 ，
令 ，得 舍去），
则 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减，
故当 时， 取得最大值，此时该几何体的体积最大．则以2为半径的球的体积为 ．
故选： ．
12．将一张如图所示的两直角边长度分别为8和15的直角三角形硬纸片，沿虚线剪成四块，
这四块纸片恰好可以通过折叠，拼接形成一个密封的直三棱柱模型，则所得直三棱柱模型
的体积为
A．30 B．24 C．20 D．18
【解答】解：由题意可得两块全等的小三角形作为直三棱柱的底面，剩下两部分拼接成直
三棱柱的侧面，
则 ， 分别为 、 中点，
，
即直三棱柱的高为4，
又 底面三角形周长恰好为 长度， ，
设 ，其中 ，
设 ，
则 的周长为 ，
又 ，
则 ，
即 ，
又 ，
则 ，
故 ， ，直三棱柱体积为 ．
故选： ．
13．在直三棱柱 中 ， ， ， 、 分别为
、 的中点，沿棱柱的表面从 到 两点的最短路径的长度为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得直三棱柱底面为等腰直角三角形．
①若把面 和面 展开在同一个平面内，设 的中点为 ，在直角三角形
中，由勾股定理得 ．
②若把面 和面 展开在同一个平面内，则线段 在直角三角形 中，由勾股定理得 ．
③若把面 和面 展开在同一个面内，过 作与 行的直线，过 作与 平
行的直线，所作两线交于点 ，则 在直角三角形 中，由勾股定理得
．
综上可得从 到 两点的最短路径的长度为 ．
故选： ．
14．如图，点 是棱长为2的正方体 的表面上一个动点，则以下说法中不
正确的是
A．当 在平面 上运动时，四棱锥 的体积不变
B．当 在线段 上运动时， 与 所成角的取值范围是
C．若 是 的中点，点 在底面 上运动时，不存在点 满足 平面D．若点 在四边形 内运动，则使直线 与平面 所成的角为 的点
的轨迹为圆上的一段弧
【解答】解： ．当 在平面 上运动时，点 到平面 的距离为2，
所以四棱锥 的体积 ，故 正确；
．如图，建立空间直角坐标系， ，0， ， ， ， ， ，0， ，
，2， ，
，
设 与 所成角为 ，
则 ．
当 时， ，则 ，
当 时， ，所以 ，故 正确；
．如图， ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ， ，2， ，，
，且 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，即向量 是平面 的法向量，
，
若 平面 ，则 ，即 ，
直线 与底面 有公共点，即存在点 满足 平面 ，故 错误．
．若点 在底面 上运动，设 ，
平面 的法向量为 ，
则直线 与平面 所成的角为 时，
，
化简为 ，则点 的轨迹为圆，
若点 在四边形 内运动，则轨迹为圆上的一段弧，故 正确．
故选： ．
15．龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙线，故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其
盆体可以近似看作一个圆台．现有一龙洗盆高 ，盆口直径 ，盆底直径 ．现往盆内注水，当水深为 时，则盆内水的体积为
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，并延长 与 交于点
．
根据题意， ， ， ， ，
设 ， ，
所以 ，
解得 ， ，
所以 ，
故选： ．
二．多选题（共5小题）
16．在正方体 中， ， ， 分别为 ， ， 的中点，则A．直线 与直线 异面
B．直线 与平面 平行
C．三棱锥 的体积是正方体 体积的
D．平面 截正方体所得的截面是等腰梯形
【解答】解：对于选项 ，易知直线 与直线 异面，故 正确；
对于选项 ，取 中点 ，连接 ， ，
则 ， ，易证平面 平面 ，
从而 平面 ，故 正确；
对于选项 ，设正方体棱长为1，
，
而正方体体积为1，
三棱锥 的体积是正方体 体积的 ，故 错；
对于选项 ，连接 ， ，则 ，
所以 、 、 、 共面，即四边形 是平面 截正方体所得的截面，
易知该四边形为等腰梯形，故 正确．
故选： ．17．如图，一个正方体密封容器中装有一半的水量，若将正方体随意旋转放置，则容器中
水的上表面形状可能是
A．三角形 B．矩形
C．非矩形的平行四边形 D．六边形
【解答】解：因为正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体
的中心，
过正方体的一条棱和中心可作一截面，截面形状为矩形，如图（1），故 正确；
过正方体一面上一边的任意一点（非顶点）和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，
其截面形状为非矩形的平行四边形，如图（2），故 正确；
在正方体一面上相邻两边各取一点（非顶点），过这两点以及正方体的中心作一截面，得
截面形状为六边形，如图（3），故 正确；
至于截面三角形，过正方体的中心不可能作出截面为三角形的图形，故 错误．故选： ．
18．我国古代数学名著《九章算术商功》中记载了一些特殊几何体，如长方、堑堵、阳
马、鳖臑等．并对这些几何体作了详细记载．如图长方体 ，按平面
斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的
一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中以矩形为底另有一棱与底面垂
直的四棱锥 称为阳马，余下的三棱锥 称为鳖臑，已知长方体中
中 ， ， ，按以上操作得到鳖臑，则关于该鳖臑
下列说法正确的是
A．三棱锥 由三个直角三角形和一个锐角三角形组成的四面体
B．三棱锥 由四个直角三角形组成的四面体
C．该鳖臑 的最长棱长
D．该鳖臑 的体积为4【解答】解：如图，把三棱锥 还原到长方体中，
则 ， ，
所以 错误， 正确；
该鳖臑 的最长棱长就是长方体的体对角线 ，所以
正确．
该鳖臑 的体积为 ，所以 正确．
故选： ．
19．等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何
体的表面积可以为
A． B． C． D．
【解答】解：若绕一条直角边旋转一周时，则圆锥的底面半径为1，高为1，所以母线长
，这时表面积为 ；
若绕斜边一周时旋转体为两个底对底的圆锥组合在一起，且由题意底面半径为 ，一个圆锥的母线长为1，所以表面积 ，
综上所述该几何体的表面积为 ， ，
故选： ．
20．如图，在棱长为2的正方体 中，点 ， ， 分别为 ， ，
的中点，若点 在线段 上运动，则下列结论正确的为
A． 与 为共面直线
B．平面 平面
C．三棱锥 的体积为定值
D． 与平面 所成角的正切值为
【解答】解：对于 ：连接 ，如图所示：
， 分别为 ， 的中点，，
在正方体 中， ，
，
，故 错误；
对于 ：连接 ，
点 ， 分别为 ， 的中点，
，
由选项 得 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ，
又 ，
平面 平面 ，故 正确；
对于 ：由选项 得 平面 ，
点 在线段 上运动，
点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，且为定值，
又△ 的面积为定值，则三棱锥 的体积为定值，故 正确；
对于 ：建立以 为原点的空间直角坐标系 ，如图所示：则 ，0， ， ，0， ， ，2， ， ，0， ， ，2， ， ，2，
，
，2， ， ， ， ， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，则 ， ，
平面 的一个法向量为 ，1， ，
设 与平面 所成角为 ，
， ，
，
，故 错误．
故选： ．
三．填空题（共5小题）
21．庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．
单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图① ，类似五面体的 形 状 （ 如 图 ② ， 若 四 边 形 是 矩 形 ， ， 且
， ，则五面体 的表面积为
．
【解答】解：分别取 ， 的中点 ， ，连接 ， ，
过点 作 的垂线 ，垂足为 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
根据对称性易得 ，
所以 ，
在 中， ，所以 ，
，
又 ，
所以 ．
故答案为： ．
22．已知点 ， ， ， ， ， ， ， ，其中 ， ，且
， ，若四边形 是矩形，则此矩形绕 轴旋转一周得到的圆柱的体积的最大值为 ．
【解答】解：由题意，令 ， ， 为方程 的两个不同实数解，
， ，
矩 形 绕 轴 旋 转 一 周 得 到 的 圆 柱 的 体 积
，
时，矩形绕 轴旋转一周得到的圆柱的体积的最大值为 ．
故答案为： ．
23．如图，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有 升水．
若将容器平放在地面上（如图 ，则水面正好过圆锥的顶点 ；若将容器倒置（如图 ，
水面也恰好过点 ．下列说法中，正确的是 ② ．（写出所有满足条件的说法序号）
①圆锥的高等于圆柱的高的一半；
②将容器的一条母线贴地，水面也恰过点 ；
③将容器任意摆放，当水面静止时都过点 ．
【解答】解：记圆柱底面积为 ，
记圆锥的高为 ，圆锥顶点到圆柱上底面的距离为 ，
设圆柱的高为 ，则 ，由题知， ，
且 ，
所以 ，
即 ，
故 ，
故①错误；
圆柱内部空间体积为 ，
而水的体积为 ，
故水的体积正好是圆柱内部空间体积的一半，
因此将圆柱母线贴地，水面过点 ，
故②正确；
因为过点 的平面不可能总平分圆柱内部空间，
故③错误．
故答案为：②．
24．已知棱长为1的正方体 ， 为 的中点，点 为四边形 及
其内部任意一点，若 ，则三棱锥 体积的取值范围是 ．
【解答】解：在棱长为1的正方体 中，以点 为原点建立如图所示的空间
直角坐标系，则有 ，
设点 ， ， ， ， ，
，又 ，
，
， 点 到平面 的距离 ，
三棱锥 体积 ，
三棱锥 体积的取值范围是 ．
故答案为： ．
25．如图所示，△ 是利用斜二测画法画出的 的直观图，已知 轴，
，且 的面积为16，过 作 轴，则 的长为 ．
【解答】解：因为 轴，所以 的中， ，又三角形的面积为16，
所以 ． ，所以 ．如图作 于 ，
所以 ，
所以 的长为： ．
故答案为： ．
四．解答题（共3小题）
26．在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，且 ， ，
．
（1）求四棱锥 的体积；
（2）求异面直线 与 所成角的大小．
【解答】解：（1）如图，连接 ，设 ，
则 ，
又 ， ，
，得 ．
四棱锥 的体积 ；
（2） 底面 是矩形， ，
为异面直线 与 所成角，
平面 ， 平面 ， 平面 平面 ，
又平面 平面 ， ， 平面 ，则 ，在 中， ，
异面直线 与 所成角的大小为 ．
27．如图所示，三棱柱 中， ， ， ， ．
（1）证明： ；
（2）若 ，求三棱柱 的体积．
【解答】解：（1） ， ， ．
， ．
， ， ．
又 ， 平面 ．
平面 ， ．
（2） ， ， ，， ， ，
由（1）可得 ， ， 平面 ．
．
28．已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为4．
（1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角；
（2）如图，若圆锥中内接一个高为 的圆柱，求该圆柱的侧面积．
【解答】解：（1）因为圆锥的底面半径 ，母线长 ，
设圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角为 ，则 ．
（2）如图所示，设圆锥的底面半径为 ，圆柱的底面半径为 ，
则 ， ，
易知 ， ，即 ， ， 圆柱的侧面积 ．
