专题4.1导数的概念、运算及导数的几何意义2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题 4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义 练基础 1.（2021·浙江高三其他模拟）函数 在 处的导数是（ ） A． B． C．6 D．2 【答案】A 【解析】 利用符合函数的求导法则 ，求出 的导函数为 ，代入x=0，即可求出函数在x=0处的导数. 【详解】 的导函数为 , 故当x=0时， . 故选：A 2．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三月考（文））曲线 在 处的切线方程 为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 先求得导函数,根据切点求得斜线的斜率,再由点斜式即可求得方程. 【详解】 当 时,所以在点 处的切线方程,由点斜式可得 化简可得 故选:D 3．（2021·全国高三其他模拟（理））曲线 在点 处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 根据切点和斜率求得切线方程. 【详解】 因为 ，所以 ，当 时， ，所以曲线 在点 处的切线的斜率 ，所以所求切线方程为 ，即 . 故选：D 4．（2021·山西高三三模（理））已知 ，设函数 的图象在点 处的切线为 l，则l过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 根据导数几何意义求出切线方程，化成斜截式，即可求解 【详解】由 ， ， ，故过 处的切线方程为： ，故l过定点 故选：A 5．（2021·云南曲靖一中高三其他模拟（理））设曲线 和曲线 在它们 的公共点 处有相同的切线，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 利用导数的几何意义可知 ，可求得 ；根据 为两曲线公共点可构造方程求得 ， 代入可得结果. 【详解】 ， ， ， ， ， 又 为 与 公共点， ， ，解得： ， . 故选：D. 6.（2021·重庆高三其他模拟）曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 （ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】求得 的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得 的方程，解方程可得所求值． 【详解】 解： 的导数为 ， 可得在点 处的切线的斜率为 ， 由切线与直线 垂直，可得 ， 解得 ， 故选： ． 7．（2021·重庆八中高三其他模拟）已知定义在 上的函数 满足 ，若曲线 在点 处的切线斜率为2，则 （ ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】C 【解析】 先由换元法求出 的解析式，然后求导，利用导数的几何意义先求出 的值，然后可得出 的值. 【详解】 设 ，则 ， ． 由 ，解得 ，从而 ， 故选: C． 8．（2018·全国高考真题（理））设函数 ．若 为奇函数，则曲线 在 f (x)=x3+(a−1)x2+ax f (x) y=f (x) 点(0，0)处的切线方程为( ) A．y=−2x B．y=−x C．y=2x D．y=x 【答案】D 【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得a=1，进而得到f(x)的解析式，再对f(x)求导得出切线 的斜率k，进而求得切线方程.详解：因为函数f(x)是奇函数，所以a−1=0，解得a=1， 所以 ， ， f(x)=x3+x f '(x)=3x2+1 所以f '(0)=1,f(0)=0， 所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y−f(0)=f '(0)x， 化简可得y=x，故选D. 9.（2021·河南洛阳市·高三其他模拟（理））设曲线 在点 处的切线与直线 平 行，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 利用导数求出曲线 在点 处的切线的斜率，利用两直线平行可得出实数 的值. 【详解】 对函数 求导得 ， 由已知条件可得 ，所以， . 故选：B. 10．（2020·河北高三其他模拟（文））已知曲线 在点 处的切线斜率为2，则 ___________. 【答案】1 【解析】 求导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，解方程即可求解. 【详解】 解： 的导数为 ， 可得曲线 在点 处的切线斜率为 ，解得 . 故答案为：1. 练提升 TIDHNE 1．（2021·浙江金华市·高三三模）已知点P在曲线 上， 为曲线在点P处的切线的倾斜角，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 首先根据导数的几何意义求得切线斜率的取值范围，再根据倾斜角与斜率之间的关系求得倾斜角的取值范 围. 【详解】 因为 ， 由于 ， 所以 ， 根据导数的几何意义可知： , 所以 ， 故选：D. 2．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）已知函数 的图象在点 处的切线方程是 ，那么 （ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】 根据导数的几何意义确定斜率与切点即可求解答案. 【详解】 因为 ，所以 ，因此切线方程的斜率 ， 所以有 ，得 ， 又切点在切线上，可得切点坐标为 ， 将切点代入 中，有 ，得 ， 所以 . 故选：D. 3．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（文））已知直线 为曲线 在 处的切线， 则在直线 上方的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 利用导数的几何意义求得切线的方程，进而判定点与切线的位置关系即可. 【详解】 , ,又 当 时， ， 所以切线的方程为 , 对于A,当 时， ，故点 在切线上； 对于B,当 时， ，故点 在切线下 方； 对于C,当 时， ，故点 在切线上方； 对于D,当 1时， ,故点 在切线下方. 故选：C. 4．（2021·甘肃高三二模（理））已知函数 ， ，若经过点 存在一条直线 与 图象和 图象都相切，则 （ ） A．0 B．-1 C．3 D．-1或3 【答案】D 【解析】 先求得过 且于 相切的切线方程，然后与 联立，由 求解. 【详解】 设直线 与 相切的切点为 ， 由 的导数为 ， 可得切线的斜率为 ， 则切线的方程为 ，将 代入切线的方程可得 ， 解得 ，则切线 的方程为 ， 联立 ，可得 ， 由 ，解得 或3， 故选：D. 5．（2021·安徽省泗县第一中学高三其他模拟（理））若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 的最小距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由已知可知曲线 在点 处的切线与直线 平行，利用导数求出点 的坐标，利用 点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】 因为点 是曲线 任意一点，所以当点 处的切线和直线 平行时，点 到直线的 的距离最小， 因为直线 的斜率等于 ，曲线 的导数 ， 令 ，可得 或 （舍去），所以在曲线 与直线 平行的切线经过的 切点坐标为 ，所以点 到直线 的最小距离为 . 故选：C. 6．（2021·安徽省舒城中学高三三模（理））若函数 与 的图象有一条公共 切线，且该公共切线与直线 平行，则实数 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 设函数 图象上切点为 ，求出函数的导函数，根据 求出切点坐标与切线 方程，设函数 的图象上的切点为 ，根据 ，得到 ， 再由 ，即可求出 ，从而得解； 【详解】 解：设函数 图象上切点为 ，因为 ，所以 ，得 ， 所以 ，所以切线方程为 ，即 ，设函数 的图象上的切点为 ，因为 ，所以 ，即 ，又 ，即 ，所以 ，即 ，解得 或 （舍），所以 ． 故选：A 7．（2021·全国高三其他模拟）已知直线y＝2x与函数f（x）＝﹣2lnx+xex+m的图象相切，则m＝ _________. 【答案】 【解析】 设出切点 ，根据切线方程的几何意义，得到 ， 解方程组即可. 【详解】 因为 ，所以 设切点为 ，所以切线的斜率为 又因为切线方程为y＝2x，因此 ， 由 ，得 ， 因为 ，所以 ，又 ， 所以 ，得 . 故答案为： .8．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））若两曲线y＝x2+1与y＝alnx+1存在公切线，则正 实数a的取值范围是_________． 【答案】（0，2e] 【解析】 设公切线与曲线y＝x2+1和y＝alnx+1的交点分别为（x，x2+1），（x，alnx+1），其中x＞0，然后分别 1 1 2 2 2 求出切线方程，对应系数相等，可以得到 ，然后转化为﹣ ＝alnx﹣a，，然后 2 参变分离得到a＝4x2﹣4x2lnx，进而构造函数求值域即可. 【详解】 解：设公切线与曲线y＝x2+1和y＝alnx+1的交点分别为（x，x2+1），（x，alnx+1），其中x＞0， 1 1 2 2 2 对于y＝x2+1，y′＝2x，所以与曲线y＝x2+1相切的切线方程为：y﹣（x2+1）＝2x（x﹣x），即y＝2xx﹣ 1 1 1 1 x2+1， 1 对于y＝alnx+1，y′＝ ， 所以与曲线y＝alnx+1相切的切线方程为y﹣（alnx+1）＝ （x﹣x），即y＝ x﹣a+1+alnx， 2 2 2 所以 ，即有﹣ ＝alnx﹣a， 2 由a＞0，可得a＝4x2﹣4x2lnx， 记f(x)＝4x2﹣4x2lnx（x＞0），f′(x)＝8x﹣4x﹣8xlnx＝4x（1﹣2lnx）， 当x＜ 时，f′(x)＞0，即f(x)在（0， ）上单调递增，当x＞ 时，f′(x)＜0，即f(x)在（ ，+∞）上 单调递减， 所以f(x) ＝f（ ）＝2e，又x→0时，f(x)→0，x→+∞时，f(x)→﹣∞， max 所以0＜a≤2e． 故答案为：（0，2e]．9．（2021·湖南永州市·高三其他模拟）已知函数 ，点 为函数 图象上一动点，则 到直线 距离的最小值为___________.(注 ) 【答案】 【解析】 求出导函数，利用导数的几何意义求出切线与已知直线平行时切点坐标，然后转化为求点到直线的距离即 可求解． 【详解】 解： ， ， 与直线 平行的切线斜率 ，解得 或 ， 当 时， ，即切点为 ， 此时点 到直线 的距离为 ； 当 时， ，即切点为 ， 此时点 到直线 的距离为 ， 故答案为： . 10．（2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟）已知 ， 是曲线 上的两点，分别以 ， 为切点作曲线C的切线 ， ，且 ，切线 交y轴于A点，切线 交y轴于B点，则线段 的长度为___________.【答案】 【解析】 由两切线垂直可知， ， 两点必分别位于该函数的两段上，故可设出切点坐标 ， 表示出两条切线方程，根据两切线垂直，可得 ，又两切线分别与 轴交于 ， ，则可求出 . 【详解】 曲线 ，则 ， 设 ，两切线斜率分别为 ， ， 由 得 ，则不妨设 ， ， ， ， 令 ，得 ， ， ， 令 ，得 由 ，即 ，得 ， 则 . 故答案为： .练真题 TIDHNE 1.（2021·全国高考真题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 解法二：画出曲线 的图象，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以作出两条切 线. 【详解】 在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ， 所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ， 由题意可知，点 在直线 上，可得 ， 令 ，则 . 当 时， ，此时函数 单调递增， 当 时， ，此时函数 单调递减， 所以， ， 由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ， 当 时， ，当 时， ，作出函数 的图象如下图所示：由图可知，当 时，直线 与曲线 的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可 以作出两条切线.由此可知 .故选：D. f(x)x4 2x3 (1，f(1)) 2.（2020·全国高考真题（理））函数 的图像在点 处的切线方程为（ ） y 2x1 y 2x1 A． B． y 2x3 y 2x1 C． D． 【答案】B 【解析】  f x x4 2x3  fx4x36x2  f 11 f12 ， ， ， ， y12x1 y 2x1 因此，所求切线的方程为 ，即 . 故选：B. 3．（2020·全国高考真题（理））若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（ ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+ 【答案】D 【解析】设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ， 函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ， 设直线 的方程为 ，即 ， 由于直线 与圆 相切，则 ， 两边平方并整理得 ，解得 ， （舍）， 则直线 的方程为 ，即 . 故选：D. ex e f(x) f(1) 4.（2020·全国高考真题（文））设函数 xa ．若 4 ，则a=_________． 【答案】1 【解析】 exxaex exxa1 fx  由函数的解析式可得： xa2 xa2 ， e11a1 ae ae e f1   则： 1a2 a12 ，据此可得：a12 4 ， a2 2a10 a1 整理可得： ，解得： . 故答案为：1. y 3(x2 x)ex (0,0) 5．（2019·全国高考真题（文））曲线 在点 处的切线方程为___________． 3x y0 【答案】 . 【解析】y/ 3(2x1)ex 3(x2 x)ex 3(x23x1)ex, k  y/ | 3 所以， x0 y 3(x2 x)ex (0,0) y3x 3x y0 所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ． 6．（2020·全国高考真题（文））曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ______________. 【答案】 【解析】 设切线的切点坐标为 ， ，所以切点坐标为 ， 所求的切线方程为 ，即 . 故答案为： .