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跟踪训练 01 基本立体图形
一．选择题（共15小题）
1．在四面体 中， 底面 ， ， ，点 为三角形
的重心，若四面体 的外接球的表面积为 ，则
A． B．2 C． D．
2 ． 已 三 棱 锥 中 ， 是 以 角 为 直 角 的 直 角 三 角 形 ，
为 的外接圆的圆心， ，那么三棱
锥 外接球的半径为
A． B． C． D．
3．已知等腰直角 中， 为直角，边 ， ， 分别为 ， 上的动点
与 不重合），将 沿 折起，使点 到达点 的位置，且平面 平面
．若点 ， ， ， ， 均在球 的球面上，则球 体积的最小值为
A． B． C． D．
4．正四棱锥 的底面边长为 ，则平面 截四棱锥 外
接球所得截面的面积为A． B． C． D．
5．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为
A． B． C． D．
6．圆台 的内切球 的表面积与圆台的侧面积之比为 ，则圆台母线与底面所成角的
正切值为
A． B．1 C． D．
7．祖暅原理的内容为“幂势既同，则积不容异”，其意思是夹在两个平行平面间的两个几
何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几
何体的体积一定相等．设 ， 为夹在两个平行平面间的两个几何体， ， 的体积相
等， ， 在同一高处的截面积总相等．根据祖暅原理可知， 是 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知直四棱柱 的棱长均为2， ．以 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线长为
A． B． C． D．2
9．已知四棱锥 的顶点都在球 的球面上，底面 是矩形，平面 底面
， 为正三角形， ，则球 的表面积为
A． B． C． D．
10．在正三棱锥 中， ， 分别为侧棱 ， 的中点，若 ，且
，则三棱锥 外接球的表面积为
A． B． C． D．
11．已知某几何体由两个有公共底面的圆锥组成，两个圆锥的顶点分别为 ， ，底面半
径为 ．若 ，则该几何体的体积最大时，以 为半径的球的体积为
A． B． C． D．
12．将一张如图所示的两直角边长度分别为8和15的直角三角形硬纸片，沿虚线剪成四块，
这四块纸片恰好可以通过折叠，拼接形成一个密封的直三棱柱模型，则所得直三棱柱模型
的体积为
A．30 B．24 C．20 D．18
13．在直三棱柱 中 ， ， ， 、 分别为、 的中点，沿棱柱的表面从 到 两点的最短路径的长度为
A． B． C． D．
14．如图，点 是棱长为2的正方体 的表面上一个动点，则以下说法中不
正确的是
A．当 在平面 上运动时，四棱锥 的体积不变
B．当 在线段 上运动时， 与 所成角的取值范围是
C．若 是 的中点，点 在底面 上运动时，不存在点 满足 平面
D．若点 在四边形 内运动，则使直线 与平面 所成的角为 的点
的轨迹为圆上的一段弧
15．龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙线，故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其
盆体可以近似看作一个圆台．现有一龙洗盆高 ，盆口直径 ，盆底直径 ．现往盆内注水，当水深为 时，则盆内水的体积为
A． B． C． D．
二．多选题（共5小题）
16．在正方体 中， ， ， 分别为 ， ， 的中点，则
A．直线 与直线 异面
B．直线 与平面 平行
C．三棱锥 的体积是正方体 体积的
D．平面 截正方体所得的截面是等腰梯形
17．如图，一个正方体密封容器中装有一半的水量，若将正方体随意旋转放置，则容器中
水的上表面形状可能是
A．三角形 B．矩形
C．非矩形的平行四边形 D．六边形18．我国古代数学名著《九章算术商功》中记载了一些特殊几何体，如长方、堑堵、阳
马、鳖臑等．并对这些几何体作了详细记载．如图长方体 ，按平面
斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的
一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中以矩形为底另有一棱与底面垂
直的四棱锥 称为阳马，余下的三棱锥 称为鳖臑，已知长方体中
中 ， ， ，按以上操作得到鳖臑，则关于该鳖臑
下列说法正确的是
A．三棱锥 由三个直角三角形和一个锐角三角形组成的四面体
B．三棱锥 由四个直角三角形组成的四面体
C．该鳖臑 的最长棱长
D．该鳖臑 的体积为4
19．等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何
体的表面积可以为
A． B． C． D．
20．如图，在棱长为2的正方体 中，点 ， ， 分别为 ， ，的中点，若点 在线段 上运动，则下列结论正确的为
A． 与 为共面直线
B．平面 平面
C．三棱锥 的体积为定值
D． 与平面 所成角的正切值为
三．填空题（共5小题）
21．庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．
单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图① ，类似五面体
的 形 状 （ 如 图 ② ， 若 四 边 形 是 矩 形 ， ， 且
， ，则五面体 的表面积为
．
22．已知点 ， ， ， ， ， ， ， ，其中 ， ，且
， ，若四边形 是矩形，则此矩形绕 轴旋转一周得到的圆柱的体积的最大值为 ．
23．如图，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有 升水．
若将容器平放在地面上（如图 ，则水面正好过圆锥的顶点 ；若将容器倒置（如图 ，
水面也恰好过点 ．下列说法中，正确的是 ．（写出所有满足条件的说法序号）
①圆锥的高等于圆柱的高的一半；
②将容器的一条母线贴地，水面也恰过点 ；
③将容器任意摆放，当水面静止时都过点 ．
24．已知棱长为1的正方体 ， 为 的中点，点 为四边形 及
其内部任意一点，若 ，则三棱锥 体积的取值范围是 ．
25．如图所示，△ 是利用斜二测画法画出的 的直观图，已知 轴，
，且 的面积为16，过 作 轴，则 的长为 ．四．解答题（共3小题）
26．在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，且 ， ，
．
（1）求四棱锥 的体积；
（2）求异面直线 与 所成角的大小．
27．如图所示，三棱柱 中， ， ， ， ．
（1）证明： ；
（2）若 ，求三棱柱 的体积．28．已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为4．
（1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角；
（2）如图，若圆锥中内接一个高为 的圆柱，求该圆柱的侧面积．
