跟踪训练01平面向量的概念及其运算（解析版）_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

跟踪训练 01 平面向量的概念及其运算 一．选择题（共15小题） 1．下列说法正确的是 A．若 ，则 与 的方向相同或者相反 B．若 ， 为非零向量，且 ，则 与 共线 C．若 ，则存在唯一的实数 使得 D．若 ， 是两个单位向量，且 ．则 【解答】解：对于 ，当 时， 与 的方向可以既不相同也不相反，故 错误； 对于 ，若 ， 为非零向量，且 ，则 与 共线，故 正确； 对于 ，当 ， 为非零向量时， 不存在，故 错误； 对于 ，若 ， 是两个单位向量，且 ， 所以 ，即 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，故 错误． 故选： ． 2．下列说法正确的是 A．向量 与向量 是相等向量B．与实数类似，对于两个向量 ， 有 ， ， 三种关系 C．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行 D．若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 【解答】解： ．向量 与向量 是相反向量，不是相等向量，因此不正确； ．与实数不一样，对于两个向量不能比较大小，可以考虑相等或不相等，因此不正确； ．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或重合，因此不正确； ．两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合，正确． 故选： ． 3．下列各式中，不表示向量的是 A． B． C． D． 【解答】解：对于 ， 是向量的数乘运算，结果仍为向量， 对于 ， 是向量的加法，结果是向量， 对于 ， 是向量的模，是实数不是向量， 对于 ， 是向量的数乘运算，结果仍为向量， 故选： ． 4．已知 和 是两个正交单位向量， ， 且 ，则 A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或4 【解答】解： 和 是正交单位向量， ， ， 可得 ， ，得 或 ． 故选： ． 5．如果一架飞机向西飞行 ，再向南飞行 ，记飞机飞行的路程为 ，位移为 ， 则A． B． C． D． 与 不能比较大小 【解答】解：如果一架飞机向西飞行 ，再向南飞行 ， 则飞机飞行的路程为 ， ； 所以： ． 故选： ． 6．下列命题中真命题的个数是 ①温度、速度、位移、功都是向量 ②零向量没有方向 ③向量的模一定是正数 ④直角坐标平面上的 轴、 轴都是向量 A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量； （2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的； （3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数； （4）错误，直角坐标平面上的 轴、 轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量． 故选： ． 7．在矩形 中， ， ，则 等于 A． B． C．3 D．4 【解答】解：在矩形 中，由 ， 可得 ， 又因为 ， 故 ， 故 ． 故选： ．8．下列四个向量中，与向量 共线的是 A． B． C． D． 【解答】解：由于与向量 共线的向量为 的形式， 令 ，可得与向量 共线的向量为 ， 故选： ． 9．判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若 ， 则 与 的方向相同或相反；③若 ，且 ，则 ．其中，正确的命题个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：对于①，两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点一定相同，故正确； 对于②，当 是零向量时，不能说 与 方向相同或相反，故不正确； 对于③，如果 ，则 与 可以不共线，所以不正确． 故选： ． 10．在如图所示的半圆中， 为直径， 为圆心，点 为半圆上一点且 ， ，则 等于 A． B． C． D． 【解答】解：连接 ，为直径， ， 在 中， ， ， ， ， 由 余 弦 定 理 可 得 ， ， 在 中， ， 即 ． 故选： ． 11．下列各命题中，正确的是 A．若 ，则 或 B．与非零向量 共线的单位向量是 C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量 D．若 ，则 【解答】解：对于 选项，若 ，则 、 的方向关系无法确定， 错； 对于 选项，与非零向量 共线的单位向量是 ， 错； 对于 选项，长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量， 对； 对于 选项，若 ，但向量 、 不能比大小， 错． 故选： ．12．设 ， 是两个不共线的非零向量，则“ 与 共线”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解： 不共线， ， （1）若 与 共线，则存在 ，使 ， ，解得 ， 由“ 与 共线”得不出“ ”，即“ 与 共线”不是“ ”的充分条件； （2）若 ， ， ， 与 共线， “ ”能得出“ 与 共线”， “ 与 共线”是“ ”的必要条件， 由（1）（2）得，“ 与 共线”是“ ”必要不充分条件． 故选： ． 13．等边 的边长为1，点 在直线 上，且 ．若 为 的中点， 则 A． B． C． D． 【解答】解： 点 在直线 上，且 ， ，为 的中点， ， 等边 的边长为1， ， ， 故选： ． 14．设 ， 都是非零向量，下列四个条件中，使得 成立的条件是 A． B． C． D． 且 【解答】解： 与 共线且同向 且 ， 故选： ． 15．下列说法正确的是 A．向量 与向量 是相等向量 B．与实数类似、对于两个向量 ， 有 ， ， 三种关系 C．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行 D．若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 【解答】解： ．向量 与向量 是相反向量，不是相等向量，因此不正确； ．与实数不一样，对于两个向量不能比较大小，可以考虑相等或不相等，因此不正确； ．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或重合，因此不正确； ．两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合，正确． 故选： ． 二．多选题（共5小题） 16．下列命题不正确的是 A．若 ，则 B．若 ，则 或C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 【解答】解：若 ，则不一定有 ，因为 和 的方向是任意的，故 错误； 若 ，则 ，不能推出若 或 ，故 错误； 若 ， ，则不一定有 ，例如当 时， 和 是任意的，故 错误； 若 ， ，则一定有 ，故 正确， 故选： ． 17．已知在同一平面内的向量 均为非零向量，则下列说法中正确的有 A．若 ，则 B．若 ，则 C． D．若 且 ，则 【解答】解：对于选项 ，因为 ， ， ，若 且 ，则 ，故选 项 正确； 对于选项 ，若 ，则 ， 又 ，所以 ， 因为 ， 与 ， 不一定相等，所以 不一定成立，故选项 错误； 对于选项 ，因为 与 共线， 与 共线，所以 与 不一定 相等，故选项 错误； 对于选项 ，若 且 ，则 ，所以 ，故选项 正确． 故选： ． 18．下列说法中正确的是A．若 ， ，则 B．若两个非零向量 ， 满足 ，则 与 共线且反向 C．若对平面内的任意一点 ，有 ，且 ，则 ， ， 三点共线 D．若 ，且 与 夹角为锐角，则 【解答】解：若 ， ，则 不一定成立，例如当 时，则 和 是任意向 量，故 错误； 若两个非零向量 ， 满足 ，则 与 共线且反向，故 正确； 对平面内的任意一点 ，有 ，且 ，则 ， ， 三 点共线，故 正确； 若 ，且 与 夹角为锐角，则 、 不共线且 ， 为正数， 且 ， 且 ，故 错误， 故选： ． 19．已知平面向量 、 、 ，下列四个命题不正确的是 A．若 ，则 B．单位向量都相等 C．方向相反的两个非零向量一定共线 D．若 ， 满足 ，且 与 同向，则 【解答】解：对于 ，若 ，则 ，故 正确； 对于 ，单位向量的模为1，但是方向不一定相同，故 错误； 对于 ，方向相同或相反的两个非零向量为共线向量，故 正确； 对于 ，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故 错误．故选： ． 20．下列命题中，正确的命题为 A．对于向量 ， ，若 ，则 或 B．若 为单位向量，且 ，则 C．若 ，则非零向量 、 与 一定可以构成一个首尾相接的三角形 D．四边形 中， 【解答】解：对于向量 ， ，由 ，不能得到 或 ，两向量可能不共线， 故 错误； 若 为单位向量，且 ，则 ，故 正确； 若 ，则非零向量 、 与 不共线时，可以构成一个首尾相接的三角形，而共 线时不能构成三角形，故 错误； 四边形 中，由 ，得 ，可得 ，故 正确． 故选： ． 三．填空题（共5小题） 21．与 反向的单位向量为 ． 【解答】解：与 反向的单位向量为 ． 故答案为： ． 22．在矩形 中， ， ，则 5 ． 【解答】解： 矩形 中， ， ，， ， ． 故答案为：5． 23．已知 ， 为单位向量， ，则 ． 【解答】解：由于知 ， 为单位向量， ， 所以 ， 故 ， 所以 ． 故答案为： ． 24．已知 ， ，则向量 的单位向量的坐标为 ， ． 【解答】解： ， ， ，可得 ， 因此，向量 的单位向量为： ， ， ． 故答案为： ， ． 25．设 ， ， 是 的三个内角， 的外心为 ，内心为 ， 且 与 共线．若 ，则 2 ． 【解答】解：设内切圆半径为 ，过 ， 分别作 的垂线，垂足分别为 ， ，则 ， ， 与 共线， ， ， ， ， ， ， 即 ， ． 故答案为：2． 四．解答题（共3小题） 26．在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边， ， ，且 ． （1）求角 的值； （2）若 ，求 周长的取值范围． 【解答】解：（1） ， ，且 ， ， ，即 ， ， ， ．（2）若 ，由余弦定理得 ， ， ， ， ，当且仅当 时取等号， ， ， 周长的取值范围为 ， ． 27．已知 、 不共线． （1）若 ， ， ，求证： ， ， 三点共线； （2）若向量 与 共线，求实数 的值． 【解答】（1）证明：因为 、 不共线，且 ， ， 所以 ， 又因为 ， 所以 ， 即 、 共线，且有公共点， 所以 ， ， 三点共线； （2）解：因为向量 与 共线， 所以 ， ； 即 ，解得 ， ，所以实数 的值为 ． 28．如图，在 中， ， ．设 ， ． （Ⅰ）用 ， 表示 ， ； （Ⅱ）若 为 内部一点，且 ．求证： ， ， 三点共线． 【解答】解：（Ⅰ）在 中， ， ．设 ， ． ； ； 证明：（Ⅱ）因为 为 内部一点，且 ． 则 ， 所以 与 共线且有公共点 ， 所以 ， ， 三点共线．