文档内容
2021-2022学年七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（苏科版）
专题01 幂的乘除运算压轴题五种模型
【类型一 幂的乘除混合运算问题】
例1．计算：
【变式训练1】计算： ；
【变式训练2】计算：
（1） （2） （3）
【变式训练3】计算：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ．
【类型二 负指数与零指数运算问题】
例2.计算：
【变式训练1】计算： ．
【变式训练2】计算： ．【变式训练3】计算
【类型三 幂的运算逆用问题】
例3．若a*b＝c，则ac＝b．例如：若2*8＝3，则23＝8
（1）根据上述规定，若5* ＝x，则x＝ ．
（2）记5*2＝a，5*6＝b，5*18＝c，求a，b，c之间的数量关系．
【变式训练1】（1）已知 ，求 的值．
（2）已知 ，求m的值．
【变式训练2】(1)已知4m＝a，8n＝b，用含a，b的式子表示下列代数式：
①求：22m+3n的值
②求：24m﹣6n的值
(2)已知2×8x×16＝223，求x的值．
【变式训练3】（1）已知 ，求 的值．
（2）已知： ，求 的值．
（3）已知 ，求 的值．
（4）已知 ，求m的值．
【类型四 新定义型问题】
例4．如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如；因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定填空：（3，27）＝ ，（4，1）＝ ，（2，0.25）＝ ；
（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．判断a，b，c之间的等量关系，并说明理由．【变式训练1】我们定义：三角形 ，五角星 ，
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值．
【变式训练2】一般地，若 （ 且 ），则n叫做以a为底b的对数，记为 ，即
．譬如： ，则4叫做以3为底81的对数，记为 （即 ＝4）．
（1）计算以下各对数的值： ， ， ．
（2）由（1）中三数4、16、64之间满足的等量关系式，直接写出 、 、 满足的等量关
系式；
（3）由（2）猜想一般性的结论： ．（ 且 ），并根据幂的
运算法则： 以及对数的含义证明你的猜想．
【变式训练3】规定两数a，b之间的一种运算，记作 ，如果 ，则 ．我们叫 为
“雅对”．例如：因为 ，所以 ．我们还可以利用“雅对”定义说明等式
成立．证明如下：
设 ，则 ，
故 ，则 ，
即 ．
（1）根据上述规定，填空： ______； ______； ．
（2）计算 _________，并说明理由．
（3）利用“雅对”定义证明： ，对于任意自然数n都成立．
【类型五 比较大小问题】
例5．比较下列各题中幂的大小：
（1）已知 ，比较a、b、c的大小关系；
（2）比较 这4个数的大小关系；
（3）已知 ，比较P，Q的大小关系；
【变式训练1】阅读探究题：．
【阅读材料】
比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，
如： ，
在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如： 与 ，
解： ，∵ ，∴
[类比解答]比较 ， 的大小．
[拓展拔高]比较 ， ， 的大小．
【变式训练2】阅读材料，解决问题．
材料一：比较 和 的大小．解：因为 ，而 ，所以 ，即 ．
小结：在指数相同的情况下，可通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小．
材料二：比较 和 的大小．
解：因为 ，而 ，所以 ，即 ．
小结：在底数相同的情况下，可以通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小．
（1）比较 ， ， 的大小：
（2）比较 ， ， 的大小．
【变式训练3】在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小问题，对于此类问题，通常有两种
解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：
若 ， ，则 ， 的大小关系是 ______ （填“ ”或“ ”）；
解： ， ，且
类比阅读材料的方法，解答下列问题：
（1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质______．
A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C幂的乘方；D积的乘方
（2）试比较 、 、 的大小；
【专项训练】
一、选择题
1．下列式子中，运算结果为 的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a2+2a＝3a3 B．a6÷a2＝a3 C．（2a）3＝6a3 D．（a3）4＝a123．10月1日，小明在网络上查到了小区PM2.5平均浓度为0.000042克/立方米，0.000042用科学记数法表
示为（ ）
A． B． C． D．
4．若a＝(－ )2019×( )2020，b＝2018×2020－20192，c＝(－ ) ＋(－1)2－20190．则a，b，c的大小关系正
确的是（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b
二、填空题
5．计算 _______， _______．
6．(1 )0＝______， _____．
7．2020年新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，它的直径约为0.00000012米，请把
数0.00000012用科学计数法表示为__________．
8．如果a，b，c是整数，且ac＝b，那么我们规定一种记号(a，b)＝c，例如32＝9，那么记作(3，9)＝2，
根据以上规定，则(－2，－ )＝________．
三、解答题
9．计算：
10．计算： ．
11．规定 ，求：
（1）求 ；
（2）若 ，求x的值．12．（1）已知： ， ，求 的值；
（2）已知： ，求 的值．
13．已知5a＝3，5b＝8，5c＝72．
（1）求（5a）2的值．
（2）求5a-b+c的值．
（3）直接写出字母a、b、c之间的数量关系为________．
14．按要求解答下列各小题．
（1）已知10m＝6，10n＝2，求10m﹣n的值；
（2）如果a+3b＝4，求3a×27b的值；
（3）已知8×2m÷16m＝215，求m的值．
15．规定两个非零数a，b之间的一种新运算，如果am＝b，那么a∧b＝m．例如：因为52＝25，所以5∧25
＝2；因为50＝1，所以5∧1＝0．
（1）根据上述规定填空：2∧32＝ ；﹣3∧81＝ ．
（2）在运算时，按以上规定请说明等式8∧9+8∧10＝8∧90成立．
16．如果 ，那么我们规定 ．例如：因为 ，所以（2，8） ．
（1）根据上述规定，填空：（ ， ） ，（ ， ） ．
（2）记（3，5） ，（3，6） ，（3，30） ．求证： ．
17．计算：
(1) ；
(2)
(3) ；(4)先化简，再求值： ，其中 ．
18．计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
19．某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据am＝b，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求
m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若am＝b，那么T（a，b）＝m．例如34＝81，那么T（3，81）
＝4．
（1）填空：T（2，64）＝ ；
（2）计算：T( )+T(-2，16)．
（3）探索：T（2，3）+T（2，7）与T（2，21）的大小关系，并说明理由．
20．若 都是正整数)，则 ，利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果 ，求 的值；
（2）如果 ，求 的值；
（3）若 ，用含 的代数式表示 ．21．若 （ 且 ，m、n是正整数），则 ．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果 ，求x的值；
（2）如果 ，求x的值；
（3）若 ， ，用含x的代数式表示y．
22．如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝ ，（4，16）＝ ，（2，16）＝ ．
（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．
23．如果 ，那么我们规定 ．例如：因为 ，所以 ．
（1）【理解】根据上述规定，填空：（2，8）= ， ；
（2）【说理】记 ， ， ．试说明： ；
（3）【应用】若 ，求t的值．
24．阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个
幂 和 ，当 时，则有 ，根据上述材料，回答下列问题．
（1）比较大小： __________ （填写>、<或=）．（2）比较 与 的大小（写出比较的具体过程）．
（3）计算 ．
25．将幂的运算逆向思维可以得到 ， ， ， ，在解题过程
中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
（1） _________；
（2）若 ，求 的值；
（3）比较大小： ，则 的大小关系是什么？
（提示：如果 ， 为正整数，那么 ）
26.阅读下列材料：小明为了计算 的值，采用以下方法：
设 ①
则 ②
② ①得， ．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1） ______；
（2）求 ______；
（3）求 的和；（请写出计算过程）
（4）求 的和（其中 且 ）．（请写出计算过程）27．阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617年）是对数的创始人．他发明对数是在
指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若 （ 且 ），那么x叫做以a为底N的对数，记作 ，比如
指数式 可以转化为对数式 ，对数式 可以转化为指数式 ．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
，理由如下：
设 ， ，则 ， ，
∴ ，由对数的定义得 ．
又∵ ，
∴ ．
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
(1)填空：
① ，
② ，
③ ；
(2)求证： ；
(3)拓展运用：计算 ．
