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2022年山东省济南市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。）
1．（4分）﹣7的相反数是（ ）
A．﹣7 B．7 C． D．﹣
2．（4分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．正四棱柱
3．（4分）神舟十三号飞船在近地点高度200000m，远地点高度356000m的轨道上驻留了6个
月后，于2022年4月16日顺利返回．将数字356000用科学记数法表示为（ ）
A．3.56×105 B．0.356×106 C．3.56×106 D．35.6×104
4．（4分）如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．57.5° D．65°
5．（4分）下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
6．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．ab＞0 B．a+b＞0 C．|a|＜|b| D．a+1＜b+1
7．（4分）某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三
个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是
（ ）
A． B． C． D．
8．（4分）若m﹣n＝2，则代数式 • 的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
9．（4分）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏
围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围
内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
10．（4分）如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两弧相交
于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论
错误的是（ ）A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC C．AB＝4 D．AC＝2AB
11．（4分）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得
最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在
同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（ ）
（精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）
A．28m B．34m C．37m D．46m
12．（4分）抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物
线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m﹣1，y ），N
1
（m+1，y ）为图形G上两点，若y ＜y ，则m的取值范围是（ ）
2 1 2
A．m＜﹣1或m＞0 B． ＜m＜ C．0≤m＜ D．﹣1＜m＜1
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，直接填写答案。）
13．（4分）因式分解：a2+4a+4＝ ．
14．（4分）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它
最终停留在阴影区域的概率是 ．
15．（4分）写出一个比 大且比 小的整数 ．16．（4分）代数式 与代数式 的值相等，则x＝ ．
17．（4分）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图
1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然
后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是 ．
18．（4分）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一
个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点
按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点O（0，0）按序列“011…”作变换，表示点O
先向右平移一个单位得到O（1，0），再将O（1，0）绕原点顺时针旋转90°得到O（0，﹣
1 1 2
1），再将O（0，﹣1）绕原点顺时针旋转90°得到O（﹣1，0）…依次类推．点（0，1）经过
2 3
“011011011”变换后得到点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（6分）计算：|﹣3|﹣4sin30°+ +（ ）﹣1．20．（6分）解不等式组： ，并写出它的所有整数解．
21．（6分）已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝
∠CDE．求证：AE＝CF．
22．（8分）某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取
了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
a：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．
（数据分成5组，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）
b：七年级抽取成绩在70≤x＜80这一组的是：
70，72，73，73，75，75，75，76，
77，77，78，78，79，79，79，79．
c：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：
年级 平均数 中位数
七年级 76.5 m
八年级 78.2 79
请结合以上信息完成下列问题：
（1）七年级抽取成绩在60≤x＜90的人数是 ，并补全频数分布直方图；
（2）表中m的值为 ；（3）七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，则 （填“甲”或“乙”）
的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；
（4）七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数．
23．（8分）已知：如图，AB为 O的直径，CD与 O相切于点C，交AB延长线于点D，连接
AC，BC，∠D＝30°，CE平⊙分∠ACB交 O于⊙点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．
（1）求证：CA＝CD； ⊙
（2）若AB＝12，求线段BF的长．
24．（10分）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和
16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍．则购
买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．
25．（10分）如图，一次函数y＝ x+1的图象与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A（a，
3），与y轴交于点B．
（1）求a，k的值；
（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．
①求△ABC的面积；
②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行
四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．26．（12分）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A
按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
（2）延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为
；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数并说明理由．
27．（12分）抛物线y＝ax2+ x﹣6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线
y＝kx﹣6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式和t，k的值；
（2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+
PQ的最大值．2022年山东省济南市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。）
1．（4分）﹣7的相反数是（ ）
A．﹣7 B．7 C． D．﹣
【分析】据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可．
【解答】解：根据概念，（﹣7的相反数）+（﹣7）＝0，则﹣7的相反数是7．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一
个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（4分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．正四棱柱
【分析】根据简单几何体的三视图的特征进行判断即可．
【解答】解：该几何体的主视图、左视图都是长方形，而俯视图是圆形，因此这个几何体是
圆柱，
故选：A．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提．
3．（4分）神舟十三号飞船在近地点高度200000m，远地点高度356000m的轨道上驻留了6个
月后，于2022年4月16日顺利返回．将数字356000用科学记数法表示为（ ）A．3.56×105 B．0.356×106 C．3.56×106 D．35.6×104
【分析】根据把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是
正整数，这种记数法叫做科学记数法即可得出答案．
【解答】解：356000＝3.56×105，
故选：A．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握10的指数比原来的整数位数少1是
解题的关键．
4．（4分）如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．57.5° D．65°
【分析】根据平行线的性质，由AB∥CD，得∠AEC＝∠1＝65°．根据角平分线的定义，得
EC平分∠AED，那么∠AED＝2∠AEC＝130°，进而求得∠2＝180°﹣∠AED＝50°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠1＝65°．
∵EC平分∠AED，
∴∠AED＝2∠AEC＝130°．
∴∠2＝180°﹣∠AED＝50°．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义
是解决本题的关键．
5．（4分）下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直
线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个
图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形
叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对
称图形和中心对称图形的定义．
6．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．ab＞0 B．a+b＞0 C．|a|＜|b| D．a+1＜b+1
【分析】根据有理数的乘法法则判断A选项；根据有理数的加法法则判断B选项；根据绝
对值的定义判断C选项；根据不等式的基本性质判断D选项．
【解答】解：A选项，∵a＜0，b＞0，
∴ab＜0，故该选项不符合题意；
B选项，∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，故该选项不符合题意；
C选项，|a|＞|b|，故该选项不符合题意；
D选项，∵a＜b，
∴a+1＜b+1，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上，右边的数总比左边的大是解题的关键．
7．（4分）某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三
个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有
3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴小明和小亮恰好选择同一个主题的概率为 ＝ ，
故选：C．
【点评】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之
比．
8．（4分）若m﹣n＝2，则代数式 • 的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【分析】根据分式的乘除运算法则把原式化简，把m﹣n的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝
＝2（m﹣n）．
当m﹣n＝2时．原式＝2×2＝4．
故选：D．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
9．（4分）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏
围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围
内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【分析】根据题意列出y与x的关系式可得答案．
【解答】解：由题意得，y＝40﹣2x，
所以y与x是一次函数关系，
故选：B．
【点评】此题考查了一次函数的应用等知识，理清题中的数量关系并熟练掌握一次函数的
解析式形式是解题的关键．
10．（4分）如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两弧相交
于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论
错误的是（ ）
A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC C．AB＝4 D．AC＝2AB
【分析】根据作图过程可得，MN 是AC 的垂直平分线，再由矩形的性质可以证明
△CFO≌△AEO，可得AF＝CF＝AE＝5，再根据勾股定理可得AB的长，进而可以解决问
题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠FCA＝∠EAC，
根据作图过程可知：
MN是AC的垂直平分线，∴AF＝CF，故A选项正确，不符合题意；
∴∠FAC＝∠FCA，
∴∠FAC＝∠EAC，故B选项正确，不符合题意；
∵MN是AC的垂直平分线，
∴∠FOA＝∠EOC＝90°，AO＝CO，
在△CFO和△AEO中，
，
∴△CFO≌△AEO（ASA），
∴AE＝CF，
∴AF＝CF＝AE＝5，
∵BF＝3，
在Rt△ABF中，根据勾股定理，得
AB＝ ＝4，故C选项正确，不符合题意；
∵BC＝BF+FC＝3+5＝8，
∴BC＝2AB，故D选项错误，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质，解决本题的关
键是掌握基本作图方法．
11．（4分）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得
最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在
同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（ ）
（精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）A．28m B．34m C．37m D．46m
【分析】根据题意得到AB⊥BC，然后根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：由题意可知：AB⊥BC，
在Rt△ADB中，∠B＝90°，∠ADB＝58°，
∵tan∠ADB＝tan58°＝ ，
∴BD＝ ≈ （m），
在Rt△ACB中，∠B＝90°，∠C＝22°，
∵CD＝70m，
∴BC＝CD+BD＝（70+ ）m，
∴AB＝BC×tanC≈（70+ ）×0.40（m），
解得：AB≈37m，
答：该建筑物AB的高度约为37m．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是借助仰角关系结
合图形利用三角函数解直角三角形．
12．（4分）抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物
线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m﹣1，y ），N
1
（m+1，y ）为图形G上两点，若y ＜y ，则m的取值范围是（ ）
2 1 2
A．m＜﹣1或m＞0 B． ＜m＜ C．0≤m＜ D．﹣1＜m＜1
【分析】通过计算可知，（m﹣1，1），（m+1，1）为抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2上关于对称轴
对称的两点，根据y轴与（m﹣1，1），（m+1，1）的相对位置分三种情形：①若m﹣1≥0，即
（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴右侧（包括（m﹣1，1）在y轴上），②当m+1≤0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴左侧（包括（m+1，1）在y轴上），③当m﹣1＜0＜m+1，即（m﹣1，1）在y
轴左侧，（m+1，1）在y轴右侧时，分别讨论求解即可．
【解答】解：在y＝﹣x2+2mx﹣m2+2中，令x＝m﹣1，得y＝﹣（m﹣1）2+2m（m﹣1）﹣m2+2
＝1，
令x＝m+1，得y＝﹣（m+1）2+2m（m+1）﹣m2+2＝1，
∴（m﹣1，1）和（m+1，1）是关于抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2对称轴对称的两点，
①若m﹣1≥0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴右侧（包括（m﹣1，1）在y轴上），
则点（m﹣1，1）经过翻折得M（m﹣1，y ），点（m+1，1）经过翻折得N（m+1，y ），
1 2
如图：
由对称性可知，y ＝y ，
1 2
∴此时不满足y ＜y ；
1 2
②当m+1≤0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴左侧（包括（m+1，1）在y轴上），
则点（m﹣1，1）即为M（m﹣1，y ），点（m+1，1）即为N（m+1，y ），
1 2
∴y ＝y ，
1 2
∴此时不满足y ＜y ；
1 2
③当m﹣1＜0＜m+1，即（m﹣1，1）在y轴左侧，（m+1，1）在y轴右侧时，如图：此时M（m﹣1，1），（m+1，1）翻折后得N，满足y ＜y ；
1 2
由m﹣1＜0＜m+1得：﹣1＜m＜1，
故选：D．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称翻折变换等知识，解题
的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，正确作出图形是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，直接填写答案。）
13．（4分）因式分解：a2+4a+4＝ （ a + 2 ） 2 ．
【分析】利用完全平方公式进行分解即可．
【解答】解：原式＝（a+2）2，
故答案为：（a+2）2．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
14．（4分）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它
最终停留在阴影区域的概率是 ．
【分析】根据几何概率的求法：小球落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的
比值．
【解答】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为4个小正方形的面积，
∴小球停在阴影部分的概率是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴
影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事
件（A）发生的概率．
15．（4分）写出一个比 大且比 小的整数 3 （答案不唯一） ．
【分析】先对 和 进行估算，再根据题意即可得出答案．
【解答】解：∵ ＜2＜3＜4＜ ，∴写出一个比 大且比 小的整数如3（答案不唯一）；
故答案为：3（答案不唯一）．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，估算出 ＜2＜3＜4＜ 是解题的关键．
16．（4分）代数式 与代数式 的值相等，则x＝ 7 ．
【分析】根据题意列方程，再根据解分式方程的步骤和方法进行计算即可．
【解答】解：由题意得，
＝ ，
去分母得，3（x﹣1）＝2（x+2），
去括号得，3x﹣3＝2x+4，
移项得，3x﹣2x＝4+3，
解得x＝7，
经检验x＝7是原方程的解，
所以原方程的解为x＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤和方法是正确解答的前提，注意解
分式方程要检验．
17．（4分）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图
1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然
后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是 1 6 ．
【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为x，在
直角三角形BCD中，利用勾股定理可建立关于x的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该矩形的面积．
【解答】解：设小正方形的边长为x，
∵a＝4，b＝2，
∴BD＝2+4＝6，
在Rt△BCD中，DC2+BC2＝DB2，
即（4+x）2+（x+2）2＝62，
整理得，x2+6x﹣8＝0，
而长方形面积为＝（x+4）（x+2）＝x2+6x+8＝8+8＝16
∴该矩形的面积为16，
解法二：由题意得第一个矩形的左上角的三角形面积＝第二个矩形左上角的长方形的面
积＝4×2＝8，所以原矩形面积为16
故答案为：16．
【点评】本题考查了勾股定理以及运用和一元二次方程的运用，解题的关键是构建方程解
决问题．
18．（4分）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一
个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点
按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点O（0，0）按序列“011…”作变换，表示点O
先向右平移一个单位得到O（1，0），再将O（1，0）绕原点顺时针旋转90°得到O（0，﹣
1 1 2
1），再将O（0，﹣1）绕原点顺时针旋转90°得到O（﹣1，0）…依次类推．点（0，1）经过
2 3
“011011011”变换后得到点的坐标为 （﹣ 1 ，﹣ 1 ） ．【分析】根据变换的定义解决问题即可．
【解答】解：点（0，1）经过011变换得到点（﹣1，﹣1），点（1，﹣1）经过011变换得到点（0，
1），点（0，1）经过011变换得到点（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）．
【点评】本题考查规律型：点的坐标，平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（6分）计算：|﹣3|﹣4sin30°+ +（ ）﹣1．
【分析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，算术平方根定义，以及负整数
指数幂法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝3﹣4× +2+3
＝3﹣2+2+3
＝6．
【点评】此题考查了实数的运算，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算
法则是解本题的关键．20．（6分）解不等式组： ，并写出它的所有整数解．
【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，写出整数解即可．
【解答】解：解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≥1，
∴原不等式组的解集为：1≤x＜3，
∴整数解为1，2．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，掌握解集的规律：
同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．
21．（6分）已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝
∠CDE．求证：AE＝CF．
【分析】利用菱形的性质可得DA＝DC，进而可得∠DAC＝∠DCA，∠ADE＝∠CDF，利用
ASA证明△DAE≌△DCF可证明结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠ADF＝∠CDE，
∴∠ADF﹣∠EDF＝∠CDE﹣∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴AE＝CF．
【点评】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△DAE≌△DCF是解题的关键．
22．（8分）某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取
了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
a：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．
（数据分成5组，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）
b：七年级抽取成绩在70≤x＜80这一组的是：
70，72，73，73，75，75，75，76，
77，77，78，78，79，79，79，79．
c：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：
年级 平均数 中位数
七年级 76.5 m
八年级 78.2 79
请结合以上信息完成下列问题：
（1）七年级抽取成绩在60≤x＜90的人数是 3 8 ，并补全频数分布直方图；
（2）表中m的值为 7 7 ；
（3）七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，则 甲 （填“甲”或“乙”）的
成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；
（4）七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数．
【分析】（1）根据各组人数求出60≤x＜90的人数，并补全频数分布直方图；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）根据该学生的成绩大于七年级的中位数，而小于八年级的中位数，即可判断；
（4）用样本估计总体的思想解决问题．
【解答】解：（1）成绩在60≤x＜90的人数为12+16+10＝38，故答案为：38；
（2）第25，26名学生的成绩分别为77，77，所以m＝ ＝77，
故答案为：77；
（3）∵78大于七年级的中位数，而小于八年级的中位数．
∴甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；
故答案为：甲；
（4）400× ＝64（人），
即估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数为64．
【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计
量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
23．（8分）已知：如图，AB为 O的直径，CD与 O相切于点C，交AB延长线于点D，连接
AC，BC，∠D＝30°，CE平⊙分∠ACB交 O于⊙点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．
（1）求证：CA＝CD； ⊙
（2）若AB＝12，求线段BF的长．
【分析】（1）连接OC，利用切线的性质可得∠OCD＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠COD＝60°，从而利用圆周角定理可得∠A＝30°，最后根据等角对等边，即
可解答；
（2）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而利用（1）的结论可得BC＝ AB
＝6，再利用角平分线的定义可得∠BCE＝45°，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的
定义进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD与 O相切于点C，
∴∠OCD⊙＝90°，
∵∠D＝30°，
∴∠COD＝90°﹣∠D＝60°，
∴∠A＝ ∠COD＝30°，
∴∠A＝∠D＝30°，
∴CA＝CD；
（2）解：∵AB为 O的直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙
∵∠A＝30°，AB＝12，
∴BC＝ AB＝6，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝ ∠ACB＝45°，
∵BF⊥CE，
∴∠BFC＝90°，
∴BF＝BC•sin45°＝6× ＝3 ，
∴线段BF的长为3 ．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知
条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24．（10分）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和
16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍．则购
买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．
【分析】（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，乙种树苗每棵的价格是y元，可得：
，即可解得甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；
（2）设购买两种树苗共花费w元，购买甲种树苗m棵，根据购买乙种树苗的数量不超过甲
种树苗的3倍，得m≥25，而w＝40m+30（100﹣m）＝10m+3000，由一次函数性质可得购
买甲种树苗25棵，则购买乙种树苗75棵，花费最少．
【解答】解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，乙种树苗每棵的价格是y元，
根据题意得： ，
解得 ，
答：甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；
（2）购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少，理由如下：
设购买两种树苗共花费w元，购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗（100﹣m）棵，
∵购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，
∴100﹣m≤3m，
解得m≥25，
根据题意：w＝40m+30（100﹣m）＝10m+3000，∵10＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝25时，w取最小值，最小值为10×25+3000＝3250（元），
此时100﹣m＝75，
答：购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少．
【点评】本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程
组和函数关系式．
25．（10分）如图，一次函数y＝ x+1的图象与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A（a，
3），与y轴交于点B．
（1）求a，k的值；
（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．
①求△ABC的面积；
②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行
四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．
【分析】（1）将点A的坐标代入y＝ 求得a，再把点A坐标代入y＝ 求出k；
（2）先求出A，B，C三点坐标，作CF⊥x轴于F，交AB于E，求出点E坐标，从而求得CE
的长，进而求得三角形ABC的面积；
（3）当AB为对角线时，先求出点P的纵坐标，进而代入反比例函数的解析式求得横坐标；
当AB为边时，同样先求出点P的纵坐标，再代入y＝ 求得点P的横坐标．【解答】解：（1）把x＝a，y＝3代入y＝ x+1得，
，
∴a＝4，
把x＝4，y＝3代入y＝ 得，
3＝ ，
∴k＝12；
（2）∵点A（4，3），D点的纵坐标是0，AD＝AC，
∴点C的纵坐标是3×2﹣0＝6，
把y＝6代入y＝ 得x＝2，
∴C（2，6），
①如图1，
作CF⊥x轴于F，交AB于E，
当x＝2时，y＝ ＝2，
∴E（2，2），
∵C（2，6），
∴CE＝6﹣2＝4，
∴ x ＝ ＝8；
A②如图2，
当AB是对角线时，即：四边形APBQ是平行四边形，
∵A（4，3），B（0，1），点Q的纵坐标为0，
∴y ＝1+3﹣0＝4，
P
当y＝4时，4＝ ，
∴x＝3，
∴P（3，4），
当AB为边时，即：四边形ABQP是平行四边形（图中的 ABQ′P′），
由y Q′ ﹣y B ＝y P′ ﹣y A 得， ▱
0﹣1＝y
P′
﹣3，
∴y
P′
＝2，
当y＝2时，x＝ ＝6，
∴P′（6，2），
综上所述：P（3，4）或（6，2）．
【点评】本题主要考查了求反比例函数的解析式，结合一次函数的解析式求点的坐标，结
合平行四边形的性质求点的坐标等知识，解决问题的关键是画出图形，全面分类．
26．（12分）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A
按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
（2）延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为 AE
＝ BE ﹣ CE ；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数并说明理由．【分析】（1）证明△BAD≌△CAE；
（2）①AE＝DE＝BE﹣BD＝BE﹣CE；
（3）连接AF，作AG⊥DE于G，先证明△ABF∽△ADG，从而 ，∠BAF＝∠DAG，
进而∠BAD＝∠FAG，再证明△ABD∽△AFG．
【解答】解：（1）BD＝CE，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵AE是由AD绕点A逆时针旋转60°得到的，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即：∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）①由（1）得：∠DAE＝60°，AD＝AE，BD＝CE，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AE，
∴AE＝DE＝BE﹣BD＝BE﹣CE，
故答案为：AE＝BE﹣CE；
②如图，∠BAD＝45°，理由如下：
连接AF，作AG⊥DE于G，
∴∠AGD＝90°，
∵F是BC的中点，△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，
∴AF⊥BC，∠ABF＝∠ADG＝60°，
∴∠AFB＝∠AGD，
∴△ABF∽△ADG，
∴ ，∠BAF＝∠DAG，
∴∠BAF+∠DAF＝∠DAG+∠DAF，
∴∠BAD＝∠FAG，
∴△ABD∽△AFG，
∴∠ADB＝∠AGF＝90°，
由（1）得：BD＝CE，
∵CE＝DE＝AD，
∴AD＝BD，
∴∠BAD＝45°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和想，相似三角形的判定和性
质等知识，解决问题的关键是利用二次相似：第一对相似三角形为第二对相似三角形提供
两个条件．
27．（12分）抛物线y＝ax2+ x﹣6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线
y＝kx﹣6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式和t，k的值；
（2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+
PQ的最大值．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可求解；
（2）作 PM⊥x 轴交于 M，可求 PM＝ m2﹣ m+6，AM＝m﹣3，通过证明
△COA∽△AMP，利用 ＝ ，求m的值即可求P点坐标；
（3）作PN⊥x轴交BC于N，过点N作NE⊥y轴交于E，通过证明△PQN∽△BOC，求出
QN＝ PN，PQ＝ PN，再由△CNE∽△CBO，求出CN＝ EN＝ m，则CQ+ PQ＝
CN+PN＝﹣ （m﹣ ）2+ ，即可求解．
【解答】解：（1）将B（8，0）代入y＝ax2+ x﹣6，
∴64a+22﹣6＝0，
∴a＝﹣ ，
∴y＝﹣ x2+ x﹣6，
当y＝0时，﹣ t2+ t﹣6＝0，
解得t＝3或t＝8（舍），
∴t＝3，
∵B（8，0）在直线y＝kx﹣6上，
∴8k﹣6＝0，
解得k＝ ；（2）作PM⊥x轴交于M，
∵P点横坐标为m，
∴P（m，﹣ m2+ m﹣6），
∴PM＝ m2﹣ m+6，AM＝m﹣3，
在Rt△COA和Rt△AMP中，
∵∠OAC+∠PAM＝90°，∠APM+∠PAM＝90°，
∴∠OAC＝∠APM，
∴△COA∽△AMP，
∴ ＝ ，即OA•MA＝CO•PM，
3（m﹣3）＝6（ m2﹣ m+6），
解得m＝3（舍）或m＝10，
∴P（10，﹣ ）；
（3）作PN⊥x轴交BC于N，过点N作NE⊥y轴交于E，
∴PN＝﹣ m2+ m﹣6﹣（ m﹣6）＝﹣ m2+2m，
∵PN⊥x轴，
∴PN∥OC，
∴∠PNQ＝∠OCB，
∴Rt△PQN∽Rt△BOC，
∴ ＝ ＝ ，
∵OB＝8，OC＝6，BC＝10，
∴QN＝ PN，PQ＝ PN，
由△CNE∽△CBO，
∴CN＝ EN＝ m，
∴CQ+ PQ＝CN+NQ+ PQ＝CN+PN，∴CQ+ PQ＝ m﹣ m2+2m＝﹣ m2+ m＝﹣ （m﹣ ）2+ ，
当m＝ 时，CQ+ PQ的最大值是 ．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判
定及性质是解题的关键．
