跟踪训练01导数的概念及其意义、导数的运算（解析版）_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

跟踪训练 01 导数的概念及其意义、导数的 运算 一．选择题（共15小题） 1．（2023春•石家庄期末）某物体做直线运动，其运动规律是 ，则它在第4秒末 的瞬时速度为 A． 米 秒 B． 米 秒 C．8米 秒 D． 米 秒 【解答】解： ， 它在4秒末的瞬时速度为 米 秒． 故选： ． 2．（2023春•扬中市校级月考）点 在曲线 上移动，设点 处切线的倾 斜角为 ，则角 的范围是 A． B． C． D． 【解答】解：设 ， ，则 ，且 ， ， 角 的范围是： ． 故选： ． 3．（2023春•东城区校级月考）若直线 是函数 切线，则实数 的值是 A． B． C．1 D．【解答】解：由题意设切点为 ， ，则 ， 由 ，得 ， 故 ，故 ， ， 故 ． 故选： ． 4．（2023春•韩城市期末）已知函数 ，若 ，则 A．6 B．5 C．4 D．3 【解答】解：因为函数 ， 可得 ， 根据导数的定义得： （1）， 所以 （1） ，解得 ． 故选： ． 5．（2023春•泗水县期中）如图，已知函数 的图象在点 ， （2） 处的切线为 ， 则 （2） （2） A． B． C．0 D．2【解答】解：由图象可得，切线过点 和 ， 切线斜率为 ， （2） ， 切线方程为 ，则切点坐标为 ，有 （2） ， 所以 （2） （2） ． 故选： ． 6．（2023春•江城区校级期中）曲线 在点 处的切线与 轴交点的横坐标是 A． B．1 C． D． 【解答】解：由 ，得 ，则 ， 曲线 在点 处的切线方程为 ， 取 ，可得 ． 曲线 在点 处的切线与 轴交点的横坐标是 ． 故选： ． 7．（2023春•杭州期中）已知函数 ， ，若存在两条不同的直 线与函数 和 图像均相切，则实数 的取值范围为 A． B． C． D． 【解答】解： 时， ， ，不合题意， 故 ， ， 函数定义域为 ， ， ， ，相同切线的位置上，设 的切点坐标为 ， ， 的切点坐标为 ， 则有 ，即 ， 公切线方程为 ， 代入 ，得 ， 即 ，整理得 ， 若存在两条不同的直线与函数 和 图像均相切， 则方程 有两个不同的实数根， 设 ，则 ， ，解得 ； ，解得 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 当 时函数 有最大值 ，所以 ， 当 时，符合条件；当 时，有 ， 所以实数 的取值范围为 ． 故选： ． 8．（2023•梅河口市校级三模）若过点 可作曲线 的两条切线，则点可以是 A． B． C． D． 【解答】解：由 ，得 ， 设切点坐标为 ，则过切点的切线方程为 ， 把点 代入，可得 ， 整理得： ， 过点 可作曲线 的两条切线，则方程 有两不等实数根， △ ，即 ． 分别把 ， ， ， 代入验证，可得只有 满足． 故点 可以是 ． 故选： ． 9．（2023春•涪城区校级期中）若直线 是函数 图像的切线，则 的最小值为 A． B． C． D． 【解答】解：设切点 ， 由题可知 ， 切线斜率为 ， 为切线，， ， 令 ，则 ， 故 ， 令 ， 则 ， 由 ，解得 ， 当 时， ；当 时， ； 所以 在 单调递减，在 单调递增， （1） ． 故选： ． 10．（2023春•连城县校级期中）函数 在区间 ， 上的平均变化率为 A．2 B．6 C．12 D．48 【解答】解：根据平均变化率的计算公式，可得函数 在区间 ， 的平均变 化率为： ． 故选： ． 11．（2023春•酒泉期末）函数 在区间 ， 上的平均变化率为 A．2 B．1 C． D．【解答】解：函数 在区间 ， 上的平均变化率为 ． 故选： ． 12．（2023 春•渭滨区期末）曲线 在 处切线的倾斜角为 ，则 A． B． C．1 D． 【解答】解：因为 ， 所以 ， （1） ， 所以 ． 故选： ． 13．（2023春•仙桃校级月考）点 在曲线 上移动，设点 处切线的倾斜角 为 ，则角 的范围是 A． B． C． D． 【解答】解：由 可得 ， ， ，即 ， ， ， ， 当 ， 时， ； 当 ， 时， ， ． 故选： ． 14．（2023 春•平顶山期末）若曲线 在 处的切线垂直于直线，则 A． B． C．0 D．1 【解答】解：由 ，得 ， 则 （1） ， 又曲线 在 处的切线垂直于直线 ， 则 ，可得 ． 故选： ． 15．（2023春•葫芦岛月考）设某质点的位移 （单位： 与时间 （单位： 的关系是 ，则该质点在 时的瞬时速度为 A． B． C． D． 【解答】解：因为 ， 所以 （3） ． 故选： ． 二．多选题（共5小题） 16．（2023春•万安县校级期末）若两曲线 与 存在公切线，则正实数 的取值可以是 A．1 B． C． D． 【解答】解：切线与两曲线 与 的切点分别为 ， ， ， ， 由 ，得 ，由 ，得 ， 则两切线方程分别为 与 ，化简得 ， ， 又两条切线为同一条，可得 ，得 ． 令 ，得 ， 当 时， ， 单调递增， 当 ， 时， ， 单调递减， ，则 ， ． 结合选项可得，正实数 的取值可能是 ． 故选： ． 17．（2023春•罗湖区校级期中）已知函数 ， ，其中 ，1， 则 A．存在过点 与函数 、 图象均相切的直线 B．当 ， 时，不存在与函数 、 图象均相切的直线 C．当 ， 时，存在两条与函数 、 图象均相切的直线 D．最多存在三条与函数 、 图象均相切的直线 【解答】解：已知 ， ，函数定义域为 ， 可得 ， ， 对于选项 ，易知函数 的图象恒过定点 ， 所以切线斜率 ，切线方程为 ， 显然 不是函数 的切线，故选项 错误； 对于选项 ，当 ， 时， ， ， 假设存在公切线与 切点 ， ， ， ， 所以函数 在点 处的切线方程为 ， 即 ， 函数 在点 处的切线方程为 ， 即 ， 其满足 ， 所以 ， 此时 ， 整理得 ， 即 ，① 不妨设 ，函数定义域为 ， 可得 ， 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增， 所以 在 上取得极小值也是最小值， 所以 ， 其不满足①式，故 不存在， 所以不存在与函数 、 图象均相切的直线， 故选项 正确； 对于选项 ，当 ， 时， ， 可得 ， 假设存在公切线与 切点 ， ， ， ， 所以函数 在点 处的切线方程为 ， 即 ， 函数 在点 处的切线方程为 ， 即 ， 其满足 ， 所以 ， 即 ，②不妨设 ，函数定义域为 ， 可得 ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减， 所以 在 上取得极大值也是最大值， 所以 ， 此时方程②有两解， 所以至多存在一条公切线，故选项 正确； 对于选项 ，当 ， 时， 函数 、 至多存在两条公切线， 故选项 错误． 故选： ． 18．（2022春•浙江月考）下列说法正确的是 A．已知函数 ，则该函数在区间 ， 上的平均变化率为30 B．已知 ， ， ， 在函数 图像上，若函数 从 到 平均变 化率为 ，则曲线 的割线 的倾斜角为 C．已知直线运动的汽车速度 与时间 的关系是 ，则 时瞬时加速度为7 D．已知函数 ，则 【解答】解：对于 ， （3） ， （1） ，则该函数在区间 ， 上的平均变化率为 ，故 错误， 对于 ，函数 从 到 平均变化率为 ， 曲线 的割线 的斜率为 ，即曲线 的割线 的倾斜角为 ，故 正 确， 对于 ，直线运动的汽车速度 与时间 的关系是 ， 则 ， 所以 （2） ，故 错误， 对于 ，函数 ，则 ，故 正确． 故选： ． 19．（2023春•珠海校级期中）过点 的直线与函数 的图象相切于点 ， ，则 的值可以是 A．0 B．2 C．3 D． 【解答】解：因为 ，所以 ， 由题意得直线 的斜率 ， 即 ，解得 或 ． 故选： ． 20．（2023春•宝安区校级期中）在曲线 上的切线的倾斜角为 点的横坐标可能 为 A． B． C． D．【解答】解：切线的斜率 ，设切点为 ， ，则 ， 又 ，所以 ， 所以 ， ，当 时， ，故 正确． 故选： ． 三．填空题（共5小题） 21．（2023春•兰州期末）已知函数 ， ，则函数 与 的交点坐标 为 ，在交点处的两条切线与 轴所围成的三角形面积为 ． 【解答】解：联立 ，解得 ． 函数 与 的交点坐标为 ； 由 ，得 ，则 （1） ， 曲线 在 处的切线方程为 ，即 ， 取 ，得 ； 由 ，得 ，则 （1） ， 曲线 在 处的切线方程为 ，即 ， 取 ，可得 ． 在交点处的两条切线与 轴所围成的三角形面积为 ． 故答案为： ； ． 22．（2023春•重庆期末）已知函数 ， ，若过点 存在直线 与 和 的图象均相切，则 的值为 或 3 ． 【解答】解：设直线 与 相切的切点为 ， 由 ，得 ， 可得切线的斜率为 ， 则切线的方程为 ， 将 代入切线的方程可得 ， 解得 ，则切线 的方程为 ， 联立 ，可得 ， 由△ ， 解得 或3， 故答案为： 或3． 23．（2023•安徽模拟）若过点 ， 有3条直线与函数 的图象相切， 则 的取值范围是 ， ． 【解答】解：设切点为 ， ，则 ， 过点 的切线方程为 ， 代入点 坐标化简为 ，即这个方程有三个不等根即可， 令 ，求导得到 ， 函数在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减， 又 ，当 时， ，要使方程 有三个不等实数根，则 ， 的取值范围是： ， ． 故答案为： ， ． 24．（2023 春•阿拉善左旗校级期中）设点 在直线 上，点 在函数 的图象上，则 的最小值为 ． 【解答】解：设函数 与直线 平行的切线为 ， 则 的斜率为 ， 由 ，得 ， 所以切点为 ， 则点 到直线 的距离就是 的最小值，即 ． 故答案为： ． 25．（2023•徐汇区校级一模）已知函数 ，其中 ，则曲线 在 点 ， 处的切线方程为 ． 【解答】解：因为 ，所以 ， 则 ， ， 所以所求切线的方程为 ． 故答案为： ． 四．解答题（共3小题）26．（2023•千阳县校级模拟）已知函数 ． （1）求曲线 在点 ， 处的切线方程； （2）证明：当 时，曲线 与曲线 至多存在一个交点． 【解答】（1）解：由 ，得 ， ，又 ， 曲线 在点 ， 处的切线方程为 ； （2）证明：曲线 与曲线 至多存在一个交点， 即 至多有一个实数根，即 至多有一个实数根， 令 ，则 ， ， 是增函数，且 时， ， 时， ， 存在 ，使得 ，① 且 时， ， 单调递减； ， 时， ， 单调递增． 故 ，② 由①得 ，则 ， 代入②式得， ，又 ， 至多有一个实数根， 即当 时，曲线 与曲线 至多存在一个交点． 27．（2023春•大兴区期中）已知函数 ．（Ⅰ）求曲线 在点 ， 处的切线方程； （Ⅱ）设 ，求证：当 ， 时， ； （Ⅲ）对任意的 ，判断 与 的大小关系，并证明结论． 【解答】（Ⅰ）解：由 ，得 ． ，又 ， 曲线 在点 ， 处的切线方程为 ； （Ⅱ）证明： ，则 ． 当 时， ， ，则 ， 可得 在区间 上单调递减． 又 ， 当 ， 时， ， 即当 ， 时， ； （Ⅲ）解：对任意的 ，有 ． 证明如下：取 ，令 ， ， 则 ， ， ． 由（Ⅱ）知， 在区间 ， 上单调递减， ， ， 在 上单调递减． 又 ，当 时， ，即 ． 综上，对任意的 ，有 ． 28．（2023•包头一模）已知函数 ． （1）当 时，求曲线 在点 ， 处的切线与两坐标轴所围成三角形的面 积； （2）若 没有零点，求 的取值范围． 【解答】解：（1）当 时， ， ． 则 ， 故曲线 在点 ， 处的切线方程为 ， 即 ． 因为该切线在 ， 轴上的截距分别为 和 ， 所以该切线与两坐标轴所围成的直角三角形的面积 ． （2）①当 时， ，则 ， 由图象可得，当 时， ；当 时， ． 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 故 为最小值，且 ． 所以此时 存在零点，不符合题意． ②当 时，因为 ， 所以 ，令 ，则 ， 因为 ， ，所以 ， 在 上单调递增， 又 ， ，由零点存在定理得， 在 上有唯一的零点 ， 即 ， 因此有 ． 当 时， ，即 ；当 时， ，即 ． 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故 为最小 值． 由 ，得 ， ， 所以 ， 因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，所以 ． 所以 ，此时 没有零点． 综上， 的取值范围是 ．