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跟踪训练 01 任意角和弧度制、三角函数的
概念
一．选择题（共15小题）
1．（2023春•桐柏县期中） 的弧度数为
A． B． C． D．
【解答】解：由 ．
故选： ．
2．（2022秋•南关区校级期末）已知半径为 3的扇形圆心角是 ，则该圆心角所对弧长
是
A． B． C． D．
【解答】解：半径为3的扇形圆心角是 ，则圆心角所对的弧长 ．
故选： ．
3．（2023春•惠城区校级期中）已知扇形 的面积为1，周长为4，则弦 的长度为
A．2 B． C． D．
【解答】解：设圆的半径为 ，弧长为 ，则 ，
， ，
圆心角为 ，
过点 作 于 ，则 弧度，
，．
故选： ．
4．（2023春•南阳期末）已知 的半径为2，弦 的长等于半径，则劣弧 的长为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，如图，可得 ， ，
所以 ，
所以劣弧 ．
故选： ．
5．（2023春•杭州期末）军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就
是圆周的 所对的圆心角的大小，．若角 密位，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为1密位等于圆周角的 ，
所以角 密位时， ．故选： ．
6．（2023春•谯城区校级期中）与 终边相同的角是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
与 终边相同的角是 ．
故选： ．
7．（2023春•海淀区校级月考）钟表的分针在一个半小时内转了
A． B． C． D．
【解答】解：分针是每小时顺时针旋转一圈 ，所以根据任意角的定义：1个半小时
旋转了 ．
故选： ．
8．（2023春•湖口县校级期末）下列四个选项中与 终边相同的角为
A． B． C． D．
【解答】解：由 为第一象限角，显然只有 与已知角终边相同．
故选： ．
9．（2022秋•潮阳区期末）将时钟的分针拨快5分钟，则分针转过的弧度是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，分针转过的角度为 ，
由转动的方向为顺时针，则弧度为 ．
故选： ．
10．（2022秋•西城区校级期末）《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：
“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长 30
步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是A． B． C． D．120
【解答】解：圆心角 ．
故选： ．
11．（2022秋•阿勒泰地区期末）把 化为弧度为
A．50 B． C． D．
【解答】解： ．
故选： ．
12．（2023春•萍乡期末）下列说法正确的是
A．
B．一堂数学考试 分钟）时针旋转
C．1弧度的角大于 的角
D．三角形内角必为第一或二象限的角
【解答】解： ：因为 ，故 错误；
：一堂数学考试 分钟）时针旋转的角度为 ，故 错误；
弧度 ，故 正确；
：三角形的内角为锐角或钝角或直角，直角不在象限内，故 错误．
故选： ．
13．（2022秋•天津期末）一个扇形的面积和弧长的数值都是2，则这个扇形中心角的弧度
数为
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：设扇形的中心角为 弧度，扇形所在圆的半径为 ，则 ，解得 ， ．
故选： ．
14．（2023春•上犹县校级期末）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与 轴的
非负半轴重合，那么，下列各角与 角终边相同的是
A． B． C． D．
【解答】解：因为与 角终边相同的角的集合为 ， ，
当 时，得到 ，又 ，所以易知 均不符合题意．
故选： ．
15．（2023春•西城区校级月考）2弧度的角所在的象限是
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：2弧度 ，
，
则2弧度的角是第二象限角．
故选： ．
二．多选题（共5小题）
16．（2022秋•秀英区校级月考）下列命题为假命题的是
A． 是第四象限角
B．与 角终边相同的最小正角是
C．若 是第三象限角，则 不在第二象限
D．已知点 是角 终边上一点，则
【解答】解：对于 ， ，则 角与 角的终边相同，即是第四
象限角，故正确；
对于 ， ，与 角终边相同的最小正角是 ，故错误；对于 ，若角 是第三象限角，即 ， ，
所以 ， ，
当 ， 时， 为第一象限角，
当 ， 时， 为第三象限角，
当 ， 时， 为第四象限角，所以 不在第二象限，故正确，
对于 ，因为 是角 终边上的一点，所以 ，故错误．
故选： ．
17．（2021秋•铜仁市期末）下列说法正确的是
A．第一象限角是锐角
B．
C．若两个集合 ， 满足 ，则
D．数1，0，5， ， ， ， 组成的集合有7个元素
【解答】解：对于 ，例如 是第一象限角，但不是锐角，故错误；
对于 ， ，故正确；
对于 ，若两个集合 ， 满足 ，则 ，正确；
选项 ，0，5， ， ， ， 组成的集合是 ，0，5， ， 有5个，故错误．
故选： ．
18．（2021春•蚌埠月考）下列说法错误的是
A．若角 ，则角 为第二象限角
B．如果以零时为起始位置，那么钟表的分针在旋转时所形成的角为负角C．若角 为第一象限角，则角 也是第一象限角
D．若一扇形的圆心角为 ，半径为 ，则扇形面积为
【解答】解：对于 ，因为 ，所以角 为第二象限角，故 正确；
对于 ，根据角的定义，可得 正确；
对于 ，当 时， 在第二象限，故 错；
对于 ，根据扇形面积公式可得 ，故 错；
故选： ．
19．（2020秋•清远期末）已知 为第一象限角．则
A． 为第三象限角 B． 为第二象限角
C． D．
【解答】解： 为第一象限角，
， ，则 ， ，则 为第三象限
角，故 正确；
， ，则 为第四象限角，故 错误；
， ，则 ，故 正确；
，故 错误．
故选： ．
20．（2022秋•杭州期末）下列说法中正确的是
A．半径为2，圆心角为1弧度的扇形面积为1
B．若 是第二象限角，则 是第一象限角
C． ，
D．命题： ， 的否定是： ，【 解 答 】 解 ： 对 于 ， 半 径 ， 圆 心 角 弧 度 的 扇 形 面 积 为
， 错误；
对于 ，若 是第二象限角，即 ，
则 ， ，
则 是第一象限角或第三象限角， 错误；
对于 ， ， ， 正确；
对于 ，命题： ， 的否定是： ， ， 正确；
故选： ．
三．填空题（共5小题）
21．（2023•青浦区二模）已知函数 的图像绕着原点按逆时针方向旋
转 弧度，若得到的图像仍是函数图像，则 可取值的集合为 ， ，
．
【解答】解：画出函数 ， 的图象，如图1所示：
圆弧所在圆的方程为 ， ， ， ， ，
在图象绕原点逆时针旋转的过程中，当点 从图1的位置旋转到 点时，根据函数的定义知，这个旋转过程所得的图形均为函数的图象，如图2所示：
此时绕着原点旋转弧度为 ，
若函数图象在图2位置绕着原点继续旋转，当点 在 轴下方，点 在 轴上方时，
根据函数的定义知，所得图形不是函数的图象，如图3所示：
此时转过的角度为 ，不满足题意；
若函数图象在图3位置绕着原点继续旋转，当整个图象都在 轴下方时，
根据函数的定义知，所得图形是函数的图象，如图4所示：
此时转过的角度为 ；
综上知， 的可取值集合为 ， ， ．故答案为： ， ， ．
22．（2023•徐汇区校级三模）已知扇形圆心角 ， 所对的弧长 ，则该扇形
面积为 ．
【解答】解：由弧长公式可得 ，
所以扇形面积为 ．
故答案为： ．
23．（2023春•赣州期中）已知一扇形的圆心角为 ，半径为7，则该扇形的弧长为
，面积为 ．
【解答】解：因为扇形的圆心角为 ，半径为7，则该扇形的弧长 ，
扇形的面积 ．
故答案为： ， ．
24．（2022秋•济宁期末）若扇形的弧长和面积都是4，则这个扇形的圆心角（正角）的弧
度数是 2 ．
【解答】解：设扇形的圆心角的弧度数为 ，半径为 ，
，
所以 ， ．
故答案为：2．
25．（2022秋•玉溪期末）若扇形的弧长和半径都是 ，则扇形的面积为 ．
【解答】解：由已知可得扇形面积为 ，
故答案为： ．
四．解答题（共3小题）26．（2022秋•荔湾区校级期末）如图，已知 是半径为1，圆心角为 的扇形， 是
扇形弧上的动点， 是扇形的内接矩形，记 ．
（1）用角 表示 ， 的长度；
（2）当角 取何值时，矩形 的面积最大？并求出这个最大面积．
【解答】解：（1）在 中： ， ，
在 中： ，
， ；
（2）矩形 的面积
，
由 ，得 ，
所以当 ，即 时， ．
27．（2023春•安徽期中）油纸伞是世界上最早的雨伞，是中国古人智慧的结晶．它以手
工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面．伞面可近似看成圆锥形．若
某种油纸伞的伞面下边沿所在圆的半径为 ，顶点到下边沿上任一点的长度为 ．（1）若将该伞的伞面沿一条母线剪开，展开后所得扇形的圆心角为多少弧度？
（2）若伞面的内外表面需要各刷1次桐油，每平方米需要刷桐油 ，则刷一个这样的
油纸伞需要多少千克桐油？（参考数据：
【解答】解：．（1）由题可知圆锥的底面周长为 ，
所以展开后所得扇形的圆心角为 ；
（2）由题可知圆锥的侧面积 ，
所以刷一个这样的油纸伞需要 桐油．
28．（2022春•淮安期末）如图，扇形 的半径为2，圆心角为 ．点 在扇形 的
弧 上，点 在半径 上，且 ，且 ， 为垂足，设 ．
（1）若 ，求 的长；
（2）试用 表示出梯形 的面积 ，并求 的最大值．
【解答】解：（1）由题意， ， ， ，故 ，
在 中，根据正弦定理得，
，
因为 ，故有 ，
则 ，
（2） ， ，
在 中，根据正弦定理得，
可得，
，
在 中，
， ．
故
，其中 ， ，
依题意得， ，故 ，
故当 时， 取得最大值，最大值为 ．
