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高一数学考试
考试时间120分钟 全卷满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知 ，且 是第二象限角，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据各象限三角函数的符号和同角三角函数的基本关系进行求值.
【详解】因为 是第二象限角，所以 .
又 ， ，所以 .
所以 .
故选：A
2. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，将集合 化简，再由交集的运算，即可得到结果.
【详解】因为 ， ，所以 .
故选：D3. 已知 ，且 ，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作差法得到 ，结合 ，得到 ，故B正确，
其他三个选项错误.
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ，故 ， ， ， ，B正确，ACD错误.
故选：B
4. 函数 的单调递减区间是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】先变形 ，再根据余弦函数 的单调性即可求解.【详解】已知 ，
令 ， ，得 ， ，
所以函数 的单调递减区间为 ， .
故选： .
5. 函数 的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用排除法及函数的定义域即可求解.
【详解】由 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，
由选项中的图象知，故C正确.
故选：C.
6. 已知 ，把 的图象向右平移 φ 个单位长度后，恰好得到函数
的图象，则φ的值可以为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简 与 ，再结合函数图象的平移求 的值.
【详解】因为 ，
.
且 .
所以将y=f (x)的图象向左平移 个单位可得y=g(x)的图象.
又函数y=f (x)与y=g(x)的周期均为 .
所以将y=f (x)的图象向右平移 个单位可得y=g(x)的图象.
故选：D
7. 已知 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】切化弦，结合两角差的正弦及角的范围即可求解.【详解】
可得
即:
所以
又 ，
，
，即 .
故选：C
8. 设函数 在 上有且只有4个零点，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出 的范围，利用余弦函数性质列不等式组求解可得.
【详解】 ，
又因为 在 上有且仅有4个零点，
，解得故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知 ，则（ ）
.
A B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用诱导公式判断A，再利用同角基本关系得出判断BC，再次利用诱导公式判断D，从而得解.
【详解】因为 ，所以 ，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，D错误.
故选：ABC.
10. 若角 是第二象限角，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】【分析】由角 是第二象限角可得 ， ，即可得解.
【详解】若角 是第二象限角，则 ， ，
则 ， ，故A、C、D正确，B错误.
故选：ACD.
11. 若 ， 是方程 的两个根，则下列等式正确的是（ ）
.
A B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由根与系数的关系结合对数的运算即可求解.
【详解】由根与系数的关系，得 ， ，
，
.
故选： .
三、填空题
12. 若角 的终边上有一点 ，则 _________.
【答案】
【解析】【分析】若角 的终边上有一点 ，则 ，其中 .
【详解】∵角 的终边上有一点 ，
∴ ，
∴ .
故答案为：
13. 已知函数 ，则 ________.
【答案】9
【解析】
【分析】由题意令 求出 即可得解.
【详解】令 ，则 ，所以 .
故答案为：9.
14. 函数 的最大值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角恒等式化简 ，结合 在 的值域求最大值即可.
【详解】由于 ，所以 .
又函数 ，
所以当 时， .
故答案为： .
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数 ( )的部分图象如图所示.
（1）求函数 的解析式;
（2）求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据图象可得 ， ，进而得到 ，将点 代入 的解析式可得
，进而求解；
（2）结合诱导公式直接代值计算
【小问1详解】
由图象知 ， 的最小正周期 ，
故 ，将点 代入 的解析式得 ，
又 ，所以 ，故函数 的解析式为 .
【小问2详解】
由（1）知 ，
所以 .
16. 已知函数 ，当 时，函数 在区间 上单调递减，求实
数 的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦函数的性质确定函数的单调区间，借助集合的包含关系即可求解.
【详解】 ，令 ，
可得： ,
由 可得 ，
由题意可得 ，解得 ，所以 的取值范围为 .
17. 已知函数 （ 为常数）为奇函数，函数 ，（ 且 ）（1）求 的值;
（2）求 在 上的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由 为奇函数可知 ，进而可得.
（2）对 进行分类为 和 ，根据 的单调性进而可得最大值.
【小问1详解】
由题意可知 ，得 ，
可得 .
【小问2详解】
由（1）可知 ，故 ，
当 时， 在 上单调递增，故 ，
当 时， 在 上单调递减，故
所以
18. 设函数 ，若函数 的图象关于直线 对称，且
（1）求函数 的单调递减区间；（2）求函数 在区间 上 的最值.
【答案】（1）
（2）最大值为 ，最小值为
【解析】
【分析】（1）利用函数 对称轴以及 可解得 ，再由正弦函数单调性可得结果；
（2）利用整体代换法，由函数单调性即可求得函数 在区间 上的最值.
【小问1详解】
∵函数 的图象关于直线 对称，
所以 ， ；
又 ，所以 时， ，
因此 ；
令 ，解得 ；
∴函数 的单调递减区间为
【小问2详解】
由（1）得 ，因为 ，得 ，
，得
函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为
19. 定义域在 上的偶函数 满足：当 时，
（1）若 成立，求实数m的取值范围；
（2）设函数 若对于任意的 都有 成立，求实数
a的取值范围.
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）先研究得出函数 的单调性，进而将不等式 转化为
f (m²−3m)>f (4)，再由偶函数性质得 ，解该不等式即可得解.
（2）将“任意的 都有 成立”等价转化成g(x) >f (x) ，求出 和
min max
即可计算得解.
【小问1详解】
易知函数 和 在 上都是单调递减函数，
故函数 在 上是单调递减函数，又 是定义域在 上的偶函数，故函数 在 上是单调递增函数，
又 ，故 即f (m²−3m)>f (4)，
所以 即 ，解得 ，
所以实数m的取值范围为 .
【小问2详解】
由题意得“对任意 都有 成立”，
所以g(x) >f (x) ，由（1）知 的最大值为 ，
min max
又g(x) =g(−5)=−4a+3√2(a>0)，
min
所以 ，解得 ，
因此实数a的取值范围为
