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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 37 圆锥曲线中的存在性和探索性问题（精讲+精
练）
一、知识点梳理
一、圆锥曲线中的存在性问题
1.存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化．
一般步骤为：
①假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,
②用待定系数法设出,
③列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则,元素(点、直
线、曲线或参数)不存在．
注：反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．
【一般策略】
求解字母参数值的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结
合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参
数值存在;若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说
明理由的过程.
二、圆锥曲线中的探索性性问题
1.对于探索性问题,一般先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在．
要注意：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件；
(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法．
二、题型精讲精练
【典例1】已知双曲线E： 与直线l： 相交于A、B两点，M为线段AB的中点．
(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两
个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）设 ， ， ，联立直线l与双曲线E的方程，消去y，得
，根据已知直线l与双曲线E相交于A、B两点，得 且
，即 且 ，由韦达定理，得 ，
则 ， ，联立消去k，得 ，再根据 的范围得出 的范围，即可得出答
案；
（2）设 ， ，根据双曲线E的渐近线方程与直线l的方程联立即可得出 ，
，则 ，即线段AB的中点M也是线段CD的中点，若A，B为线段CD的两
个三等分点，则 ，结合弦长公式列式得 ，即可化简代入得出
，即可解出答案.
【详解】（1）设 ， ， ，联立直线l与双曲线E的方程，得 ，
消去y，得 ．由 且 ，得 且 ．
由韦达定理，得 ．所以 ， ．
由 消去k，得 ．
由 且 ，得 或 ．所以，点M的轨迹方程为 ，其中 或 ．
（2）双曲线E的渐近线方程为 ．设 ， ，联立 得 ，同理可得 ，
因为 ，所以，线段AB的中点M也是线段CD的中点．
若A，B为线段CD的两个三等分点，则 ．即 ，
．
而 ， ．
所以， ，解得 ，
所以 ，存在实数，使得A、B是线段CD的两个三等分点．
【典例2】在平面直角坐标系 中,动点 ,满足 ,记点 的轨迹
为 ．
（1）请说明 是什么曲线,并写出它的方程；
（2）设不过原点 且斜率为 的直线 与 交于不同的两点 , ,线段 的中点为 ,直线 与 交于两
点 , ,请判断 与 的关系,并证明你的结论．
【解析】（1）设 , ,则因为 ,满足
,即动点 表示以点 , 为左、右焦点,长轴长为4,焦距为 的椭圆,其轨迹的方程
为 ；
（2）可以判断出 ,下面进行证明：设直线 的方程为 , , ,
由方程组 ,得 ①,
方程①的判别式为 ,由 ,即 ,解得 且 ．
由①得 , ,
所以 点坐标为 ,直线 方程为 ,
由方程组 ,得 , ,
所以 ．
又 ．
所以【题型训练-刷模拟】
1 . 存在性问题
一、解答题
1．双曲线 ： 的渐近线方程为 ，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求 的方程；
(2)是否存在直线 ，经过点 且与双曲线 于A， 两点， 为线段 的中点，若存在，求 的方
程；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在， .
【分析】（1）利用双曲线的性质及点到直线距离公式计算即可；
（2）利用点差法计算即可.
【详解】（1）令 ，所以 ，
又由题意可知双曲线的焦点 到渐近线的距离 ，
所以双曲线的标准方程为： ；
（2）假设存在，
由题意知：该直线的斜率存在，设 ， ，直线 的斜率为 ，
则 ， ，
又有 ， ，
两式相减得 ，即
即 ，所以 ，解得 ，所以直线 的方程为 ，即 ，
联立直线与双曲线方程 得：
，
即直线 与双曲线 有两个交点，满足条件，所以存在直线 ，其方程为 .
2．已知椭圆方程为 ，过点 ， 的直线倾斜角为 ，原点到该直线的距
离为 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)对于 ，是否存在实数k，使得直线 分别交椭圆于点P，Q，且 ，若存在，求
出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)满足条件的k不存在，理由见解析
【分析】（1）根据斜率定义得到 ，求出过点 ， 的直线方程，由点到直线距离公式
得到方程，求出 ，进而得到 ，得到椭圆方程；
（2）联立直线与椭圆方程，得到两根之和，两根之积，设PQ的中点为M，由 得到 ，
由斜率关系得到方程，求出 或 ，经过检验，均不合要求.
【详解】（1）因为过点 ， 的直线倾斜角为 ，
所以 ，即 ，过点 ， 的直线方程为 ，
故原点到该直线的距离为 ，解得 ，
故 ，所以椭圆的方程是 ．
（2）记 ， ．将 代入 得，
，
则 ，解得 或 ，
设PQ的中点为M，则 ， ．
由 ，得 ，
∴ ，
∴ ，得 或 ，
由于 或 ，
故 ， 均使方程没有两相异实根，
∴满足条件的k不存在．
3．已知椭圆 ： ，点 、 分别是椭圆 的左焦点、左顶点，过点
的直线 （不与x轴重合）交椭圆 于A，B两点．(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若 ，求 的面积；
(3)是否存在直线 ，使得点B在以线段 为直径的圆上，若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见详解
【分析】（1）根据题意可得 ，进而可求 和椭圆标准方程；
（2）可根据直线方程与椭圆方程联立方程组解出交点坐标，再根据点的坐标，求三角形面积．△ 的
面积可分割成两个小三角形，其底皆为 ；
（3）存在性问题，一般从计算出发，即垂直关系结合椭圆方程交点求出B点坐标： 或 ，而由椭
圆范围知这样的B点不存在．
【详解】（1）由左焦点 、左顶点 可知： ，则 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）因为 ， ，
则过 的直线 的方程为： ，即 ，解方程组 ，解得 或 ，
所以 的面积 .
（3）若点B在以线段 为直径的圆上，等价于 ，即 ，
设 ，则 ，
因为 ，则 ，
令 ，
解得： 或 ，
又因为 ，则不存在点 ，使得 ，
所以不存在直线 ，点B在以线段 为直径的圆上.
4．已知抛物线 ，直线 垂直于 轴，与 交于 两点， 为坐标原点，过点 且平行于
轴的直线与直线 交于点 ，记动点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)点 在直线 上运动，过点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ，在平面内是否存在定点 ，
使得 ？若存在，请求出定点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在定点
【分析】（1）由相关点代入法求轨迹方程即可；
（2）先由特殊位置确定定点在 轴上，设定点，由相切求出切点满足的关系式，再由垂直的坐标条件求解.【详解】（1）设 ，则 ，
由题意线 垂直于 轴，与 交于 两点，知 ，
过点 且平行于 轴的直线方程为： ，
直线 的方程为： ，
令 ，得 ，即 ，
由 得 ，
因为 在抛物线 上，即 ，
则 ，化简得 ，
由题意知 不重合，故 ，
所以曲线 的方程为
（2）由（1）知曲线 的方程为 ，
点 在直线 上运动， 当点 在特殊位置 时，
两个切点 关于 轴对称，
故要使得 ，则点 在 轴上．故设 ，
曲线 的方程为 ，求导得 ，
所以切线 的斜率 ，
直线 的方程为 ，
又点 在直线 上，
所以 ，
整理得 ，
同理可得 ，
故 和 是一元二次方程 的根，
由韦达定理得 ，
，当 时， 恒成立，
所以存在定点 ，使得 恒成立．
5．在直角坐标系 中，抛物线 与直线 交于M，N两点．
(1)若M，N的横坐标分别为 ，4，求直线l的方程及MN的中垂线所在的直线方程；
(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有 ?说明理由．
【答案】(1)答案见详解
(2)存在，理由见详解
【分析】（1）根据抛物线C的方程，求出点M、N的坐标，进而求相应的直线方程；
（2）设点P 为符合题意的点，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公
式计算直线PM和直线PN的斜率之和为0，求出 的值，即可解决该问题．
【详解】（1）由题意可知 ， ，则直线 的斜率 ，
所以直线l的方程为 ，即 ；
可得线段 的中点坐标为 ，线段MN的中垂线所在的直线的斜率
线段MN的中垂线所在的直线方程为 ，即 .
（2）存在符合题意的点 ，理由如下：
设点 为符合题意的点， ， ，直线 ， 的斜率分别为 ， ．联立方程 ，得 ，
因为 ，则 ，可得 ， ，
从而
，
因为 不恒为0，可知当且仅当 时，恒有 ，
则直线 与直线 的倾斜角互补，故 ，
所以点 符合题意．
6．如图， 为抛物线 上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点 ，直线AN过
点
(1)记A，B的纵坐标分别为 ，求 ；
(2)记直线AN，BM的斜率分别为 ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值，若不存在说明理由
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）设出直线 的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，从而求得正确答案.
（2）先求得 ，然后由 求得正确答案.
【详解】（1）设直线 的方程为 ，
由 消去 并化简得 ，
则 .
（2）设直线 的方程为 ，同（1）可求得 ，
设直线 的方程为 ，
由 消去 并化简得 ，
所以 .
，
同理可求得 ，
则 ，
所以存在 使得 .
7．已知椭圆 : 过点 ，离心率为 ，斜率不为零的直线 过右焦点 交椭圆
于 两点.(1)求椭圆 的方程；
(2)在 轴上是否存在定点 ，使得 ，如果存在，求出 点坐标，如果不存在，
说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由椭圆上的点和离心率，求椭圆 的方程；
（2）因为 ，所以 ，设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入
，求出 点坐标.
【详解】（1）因为椭圆过点 ，离心率为 ，
所以 ，解得 ，
所以椭圆C的方程为
（2）假设在 轴上存在定点 ， 使得 ，
设直线L的方程为 ， ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，即 ，
所以 （*） ，
由 ，得 ，
所以 代入（*），
得 ，
所以 ，故在 轴上存在定点 ，使得 .
另解：
①当 斜率存在时，设 的方程为 ，
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
即 ，
即 （*），
由 得 ，
则 ，代入（*） 得 ，
所以 ，故在 轴上存在定点 ，使得 .
②当 斜率不存在时，显然综上所述：在 轴上存在定点 ，使得 .
8．已知离心率为 的椭圆C的中心在原点O，对称轴为坐标轴，F，F 为左右焦点，M为椭圆上的点，
1 2
且 ．直线l过椭圆外一点 ，与椭圆交于 ， 两点，满足
．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)对于任意点P，是否总存在唯一的直线l，使得 成立，若存在，求出点 对应的直线l的
斜率；否则说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由椭圆定义得出 ，再应用离心率得出椭圆方程即可；
（2）设直线l方程为 联立 与椭圆方程可得韦达定理，再结合向量共线计算唯一性可
得.
【详解】（1）由题可设椭圆方程为 ，则 ，
由椭圆定义可得 ，
则 ， ， ，
所以椭圆的方程为： ．
（2）设直线l方程为 （斜率必存在），
则 ， ，，
，
，
化简得 ①，
联立 与椭圆方程可得， ， ，
， ，
代入①得， ，
②，
，
代入②得： ，故 ，
而点A、B在x轴上方，所以对于任意一个 ，存在唯一的 使得 成立，
故满足题意的直线l有且只有一条．
例如， 时：
9．已知椭圆 过点 ，且上顶点与右顶点的距离为 ．
(1)求椭圆 的方程；(2)若过点 的直线 交椭圆 于 两点， 轴上是否存在点 使得 ，若存在，求出
点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；点
【分析】（1）根据上顶点与右顶点距离和椭圆所过点可构造方程组求得 ，进而得到椭圆方程；
（2）当直线 与 轴不重合时，假设直线方程，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，根据 可
构造方程求得 点坐标；当直线 与 轴重合时，验证所求 点坐标满足条件；综合两种情况可得结论.
【详解】（1） 椭圆 上顶点与右顶点的距离为 ， ；
又椭圆 过点 ， ；
两式联立可解得： ， ， 椭圆 的方程为： .
（2）当直线 与 轴不重合时，设其方程为 ， ，
由 得： ，
则 ，解得： 或 ，
， ，
假设存在点 使得 ，即存在点 使得 ，设点 ，则 ，
，
，又 ， ，解得： ，
；
当直线 与 轴重合时， 分别为椭圆 左右顶点，
若 ，此时 显然成立；
综上所述： 轴上存在点 满足题意．
10．已知椭圆 的离心率为 ，椭圆上的点到焦点的最小距离是3．
(1)求椭圆 的方程；
(2)是否存在过点 的直线交曲线 于 两点，使得 为 中点？若存在，求该直线方程，若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，该直线方程为
【分析】（1）设椭圆上一点 ， ，表达出 ，得到 ，结
合离心率得到 ，求出椭圆方程；（2）根据点差法求出斜率，再根据点斜式可求出结果．
【详解】（1）由题意得 ，设椭圆右焦点坐标为 ，
设椭圆上一点 ， ，
则 ，故 ，
，
因为 ，所以 ， ，
故 ，
故椭圆上的点到又焦点的最小距离是 ，所以 ，
联立 与 ，解得 ，故 ，
故椭圆 的方程为 ．
（2）假设存在过点 的直线交曲线 于 两点，使得 为 中点，
设 ， ，
则 ，两式相减得 ，
得 ，即 ，
直线 方程为 ，即 ．所以存在过点 的直线交曲线 于 两点，使得 为 中点，
且该直线方程为 ．
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 是 的左顶点， 的离心率为2.设过
的直线 交 的右支于 、 两点，其中 在第一象限.
(1)求 的标准方程；
(2)是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，求出 的值；否则，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据离心率，以及 ，结合 ，即可求得曲线 方程；
（2）求得直线 不存在斜率时满足的 ，当斜率存在时，将所求问题，转化为直线 斜率之间的关
系，结合点 的坐标满足曲线 方程，求解即可.
【详解】（1）由题可得 ，故可得 ，则 ，
故 的标准方程为 .
（2）当直线 斜率不存在时，
对曲线 ，令 ，解得 ，故点 的坐标为 ，此时 ，
在三角形 中， ，故可得 ，
则存在常数 ，使得 成立；
当直线 斜率存在时，
不妨设点 的坐标为 ， ，直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，
则 ， ，
假设存在常数 ，使得 成立，即 ，
则一定有： ，也即 ；
又 ； ；
又点 的坐标满足 ，则 ，
故 ；
故假设成立，存在实数常数 ，使得 成立；
综上所述，存在常数 ，使得 恒成立.
12．已知动点 到定点 的距离与动点 到定直线 的距离之比为 ．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)对 ，曲线 上是否始终存在两点 ， 关于直线 对称？若存在，求实数 的取值范围；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)存在，
【分析】（1）设 ，则 ，整理即可得解；
（2）当 时，设直线 方程为 ， ， ，联立直线与椭圆方程，消元、列
出韦达定理，设 的中点为 ，则 满足 ，即可得 ，再由 求出 的
值，即可得解.
【详解】（1）设 ，则 ，
即 ，整理得 ，
所以点 的轨迹 的方程为 ．
（2）假设曲线 上始终存在两点 ， 关于直线 对称，
当 时，设直线 方程为 ， ， ，
联立 ，整理得 ，
则 ，
所以 ， ．
设 的中点为 ，
则 ， ，
将 代入 ，则 ，所以 ，所以 对 恒成立，
即 对 恒成立，
因为 ，所以 ，则 ．
易知当 时，曲线 上存在两点，关于直线 对称．
所以 的取值范围为 ．
13．已知抛物线 经过点 ，直线 与 交于 ， 两点（异于坐标原
点 ）．
(1)若 ，证明：直线 过定点．
(2)已知 ，直线 在直线 的右侧， ， 与 之间的距离 ， 交 于 ， 两点，试问是否
存在 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）将点 代入抛物线方程求出 ，直线与抛物线联立方程组，由 ，利用向
量数量积和韦达定理，求出 ，可得直线所过定点.（2）设两条直线 与 的方程，分别与抛物线方程联立，求出弦长，由 和 ，求
的值.
【详解】（1）证明：将点 代入 ，得 ，即 ．
联立 得 ，
由 ，设 ， ，则 ， ．
因为 ，所以 恒成立，则 ，
所以 的方程为 ，故直线 过定点 ．
（2）联立 得 ，则
且 ，即 ，
，
设 ，同理可得 ．因为直线 在 的右侧，所以 ，则 ，即 ．
所以 ，即 ，解得 ，
因为 ，所以满足条件的 存在， .
【点睛】方法点睛：
解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与
系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定
直线、抛物线的条件；强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的
关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
14．已知椭圆 的焦距为2，且经过点 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过椭圆右焦点F且斜率为 的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的
定点T，使 恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；点
【分析】（1）根据题意，得到 ，再由椭圆 经过点 ，联立方程组，求得 ，即可
求解.（2）设直线l的方程为 ，联立方程组，得到 ，设 点坐标为 ，
由 ，得到 ，得到 ，得到 ，列出
方程，求得 ，即可求解．
【详解】（1）解：由椭圆 的焦距为2，故 ，则 ，
又由椭圆 经过点 ，代入 得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ．
（2）解：根据题意，直线l的斜率显然不为零，令 ，
由椭圆右焦点 ，故可设直线l的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
则 ，
设 ， ，且 ，
设存在点 ，设 点坐标为 ，由 ，可得 ，
又因为 ，
所以 ，所以 ，
所以直线 和 关于 轴对称，其倾斜角互补，即有 ，
则 ，所以 ，所以 ，整理得 ，
即 ，即 ，
解得 ，符合题意，即存在点 满足题意．
15．已知双曲线 ： 的左、右焦点为 、 ，直线 与双曲线 交于 ， 两点.
(1)已知 过 且垂直于 ，求 ；
(2)已知直线 的斜率为 ，且直线 不过点 ，设直线 、 的斜率分别为 、 ，求
的值；
(3)当直线 过 时，直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 .是否存在直线 ，使得 ，若存
在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)3
(2)0
(3)存在，
【分析】（1）直接代入横坐标求解纵坐标，从而求出 的值；
（2）先设出直线和得到韦达定理，然后列出斜率之和的式子带入即可；
（3）先设直线和得到韦达定理，在分别得到两个三角形的面积公式，要求相等，代入韦达定理求出参数
的值即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，当直线 过点 且 时，此时 轴，所以 ，
代入可得 ，所以 ；
（2）设直线 ，因为直线不经过点 ，所以 ，联立 ，得 ，
所以 ，
由韦达定理 ，
故 .
（3）如图所示，
若直线 的斜率为0，此时为 轴， 为左右顶点，
此时 不构成三角形，矛盾，所以直线 的斜率不为0，设 ：
由 ，得 ，
满足 ，
此时 ： ，故 ，同理 ，
，
而 ，
故由 ，得
而 ，
代入可得 ，解得 或 （舍），
所有 ，经检验此时满足 且 ，
故存在满足条件的直线 ，其方程为
法二： 即 ，
由相似三角形可知 ，
所以 （*）.
若 斜率不存在，则 均在右支，此时 ，矛盾，舍去；
所以设 ： ，联立 ，可得 （**），
需满足 ，
由韦达定理， ， ，
代入（*）得 或者 ，
解得 （舍）或者 ，所以 ，
经检验，此时满足 且 .
故 方程为： .
【点睛】关键点睛：碰到面积相等或者成比例的题的时候，往往可以利用同角的边成比例来解决，可以降
低思维量和运算量.
2 . 探索性问题
一、解答题
1．已知椭圆 : 的左、右焦点分别为 , ,过点 且斜率为k的直线
与椭圆 交于A,B两点.当A为椭圆E的上顶点时, .
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)当 时,试判断以AB为直径的圆是否经过点 ,并说明理由.
【答案】(1)
(2)以 为直径的圆不经过点 ,理由见解析
【分析】(1)将直线方程求出来,再带入向量等式即可求出椭圆方程;(2)联立计算出 的值,即可判断是否经过 .
【详解】（1）由题意,得椭圆 的半焦距 ,
当 为椭圆 的上顶点时, ,设 ,
则 , .
由 ,得 , ,
∴ ,
将点 的坐标代入椭圆 的方程,得 ，解得 .
又 ,∴ ,
∴椭圆 的标准方程是 .
（2）以AB为直径的圆不经过点 ,理由如下:
依题意,知直线 的方程为 .
联立 ,消去 ,并整理得 .
设 , ,则由根与系数的关系,得 , .
易知,直线 , 的斜率都存在且不为0.
若以 为直径的圆经过点 ,则 ，所以直线 , 的斜率之积为-1,即 ,
而,
所以以 为直径的圆不经过点 .
2．过抛物线 焦点 ，斜率为 的直线 与抛物线交于 、 两点， ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)过焦点 的直线 ，交抛物线 于 、 两点，直线 与 的交点是否在一条直线上．若是，求出
该直线的方程；否则，说明理由．
【答案】(1)
(2)直线 与直线 的交点都在 上
【分析】（1）设直线 ，与抛物线方程联立，根据抛物线定义及 求得 ；
（2）分别表示出直线 与 方程，联立得交点的横坐标为定值.
【详解】（1）由题意设直线 ， ， ，
联立方程组 ，消 得， ，
所以 ， ，解得 ，
即指物线 的方程为 ．
（2）由（1）可知 ， ， ．
设直线 ， ， ,
联立方程组 ，消 得 ，
所以 ， ．直线 的斜率为 ，
所以直线 ，即 ，
同理可得直线 ，从而 ，
即 ，
解得 ，所以直线 与直线 的交点都在 上．
3．在以 为圆心，6为半径的圆A内有一点 ，点P为圆A上的任意一点，线段BP的垂直平
分线 和半径AP交于点M．
(1)判断点M的轨迹是什么曲线，并求其方程；
(2)记点M的轨迹为曲线 ，过点B的直线与曲线 交于C、D两点，求 的最大值；
(3)在圆 上的任取一点Q，作曲线 的两条切线，切点分别为E、F，试判断QE与QF是否垂直，
并给出证明过程．
【答案】(1)
(2)
(3) 与 垂直,证明见解析
【分析】（1）根据已知条件及线段的垂直平分线定理，利用圆的半径及椭圆的定义，结合椭圆中 三
者的关系即可求解；（2）根据已知条件及直线的点斜式方程设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理及点在直线
上，结合向量的数量积的坐标表示即可求解；
（3）根据已知条件及直线的点斜式方程设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用直线与椭圆相切的条
件，结合两直线垂直的条件即可求解；
【详解】（1）由题意可知 ,
因为线段 的垂直平分线 和半径 交于点 ，
所以 ,
所以 ,
由椭圆的定义知，点 的轨迹是以 、 为焦点的椭圆，
由 ，得 ，又 ，
所以 ，
所以椭圆的标准方程为 .
（2）当直线 斜率不存在时，直线方程为 ，则 ， ,
所以 ，
此时 ，
当直线 斜率存在时，设直线 的方程为 ，则
，消去 ，得 ，
所以 ，
设 ， ,则 ，
所以，
综上， 的最大值为 .
（3） 与 垂直,证明如下：设 ，则 ，
①当两切线中有一条切线斜率不存在时，即与 轴垂直时，切线方程为 ，
即 ，得 ，
所以另一条切线方程为 ，即与 轴平行，所以两切线垂直.
当斜率存在时， ，设切线方程为 ，则
，消 ，得 ，
由于直线与椭圆相切，得 ，
化简得 ，
因为 ，所以 ，即两条切线相互垂直，
综上，过点 作的两条切线 与 垂直.
4．已知椭圆C： ，短轴长为4，离心率为 ，直线l过椭圆C的右焦点F，且与椭圆
C交于A、B两点.(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求 面积的取值范围；
(3)若圆O以椭圆C的长轴为直径，直线l与圆O交于C、D两点，若动点 满足 ，试判断
直线MC与圆O的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)MC与圆O相切，理由见解析
【分析】(1)根据椭圆 的关系求解；
(2)利用韦达定理求出 ，再结合函数的单调性求面积的最值；
(3)利用向量的数量积的坐标表示 ，再证明 即可判断位置关系.
【详解】（1）由题可得 ， ，且 解得 ， ，
椭圆C标准方程为 .
（2）由题可知，直线l不能与x重合， ，设直线l的方程为 ，
直线l与椭圆C的交点为 ， ，
由 化简得 ，
， ，
令 ，可得 ， ， ，设 时 单调递增，所以当 时 取得最小值为 ，所以
，
当 ，即 时面积取到最大值
（3）MC与圆O相切.
圆O方程为 ，设 ，因为点C在椭圆上，
所以 ， ， ，
， ，
由 ，得 ，
即 ， ，可得 ，
方法1：
且 ，
可得 ， ， ，
所以MC与圆O相切，
方法2： ，
所以 ， ，所以MC与圆O相切.
5．已知点E是圆 上的任意一点，点 ，线段DE的垂直平分线与直线EF交于
点C．
(1)求点C的轨迹方程；
(2)点 关于原点O的对称点为B，与AB平行的直线l与点C的轨迹交于点M，N，直线AM与BN交于点P，试判断直线OP是否平分线段MN，并说明理由．
【答案】(1)
(2)直线OP平分线段MN，理由见解析
【分析】（1）由题意得 ，利用椭圆的定义，得点 的轨迹是以 、 为焦点的椭
圆，进而得到椭圆的方程；
（2）设 ， 的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可得到 的中点 ，接着求出直
线 的方程、直线 的方程，联立两直线方程得 ，由化简 化简可得答案.
【详解】（1）由题意， ，又∵ ，
∴ ，
∴点 的轨迹是以 、 为焦点的椭圆，其中 ， ，
所以 ，
∴椭圆 的方程为 .
（2）易得 ，设 ，
，将 的方程与 联立消 ，得 ，
则 ，得 且 ，
且 ，所以 ，
所以 的中点为 即 ，
因为 ，所以直线 的方程为 ，即 ，
直线 的方程为 ，即 ，
联立直线 与直线 的方程，得 ，
得 ，
所以
，所以 三点共线，
所以直线OP平分线段MN
6．已知双曲线 ，其右焦点为 ，焦距为4，直线 过点 ，且当直线 的倾斜角为
时，恰好与双曲线 有一个交点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若直线 交双曲线 于 两点，交 轴于 点，且满足 ，判断
是否为常数，并给出理由.
【答案】(1)
(2) 为常数，理由见解析
【分析】（1）先利用双曲线的性质推得 ，再由半焦距得 ，从而由 得到关于 的方程，解之即可；
（2）联立直线 与双曲线 的方程得到 关于 的表达式，再由 得到
关于 ，从而求得 ，由此得解.
【详解】（1）因为双曲线 ，所以其渐近线为 ，
当直线 的倾斜角为 时，恰好与双曲线 有一个交点，又 经过焦点 ，
可得此时直线 与双曲线的一条渐近线平行，所以 ，则 ，
因为焦距为4，所以半焦距 ，
又因为 ，所以 ，解得 ，故 ，
所以双曲线 的标准方程为 .
（2） 为常数，理由如下：
由题意，知双曲线 的右焦点为 ，直线 的斜率 存在，
设 ，直线 的方程为 ，
联立 ，消去 ，得 ，
显然 ，则 ，
易知 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 为常数.
.
7．已知椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，椭圆E的离心率为 ．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过 作直线l与椭圆E交于不同的两点M，N，其中l与x轴不重合，直线 与直线 交于点
P，判断直线 与DP的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)椭圆E的标准方程为 ；
(2)平行，理由见解析.
【分析】（1）由条件列关于 的方程，解方程求 。可得椭圆方程；
（2）根据题意设直线MN及M、N点坐标，结合题意求点P的坐标，结合韦达定理证明 即可.
【详解】（1）设椭圆 的半焦距为 ，
由已知点 的坐标分别为 ，因为 ，所以 ，所以 ，
又椭圆E的离心率为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以椭圆E的标准方程为 ；
（2）因为直线 与x轴不重合，且过点 ，
所以可设直线 的方程为 ，
联立方程 ，消去x可得 ，
方程 的判别式 ，
设
∴ ，
∵ ，则
则直线 的方程为 ，
代入 可得 ，即
∴ ，
则∵ ，即
∴ ，
所以直线 与DP平行.
8．已知椭圆 的一个焦点为 ，点 在椭圆 上，点 满足
（其中 为坐标原点），过点 作一直线交椭圆于 、 两点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)求 面积的最大值；
(3)设点 为点 关于 轴的对称点，判断 与 的位置关系，并说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3) 与 共线，理由见解析
【分析】（1）根据已知条件可得出关于 、 的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆的标准方程；
（2）分析可知直线 与 轴不重合，设直线 的方程为 ，设点 、 ，将直线 的方
程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得 面积的最大值；（3）易知点 ，利用平面向量共线的坐标表示结合韦达定理法可得出 与 共线，则问题得
解.
【详解】（1）解：由 得 ，所以，椭圆方程为 .
（2）解：若直线 与 轴重合，则 、 、 三点共线，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，
由 得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
由条件可知 ，即点 ，
，
当且仅当 时，等号成立，故 面积的最大值为 .
（3）解： 与 共线，理由如下：
易知点 ， ，
则
.
所以， 与 共线.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函
数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
9．已知抛物线 的焦点为 为圆 上一动点，且 的最小值为
.
(1)求 的方程；
(2) 在 的准线上，过 作直线 的垂线交 于 两点， 分别为线段 的中点，试判断直
线 与 的位置关系，并说明理由.
【答案】(1)
(2)直线 与 相切，理由见解析
【分析】（1）由 的最小值 ，可求出 ，从而得到 的方程；
（2）设直线 的方程为 ，与抛物线联立方程组，设 的坐标分别为 ，直线
的方程为 ，则 ，表示出点 和 的坐标和直线 的方程，利用韦达定理和判
别式证明直线 与 相切.
【详解】（1）圆 ，圆心 ，半径为 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，故 的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，如图所示，由 ，得直线 的方程为 ，
则点 的坐标为 .
联立 消去 后整理得 ，
设 的坐标分别为 ，则 ， ，
可得点 的坐标为 .
由 分别为线段 的中点，可得点 的坐标为 ，即 ，
同理可得点 的坐标为 .
当 时，点 的坐标为 ， 轴，直线 的方程为 ，显然与 相切.
当 时，直线 的斜率为 ，
则直线 的方程为 ，将 代入，得 ，整理得 ，
将 代入，得直线 的方程为 ，
联立方程 得 ，
则 ，可得直线 与 相切.
综上，直线 与 相切.
10．已知双曲线 ： ， 为 的右顶点，若点 到 的一条渐近线的距离为
．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若 ， 是 上异于 的任意两点，且 的垂心为 ，试问：点 是否在定曲线上？若是，求出
该定曲线的方程；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)垂心 在定曲线 上
【分析】（1）运用点到直线距离公式和双曲线中 之间的关系求解；
（2）根据M，N点是否与 重合以及是否与x轴对称，分类讨论即可.
【详解】（1）由题意，双曲线的渐近线方程为 ，所以点 到渐近线的距离为
，从而 解得 ，即 的标准方程为 ；
（2）情形一： ， 中没有一点为 ，且直线 的斜率存在，
设直线 ： ， ， ，则AM和AN的斜率分别为： ，
易得边 的高线 的斜率为 ，方程为： ，即 ，
边AN的高线 的斜率为： ，方程为： ，
联立 ， ，消去 ，
可得
，
联立 ， ， ，
所以 ， ，
又 ，所以 ，
从而 ，又H点也在MN边的高线上，MN边高线的方程为： ，消去 可得
，
化简得 ，即点 在定曲线 上；
若MN斜率不存在，则M，N关于x轴对称，即 ，如图：
设 ，则 是等腰三角形，所以 在x轴上，即 ，
，
，联立： ，解得： ，
， 在定曲线 上；
情形二： ， 中有一点即 ，设 ，不妨 ，设 ，过N点作AM的垂线，
则H点在该垂线上，如图：则 ， 解得 ，所以点 在曲线 上；
综上，曲线C的方程为： ，H点总在曲线 上.
11．椭圆 的左右焦点分别为 ，左右顶点为 ， 为椭圆 的上顶点，
的延长线与椭圆相交于 ， 的周长为 ， ， 为椭圆 上一点．圆 以原点 为圆心
且过椭圆上顶点 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过点 的直线与圆 切于 ，（ 位于第一象限），求使得 面积最大时的直线 的方程；
(3)若直线 与 轴的交点分别为 ，以 为直径的圆与圆 的一个交点为 ，判断直线 是否
平行于 轴并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)
(3)直线 平行于 轴，证明见解析
【分析】(1)由 的周长为 得 ,由 且 在 的延长线上，得 ,设
，代入坐标，可求 ，从而 ，椭圆方程可得.
(2) 由 可知，当 时， 面积取得最大值，此时即 从而可求直线 的方程；
(3)设 则可以写出直线AP，BP的方程,从而求出 ， ，根据
为直径，可得 ，再根据 及 ，可求 ，从而得证.
【详解】（1）由 的周长为 得， ．
由 且 在 的延长线上，得 ，设 ，
,
则 ，
又 ，解得 ，
所以 ，椭圆 的方程为
（2） 又 ，
所以当 时， 面积取得最大值，此时点 ，又因为点 位于第一象限，
直线 的方程为 ．
（3）直线 平行于 轴．理由如下：
由题意知点P不与点A或点B重合，设 则直线AP的方程为 ，
令 得 同理可求
，将 及 代入化简得 ，所以直线 平行于 轴．
【点睛】关键点点睛：
第三问：设 、 的坐标，则可以写出直线AP，BP的方程,从而求出 、 的坐标,根据 为直径，可
得 ，再根据 及 ，可求 ，从而得证.
12．已知动点T为平面内一点，O为坐标原点，T到点 的距离比点T到y轴的距离大1．设点T的轨
迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设直线l： ，过F的直线与C交于A，B两点，线段AB的中点为M，过M且与y轴垂直的直线依
次交直线OA，OB，l于点N，P，Q，直线OB与l交于点E．记 的面积为 ，△ 的面积为 ，
判断 ， 的大小关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】（1）利用两点距离公式及点线距离求轨迹方程；
（2）设直线 ， ， ，联立轨迹C，应用韦达定理依次求出 坐
标，进而确定 ，再求出 坐标，即可证结论.
【详解】（1）设 ，由题意得 ，化简得y2＝4x，
故所求动点T的轨迹方程C： ．
（2） ， 的大小相同，证明如下：
设直线 ， ， ，由 得： ， ，则 ， ．
线段AB的中点为M，则 ， ，
又直线 ，令 ，则 ，故 ，
同理 ，则 ， ，所以
．
又直线 ，令 ，则 ，即 ，
综上， ．
【点睛】关键点点睛：由 共线，求出它们的点坐标证明 ，再证 、 纵坐标相等.
13．椭圆 的焦点 是一个等轴双曲线 的顶点,其顶点是双曲线 的焦点，椭
圆 与双曲线 有一个交点P， 的周长为 ．
(1)求椭圆 与双曲线 的标准方程；
(2)点M是双曲线 上的任意不同于其顶点的动点，设直线 ，的斜率分别为 ，求 的值；(3)过点 任作一动直线l交椭圆 于A、B两点，记 ．若在线段AB上取一点R，使
得 ，试判断当直线l运动时，点R是否在某一定曲线上运动？若是，求出该定曲线的方程；
若不是，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)1；
(3)是 ，
【分析】（1）根据椭圆和双曲线的关系，结合椭圆和双曲线的性质，求得 代入方程即可求解；
（2）设点 ，利用斜率方程求得k1,k2,结合双曲线方程，即可求得k1k2；
（3）法一：分两种情况讨论，当直线l的斜率为0，则 ，当直线l的斜率不为0，设直线方程并与
椭圆方程联立，结合韦达定理，然后根据 ，联立方程即可出.
法二：直接设直线 ，联立椭圆方程得到韦达定理式，根据向量关系求出 的表达式，设
，整理得 ，再整体代入即可.
【详解】（1）设椭圆 的右焦点为（c,0）（c>0），则 ,
由题知，双曲线 ： ,所以 ，即 ，
因为 的周长为 ，即 ，
联立①②③得， ，
所以椭圆 的方程为 ，
双曲线 的标准方程为（2）设双曲线 上的点 ， ，
则 ．
又
（3）是；由题知直线l的斜率存在，
法一：
①当直线l的斜率为0时， ，
，
②当直线l的斜率不为0时，设其方程为 ，
④
解得 ，其中 ，且 ，
，
，
由，
所以点R在一条定直线 上．
法二：
依题可知:直线的斜率存在,设其方程为 ，
，
所以 ,消元整理得,
所以
，
由 得, ，所以 ，
设 ，由 得,
所以 ，
所以 在定直线 上.
【点睛】方法点睛：本题采取设线法，然后联立椭圆方程得到韦达定理式，通过向量运算得到其横坐标表
达式，再通过向量关系代换整理成韦达定理比值式，再将得到的韦达定理式整体代入运算即可得到该定直
线方程．
