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专题 11.1 三角形的三边关系和稳定性【八大题型】
【人教版】
【题型1 三角形的识别与有关概念】......................................................................................................................1
【题型2 三角形的分类】..........................................................................................................................................2
【题型3 三角形个数的规律探究题】......................................................................................................................3
【题型4 应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围】.................................................................................4
【题型5 应用三角形的三边关系求等腰三角形的边长问题】.............................................................................5
【题型6 应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子】.................................................................................5
【题型7 应用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题】.............................................................................5
【题型8 三角形的稳定性】......................................................................................................................................6
【知识点1 三角形的概念】
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
【题型1 三角形的识别与有关概念】
【例1】（2023春·山西·八年级校联考期末）一位同学用三根木棒拼成如下图形，其中符合三角形概念的
是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）下列说法正确的是( )
A．所有的等腰三角形都是锐角三角形
B．等边三角形属于等腰三角形
C．不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形D．一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形
【变式1-2】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，D，E分别是BC边上的点，连接BE，
AD，相交于点F．
(1)△BDF的三个顶点是什么?三条边是什么?
(2)AB是哪些三角形的边?
【变式1-3】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△BCE中，边BE所对的角是________，∠CBE所对
的边是________；在 AEC中，边AE所对的角是________，∠A为内角的三角形是________．
△
【知识点2 三角形的分类】
按边分类：三角形
{三边都不相等的三角形
{ 底边和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
{直角三角形
按角分类：三角形
{ 锐角三角形
斜三角形
钝角三角形
【题型2 三角形的分类】
【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（ ）A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形
B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形
C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形
D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形
【变式2-1】（2023春·八年级单元测试）现有以下说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形的两边之
差大于第三边；③三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形；④三角形按角分类可
分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．正确的有（ ）
A．4个 B．3 个 C．2个 D．1个
【变式2-2】（2023春·八年级课时练习）如图，∠ACD＝90°，则图中的锐角三角形是_________，钝角三
角形有______个．
【变式2-3】（2023·全国·八年级假期作业）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，如果按角的大小来
进行分类，其中不能判断三角形类型的是（ ）
A． B． C． D．
【题型3 三角形个数的规律探究题】
【例3】（2023春·全国·八年级专题练习）根据下图所示的形⑴、⑵、⑶三个图所表示的规律，依次下去
第n个图中的三角形的个数是( )A．6(n-1) B．6n C．6(n+1) D．12n
【变式3-1】（2023春·八年级单元测试）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中
以BC为公共边的“共边三角形”有___________对．
【变式3-2】（2023春·八年级课时练习）如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最
多可以画_____个三角形．
【变式3-3】（2023春·全国·八年级专题练习）（1）如图1，D 是△ABC的边AB上的一点，则图中有哪几
1
个三角形？
（2）如图2，D，D 是△ABC的边AB上的两点，则图中有哪几个三角形？
1 2
（3）如图3，D，D，…，D 是△ABC的边AB上的10个点，则图中共有多少个三角形？
1 2 10
【知识点3 三角形的三边关系】
三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的
线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【题型4 应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围】
【例4】（2023·江西上饶·八年级统考期末）已知三角形三边长分别为m，n，k，且m、n满足，则这个三角形最长边k的取值范围是________．
|n-9|+(m-5) 2=0
【变式4-1】（2023春·八年级课时练习）下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由．
(1)20cm，15cm，8cm．
(2)7cm，15cm，8cm．
(3)5cm，15cm，8cm．
【变式4-2】（2023春·江苏·八年级专题练习）已知三角形三边分别为a、b、c，其中a、b满足
|a-b|+√b-3=0，那么c的取值范围是______．
【变式4-3】（2023春·黑龙江绥化·八年级校联考期中）若一个三角形的两边长是4和9，且周长是偶数，
则第三边长为_______．
【题型5 应用三角形的三边关系求等腰三角形的边长问题】
【例5】（2023春·山东威海·八年级校联考期中）等腰三角形的周长为20，一边长为8，则它的腰长为（
）
A．6 B．4 C．8或6 D．8或4
【变式5-1】（2023春·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）一个等腰三角形的两边长分别是 a和 2a＋1（a
＞0），则它的周长为（ ）
A．3a＋1 B．4a＋1 C．5a＋2 D．4a＋1 或 5a＋2
【变式5-2】（2023春·山东潍坊·八年级统考期末）(多选题)已知等腰三角形的周长是12，且各边长都为整
数，则各边的长可能是（ ）．
A．2，2，8 B．5，5，2 C．4，4，4 D．3，3，5
【变式5-3】（2023春·八年级课时练习）若二元一次方程组¿的解x、y的值恰好是一个等腰三角形两边的
长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为______．
【题型6 应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子】
【例6】（2023春·全国·八年级专题练习）已知△ABC的三边长分别为3、5、a，化简
|a-2|-|a-1|+|a-8|的结果为___________．
【变式6-1】（2023春·广东茂名·八年级校考阶段练习）若a，b，c是△ABC的三边，则化简
|a-b-c|-|b+a-c|的结果是（ ）
A．2b-2a B．2c-2a C．2b D．0
【变式6-2】（2023春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）已知三角形三条边的长度为3，x，9，
化简：|x﹣2|＋|x﹣13|＝____
【变式6-3】（2023春·八年级单元测试）已知a，b，c是△ABC的三边长．（1）若 满足， ，试判断 的形状；
a，b，c (a-b) 2+|b-c|=0 △ABC
（2）化简：|b-c-a|+|a-b+c|-|a-b-c|
【题型7 应用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题】
【例7】（2023春·八年级课时练习）如图，已知点O为△ABC内任意一点，证明：
AB+AC+BC>OA+OB+OC．
【变式7-1】（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）如图，D为△ABC的边BC上一点，试判断2AD与
△ABC的周长之间的大小关系，并加以证明．
【变式7-2】（2023春·八年级统考课时练习）已知点O在△ABC内部，连接OA，OB，OC，说明：
1
(AB+AC+BC)
