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专题 16.8 期末易错题专项复习【31 大考点 130 题】
【人教版】
【考点1 三角形的角平分线、中线和高】.....................................................................................................2
【考点2 三角形的面积】..................................................................................................................................3
【考点3 三角形的稳定性】..............................................................................................................................4
【考点4 三角形的三边关系】..........................................................................................................................4
【考点5 三角形的内角和定理】......................................................................................................................5
【考点6 三角形的外角性质】..........................................................................................................................6
【考点7 多边形的内角与外角】......................................................................................................................8
【考点8 全等三角形的性质】..........................................................................................................................9
【考点9 全等三角形的判定】........................................................................................................................10
【考点10 全等三角形的应用】........................................................................................................................12
【考点11 垂直平分线的判定与性质】............................................................................................................13
【考点12 角平分线的性质与判定】................................................................................................................13
【考点13 画轴对称图形】................................................................................................................................15
【考点14 等腰三角形的判定】........................................................................................................................15
【考点15 等腰三角形的性质】........................................................................................................................17
【考点16 等边三角形的判定】........................................................................................................................18
【考点17 等边三角形的性质】........................................................................................................................19
【考点18 含30°角的直角三角形】.................................................................................................................21
【考点19 最短路径问题】................................................................................................................................22
【考点20 幂的运算】........................................................................................................................................22
【考点21 整式的乘法】....................................................................................................................................23
【考点22 整式的除法】....................................................................................................................................23
【考点23 完全平方公式】................................................................................................................................24
【考点24 平方差公式】....................................................................................................................................25
【考点25 因式分解的应用】............................................................................................................................26
【考点26 分式的基本性质】............................................................................................................................26
【考点27 分式的值】........................................................................................................................................27
【考点28 分式的混合运算】............................................................................................................................27
【考点29 负整数指数幂】................................................................................................................................28
【考点30 分式方程的解】................................................................................................................................28
【考点31 分式方程的应用】............................................................................................................................29【考点1 三角形的角平分线、中线和高】
1．（23-24八年级·四川达州·期末）如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高，若
∠B=40°，∠EAD=16°，则∠C的度数是（ ）
A．74° B．72° C．70° D．68°
2．（24-25八年级·云南曲靖·期末）如图，在△ABC中，AD，AE分别是边CB上的中线和高，BC=10cm，
S =15cm2 ，则AE的长是（ ）
△ABD
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
3．（23-24八年级·河北·阶段练习）如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点
E．F为AB上一点，CF⊥AD，垂足为H．下列判断正确的是（ ）
A．AD是△ABE的角平分线 B．BE是△ABD的边AD上的中线
C．CH是△ACD的边AD上的高 D．AH是△ABC的角平分线
4．（24-25八年级·全国·期末）如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的中线，若AE=5，
BF=6，且△ABC的周长为32，求BC的长．【考点2 三角形的面积】
5．（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下
列关于△ABC的面积与△BCD的面积的大小说法正确的是（ ）
A． S >S B． S =S C． S α)，求∠DAF=（ ）（用α和β来表示）
β−α α−β β+α α+β
A． B． C． D．
2 2 2 2
18．（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图，已知∠A=60°,∠B=40°,∠C=30°，则∠D+∠E等于（
）A．30° B．40° C．50° D．60°
19．（24-25八年级·甘肃定西·期末）已知△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:4:5，那么△ABC中最大角的度
数为 ．
【考点6 三角形的外角性质】
20．（23-24八年级·四川凉山·期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且∠B=50°，
∠E=30°，CE交BA的延长线于点E，则∠BAC的度数是（ ）
A．60° B．90° C．110° D．130°
21．（2024·河北张家口·一模）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1=
（ ）
A．45° B．50° C．60° D．75°
22．（23-24八年级·四川德阳·期末）如图，一副直角三角板中，∠A=60°,∠D=30°,∠E=∠B=45°，
现将直角顶点C按照如图方式叠放，点B在直线AC上方，且0°<∠ACE<180°，能使三角形ADC有一
条边与EB平行的所有∠ACE的度数为 ．23．（23-24八年级·贵州遵义·期末）如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形
成的，若∠1:∠2:∠3=28:5:3，则∠α= °．
24．（2024·广西贵港·三模）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，
∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于 ．
25．（23-24八年级·河北沧州·期中）如图，在△ABC中，点D在边BC上．
(1)若∠1=∠2=35°，∠3=∠4，求∠DAC的度数；
(2)若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB=9，求AC的长．
26．（23-24八年级·四川内江·期末）如图1，∠AOB=90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是
∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．(1)当∠OCD=50°时，求∠F的度数；
(2)当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理
由；若不变化，求出∠F的度数；
(3)当在△FCD的三个内角中，有一个角是另一个角的3倍时，求∠CDO的度数．
【考点7 多边形的内角与外角】
27．（23-24八年级·四川内江·期末）在一个n边形中，除了一个内角外，其余(n－1)个内角的和为2019°，
那么n的值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
28．（24-25八年级·全国·期末）C60是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它的发现最初始于天文学领域
的研究，由英国、美国科学家探明和勾画其碳分子结构，于1985年正式制得，它的发现使人类了解到一个
全新的碳世界．如图是C60的分子结构图，它具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为
正六边形，其中正六边形的每一个内角的度数是（ ）
A．60° B．72° C．108° D．120°
29．（24-25八年级·天津静海·阶段练习）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数
是 ．
30．（23-24八年级·陕西咸阳·期末）从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引2022条对角线，则这个
多边形是 边形．
31．（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ．32．（24-25八年级·全国·期末）（1）如图1，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= °；
（2）若将图1中星形的一个角截去，如图2，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= °；
（3）若再将图2中图形的角截去，如图3，则由(2)中所得的方法或规律，猜想
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N= °；
【考点8 全等三角形的性质】
33．（24-25八年级·四川南充·期中）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
34．（24-25八年级·云南大理·期中）如图，已知点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE，DB=5，
AE=12，则BC的长为（ ）
A．7 B．5 C．12 D．635．（24-25八年级·河北张家口·期中）如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，
和△ABC全等的图形是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
36．（23-24八年级·河南安阳·期末）三个全等三角形摆成如图所示的形式，则∠α+∠β+∠γ的度数为
．
【考点9 全等三角形的判定】
37．（23-24八年级·四川遂宁·期末）如图，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）
A．BD=DC, AB=AC B．∠ADB=∠ADC, BD=DC
C．∠B=∠C,∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C,BD=DC
38．（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外
取AB的垂线BF上的点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测
得DE的长就是AB的长，依据是（ ）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
39．（24-25八年级·山东·期末）如图，AE=AC，∠E=∠C=105°，ED=CB，∠D=30°，
∠CAD=15°，则∠BAE的度数是 ．
40．（2024·北京东城·一模）在Rt△ABC中，∠A=90°，点D在AC上，DE⊥BC于点E，且DE=DA，
连接DB．若∠C=20°，则∠DBE的度数为 °．
41．（24-25八年级·江苏南京·期中）在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上一动点（不与点B、C重
合），以AD为边在其右侧作△ADE，使得AD=AE、∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图①，点D在线段CB上，求证：△ABD≌△ACE．
(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．当点D在射线CB上移动时，探究α与β之间的数量关系，并说明理由．
42．（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，过D作
∠EDF=∠B，分别与AB，AC相交于点E和点F．(1)求证：∠BED=∠FDC；
(2)若DE=DF，求证：BE=CD．
【考点10 全等三角形的应用】
43．（23-24八年级·山西吕梁·阶段练习）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标
有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第
块．
44．（23-24八年级·河南洛阳·期中）鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，
与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，A、B两点分别为雕像底座的两端
（其中A、B两点均在地面上）．因为A、B两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出
了如下两种方案：
甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，
使CO=AO，DO=BO，连接DC，测出DC的长即可．
乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，
作DC=DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．
(1)甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由；
(2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______．
【考点11 垂直平分线的判定与性质】
45．（24-25八年级·江苏苏州·阶段练习）在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则
凳子应放的最适当的位置在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点
46．（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，△ABC中，AC=5，BC的垂直平分线EF与AC相交于点
D，若△ABD的周长是9，则AB的长为 ．
47．（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l 交BC于点D，AC边的垂
1
直平分线l 交BC于点E，l 与l 相交于点O，连接AD，AE，△ADE的周长为12 cm．
2 1 2
(1)求BC的长；
(2)分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为26 cm，求OA的长．
【考点12 角平分线的性质与判定】
48．（24-25八年级·辽宁大连·期末）要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，且到水路
和电网的距离相等，关于集贸市场的位置，下列说法正确的是（ ）
A．直线公路和铁路的垂直平分线与水路和电网的角平分线的交点
B．直线公路和铁路的垂直平分线与水路和电网的垂直平分线的交点
C．直线公路和铁路的角平分线与水路和电网的角平分线的交点
D．直线公路和铁路的角平分线与水路和电网的垂直平分线的交点49．（24-25八年级·云南昭通·期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠BAC的角平分线交于点O，
AB=6cm，BC=9cm，△ABO的面积为9cm2，则△BOC的面积为（ ）
A．13.5cm2 B．18 cm2 C．24 cm2 D．27 cm2
50．（23-24八年级·陕西咸阳·期末）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，点E是CD上一点，连接
BE，当点E到BC的距离等于DE时，∠BCD=26°，则∠DBE = °．
51．（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，请用尺规作图法在BC边上求
作一点Q，使得点Q到AB边的距离等于CQ．（保留作图痕迹，不写作法）
52．（24-25八年级·全国·期末）如图，在Rt△ABC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，
点F在AC上，BD=DF．
(1)求证：BE=FC；
(2)若AB=15，AF=9，求FC的长．【考点13 画轴对称图形】
53．（23-24八年级·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，若点P(4,m−1)与点Q(2m+3n,5)关于x轴对
称，则n−m的值为（ ）
A．8 B．−4 C．0 D．−8
54．（23-24八年级·安徽·期末）如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的
实际时间应该是 ．
55．（24-25八年级·全国·期末）在正方形网格中，△ABC各顶点都在格点上，点A、C的坐标分别为
(−5,1)、(−1,4)，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
(2)画出△ABC关于x轴对称的△A B C ；
2 2 2
(3)点C 的坐标是 ；点C 的坐标是 ．
1 2
【考点14 等腰三角形的判定】
56．（23-24八年级·浙江宁波·期中）下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．a=3，b=3，c=4 B．a:b:c=2:3:4
C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A:∠B:∠C=1:1:2
57．（23-24八年级·福建宁德·期末）下列三角形中，不是等腰三角形的是（ ）
A． B．C． D．
58．（23-24八年级·山东青岛·期末）如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A=45°，
∠B=∠D=90°，AB=10m，CD=5m，则这块土地的面积为 ．
59．（24-25八年级·江苏无锡·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，
交AC于点E，且∠CDE=25°．
(1)求证：△CDE是等腰三角形；
(2)求∠A的度数．
60．（23-24八年级·福建泉州·期末）如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在AC边上，
AE⊥BD于点E，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F．
(1)求证：△CAF≌△ABD；
(2)如图②，过点D作DG∥CB交AB于点G，连结CG交AF于点H，判断△HFC的形状，并说明理由．【考点15 等腰三角形的性质】
61．（23-24八年级·北京西城·期末）如图，在等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=120°，D为AC
边的中点．若BC=6，则BD的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
62．（23-24八年级·湖北武汉·期末）已知△ABC中，AB=AC．∠A=108°，在平面内找一点P，使得
△PAB，△PAC，△PBC都是等腰三角形，则这样的P点有（ ）个
A．4 B．6 C．8 D．10
63．（23-24八年级·重庆南岸·期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE垂直平分AB．若
∠C=2∠B，以下结论一定正确的是（ ）
A．AE=AC B．DE=DC
C．BD=AC D．BD=AE
64．（23-24八年级·北京·期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC与∠ACD互
补，CD=3，则BC的长为 ．
65．（23-24八年级·吉林·期末）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC，CF平分
∠DCE．求证：CF⊥DE．66．（23-24八年级·浙江宁波·期末）在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点
三角形：
(1)在图1中，画一个以PQ为腰的等腰△APQ（A为格点）；
(2)在图2中，画一个以PQ为底的等腰△BPQ（B为格点）．
67．（23-24八年级·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，过点B作
BE⊥CD，垂足为点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，且BE=AF．
(1)∠ADE+∠DAF= °；
(2)求证：AB=BC；
(3)连接BD，且BD平分∠ABE交AF于点G．探究△BCD的形状并说明理由．
【考点16 等边三角形的判定】
68．（23-24八年级·内蒙古兴安盟·期末）如图，直线AB∥CD，EG=FG，∠1=100°，∠2=20°，则
△EFG的形状为（ ）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定
69．（23-24八年级·江苏连云港·期末）已知：如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，BE⊥AC
于点D，且DE=DB，则△CEB是 三角形．
70．（23-24八年级·福建三明·期中）若△ABC，∠B=∠C，请添加一个条件使△ABC是等边三角形
．（写出一个即可）
71.（23-24八年级·全国·单元测试）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点
O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
(1)求证：AD=BE；
(2)求∠DOE的度数；
(3)求证：△MNC是等边三角形．
【考点17 等边三角形的性质】
72．（24-25八年级·吉林长春·期末）如图，已知△ABD是等边三角形，BC=DC，E是AD上的点，
CE∥AB，与BD交于点F．若∠CBD=40°，则∠DCE的度数为( )A．40° B．20° C．2° D．25°
73．（24-25八年级·辽宁大连·期中）如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，
∠1=∠2，∠DFE=70°，则∠EDF= °．
74．（24-25八年级·全国·期末）如图△ABC是等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，点E，F分别在
AB，AC上，且∠EDF=60°．
(1)求证：EF=BE+CF；
(2)若△ABC的边长为1，求△AEF的周长．
(3)探究∠BED与∠≝¿的数量关系，并说明理由．
75．（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，点B，C，D在同一条直线上，△ABC，△ADE是等边三角形，
若CE=5，CD=2，(1)求∠ECD的度数；
(2)求AC长．
【考点18 含30°角的直角三角形】
76．（24-25八年级·全国·期末）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AC的
长是（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
77．（24-25八年级·全国·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是(0,8)，以OA为边在
右侧作等边三角形OA A ，过A 作x轴的垂线，垂足为点O ，以O A 为边在右侧作等边三角形O A A ，
1 1 1 1 1 1 1 2
再过点A 作x轴的垂线，垂足为点O ，以O A 为边在右侧作等边三角形O A A ，…，按此规律继续作
2 2 2 2 2 2 3
下去，得到等边三角形O A A ，则点A 的纵坐标为 ．
2025 2025 2026 2025
78．（24-25八年级·全国·期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，以BC为边作
等边三角形BCD，点F，G分别在线段BC，BD上，CF=BG，∠CDF=15°，CG与DF相交于点H，
延长DF交AC于点E．(1)求证：△EHC是等边三角形；
(2)试判断线段AE和DH的数量关系，并说明理由．
【考点19 最短路径问题】
79．（2024·江苏·一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,AC=3，BC=4，AB=5，D、E、F分别
是AB、BC、AC边上的动点，则△≝¿的周长的最小值是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
80．（23-24八年级·江苏镇江·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
AB=5，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
81．（23-24八年级·广西南宁·期末）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足
为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，则AB的长
为 ．【考点20 幂的运算】
82．（23-24八年级·福建宁德·期中）下列计算正确的是（ ）
A．m6+m2=m8 B．m6 ⋅m2=m12 C．m6÷m2=m3 D．(m6) 2 =m12
83．（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）若xn=6，yn=8，则(xy) n= ．
84．（2024八年级·全国·专题练习）已知2m=a，32n=b，其中m、n均为正整数，则23m+10n= ．
85．（24-25八年级·全国·期末）已知3a=2，3b=6，3c=8．
(1)求2a+b−c的值；
(2)求4a×2b+1÷2c的值．
【考点21 整式的乘法】
86．（23-24八年级·云南红河·期末）若(a+3)(a+2b)=a2−2a−15，则b等于（ ）
5
A．5 B．− C．2 D．−2
2
87．（23-24八年级·福建厦门·期末）如图，长方形ABCD的两边长分别为m+1，m+7(m>0)，面积为S ，
1
现有一个正方形AMNQ的周长与长方形的周长相等．
(1)用含m的代数式表示正方形AMNQ的边长：________；
(2)已知正方形的面积S，问：S−S 的值是否与m的大小有关？并说明理由．
1
88．（23-24八年级·广西南宁·期中）若(x2−px+8)与(x2+3x+q)乘积中x3项的系数为2，常数项为−16，
则这两个多项式乘积的一次项系数为 ．n
89．（23-24八年级·江苏扬州·期末）18世纪欧拉引进了求和符号“∑❑k”（其中i≤n，且i和n表示正整
k=i
n
数），对这个符号我们进行如下定义：∑❑k表示k从i开始取数一直取到n，全部加起来，即
k=i
n n
∑❑k=i+(i+1)+(i+2)+(i+3)+⋯+n．例如：当i=1时，∑❑k=1+2+3+4+⋯+n．若
k=i k
n
∑(x−k)(x−k+1)=3x2+px+m，则m=
．
k=2
【考点22 整式的除法】
90．（23-24八年级·海南省直辖县级单位·期末）计算(3x3+6x2−2x)÷2x的正确结果是（ ）
3 3 3
A．3x2+3x−1 B． x2+3x C． x2+3x+1 D． x2+3x−1
2 2 2
91．（23-24八年级·浙江金华·期末）在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商
式和余式，例如：通过“列竖式”可求得(x2−3x+11)÷(x+2)的商式为x−5，余式为22，如图所示．运
用此方法，那么(3x3+2x2+x+5)÷(x+1)的商式为 ，余式为 ．
92．（23-24八年级·陕西延安·期末）一个长方形的面积为6a2−2ab2，其中一边长为2a，则长方形的另
一边长为 ．
【考点23 完全平方公式】
93．（23-24八年级·浙江·期末）设a=x−2021，b=x−2023，c=x−2022，若a2+b2=56，则c2=
（ ）A．27 B．24 C．22 D．20
94．（23-24八年级·山东日照·期末）如果x2+2(k−1)x+16是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A．5 B．−3 C．5或−3 D．3或−5
95．（24-25八年级·全国·期末）若(2024−x)(x−2021)+10=0，则4045−2x的值为 ．
96．（23-24八年级·江苏徐州·期中）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：
[a c)=a2+b2−cd．
b d
(1)
[ 1 2)=
；
−1 3
[x k )
(2)对于有理数x、y，若 是一个完全平方式，则k ；
y xy
(3)对于有理数x、y，若x+ y=10，xy=22．
[2x−y 3x−y)
①求 的值；
y x−y
②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边
CD上，连接BD、BF．若AD=x，AB=nx，FG= y，EF=ny，图中阴影部分的面积为45，求n的值．
97．（24-25八年级·四川内江·阶段练习）数学教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及
a2−2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形．先添加一个适当
的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是
一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与负数
有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x−3=(x2+2x+1)−4=(x+1) 2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)；
例如求代数式2x2+4x−6的最小值2x2+4x−6=2(x2+2x−3)=2(x+1) 2−8．可知当x=−1时，
2x2+4x−6有最小值，最小值是−8，根据阅读材料，利用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：m2−4m−5；
(2)当a为何值时，多项式−2a2−4a+18有最值，并求出这个最值；(3)当a，b为何值时，多项式2a2+3b2−4a+12b+27有最值，并求出这个最值．
【考点24 平方差公式】
2035
98．（23-24八年级·山东菏泽·期末）计算： = ．
20352−2036×2034
99．（23-24八年级·湖南衡阳·期中）某同学在计算3(4+1)(42+1)时，把3写成4−1后，发现可以连续运
用两数和乘以这两数差公式计算：3(4+1)(42+1)=(4−1)(4+1)(42+1)=(42−1)(42+1)=162−1=255．
( 1)( 1 )( 1 )( 1 ) 1
请借鉴该同学的经验，计算：
1+ 1+ 1+ 1+ + =
（ ）
2 22 24 28 215
1 1
A．2− B．2+ C．1 D．2
215 216
100．（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）如图1，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图
2，然后将剩余部分拼成一个长方形．上述操作能验证的等式是（ ）
A．a2−2ab+b2=(a−b) 2 B．a2−b2=(a+b)(a−b)
C．a2+ab=a(a+b) D．a2+2ab+b2=(a+b) 2
101．（23-24八年级·安徽六安·期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整
数为“和谐数”如（8=32−12，16=52−32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2024的正整数中，
所有的“和谐数”之和为（ ）
A．257048 B．257024 C．255048 D．255024
【考点25 因式分解的应用】
102．（24-25八年级·福建福州·期中）若△ABC三边a，b，c满足a2−b2−ac+bc=0，判断△ABC的形
状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形103．（24-25八年级·广东广州·期中）若a+b=3，ab=2，x+ y=−2，则
a3b+2a2b2+ab3−x−y+2024的值为 ．
104．（23-24八年级·湖南永州·期中）已知a−2=b+c，则代数式a(a−b−c)−b(a−b−c)−c(a−b−c)
的值等于 ．
1
105．（23-24八年级·浙江温州·期末）下列各式： −x2−y2； 1− a2b2 ； a2+ab+b2；
4
① ② ③ ④
1
x2+2xy+ y2； x2−x+ ，可以用公式法分解因式的有（ ）
4
⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
106．（24-25八年级·全国·期末）因式分解
(1)m2(x−y)+n2(y−x)
(2)4ab2−4a2b−b3
【考点26 分式的基本性质】
107．（24-25八年级·全国·期末）下列分式从左到右的变形一定正确的是（ ）
b+x b b bx x−y y−x −x−y
A． = B． = C． = D． =−1
a+ y a 2a 2ax x+ y x+ y x+ y
2x
108．（23-24八年级·安徽淮北·期末） 如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
x2−y2
A．缩小2倍 B．扩大2倍 C．不变 D．缩小4倍
3 x
109．（2024八年级·全国·专题练习）分式− ， 的最简公分母是 ．
4x2y 12y2
1 1 x−y+xy
110．（23-24八年级·江苏无锡·期中）已知 − =2， = ．
x y 2xy−3x+3 y
111．（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期末）我们可以将一些只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分
式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如：
a a−1+1 a−1 1 1
= = + =1+
a−1 a−1 a−1 a−1 a−1
3a−1 3(a+1)−4 3(a+1) 4 4
= = − =3−
a+1 a+1 a+1 a+1 a+1
参考上面的方法，解决下列问题：
a−1 a−1
(1)将 变形为满足以上结果要求的形式： = ________________；
a+1 a+14a−3
(2)若 变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数a的值；
a−1
a2−2a+3
(3)将 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为______________．
a−1
【考点27 分式的值】
112．（23-24八年级·湖南衡阳·期末）当 时，分式 的值不等于零．
113．（23-24八年级·山东临沂·期末）对于 ，下列判断正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
114．（23-24八年级·陕西西安·期中）对于非负整数x，使得 是一个正整数，则符合条件 的个数有
（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
115．（2024·江苏苏州·中考真题）已知两个不等于0的实数 、 满足 ，则 等于（ ）
A． B． C．1 D．2
116．（23-24八年级·河南驻马店·期末）若分式 有意义，下列说法错误的是（ ）．
A．当 时，分式的值为正数 B．当 时，分式无意义
C．当 时，分式的值为0 D．当 时，分式的值为1
【考点28 分式的混合运算】
117．（24-25八年级·全国·期末）当a=2， 时， ．
118．（23-24八年级·四川德阳·期末）若 ，则M、N的值分别为( )
A．M=-1,N=-2 B．M=-2,N=-1 C．M=1,N=2 D．M=2,N=1
119．（23-24八年级·贵州黔南·期末）某工厂接到一个订单，生产x套防护服，原计划每天生产y套．为了
将这些防护服尽快投入使用，增加了人手，最后平均每天比原计划多生产了60套，则工厂完成这个订单的时间比原计划提前（ ）
A． 天 B． 天 C． 天 D． 天
【考点29 负整数指数幂】
120．（23-24八年级·福建泉州·期末）人体内有一种细胞的直径约为 0.00000156 米， 将数 0.00000156
用科学记数法为 （ ）
A． B． C． D．
121．（23-24八年级·福建莆田·期末） ＝ .
122．（23-24八年级·内蒙古包头·期末）比较大小： ．（填“ ”、“ ”或“ ”）
123．（2024·安徽阜阳·一模）先化简，再求值： ，其中 ．
【考点30 分式方程的解】
124．（23-24八年级·陕西西安·期末）若关于 的分式方程 的解是正数，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． 且 D． 且
125．（24-25八年级·云南曲靖·期末）关于x的方程 无解，则k的值为（ ）
A． B．3 C． D．无法确定
126．（23-24八年级·重庆渝北·期末）若整数 使关于x的一元一次不等式组 的解集是 ，
且使关于y的分式方程 有非负整数解，则符合条件的所有整数 的值之和为 ．
127．（23-24八年级·湖北十堰·期末）一般地，形如 （ 是已知数）的分式方程有两个解，通常用
， 表示．请你观察下列方程及其解的特征：（1） 的解为 ；
（2） 的解为 ；
（3） 的解为 ；
猜想：方程 的解为 ， ；
关于 的方程 的解为 ； ．
128．（23-24八年级·江苏南京·期末）解下列分式方程：
(1) ；
(2) ．
【考点31 分式方程的应用】
129．（23-24八年级·重庆巫溪·期末）人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如
学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，
使计算机能实现更高层次的应用．2024我校为迎接30周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智
能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点
同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的 ，“领航号”比“致远号”每秒多行
米．
(1)求“致远号”的行驶速度；
(2)如果将“领航号”的赛道长增加 ，“致远号”的赛道长不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到
达各自终点吗？通过计算说明；
(3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达各自终点，并写出
调整方案．
130．（24-25八年级·云南曲靖·期末）广南到那洒高速公路经过两年多的建设，于2020年6月 30日24时
正式通车运营，全长 的广那高速结束了广南县城不通高速公路的历史．从广南到那洒还有条全长
的普通公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度快 ，由高
速公路从广南到那洒所需要的时间是由普通公路从广南到那洒所需时间的一半，求该客车由高速公路从广南到那洒需要几小时．
