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第十三章 三角形·拔尖卷
【人教版2024】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，钝角三角形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的分类、钝角三角形的定义等知识点，确定各个钝角三角形成为解题的关
键．
先列举出所有钝角三角形，然后再统计即可解答．
【详解】解：如图：钝角三角形有：△BEC、△BDC、△BAC、△BDE、△AEC，共5个．
故选D．
2．（3分）（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，小深在池塘一侧选取了点C，测得AC=3m，
BC=5m，那么池塘两岸A，B间的距离可能是（ ）m．
A．9 B．8 C．5 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边的
知识，掌握以上知识是解答本题的关键；本题根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边的知识，进行
作答，即可求解；
【详解】解：根据三角形的三边关系可得：5−312，
∴能组成三角形；当△ACD的周长比△ABD的周长大6时，
{ y−x=6 )
即 ，
2x+ y=30
{ x=8 )
解得： ，
y=14
∴△ABC的三边长分别为8，8，14；
∵8+8=16>14，
∴能组成三角形；
综上所述：AC的长为6或14．
故选：C．
4．（3分）（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，将△ABC沿BE翻折交AC于点D，又将△BCD沿
BA′翻折，点C落在BE上的C′处，其中∠A'=16°，∠C'DE=44°，则原三角形中∠C的度数为（ ）
A．86° B．82° C．76° D．68°
【答案】A
【分析】此题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，一元一次方程，设∠CBD=x°，由翻折得
∠ABE=∠A'BE=∠CBD=x°，根据三角形内角和得到164°−3x°=112°−x°，求出x的值，再利用
三角形内角和求出∠C的度数．
【详解】解：设∠CBD=x°,
由翻折的性质可得∠ABE=∠A'BE=∠CBD=x°,∠CDB=∠C'DB, ∠A=∠A'=16°,
∴∠ABC=3x°,
∵∠C'DE=44°,
180°−44°
∴∠CDB=∠C'DB= =68°，
2
在△ABC中,∠C=180°−∠A−∠ABC=180°−16°−3x°=164°−3x°,
在△C'❑BD中，∠BC'D=180°−∠A'BC'−∠C'DB=180°−x°−68°=112°−x°，
∴164°−3x°=112°−x°，∴x=26,
∴∠C=164°−78°=86°,
故选: A．
5．（3分）（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=70°，∠ACB=80°，AD平
分∠BAC，点P为线段AD上一点，过点P作PE⊥AD交BC的延长线于点E，则∠E的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之
间的关系．
先根据三角形的内角和定理求得∠B的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAB的度数，从而根据三角形
外角的性质即可求出∠PDE度数，进一步求得∠E的度数．
【详解】解：∵∠BAC=70°，∠ACB=80°，
∴∠B=180°−∠BAC−∠ACB=30°，
∵AD平分∠BAC，
1
∴∠BAD= ∠BAC=35°，
2
∴∠PDE=∠B+∠BAD=65°，
∵PE⊥AD，
∴∠E=90°−∠PDE=25°．
故选：B．
6．（3分）（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=3BD
，BE=CE，设△ADF的面积为S ，△CEF的面积为S ，若S =16，则S −S =（ ）
1 2 △ABC 1 2
A．3 B．2 C．1.5 D．4【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的面积、三角形的中线等知识点，能灵活运用三角形的中线以及等分线求
面积成为解题的关键．
由AD=3BD、BE=CE、S =16可以求出△ABE的面积和△BCD的面积，再结合图形可得
△ABC
S −S =S −S =(S −S )−(S −S )=S −S 即可解答．
1 2 △ADF △CEF △ABE 四边形BDEF △BCD 四边形BDEF △ABE △BCD
【详解】解：∵BE=CE，
1
∴BE= BC，
2
∵S =16，
△ABC
1 1
∴S = S = ×16=8，
△ABE 2 △ABC 2
∵AD=3BD，
1
∴BD= AB，S =16，
4 △ABC
1
∴S = S =4，
△BCD 4 △ABC
∴S −S =S −S
1 2 △ADF △CEF
=(S −S )−(S −S )
△ABE 四边形BDEF △BCD 四边形BDEF
=S −S
△ABE △BCD
=8−4
=4．
故选：D．
7．（3分）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也
在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则满足条件的点C个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】据三角形ABC的面积为1，可知三角形的底边长为2，高为1，或者底边为1，高为2，可通过在正方形网格中画图得出结果．
【详解】解：C点所有的情况如图所示：
由图可得共有6个，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的面积的求法，此类题应选取分类的标准，才能做到不遗不漏，难度适中．
8．（3分）（2025·湖北武汉·模拟预测）现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n>2），每段的长度不小
于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，理解题意、列出每段铁丝
的长度是解题关键．
根据三角形的三边关系，设最小的长度为1，又因任意三小段都不能拼成三角形，得每段长度是1，1，2，
3，5，8，13，21，34，55，90，依此类推，总和不大于144即可求解．
【详解】解：∵ n段之和为144cm，
∴若n要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小，
∵每段的长度不小于1cm，且其中任意三小段都不能拼成三角形，
∴这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，90，
∵ 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=143<144，
1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+90=233>144，
∴小段的长度分别为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
∴n的最大值为10．
故选：B．
9．（3分）（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，在正方形ABCD中，点E为CD边的中点，将△ADE
沿AE折叠，使点D落在正方形ABCD的内部一点F处，则∠BFC的度数为（ ）A．105° B．115° C．120° D．135°
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，解题关键是利用折叠的性质求解．
根据正方形的性质和折叠的性质可得AB=AF，EF=CE，由此得∠ABF=∠AFB，∠EFC=∠ECF．
设∠ABF=∠AFB=α，∠EFC=∠ECF=β，由三角形内角和定理可得∠BFC=α+β，又由
∠AFB+∠EFC+∠AFE+∠BFC=360°，即可求出∠BFC的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ACD=∠D=90°，
∵E为CD边的中点，
∴DE=CE，
∵△ADE沿AE折叠后得到△AFE，
∴AF=AD，EF=DE，∠AFE=∠D=90°，
∴AB=AF，EF=CE，
∴∠ABF=∠AFB，∠EFC=∠ECF．
设∠ABF=∠AFB=α，∠EFC=∠ECF=β，
∵∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠FBC+∠FCB+∠FCE=180°，
∴α+β+∠FBC+∠FCB=180°，
∵△BFC中，∠BFC+∠FBC+∠FCB=180°，
∴∠BFC=α+β，
又∵∠AFB+∠EFC+∠AFE+∠BFC=360°，
∴α+β+90°+∠BFC=360°，
∴2∠BFC=270°，
∴∠BFC=135°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握
以上知识是解题的关键．10．（3分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，AB∥CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP=180°
，下列结论：
①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP=2∠EPG；③∠FPH=∠GPH；④
∠BEP−∠DFP
∠A+∠AGP+∠DFP−∠FPG=180°；⑤若∠BEP>∠DFP，则 =2，
∠GPH
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内
错角相等．由∠A+∠AHP=180°，可得PH∥AB，根据AB∥CD，可得AB∥CD∥PH，再根据平
行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．
【详解】解：∵∠A+∠AHP=180°，
∴PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥PH，故①正确；
∴AB∥CD∥PH，
∴∠BEP=∠EPH，∠DFP=∠FPH，
∴∠BEP+∠DFP=∠EPF，
又∵PG平分∠EPF，
∴∠EPF=2∠EPG，即∠BEP+∠DFP=2∠EPG，故②正确；
∵∠GPH与∠FPH不一定相等，
∴∠FPH=∠GPH不一定成立，故③错误；
∵∠AGP=∠HPG＋∠PHG,∠DFP=∠FPH,∠FPH+∠GPH=∠FPG,∠FPG=∠EPG，
∴∠A+∠AGP+∠DFP−∠FPG=∠A+∠HPG+∠PHG+∠DFP−∠FPG
=∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH−∠FPG
=∠A+∠FPG+∠PHG−∠FPG=∠A+∠PHG，
∵AB∥PH，
∴∠A+∠PHG=180°，
即∠A+∠AGP+∠DFP−∠FPG=180°，
故④正确；
∵∠BEP−∠DFP
=∠EPH−∠FPH
=(∠EPG+∠GPH)−∠FPH
=∠FPG+∠GPH−∠FPH
=∠GPH+∠GPH
=2∠GPH，
∠BEP−∠DFP
∴ =2为定值，故⑤正确．
∠GPH
综上所述，正确的选项①②④⑤共4个，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级下·吉林长春·期末）将一个三角板ABC和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面
上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知∠1=16°，∠2=31°，则∠3= 度．
【答案】43
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，连接EF，由三角形内角和定理可得出
∠CEF+∠CFE=90°，根据角的和差关系即可得出∠≝+∠DFE=137°，最后根据三角形内角和定理
即可求出答案．
【详解】解：如图，连接EF，由题意可知，∠C=90°，
在△EFC中，∠CEF+∠CFE+∠C=180°，
∴∠CEF+∠CFE=180°−∠C=180°−90°=90°，
又 ∠1=16°，∠2=31°，
∠1+∠CEF+∠2+∠CFE=16°+90°+31°=137°，
即∠≝+∠DFE=137°，
在△≝¿中，∠3+∠≝+∠DFE=180°，
∴∠3=180°−(∠≝+∠DFE)=180°−137°=43°，
故答案为：43．
12．（3分）（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，BD是△ABC的边AC上的中线，AE是△ABD的边
BD上的中线，BF是△ABE的边AE上的中线，连接CE，CF．若△ABC的面积是16，则阴影部分的面积
是 ．
【答案】6
【分析】此题考查了三角形中线的性质，利用中线等分三角形的面积进行求解即可，解题的关键是熟练掌
握三角形中线的性质及其应用．
【详解】解：∵BD是△ABC的边AC上的中线，
1
∴S =S = S =8，
△ABD △BCD 2 △ABC
∵AE是△ABD的边BD上的中线，即有CE是△BCE的边AE上的中线，
1 1
∴S =S = S ，S =S = S ，
△ABE △ADE 2 △ABD △BEC △CED 2 △BCD1 1 1 1
∴S =S +S = S + S = (S +S )= S =8，
△AEC △AED △CED 2 △ABD 2 △BCD 2 △ABD △BCD 2 △ABC
∵BF是△ABE的边AE上的中线，即有CF是△ACE的边AE上的中线，
1
∴S = S =2，
△BEF 2 △ABE
1
∴S = S =4，
△EFC 2 △ACE
∴阴影部分的面积是S +S =2+4=6，
△BEF △EFC
故答案为：6．
13．（3分）（22-23八年级上·四川绵阳·周测）已知△ABC中的中线AD将△ABC的周长分为10和15两
部分，且4AC=3BC，则AB= ．
【答案】11或4
1
【分析】本题考查三角形的中线，根据中线的定义，得到BD=CD= BC，分两种情况进行讨论求解即
2
可．
【详解】解：∵AD为△ABC的中线，
∴BC=2BD=2CD，
∵4AC=3BC，
3 3
∴AC= BC= CD，
4 2
AD将△ABC的周长分为10和15两部分，分2种情况：
①AC+CD=10,AB+BD=15，
3
则： CD+CD=10，
2
∴CD=4，
∴BD=4,BC=8,AC=6，
∴AB=15−BD=11；
②AC+CD=15,AB+BD=10，
3
则： CD+CD=15，
2
∴CD=6，
∴BD=6,BC=12,AC=9，
∴AB=10−6=4；故答案为：11或4．
14．（3分）（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，
∠ABC的平分线交DE于点F，∠ACB的平分线交DE于点G，若BD=3，CE=2，FG=1，则DE的长
是 ．
【答案】4或6
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线，等角对等边．分情况求解是解题的关键．
由题意知，分F在G左侧，F在G右侧两种情况求解作答即可．
【详解】解：由题意知，分F在G左侧，F在G右侧两种情况求解；
当F在G左侧时，如图1，
∵DE∥BC，BF是∠ABC的平分线，CG是∠ACB的平分线，
∴∠DFB=∠CBF=∠DBF，∠EGC=∠BCG=∠ECG，
∴DF=DB=3，EG=EC=2，
∴DE=DF+FG+EG=6；
当F在G右侧时，如图2，
同理，DF=DB=3，EG=EC=2，
∴DE=DF+EF=DF+(EG−FG)=4；
综上所述，DE的长为4或6，
故答案为：4或6
15．（3分）（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，现有一张三角形纸片ABC，点D，E分别是AC,AB边上的一点，将该纸片沿DE折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部点A′的位置，且点A′与点
C在直线AB的异侧．若∠C=100°，∠A=30°，且A′E∥BC，则∠ADE的度数为 ．
【答案】35°/35度
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质．连接A A′，根据三角形内
角和定理可得∠B的度数，再由折叠的性质可得AE=A′E,AD=A′D,∠ADE=∠A′DE，从而得到
∠A′ AE=∠A A′E，∠A′ AD=∠A A′D，然后根据三角形外角的性质可得∠2=2∠A′ AE，再由平行
线的性质可得∠2=∠B=60°，即可求解．
【详解】解：如图，连接A A′，
∵∠C=100°，∠BAC=30°，
∴∠B=180°−∠BAC−∠C=50°
由折叠的性质得：AE=A′E,AD=A′D,∠ADE=∠A′DE，
∴∠A′ AE=∠A A′E，∠A′ AD=∠A A′D，
∴∠2=∠A′ AE+∠A A′E=2∠A′ AE，
∵A′E∥BC，
∴∠2=∠B=50°，
∴∠A' AE=25°，
∴∠A' AD=∠A A'D=∠A' AE+∠DAE=55°，
∴∠ADA'=180°−∠A' AD−∠A A'D=70°，
1
∴∠ADE= ∠AD A'=35°．
2
故答案为：35°16．（3分）（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得
该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C．若∠A=60°时，点D在△ABC内，则
∠ABD+∠ACD的值是 ．
【答案】30°/30度
【分析】本题考查三角形外角的性质，解题的关键是正确作出辅助线．
根据三角形外角的性质，结合角的和差运算，即可得∠ABD+∠ACD的值．
【详解】解：如图，连接并延长AD，交EF于点G，则∠BDG=∠BAD+∠ABD，
∠CDG=∠CAD+∠ACD，
∵∠BDG+∠CDG=∠EDF=90°，
∴∠BAD+∠ABD+∠CAD+∠ACD=∠BAC+∠ABD+∠ACD=90°，
∵∠BAC=60°，
∴∠ABD+∠ACD=90°−∠BAC=90°−60°=30°
故答案为： 30°．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知三角形的三边长分别为3，8，a．
(1)求a的取值范围；
(2)若a为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？
【答案】(1)5
