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第十三章 三角形·拔尖卷
【人教版2024】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，钝角三角形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的分类、钝角三角形的定义等知识点，确定各个钝角三角形成为解题的关
键．
先列举出所有钝角三角形，然后再统计即可解答．
【详解】解：如图：钝角三角形有：△BEC、△BDC、△BAC、△BDE、△AEC，共5个．
故选D．
2．（3分）（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，小深在池塘一侧选取了点C，测得AC=3m，
BC=5m，那么池塘两岸A，B间的距离可能是（ ）m．
A．9 B．8 C．5 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边的
知识，掌握以上知识是解答本题的关键；本题根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边的知识，进行
作答，即可求解；
【详解】解：根据三角形的三边关系可得：5−3<AB<5+3，
即2<AB<8，
逐一核对选项，只有选项C符合，
故选：C
3．（3分）（24-25八年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，等腰△ABC的周长为30，且BA=BC，中线AD
将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则AC的长（ ）
A．6 B．14 C．14或6 D．12或8
【答案】C
【分析】本题考查了三角形中线的性质及三角形三边关系，设BA=BC=x，AC= y，由AD是BC边上的
1
中线，得到BD=CD= x，分两种情况：当△ADB的周长比△ACD的周长大6时，当△ACD的周长比
2
△ABD的周长大6时，建立二元一次方程组求解，再利用三角形三边关系检验即可求解，掌握三角形三边
关系，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：设BA=BC=x，AC= y，AD是BC边上的中线，
1
∴BD=CD= x，
2
分两种情况：
当△ADB的周长比△ACD的周长大6时，
{ x−y=6 )
，
2x+ y=30
{x=12)
解得： ，
y=6
∴△ABC的三边长分别为12，12，6，
∵6+12=18>12，
∴能组成三角形；当△ACD的周长比△ABD的周长大6时，
{ y−x=6 )
即 ，
2x+ y=30
{ x=8 )
解得： ，
y=14
∴△ABC的三边长分别为8，8，14；
∵8+8=16>14，
∴能组成三角形；
综上所述：AC的长为6或14．
故选：C．
4．（3分）（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，将△ABC沿BE翻折交AC于点D，又将△BCD沿
BA′翻折，点C落在BE上的C′处，其中∠A'=16°，∠C'DE=44°，则原三角形中∠C的度数为（ ）
A．86° B．82° C．76° D．68°
【答案】A
【分析】此题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，一元一次方程，设∠CBD=x°，由翻折得
∠ABE=∠A'BE=∠CBD=x°，根据三角形内角和得到164°−3x°=112°−x°，求出x的值，再利用
三角形内角和求出∠C的度数．
【详解】解：设∠CBD=x°,
由翻折的性质可得∠ABE=∠A'BE=∠CBD=x°,∠CDB=∠C'DB, ∠A=∠A'=16°,
∴∠ABC=3x°,
∵∠C'DE=44°,
180°−44°
∴∠CDB=∠C'DB= =68°，
2
在△ABC中,∠C=180°−∠A−∠ABC=180°−16°−3x°=164°−3x°,
在△C'❑BD中，∠BC'D=180°−∠A'BC'−∠C'DB=180°−x°−68°=112°−x°，
∴164°−3x°=112°−x°，∴x=26,
∴∠C=164°−78°=86°,
故选: A．
5．（3分）（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=70°，∠ACB=80°，AD平
分∠BAC，点P为线段AD上一点，过点P作PE⊥AD交BC的延长线于点E，则∠E的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之
间的关系．
先根据三角形的内角和定理求得∠B的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAB的度数，从而根据三角形
外角的性质即可求出∠PDE度数，进一步求得∠E的度数．
【详解】解：∵∠BAC=70°，∠ACB=80°，
∴∠B=180°−∠BAC−∠ACB=30°，
∵AD平分∠BAC，
1
∴∠BAD= ∠BAC=35°，
2
∴∠PDE=∠B+∠BAD=65°，
∵PE⊥AD，
∴∠E=90°−∠PDE=25°．
故选：B．
6．（3分）（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=3BD
，BE=CE，设△ADF的面积为S ，△CEF的面积为S ，若S =16，则S −S =（ ）
1 2 △ABC 1 2
A．3 B．2 C．1.5 D．4【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的面积、三角形的中线等知识点，能灵活运用三角形的中线以及等分线求
面积成为解题的关键．
由AD=3BD、BE=CE、S =16可以求出△ABE的面积和△BCD的面积，再结合图形可得
△ABC
S −S =S −S =(S −S )−(S −S )=S −S 即可解答．
1 2 △ADF △CEF △ABE 四边形BDEF △BCD 四边形BDEF △ABE △BCD
【详解】解：∵BE=CE，
1
∴BE= BC，
2
∵S =16，
△ABC
1 1
∴S = S = ×16=8，
△ABE 2 △ABC 2
∵AD=3BD，
1
∴BD= AB，S =16，
4 △ABC
1
∴S = S =4，
△BCD 4 △ABC
∴S −S =S −S
1 2 △ADF △CEF
=(S −S )−(S −S )
△ABE 四边形BDEF △BCD 四边形BDEF
=S −S
△ABE △BCD
=8−4
=4．
故选：D．
7．（3分）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也
在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则满足条件的点C个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】据三角形ABC的面积为1，可知三角形的底边长为2，高为1，或者底边为1，高为2，可通过在正方形网格中画图得出结果．
【详解】解：C点所有的情况如图所示：
由图可得共有6个，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的面积的求法，此类题应选取分类的标准，才能做到不遗不漏，难度适中．
8．（3分）（2025·湖北武汉·模拟预测）现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n>2），每段的长度不小
于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，理解题意、列出每段铁丝
的长度是解题关键．
根据三角形的三边关系，设最小的长度为1，又因任意三小段都不能拼成三角形，得每段长度是1，1，2，
3，5，8，13，21，34，55，90，依此类推，总和不大于144即可求解．
【详解】解：∵ n段之和为144cm，
∴若n要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小，
∵每段的长度不小于1cm，且其中任意三小段都不能拼成三角形，
∴这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，90，
∵ 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=143<144，
1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+90=233>144，
∴小段的长度分别为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
∴n的最大值为10．
故选：B．
9．（3分）（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，在正方形ABCD中，点E为CD边的中点，将△ADE
沿AE折叠，使点D落在正方形ABCD的内部一点F处，则∠BFC的度数为（ ）A．105° B．115° C．120° D．135°
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，解题关键是利用折叠的性质求解．
根据正方形的性质和折叠的性质可得AB=AF，EF=CE，由此得∠ABF=∠AFB，∠EFC=∠ECF．
设∠ABF=∠AFB=α，∠EFC=∠ECF=β，由三角形内角和定理可得∠BFC=α+β，又由
∠AFB+∠EFC+∠AFE+∠BFC=360°，即可求出∠BFC的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ACD=∠D=90°，
∵E为CD边的中点，
∴DE=CE，
∵△ADE沿AE折叠后得到△AFE，
∴AF=AD，EF=DE，∠AFE=∠D=90°，
∴AB=AF，EF=CE，
∴∠ABF=∠AFB，∠EFC=∠ECF．
设∠ABF=∠AFB=α，∠EFC=∠ECF=β，
∵∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠FBC+∠FCB+∠FCE=180°，
∴α+β+∠FBC+∠FCB=180°，
∵△BFC中，∠BFC+∠FBC+∠FCB=180°，
∴∠BFC=α+β，
又∵∠AFB+∠EFC+∠AFE+∠BFC=360°，
∴α+β+90°+∠BFC=360°，
∴2∠BFC=270°，
∴∠BFC=135°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握
以上知识是解题的关键．10．（3分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，AB∥CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP=180°
，下列结论：
①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP=2∠EPG；③∠FPH=∠GPH；④
∠BEP−∠DFP
∠A+∠AGP+∠DFP−∠FPG=180°；⑤若∠BEP>∠DFP，则 =2，
∠GPH
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内
错角相等．由∠A+∠AHP=180°，可得PH∥AB，根据AB∥CD，可得AB∥CD∥PH，再根据平
行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．
【详解】解：∵∠A+∠AHP=180°，
∴PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥PH，故①正确；
∴AB∥CD∥PH，
∴∠BEP=∠EPH，∠DFP=∠FPH，
∴∠BEP+∠DFP=∠EPF，
又∵PG平分∠EPF，
∴∠EPF=2∠EPG，即∠BEP+∠DFP=2∠EPG，故②正确；
∵∠GPH与∠FPH不一定相等，
∴∠FPH=∠GPH不一定成立，故③错误；
∵∠AGP=∠HPG＋∠PHG,∠DFP=∠FPH,∠FPH+∠GPH=∠FPG,∠FPG=∠EPG，
∴∠A+∠AGP+∠DFP−∠FPG=∠A+∠HPG+∠PHG+∠DFP−∠FPG
=∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH−∠FPG
=∠A+∠FPG+∠PHG−∠FPG=∠A+∠PHG，
∵AB∥PH，
∴∠A+∠PHG=180°，
即∠A+∠AGP+∠DFP−∠FPG=180°，
故④正确；
∵∠BEP−∠DFP
=∠EPH−∠FPH
=(∠EPG+∠GPH)−∠FPH
=∠FPG+∠GPH−∠FPH
=∠GPH+∠GPH
=2∠GPH，
∠BEP−∠DFP
∴ =2为定值，故⑤正确．
∠GPH
综上所述，正确的选项①②④⑤共4个，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级下·吉林长春·期末）将一个三角板ABC和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面
上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知∠1=16°，∠2=31°，则∠3= 度．
【答案】43
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，连接EF，由三角形内角和定理可得出
∠CEF+∠CFE=90°，根据角的和差关系即可得出∠≝+∠DFE=137°，最后根据三角形内角和定理
即可求出答案．
【详解】解：如图，连接EF，由题意可知，∠C=90°，
在△EFC中，∠CEF+∠CFE+∠C=180°，
∴∠CEF+∠CFE=180°−∠C=180°−90°=90°，
又 ∠1=16°，∠2=31°，
∠1+∠CEF+∠2+∠CFE=16°+90°+31°=137°，
即∠≝+∠DFE=137°，
在△≝¿中，∠3+∠≝+∠DFE=180°，
∴∠3=180°−(∠≝+∠DFE)=180°−137°=43°，
故答案为：43．
12．（3分）（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，BD是△ABC的边AC上的中线，AE是△ABD的边
BD上的中线，BF是△ABE的边AE上的中线，连接CE，CF．若△ABC的面积是16，则阴影部分的面积
是 ．
【答案】6
【分析】此题考查了三角形中线的性质，利用中线等分三角形的面积进行求解即可，解题的关键是熟练掌
握三角形中线的性质及其应用．
【详解】解：∵BD是△ABC的边AC上的中线，
1
∴S =S = S =8，
△ABD △BCD 2 △ABC
∵AE是△ABD的边BD上的中线，即有CE是△BCE的边AE上的中线，
1 1
∴S =S = S ，S =S = S ，
△ABE △ADE 2 △ABD △BEC △CED 2 △BCD1 1 1 1
∴S =S +S = S + S = (S +S )= S =8，
△AEC △AED △CED 2 △ABD 2 △BCD 2 △ABD △BCD 2 △ABC
∵BF是△ABE的边AE上的中线，即有CF是△ACE的边AE上的中线，
1
∴S = S =2，
△BEF 2 △ABE
1
∴S = S =4，
△EFC 2 △ACE
∴阴影部分的面积是S +S =2+4=6，
△BEF △EFC
故答案为：6．
13．（3分）（22-23八年级上·四川绵阳·周测）已知△ABC中的中线AD将△ABC的周长分为10和15两
部分，且4AC=3BC，则AB= ．
【答案】11或4
1
【分析】本题考查三角形的中线，根据中线的定义，得到BD=CD= BC，分两种情况进行讨论求解即
2
可．
【详解】解：∵AD为△ABC的中线，
∴BC=2BD=2CD，
∵4AC=3BC，
3 3
∴AC= BC= CD，
4 2
AD将△ABC的周长分为10和15两部分，分2种情况：
①AC+CD=10,AB+BD=15，
3
则： CD+CD=10，
2
∴CD=4，
∴BD=4,BC=8,AC=6，
∴AB=15−BD=11；
②AC+CD=15,AB+BD=10，
3
则： CD+CD=15，
2
∴CD=6，
∴BD=6,BC=12,AC=9，
∴AB=10−6=4；故答案为：11或4．
14．（3分）（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，
∠ABC的平分线交DE于点F，∠ACB的平分线交DE于点G，若BD=3，CE=2，FG=1，则DE的长
是 ．
【答案】4或6
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线，等角对等边．分情况求解是解题的关键．
由题意知，分F在G左侧，F在G右侧两种情况求解作答即可．
【详解】解：由题意知，分F在G左侧，F在G右侧两种情况求解；
当F在G左侧时，如图1，
∵DE∥BC，BF是∠ABC的平分线，CG是∠ACB的平分线，
∴∠DFB=∠CBF=∠DBF，∠EGC=∠BCG=∠ECG，
∴DF=DB=3，EG=EC=2，
∴DE=DF+FG+EG=6；
当F在G右侧时，如图2，
同理，DF=DB=3，EG=EC=2，
∴DE=DF+EF=DF+(EG−FG)=4；
综上所述，DE的长为4或6，
故答案为：4或6
15．（3分）（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，现有一张三角形纸片ABC，点D，E分别是AC,AB边上的一点，将该纸片沿DE折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部点A′的位置，且点A′与点
C在直线AB的异侧．若∠C=100°，∠A=30°，且A′E∥BC，则∠ADE的度数为 ．
【答案】35°/35度
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质．连接A A′，根据三角形内
角和定理可得∠B的度数，再由折叠的性质可得AE=A′E,AD=A′D,∠ADE=∠A′DE，从而得到
∠A′ AE=∠A A′E，∠A′ AD=∠A A′D，然后根据三角形外角的性质可得∠2=2∠A′ AE，再由平行
线的性质可得∠2=∠B=60°，即可求解．
【详解】解：如图，连接A A′，
∵∠C=100°，∠BAC=30°，
∴∠B=180°−∠BAC−∠C=50°
由折叠的性质得：AE=A′E,AD=A′D,∠ADE=∠A′DE，
∴∠A′ AE=∠A A′E，∠A′ AD=∠A A′D，
∴∠2=∠A′ AE+∠A A′E=2∠A′ AE，
∵A′E∥BC，
∴∠2=∠B=50°，
∴∠A' AE=25°，
∴∠A' AD=∠A A'D=∠A' AE+∠DAE=55°，
∴∠ADA'=180°−∠A' AD−∠A A'D=70°，
1
∴∠ADE= ∠AD A'=35°．
2
故答案为：35°16．（3分）（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得
该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C．若∠A=60°时，点D在△ABC内，则
∠ABD+∠ACD的值是 ．
【答案】30°/30度
【分析】本题考查三角形外角的性质，解题的关键是正确作出辅助线．
根据三角形外角的性质，结合角的和差运算，即可得∠ABD+∠ACD的值．
【详解】解：如图，连接并延长AD，交EF于点G，则∠BDG=∠BAD+∠ABD，
∠CDG=∠CAD+∠ACD，
∵∠BDG+∠CDG=∠EDF=90°，
∴∠BAD+∠ABD+∠CAD+∠ACD=∠BAC+∠ABD+∠ACD=90°，
∵∠BAC=60°，
∴∠ABD+∠ACD=90°−∠BAC=90°−60°=30°
故答案为： 30°．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知三角形的三边长分别为3，8，a．
(1)求a的取值范围；
(2)若a为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？
【答案】(1)5<a<11(2)17
【分析】此题考查了三角形三边关系的应用，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三
边，据此进行解答即可．
（1）根据三角形的三边关系即可得到答案；
（2）由（1）中求得的范围并根据a为偶数即可得到a的值，再根据三角形的周长最小即可求出答案．
【详解】（1）解：由题意可得，8−3<a<8+3
即5<a<11
则a的取值范围为5<a<11；
（2）由（1）得5<a<11
∵a为偶数
∴a为6，8，10
∵要组成三角形的周长最小，
∴a只能为6，
∴三角形的周长最小为3+6+8=17，
则三角形的周长最小为17
18．（6分）（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，CD是△ABC的高线，E为BC边上的一点，连接
AE交CD于点F，∠BCD=10°，∠AEB=75°．
(1)求∠BAE的度数；
(2)若AE平分∠BAC，求∠ACB的度数．
【答案】(1)25°
(2)50°
【分析】本题考查了三角形的高线和角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题关
键．
（1）由三角形高线可得∠CDB=90°，再利用三角形内角和定理，先求出∠B=80°，再求出
∠BAE=25°即可；（2）由角平分线的定义，得到∠BAC=50°，再利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）解：∵CD是△ABC的高线，
∴∠CDB=90°，
∵∠BCD=10°，
∴∠B=180°−∠CDB−∠BCD=80°，
∵∠AEB=75°，
∴∠BAE=180°−∠B−∠AEB=25°；
（2）解：∵AE平分∠BAC，∠BAE=25°，
∴∠BAC=2∠BAE=50°，
∵∠B=80°，
∴∠ACB=180°−∠B−∠BAC=50°．
19．（8分）（24-25八年级上·北京·期中）把三角形纸片A′BC沿DE折叠．
(1)如图1，点A′落在四边形BCDE内部点A处时，∠A与∠ADC、∠AEB之间有一种数量关系始终保持
不变，写出这种关系并证明；
(2)如图2，点A′落在四边形BCDE外部点A处时，直接写出∠A与∠ADC、∠AEB之间的数量关系．
【答案】(1)2∠A=∠ADC+∠AEB，见解析
(2)2∠A=∠AEB−∠ADC
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质．
（1）由折叠得到∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，根据平角得到∠AEB+2∠AED=180°，
∠ADC+2∠ADE=180°，再结合三角形内角和得到∠A+∠AED+∠ADE=180°，即可解决问题；
（2）由折叠得到∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，根据平角得到∠AEB+2∠AED=180°，
2∠ADE−∠ADC=180°，再结合三角形内角和得到∠A+∠AED+∠ADE=180°，即可解决问题．
【详解】（1）解：2∠A=∠ADC+∠AEB．
证明：∵三角形纸片A′BC沿DE折叠得到△ADE，
∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，
∴∠AEB+2∠AED=180°，∠ADC+2∠ADE=180°，
又∵∠A+∠AED+∠ADE=180°，∴∠AEB+2∠AED+∠ADC+2∠ADE=360°=2(∠A+∠AED+∠ADE)，
∴2∠A=∠ADC+∠AEB；
（2）解：∵三角形纸片A′BC沿DE折叠得到△ADE，
∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，
∴∠AEB+2∠AED=180°，2∠ADE−∠ADC=180°，
又∵∠A+∠AED+∠ADE=180°，
∴∠AEB+2∠AED+2∠ADE−∠ADC=360°=2(∠A+∠AED+∠ADE)，
∴2∠A=∠AEB−∠ADC．
20．（8分）（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
(1)已知AB−AC=5cm，△ABD的周长为25cm，求△ADC的周长；
(2)在△AEB中作AE边上的高；
(3)若△ABC的面积为40，AE=5，则点B到AE边的距离为多少？
【答案】(1)20cm
(2)见解析
(3)4
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的
面积相等，要熟练掌握．
（1）根据中线的定义可得BD=CD，然后表示出△ABD的周长，再把AB用AC表示，BD用CD表示，整
理即可得解；
（2）根据三角形高线的定义作出即可；
（3）根据等底等高的三角形的面积相等用△ABC的面积表示出△ABE的面积，再利用三角形的面积公式
列式计算即可得解．
【详解】（1）解：∵ AD为△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵ AB−AC=5cm，
∴AB=AC+5，
∴ △ABD的周长=BD+AD+AB=BD+AD+AC+5=25cm，∴BD+AD+AC=20cm，
∴ △ADC的周长=CD+AD+AC=BD+AD+AC=20cm；
（2）解：如图，BF即为△ABE中AE边上的高，
（3）解：设点B到AE边的距离为ℎ
∵ AD为△ABC的中线， BE为△ABD的中线，
1 1
∴S = S ，S = S
△ABD 2 △ABC △ABE 2 △ABD
1 1
∴ S = S = ×40=10，
△ABE 4 △ABC 4
1 1
∴ AE⋅ℎ = ×5ℎ =10，
2 2
∴ℎ =4，
∴点B到AE边的距离为4．
21．（10分）（22-23八年级下·福建泉州·期中）如图，四边形ABCD中，∠C=90°，BE平分∠ABC，
BE，CD交于G点．
(1)如图1，若∠A=90°，
①求证：∠EDG=∠ABC；
②作DF平分∠ADC，如图2，求证：DF∥BG．
(2)如图3，作DF平分∠ADC，在锐角∠BAD内部作射线AN，交DF于N，若∠∧−∠GBC的大小为
45°，试说明：AN平分∠BAD．
【答案】(1)①见解析 ②见解析(2)见解析
【分析】（1）①根据多边形内角和可证得∠ABC+∠ADC=180°，结合∠EDG+∠ADC=180°，即
1 1
可得到结论．②根据角平分线的定义可求得∠2+∠4= ∠ABC+ ∠ADC=90°，结合
2 2
∠DFC+∠4=90°，可证得∠2=∠DFC，即可得到结论．
（2）延长AB，DF交于点M，可先证得∠DAN=180°−∠∧−∠3=135°−∠2−∠3，结合
∠BFM=∠CFD=90°−∠4=90°−∠3，∠AMN=∠ABC−∠BFM=2∠2−90°+∠3，可求得
∠BAN=∠∧−∠AMN=135°−∠2−∠3．
【详解】（1）①∵∠C＝90°，∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°−∠A−∠C=360°−90°−90°=180°．
∵∠EDG+∠ADC=180°，
∴∠EDG=∠ABC．
②∵BE平分∠ABC，
1
∴∠1=∠2= ∠ABC．
2
∵DF平分∠ADC，
1
∴∠3=∠4= ∠ADC．
2
1 1 1
∴∠2+∠4= ∠ABC+ ∠ADC= (∠ABC+∠ADC)=90°．
2 2 2
∵∠C=90°，
∴∠DFC+∠4=90°．
∴∠2=∠DFC．
∴DF∥BG．
（2）延长AB，DF交于点M，如图所示：
∵∠∧−∠GBC=45°，∴∠∧=∠2+45°．
∴∠DAN=180°−∠∧−∠3=180°−∠2−45°−∠3=135°−∠2−∠3．
∵BE平分∠ABC，
1
∴∠1=∠2= ∠ABC．
2
∵DF平分∠ADC，
1
∴∠3=∠4= ∠ADC．
2
∵∠BFM=∠CFD=90°−∠4=90°−∠3，
∴∠AMN=∠ABC−∠BFM=2∠2−90°+∠3．
∴∠BAN=∠∧−∠AMN=∠2+45°−2∠2+90°−∠3=135°−∠2−∠3．
∴∠DAN=∠BAN．
∴AN平分∠BAD．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义、三角形的外角的性质、多边形内角和、平行线的判定，能根据题
意构建辅助线是解题的关键．
22．（10分）（23-24八年级上·吉林白山·期末）如图，等边三角形纸片ABC中，点D在边AB（不包含端
点A，B）上运动，连接CD，将∠ADC对折，点A落在直线CD上的点A′处，得到折痕DE；将∠BDC
对折，点B落在直线CD上的点B′处，得到折痕DF．
(1)若∠ADC=70°，求∠BDF的度数；
(2)试问：∠EDF的大小是否会随着点D的运动而变化？若不变，求出∠EDF的度数；若变化，请说明理
由．
【答案】(1)∠BDF=55°
(2)不变， ∠EDF=90°
【分析】本题主要考查了三角形的折叠问题，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，数形结合．
（1）根据折叠得出∠ADE=∠A′DE，∠BDF=∠B′DF，根据∠ADC=70°，求出
∠BDC=180°−∠ADC=180°−70°=110°，即可求出结果；1 1
（2）根据∠A′DE= ∠ADC，∠B′DF= ∠BDC，得出
2 2
1 1
∠EDF= (∠ADC+∠BDC)= ×180°=90°，即可得出结论．
2 2
【详解】（1）解：∵将∠ADC对折，得到折痕DE，
∴∠ADE=∠A′DE，
∵将∠BDC对折，得到折痕DF，
∴∠BDF=∠B′DF，
∵∠ADC=70°，
∴∠BDC=180°−∠ADC=180°−70°=110°，
1 1
∴∠BDF= ∠BDC= ×110°=55°．
2 2
（2）解：不变．理由如下：
1 1
∵∠ADC+∠BDC=180°，∠A′DE= ∠ADC，∠B′DF= ∠BDC，
2 2
1 1
∴∠A′DE+∠B′DF= ∠ADC+ ∠BDC，
2 2
1 1
即∠EDF= (∠ADC+∠BDC)= ×180°=90°．
2 2
∴∠EDF的大小不随点D的运动而变化．
23．（12分）（24-25八年级下·山东聊城·期末）问题情境：综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如
图①，直线MN∥ PQ，直线l分别交MN，PQ于点A、B，∠ABQ的平分线交MN于点C．试判断
∠ABC和∠ACB的数量关系，并说明理由．
(1)数学思考：请你解答上边的问题；
(2)深入探究：有点D是射线AC上不与A、C重合的一点，过点D作DE∥AB交PQ于点E，连接CE．
①当点D在点C右侧时（如图②），为探究∠ABC、∠CED与∠BCE之间的数量关系，小飞过点C作
CG∥AB，请根据他的思路，写出∠ABC、∠CED与∠BCE之间的数量关系，并说明理由；1
②当∠CED= ∠ABC时，∠ADE的平分线DF交PQ于点F，DF所在直线与直线CE交于点O，若
3
∠ABQ=α(0∘<α<180∘)，试求∠EOF的度数．
【答案】(1)∠ABC=∠ACB，理由见解析
1 2
(2)①∠CED+∠ABC=∠BCE，理由见解析；② α或 α
3 3
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，准确识图，灵活运用相关
知识是解题的关键；
对于（1），根据平行线的性质得∠ACB=∠CBQ，再根据角平分线的定义得∠ABC=∠BCQ，然后根
据等量代换得出答案；
对于（2），分两种情况：当点D在点C右侧时，先根据平行线的性质得∠ADE=∠ABQ=α，进而得出
1 1
∠EDF= α，及∠CED= α，然后根据三角形外角的性质得∠EOF=∠EDF+∠CED，可得答案；
2 6
当点D在点C和A之间时，仿照上述解答过程，最后根据∠EOF=∠EDF−∠CED解答即可．
【详解】（1）解：∠ABC=∠ACB．
理由：因为MN∥PQ，
所以∠ACB=∠CBQ.
因为BC平分∠ABQ，
所以∠ABC=∠BCQ，
所以∠ABC=∠ACB；
（2）①解：∠CED+∠ABC=∠BCE．
理由：因为CG∥AB，DE∥AB，
所以CG∥DE，
所以∠ABC=∠BCG，∠CED=∠ECG，
所以∠CED+∠ABC=∠BCE．
②解：当点D在点C右侧时因为MN∥PQ、DE∥AB，
所以∠ABQ+∠BAD=180∘，∠ADE+∠BAD=180∘，
所以∠ADE=∠ABQ=α.因为DF平分∠ADE，
1 1
所以∠EDF= ∠ADE= α.
2 2
1 1 1 1
因为∠CED= ∠ABC= × ∠ABQ= α，
3 3 2 6
1 1 2
所以∠EOF=∠EDF+∠CED= α+ α= α；
2 6 3
当点D在点C和A之间时，
因为MN∥PQ、DE∥AB，
所以∠ABQ+∠BAD=180∘，∠ADE+∠BAD=180∘
所以∠ADE=∠ABQ=α.
因为DF平分∠ADE，
1 1
所以∠EDF= ∠ADE= α，
2 2
1 1
因为∠CED= ∠ABC= α，
3 6
1
所以∠EOF=∠EDF−∠CED= α．
3
24．（12分）（24-25八年级下·河北承德·期末）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（Thales，公元前6
世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于180°”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有
给出严格的证明．之后欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同
学们帮助欧几里得将证明过程补充完整．
(1)已知：如图1，在△ABC中，求证：∠A+∠B+∠BCA=180°证明：延长线段BC至点F，并过点C作CE∥AB．
∵CE∥AB（已作），
∴ =∠1（两直线平行，内错角相等）
=∠2（两直线平行，同位角相等）
∵∠BCF=180°（平角的定义），
∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．
同时发现，外角∠ACF=∠1+∠2= ．
于是得到性质：三角形的一个外角等于和 的两个内角的和．
【实践运用】
(2)如图2，线段AD、BC相交于点O，连接AB、CD，试证明：∠A+∠B=∠C+∠D．
【拓展提升】
(3)如图3，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=34°,∠ADC=18°，则∠P的度数为
．
(4)如图4，是一个不规则的五角星，则图中五个角的度数和为 ．
【答案】(1) ∠A ∠B ∠A+∠B 它不相邻
(2)见解析
(3)26°
(4)180°
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和的应用，角平分线性质，借助三角形的内角和由第二问
得到∠A+∠B=∠C+∠D是解决本题的关键．
（1）根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”和“两直线平行，同位角相等”即可证明．（2）根据三角形的内角和为180°将角度进行等量代换证明即可．
（3）由（2）中的结论可得34°+∠BAP=∠P+∠BCP，与∠P+∠PAD=18°+∠PCD，再结合角分
线的性质等量代换求解即可．
（4）由（2）中结论可得∠B+∠E=∠OCD+∠ODC，再由三角形内角和为180°即可求解．
【详解】（1）证明：延长线段BC至点F，并过点C作CE∥AB．
∵CE∥AB（已作），
∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等），
∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）
∵∠BCF=180°（平角的定义），
∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．
同时发现，外角∠ACF=∠1+∠2=∠A+∠B．
于是得到性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
故答案为：∠A；∠B；∠A+∠B；它不相邻．
（2）证明：在△ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°，
在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，
又∵∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D．
（3）解：设AD与CP交点为点E，如图，
∵∠ABC=34°,∠ADC=18°，
由（2）中的结论可知，
在△ABO和△CPO中，34°+∠BAP=∠P+∠BCP，
在△APE和△CDE中，∠P+∠PAD=18°+∠PCD，
∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠BAP=∠PAD，∠PCD=∠BCP，
∴34°+∠BAP=∠P+∠PCD，∠P+∠BAP=18°+∠PCD，
两式相减可得，34°−∠P=∠P−18°，
18°+34°
∴解得∠P= =26°．
2
故答案为：26°．
（4）解：设BD与CE相交于点O，连接CD，如图，
由（2）中结论可知，在△BEO和△CDO中，∠B+∠E=∠OCD+∠ODC，
在△ACD中，∠A+∠ACE+∠ADB+∠OCD+∠ODC=180°，
即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=180°，
∴图中五个角的度数和为180°．
故答案为：180°．
