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重难点突破07 不等式恒成立问题
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1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数
后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论
法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， ．
3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ， ， ， ．
（1）若 ， ，有 成立，则 ；
（2）若 ， ，有 成立，则 ；
（3）若 ， ，有 成立，则 ；
（4）若 ， ，有 成立，则 的值域是 的值域的子集．
4、法则1若函数 和 满足下列条件：
（1） 及 ；
（2）在点 的去心邻域 内， 与 可导且 ；
（3） ，
那么 = ．法则2若函数 和 满足下列条件：（1） 及 ；
（2） ， 和 在 与 上可导，且 ；
（3） ，
那么 = ．
法则3若函数 和 满足下列条件：
（1） 及 ；
（2）在点 的去心邻域 内， 与 可导且 ；
（3） ，
那么 = ．
注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
（1）将上面公式中的 ， ， ， 洛必达法则也成立．
（2）洛必达法则可处理 ， ， ， ， ， ， 型．
（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足 ， ， ， ， ， ， 型定式，否
则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，
应从另外途径求极限．
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．
，如满足条件，可继续使用洛必达法则．
题型一：直接法
例1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)已知函数 在 处的切线与圆 相切，求实数 的值.
(2)已知 时， 恒成立，求实数 的取值范围.例2．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数 ，其中 ．
(1)讨论方程 实数解的个数；
(2)当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
例3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围．
变式1．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数 ， ．
(1)若曲线 在 处的切线与曲线 相交于不同的两点 ， ，曲线
在A，B点处的切线交于点 ，求 的值；
(2)当曲线 在 处的切线与曲线 相切时，若 ，
恒成立，求a的取值范围．
题型二：端点恒成立
例4．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设函数
．
(1)求 在 处的切线方程；(2)若任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
例5．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)若函数 在 处取得极值，求实数 的值；
(3)若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围．
例6．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知函数 与 分别是 与
的导函数.
(1)证明:当 时,方程 在 上有且仅有一个实数根;
(2)若对任意的 ,不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
变式2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数 ，函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)记 ，对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
变式3．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数 ．
(1)讨论 在 上的单调性；(2)若对于任意 ，若函数 恒成立，求实数k的取值范围．
变式4．（2023·四川泸州·统考三模）已知函数 ．
(1)若 单调递增，求a的取值范围；
(2)若 ， ，求a的取值范围．
题型三：端点不成立
例7．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论函数 的极值；
(2)当 时，不等式 恒成立，求a的取值范围．
例8．（2023·江苏南京·高二南京市中华中学校考期末）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
例9．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若对于任意的 ， 恒成立，求实数 的最小值．变式5．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若 ，求函数 的最小值及取得最小值时的 值；
(2)若函数 对 恒成立，求实数a的取值范围．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， 恒成立，求实数a的取值范围．
题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离
例10．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知函数 .
(1)若 的极大值为3，求实数 的值；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
例11．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）设函数 ， 且 ．
(1)求函数 的单调性；
(2)若 恒成立，求实数a的取值范围．例12．（2023·河北·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若存在实数 ，使得关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
变式7．（2023·福建三明·高三统考期末）已知函数 ， .
(1)求证： 在 上单调递增；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围.
变式8．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数 ， 为 的导
函数．
(1)讨论 的极值；
(2)当 时， ，求k的取值范围．
变式9．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知 ， .
(1)求 的极值；
(2)若 ，求实数k的取值范围.
变式10．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知函数 .(1)求函数 的极值点个数；
(2)若不等式 在 上恒成立，求 可取的最大整数值.
变式11．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
题型五：洛必达法则
例13．已知函数 在 处取得极值，且曲线 在点 处的
切线与直线 垂直.
(1)求实数 的值；
(2)若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
例14．设函数 .当 时， ，求 的取值范围.
例15．设函数 ．如果对任何 ，都有 ，求 的取值范围．题型六：同构法
例16．（2023·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，判断 的零点个数；
(2)当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
例17．（2023·湖南常德·常德市一中校考一模）已知函数 ， .
(1)若 在点 处的切线与 在点 处的切线互相平行，求实数a的值；
(2)若对 ， 恒成立，求实数a的取值范围.
例18．（2023·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考阶段练习）已知e是自然对数的底数．若
， 成立，则实数m的最小值是________．
变式12．（2023·广西柳州·统考三模）已知 ， （ ），若 在
上恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式13．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数 ，其中 .
(1)讨论函数 极值点的个数；
(2)对任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围.变式14．（2023·海南·校考模拟预测）已知 ，函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围.
变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 ，求a的取值范围．
变式16．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数 ，其中 ， .
(1)当 时，求函数 的零点；
(2)若函数 恒成立，求 的取值范围.
变式17．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，求实数a的取值范围.题型七：必要性探路
例19．（2023·江西九江·统考三模）已知函数
(1)讨论f(x)的单调性：
(2)当 时，若 ， ，求实数m的取值范围．
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)若函数 在 上有且仅有2个零点，求a的取值范围；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
例21．（2023·江西九江·统考三模）已知函数 ）在 处的切线斜率为 .
(1)求a的值；
(2)若 ， ，求实数m的取值范围.
变式18．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 在区间 上的单调性；
(2)若 ，求 的值．
变式19．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）已知函数 ．(1)若 ， ，求证： 有且仅有一个零点；
(2)若对任意 ， 恒成立，求实数a的取值范围．
题型八：max，min函数问题
例22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，其中 .
(1)证明：当 时， ；当 时， ；
(2)用 表示 中的最大值，记 .是否存在实数a，对任意的 ，
恒成立.若存在，求出 ，若不存在，请说明理由.
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，其中 .
（1）证明：当 时， ；当 时， ；
（2）用 表示m，n中的最大值，记 .是否存在实数a，对任意的 ，
恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，
其中 .
（1）证明：当 时， ；当 时， ；
（2）用 表示m，n中的最大值，记 .是否存在实数a，对任意的 ，
恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.变式20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， .
（1）证明 恒成立；
（2）用 表示m，n中的最大值.已知函数 ，记函数 ，
若函数 在 上恰有2个零点，求实数a的取值范围.
变式21．（2023·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知 是自然对数的底数，函数 ，直
线 为曲线 的切线， .
(1)求 的值；
(2)①判断 的零点个数；
②定义 函数 在 上单调递增.求实数
的取值范围.
变式22．（2023·全国·高三专题练习）设函数 .
（1）若 ，证明： 在 上存在唯一零点；
（2）设函数 ，（ 表示 中的较小值），若 ，求 的取值范围.
题型九：构造函数技巧
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，且关于 的不等式 在 上恒成立，其中 是自然对数的底数，求实数 的取值范围．
例26．（2023·江苏·统考高考真题）已知关于x的函数 与 在区间D
上恒有 ．
（1）若 ，求h(x)的表达式；
（2）若 ，求k的取值范围；
（3）若 求证：
．
例27．（2023·湖北·统考模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
变式23．（2023·江苏南京·高二南京市江宁高级中学校联考期末）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调递增区间；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
变式24．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)判断 的导函数 的零点个数；
(2)若 ，求a的取值范围．变式25．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知函数 ，
（e为自然对数的底数）．
(1)若函数 的最大值为0，求a的值；
(2)若对于任意正数x， 恒成立，求实数a的取值范围．
变式26．（2023·重庆万州·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的极值；
(2)当 时，关于x的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
变式27．（2023·四川·校联考模拟预测）已知函数 的导函数为 .
(1)当 时，求函数 的极值点的个数；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围.
变式28．（2023·福建漳州·统考模拟预测）已知函数 与 的图象有公切线
.
(1)求实数 和 的值；
(2)若 ，且 ，求实数 的最大值.题型十：双变量最值问题
例28．（2023·江苏·统考模拟预测）已知 ， ，对于 ， 恒
成立，则 的最小值为（ ）
A． B．－1 C． D．－2
例29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，其中 ．
（1）当 时，直线 与函数 的图象相切，求 的值；
（2）当 时，若对任意 ，都有 恒成立，求 的最小值．
例30．（2023·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）已知函数 ， ，其中
(1)若 ，且 的图象与 的图象相切，求 的值；
(2)若 对任意的 恒成立，求 的最大值.
变式29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中
.( 为自然对数的底数)
（1）求 在点 处的切线方程；
（2）若 时， 在 上恒成立.当 取得最大值时，求 的最小值.
变式30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=aex﹣x，（1）求f(x)的单调区间，
（2）若关于x不等式aex≥x+b对任意 和正数b恒成立，求 的最小值.
变式31．（2023·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）给定实数 ，函数 ，
（其中 ， ．
(1)求经过点 的曲线 的切线的条数；
(2)若对 ，有 恒成立，求 的最小值．
变式32．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）设函数 ， .
(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)若 （其中 ）恒成立，求 的最小值 ，并求出 的最大值.
变式33．（2023·高二单元测试）若对于任意正实数 ，都有 ( 为自然对数的底数)成立，
则 的最小值是________.
变式34．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）设 ，若关于 的不等式
在 上恒成立，则 的最小值是___________.
