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专题 13.2 三角形的边
1. 掌握三角形的三边关系，能够判断三边能否构成三角形；
2. 三角形三边关系的应用，能够熟练的求第三边的值或范围，能够利用三角形的三边
教学目标
关系求字母的范围，化简绝对值等。
3. 理解三角形的稳定性，并能够判断生活中的实际应用例子及依据。
1. 重点
（1）三角形的三边关系；
（2）三角形的稳定性；
教学重难点 2. 难点
（1）利用三角形的三边关系求字母的范围；
（2）利用三角形的三边关系化简绝对值；
（3）利用三角形的三边关系对等腰三角形分类讨论。知识点01 三角形的三边关系
1．三角形的三边关系：
如图，三角形的三边分别是a，b，c（a＜b＜c）由两点之间线段最短可知：
三 角 形 的 任 意 两 边 之 和 第 三 边 。 即 有
a+b>c，a+c>b，b+c>a
任意两边之差 第三边。即有c−b<a，b−a<c，c−a<b。
这是三角形的限定条件。解题时常用两边之差小于第三边小于两边之和建立不等式。
【即学即练1】
1．以下列线段为边能组成三角形的是（ ）
A．2cm，2cm，6cm B．3cm，6cm，9cm
C．4cm，6cm，1cm D．5cm，6cm，4cm
【即学即练2】
2．如果△ABC的两边长分别为5和7，那么第三边x的取值范围是 ．
【即学即练3】
3．有一个三角形的两边长是3和5，则第三边可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【即学即练4】
4．三角形的三边分别为3、4﹣2a、5，则a的取值范围是（ ）
A．2＜a＜8 B．0＜a＜1 C．a＜1 D．﹣2＜a＜1
【即学即练5】
5．等腰三角形的一边长是2，另一边长是5，则该等腰三角形的周长是 ．
【即学即练6】
6．已知a，b、c是△ABC的三条边长，化简|a﹣b﹣c|﹣|c﹣a+b|的结果为（ ）
A．2a﹣2b﹣2c B．2a+2b C．﹣2c D．0
知识点02 三角形的稳定性
1. 三角形的稳定性：
三角形的三条边确定，则这个三角形的 形状 和 大小 就会确定。这就是三角形的稳定性。三角
形的稳定性是三角形独有的特性。
【即学即练1】
7．下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．等腰直角三角形
C．长方形 D．平行四边形【即学即练2】
8．如图，利用三角支架可以固定平板电脑的位置，这样做的数学原理是（ ）
A．三角形的内角和为180°
B．两点之间，线段最短
C．三角形具有稳定性
D．垂线段最短
题型01 判断三边能不能构成三角形
【典例1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．3，4，8 C．4，5，6 D．5，5，11
【变式1】以下列各组数为边，能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．4，3，8 C．7，7，16 D．5，7，7
【变式2】在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．3，6，7 C．4，5，9 D．6，6，11
题型02 求三角形的第三边的值或范围
【典例1】一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（ ）
A．1 B．2 C．6 D．9
【变式1】已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）
A．3cm B．5cm C．8cm D．13cm
【变式2】如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得PA＝20米，PB＝17米，
那么A，B间的距离不可能是（ ）
A．40米 B．32米 C．13米 D．25米
【变式3】若实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，且a，b满足❑√a−4+|b−8|=0，则△ABC的第三
条边c的取值范围是（ ）
A．c＞4 B．c＜12 C．4＜c＜12 D．4≤c≤12
【变式4】在△ABC中，若AB＝2，AC＝4，且BC的长为整数，则△ABC的周长可能是（ ）
A．8 B．11 C．12 D．15
题型03 根据三角形的三边关系求字母的取值范围【典例1】若三角形的三边长分别为3，1+2m，8，则m的取值范围是 ．
【变式1】若三角形的三边长分别为x、2x、9，则x的取值范围是（ ）
A．3＜x＜9 B．3＜x＜15 C．9＜x＜15 D．x＞15
【变式2】三角形的三条边分别为a﹣1，a，a+1，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＞2 C．1＜a＜3 D．a＞3
【变式3】已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为﹣1，1，x，7，点C在线段BD上且不与端点重
合，若线段AB，BC，CD能围成三角形，则x的取值范围是（ ）
A．1＜x＜7 B．2＜x＜6 C．3＜x＜5 D．3＜x＜4
题型04 三角形的三边关系与等腰三角形
【典例1】已知❑√a−6+|b−3|=0，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ．
【变式1】用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为5cm，则另两边的长度分别
是 cm．
【变式2】若△ABC为等腰三角形，其中b，c满足|c﹣5|+❑√b−2=0，则△ABC的周长为（ ）
A．9 B．10 C．9或12 D．12
【变式3】工人师傅准备把一根长为12dm的木条截成三段，围成一个等腰三角形支架，若第一段木条的
长为3dm，则第二段木条的长是（ ）
A．3.5dm B．6dm C．5dm D．4.5dm
题型05 利用三角形的三边关系化简绝对值
【典例1】已知a，b，c是△ABC三边的长，化简|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|＝ ．
【变式1】a，b，c为△ABC的三边，化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，结果是（ ）
A．0 B．2a+2b+2c C．4a D．2b﹣2c
【变式2】已知△ABC的三边长分别为3、5、a，化简|a﹣9|+|a﹣2|＝ ．
【变式3】已知△ABC的三边长分别为a，b，c．
（1）化简：|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|．
（2）若a＝2，b＝5，且三角形的周长为偶数，求c的值．
题型04 三角形的稳定性的
【典例1】下列图形具有稳定性的是（ ）
A． B．C． D．
【变式 1】小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请在下列选项中选择一个最好的加固方案
（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】自行车支架一般都会采用如图△ABC的设计．这种方法应用的几何原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
【变式3】大多斜拉式大桥采用三角形盖梁支架，这样做的原理是（ ）
A．三角形的稳定性
B．三角形任意两边之和大于第三边
C．垂线段最短
D．三角形任意两边之差小于第三边
1．下列哪组长度的三条线段能组成三角形？（ ）
A．1cm、2cm、4cm B．3cm、4cm、7cm
C．2cm、2cm、1cm D．5cm、3cm、2cm
2．如图，木工师傅制作门框时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的几何原理是
（ ）A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
3．已知三角形的两边长满足（b﹣6）2+|a﹣3|＝0，那么第三边的长不可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图是折叠凳及其侧面示意图，若AC＝BC＝18cm，则折叠凳的宽AB可能为（ ）
A．70cm B．55cm C．40cm D．25cm
5．用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，若一边长是4cm，则腰长为（ ）
A．4cm B．7cm C．9cm D．10cm
6．若△ABC的周长为24，则AB的长可能为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
7．三角形的三边的长分别为a，b，c，其中a＞b，且满足a﹣b＝2c﹣6，a+b＝3c﹣6，若c为整数，则c
的长是（ ）
A．3或4 B．4或5 C．4或6 D．5或6
8．若三角形的三边长分别是3，4，2x﹣1，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜4 B．1＜x＜4 C．0＜x＜3 D．1＜x＜3
9．若a，b，c是△ABC三边的长，化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣a﹣b|＝（ ）
A．a+b﹣c B．b﹣a+c C．a﹣b+c D．2a﹣b+c
10．如图，嘉嘉将一根笔直的铁丝AB放置在数轴上，点A，B对应的数分别为﹣5，5，从点C，D两处将
铁丝弯曲两头对接，围成一个三角形，其中点C对应的数为﹣2，则点D在数轴上对应的数可能为（
）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要再钉 根木条．12．已知三角形的三边长分别为3，2a﹣1，8．则正整数a的值可以是 ．
13．如果三角形两条边分别为3和5，则周长L的取值范围是 ．
14．如图，线段AB和线段AC是三角形ABC的两条边，点D在线段AB上，点E在线段AC上，将三角形
ABC沿DE所在直线裁去一个角得到四边形DBCE，则四边形DBCE的周长 （填“大于”，
“等于”或“小于”）三角形ABC的周长，理由是 ．
15．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均
衡三角形”，例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为7﹣5＞5﹣4，所以这个三角形为“不均衡三
角形”．
（1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）．
①13cm，18cm，9cm；②9cm，8cm，6cm．
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x﹣6，直接写出x的整数值为 ．
16．如图，已知P是△ABC内一点，连结AP，PB，PC，
1
求证： （AB+AC+BC）＜PA+PB+PC＜AB+AC+BC．
2
17．已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝4，b＝6．
（1）求c的取值范围；
（2）若c的长为小于6的偶数，求△ABC的周长．18．某市木材市场上的木棒规格与价格如下表：
规格 1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m
价 10 16 22 28 34 40 46
格/（元/
根）
小明的爷爷要做一个三角形的支架用来养兔子，在木材市场上已经购买了两根长度分别为 3m和6m的
木棒，还需要购买一根．
（1）有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？
（2）在能做成三角形支架的情况下，要求做成的三角形支架的周长为 4的倍数，则小明的爷爷做三角
形支架，买木棒一共花了多少元？
19．已知a，b，c是△ABC的三边．
（1）化简|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|；
{a+2b=12)
（2）若a和b满足方程组 ，且c为偶数，求这个三角形的周长．
2a−b=−120．【问题探究】
数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系．
小明进行了以下探究；
已知，如图，△ABC中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：AB+AC＞BC，AB+BC＞
AC，BC+AC＞AB，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边．
小红在小明的基础上进行了补充：
若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给
定的三条线段能首尾相接构成三角形．
【问题解决】
（1）三角形的三边长分别为x+4，x﹣1，x﹣2，求x的取值范围；
（2）一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值；
（3）在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，已知这个三角形的周长不大于30，求AB的长度范围．
