初中数学同步8年级上册专题11.2与三角形有关的角（40页）（教师版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_老课标资料_讲义

专题 11.2 与三角形有关的角 目标导航 1、会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°. 2、会运用三角形内角和定理进行计算. 3、理解并掌握三角形的外角的概念． 4、会利用三角形的外角性质、直角三角形的性质解决问题. 知识精讲 知识点01 三角形的内角和定理 1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于 0° 且小于180°． 2)三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 3)三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合 成一个平角．在转化中借助平行线． 【微点拨】 三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形 中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 【知识拓展1】运用三角形的内角和定理解决角度问题 例1．(2022·河南濮阳·八年级期末)有一块直角三角板 放置在 上，三角板 的两条直角边 ， 恰好分别经过点B、C，在 中， ，则 的度数是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先在△DBC中，根据三角形内角和定理可得到∠DBC与∠DCB的和，再在△ABC中利用三角形内角和定理计算 的度数即可． 【详解】在△DBC中，∵ ，∴ ， ∵ ，∴在△ABC中， 【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°，熟记三角形内角和是解题的关键． 【即学即练】 1．(2022春•顺德区期中)如图，在△ABC中，BO，CO是△ABC的内角平分线且BO，CO相交于点O． (1)若∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，求∠BOC的度数；(2)若∠A＝60°，求∠BOC的度数； (3)请你直接写出∠A与∠BOC满足的数量关系式，不需要说明理由． 【分析】(1)由角平分线的定义可得∠CBO＝40°，∠BCO＝20°，由三角形的内角和定理即可求解； (2)由三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°，再由角平分线的定义得∠CBO ∠ABC，∠BCO ∠ACB，从而可求得∠CBO+∠BCO＝60°，即可求∠BOC的度数； (3)仿照(2)的过程进行求解即可． 【解答】解：(1)∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠ACB＝80°，∠ABC＝40°， ∴∠CBO ∠ABC＝20°，∠BCO ∠ACB＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝120°； (2)∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠CBO ∠ABC，∠BCO ∠ACB， ∴∠CBO+∠BCO (∠ABC+∠ACB)＝60°，∴∠BOC＝180°﹣(∠CBO+∠BCO)＝120°； (3)由题意得：∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠CBO ∠ABC，∠BCO ∠ACB， ∴∠CBO+∠BCO (∠ABC+∠ACB)＝90° ∠A， ∴∠BOC＝180°﹣(∠CBO+∠BCO)＝90° ∠A，即∠BOC＝90° ∠A． 【点评】本题主要考查三角形的内角和，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 【知识拓展2】三角形的内角和定理的证明 例2．(2022·浙江杭州·八年级期末)在探索并证明三角形的内角和定理“三角形三个内角的和等于180°”时， 圆圆同学添加的辅助线为“过点 作直线DE BC”．请写出“已知”、“求证”，并补全证明． 已知：DE BC．求证：三角形三个内角的和等于180°．证明：过点 作直线DE BC． 【答案】见解析 【分析】过点A作DE BC，依据平行线的性质，即可得到 ， ，再根据平角的定 义，即可得到三角形的内角和为180°． 【详解】解：已知： ， ， 是 的三个内角， 求证： ． 证明：如图，过点 作直线 ．∴ ， ，∵点D，A，E在同一条直线上，∴∠BAC+∠DAB+∠EAC＝180°， ∴ ，即三角形的内角和为180°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【即学即练】 1. (2021·吉林·舒兰市教师进修学校七年级期末)如图，在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角形内 角和是180°”的结论。小明通过这学期的学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要 通过证明来确认它的正确性． 受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：实验1的拼接方法直观上看，是把 和 移动 到 的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用平行线的性质 就可以解决问题了．小明的证明过程如下： 已知：如图， ．求证： ． 证明：延长 ，过点 作 ． ∴ ______(两直线平行，内错角相等)， (_______________)． ∵ (平角定义)， ∴ ．(1)请你补充完善小明方法1的证明过程； (2)请你参考小明解决问题的方法1的思路，自行画图标注好顶点字母，写出方法2证明该结论的过程． 【答案】(1) ；两直线平行，同位角相等；(2)见解析 【分析】(1)根据内错角以及平行线的性质回答即可；(2)过点 作 ，利用平行线的性质得到 ， ，进而利用平角的定义得到结论． 【详解】解：(1)根据题意 ， (两直线平行，同位角相等)， 故答案为： ；两直线平行，同位角相等； (2)证明：过点 作 ， ∴ ， (两直线平行，内错角相等) 又∵ (平角定义) ∴ ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明以及平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角 相等． 知识点02 三角形的外角性质 1)三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． 2)三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． 【微点拨】 1)若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． 2)探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 【知识拓展1】三角形的外角性质的相关计算 例1．(2022•灞桥区校级二模)三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角(钝角)是 ．【分析】由三角形的外角性质可得∠BAC+∠ABC＝100°，再由角平分线的定义得∠1 ∠BAC，∠3 ∠ABC，从而可求得∠1+∠3＝50°，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【解答】解：∵∠ACQ是△ABC的外角，且∠ACQ＝100°，∴∠BAC+∠ABC＝100°， ∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，∴∠1 ∠BAC，∠3 ∠ABC， ∴∠1+∠3 (∠BAC+∠ABC)＝50°，∴∠D＝180°﹣(∠1+∠3)＝130°．故答案为：130°． 【点评】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之 间的关系． 【即学即练1】 1．(2021•黄石港区期末)如图，△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC于点D，E在CA的延长线上，∠BAE ＝120°，∠C＝40°，求∠BDE的度数． 【分析】根据三角形外角的性质，由∠BAE＝120°，∠C＝40°，得∠ABC＝∠BAE﹣∠C＝80°．根据角平 分线的定义，由BD平分∠ABC，得∠CBD ．，从而推断出∠BDE＝∠C+∠CBD＝80°． 【解答】解：∵∠BAE＝120°，∠C＝40°，∴∠ABC＝∠BAE﹣∠C＝120°﹣40°＝80°．∵BD平分∠ABC，∴∠CBD ．∴∠BDE＝∠C+∠CBD＝40°+40°＝80°． 【点评】本题主要考查三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质、角平分线的定 义是解决本题的关键． 【知识拓展2】外角的性质定理的相关证明 例2．(2021·河北中考真题)定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图， 是 的外角． 求证： ． 下列说法正确的是( ) A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1用严谨的推理证明了该定理 C．证法2用特殊到一般法证明了该定理 D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和定理与平角的定义可判断A与B，利用理论与实践相结合可判断C与D．【详解】解：A. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故A不符合题意； B. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故选项B符合题意； C. 证法2用量角器度量两个内角和外角，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明了该定理缺少理 论证明过程，故选项C不符合题意；D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，验证的正确性更高， 就能证明该定理还需用理论证明，故选项D不符合题意．故选择： 【点睛】本题考查三角形外角的证明问题，命题的正确性需要严密推理证明，三角形外角分三种情形，锐 角、直角、和钝角，证明中应分类才严谨． 【即学即练2】 1．(2021·江苏南京·七年级期末)用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”如图，∠BAE、∠FBC、 ∠DCA是△ABC的三个外角． 求证∠BAE＋∠FBC＋∠DCA＝360 (1)第一种思路可以用下面的框图表示，请填写其中的空格： (2)根据第二种思路，完成证明．【答案】(1)① ；② ；③ ；④三角形的外角等于与它不相邻的两 个内角的和 (2)见解析 【分析】(1)根据三角形内角和以及外角性质填写即可； (2)过B作BM∥AC，即可利用平行线把三个外角集中到一点，最后利用周角360°证明． 【解析】 (1)①根据后面推论是根据三角形内角和，故答案为： ； 根据左右两边的等式可以推测是根据外角的性质填写， + ， 故答案为：② ；③ ，④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 (2)过B作BM∥AC，∴ , ∵ ∴∠BAE＋∠FBC＋∠DCA＝360° 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活 运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 知识点03 直角三角形的性质 1)有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． 2)直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．(即直角三角形的外心位于斜边的中点) 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 【知识拓展1】直角三角形的性质 例1．(2021秋•江油市期末) ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，则∠C为( ) A．30° B．△40° C．50° D．60° 【分析】根据三角形的面积和定理即可得到结论． 【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠C＝90°﹣30°＝60°，故选：D． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握三角形的内角和定理是解题 的关键． 【即学即练1】 1．(2022•阜宁县期中)直角三角形中，两个锐角度数之比为1：5，则较小的锐角度数为 ． 【分析】根据直角三角形的两锐角互余列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：设较小的一个锐角为x，则另一个锐角为5x， 则x+5x＝90°，解得：x＝15°，则较小的一个锐角为15°，故答案为：15°． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 2．(2022•古田县校级月考)如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延 长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝3△2°，∠ADB＝45°，则∠B＝ ． 【分析】取CF的中点T，连接DT，AT，证明AT⊥CF，AC＝AF，得到∠AFC＝45°，根据直角三角形的两 锐角互余计算即可． 【解答】解：取CF的中点T，连接DT，AT， ∵∠BAC＝90°，FD⊥BC，∴∠CAF＝∠CDF＝90°，∴AT＝DT CF， ∴TD＝TC＝TA，∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD， ∵∠ADB＝45°，∴∠ADT+∠TDC＝135°， ∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，∴AT⊥CF， ∵CT＝TF，∴AC＝AF，∴∠AFC＝45°，∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，∵∠BDF＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°，故答案为：77°． 【点评】本题考查的是直角三角形斜边中线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是正确添加常用辅助 线． 能力拓展 考法01 内角和与外角性质的综合问题(翻折、旋转问题) 【典例1】 【典例1】(2021·浙江杭州市·八年级期中)如图1，含 角的直角三角板 与含 角的 直角三角板的斜边在同一直线上，D为 的中点，将直角三角板 绕点D按逆时针方向旋转 ，在旋转过程中： (1)如图2，当 ________ 时， ；当 ______ 时， ； (2)如图③，当直角三角板 的边 、 分别交 、 的延长线于点M、N时；① 与 度数的和是否变化？若不变，求出 与 度数的和；若变化，请说明理由； ②若使得 ，求出 、 的度数，并直接写出此时 的度数； ③若使得 ，求 的度数范围． 【答案】(1)15°，105°；(2)①不变，60°；②∠1＝40°，∠2＝20°，∠α=85°；③69°≤α＜90° 【分析】(1)当 时， ，根据平行线的性质得 ，解得 ；当 时， ，根据平行线的性质得 ，解得 ； (2)①连接 ，如图3，在 中，由三角形内角和定理得 ，则 ，再在 中，利用三角形内角和定理得到 ，所以 ； ②根据 与 的关系列方程组 ，然后解方程组即可；再根据三角形内角和定理和对顶 角相等得到 ，即 ，解得 ； ③由 ， 可解得 ，由于 ，即 ， 则 ，所以 ，解得 ，利用直角三角板 的边 、 分别交 、 的延长线于点 、 得到 ，于是得到 ． 【详解】解：(1) ， 当 时， ， 而 ， ，解得 ； 当 时， ，此时 ， ，解得 ；故答案为 ， ； (2)① 与 度数的和不变．连接 ，如图3，在 中， ， ， 在 中， ， 即 ， ； ②根据题意得 ，解得 ； ，即 ， ； ③ ， ， ， ， ，即 ， ， ，解得 ， 的度数范围为 ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了解二元一次方程组．合理选择三 角形后利用三角形内角和定理列等量关系是解决问题的关键，同时运用不等式的性质解决∠α的度数范围． 变式1．(2022•大丰区校级月考)如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置， (1)如图1，如果∠A＝50°，求∠1+∠2的度数；(2)如图1，探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理 由；(3)拓展延伸：如图2，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，线段AB落在四边形CDEF内线段A′B′的位置， 猜想∠1、∠2、∠A、∠B之间的数量关系，并直接写出结果 ．【分析】(1)根据折叠的性质及三角形内角和定理求解即可； (2)根据折叠的性质及三角形内角和定理求解即可； (3)根据平角的定义以及四边形的内角和定理进行探讨． 【解答】(1)解：∵∠A＝50°，∴∠AED+∠ADE＝180°﹣50°＝130°， ∵∠AED＝∠A'ED，∠ADE＝∠A'DE， ∵∠1＝180°﹣∠AED﹣∠A′ED，∠2＝180°﹣∠ADE﹣∠A'DE， ∴∠1+∠2＝180°﹣2∠AED+(180°﹣2∠ADE)＝360°﹣2(∠AED+∠ADE)＝360°﹣2×130°＝100°； (2)解：∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A，设∠AED＝x，∠ADE＝y， ∠1+∠2＝180°﹣2x+(180°﹣2y)＝360°﹣2(x+y)＝360°﹣2(180°﹣∠A)＝2∠A； (3)由图形折叠的性质可知，∠1＝180°﹣2∠AEF，∠2＝180°﹣2∠BFE， 两式相加得，∠1+∠2＝360°﹣2(∠AEF+∠BFE) 即∠1+∠2＝360°﹣2(360°﹣∠A﹣∠B)，所以，∠1+∠2＝2(∠A+∠B)﹣360°． 故答案为：∠1+∠2＝2(∠A+∠B)﹣360°． 【点评】此题考查了三角形内角和定理，熟记三角形内角和定理是解题的关键 变式2．(2022春•秦淮区期中)如图，△ABC中∠A＝40°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻 折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，点C恰好落在BE上，此时∠CDB＝82°，则 原三角形的∠B的度数为( ) A．57° B．60° C．63° D．70° 【分析】由折叠可得，∠BDG＝∠BDC＝82°，∠ABE＝∠A'BE＝∠A'BG，依据∠BDG是△BDF是外角， 即可得到∠DBA＝∠BDG﹣∠A＝82°﹣40°＝42°，进而得到原三角形的∠B为63°． 【解答】解：如图， 由折叠可得，∠BDG＝∠BDC＝82°，∠ABE＝∠A'BE＝∠A'BG， ∵∠BDG是△BDA是外角，∴∠DBA＝∠BDG﹣∠A＝82°﹣40°＝42°，∴∠ABE＝∠ABE＝21°，∴∠ABG＝3×21°＝63°，即原三角形的∠B为63°，故选：C． 【点评】此题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现∠FBE ＝∠ABE＝∠ABG是解答此题的关键． 考法02 内角和与外角性质的综合问题(双角平分线问题) 【典例2】(2022·山西阳泉初二期中)佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验 发现，在一个三角形中，两个内角的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关. 测量数据如下表： 测量BOC和度数 测量工具 量角器 ABC与ACB的平分 示意图 线交于点O A BOC 第一次 60 120 第二次 90 135 测量数据 第三次 110 145 第四次 150 165 … … BOC A ABC ABC (1)通过以上测量数据，请你写出 与 的数量关系：______.(2)如图，在 中，若 与 ACD P P A 的平分线交于点 ，则 与 存在怎样的数量关系？请说明理由.1 1 BOC 90 A P A 【答案】(1) 2 ；(2) 2 ，理由见解析 BOC kAb 【分析】(1)根据表格中的数据，设 ，利用待定系数法进行计算，即可得到答案； 1 1 PBC  ABC PCD ACD (2)根据角平分线的性质，得到 2 ， 2 ，然后利用外角性质，以及角的 和差关系，即可得到结论成立.  1 k  60kb120  2 【解析】(1)根据题意，设 ，∴ ，解得： ，∴ BOC kAb 90kb135  b90 1 BOC 90 A 2 . 1 P A (2) 2 . 理由：∵ABC与ACD的平分线交于点P， 1 1 PBC  ABC PCD ACD ∴ 2 ， 2 . 1 1 1  ACD ABC  ACDABC ∵PCD PBCP，∴P PCDPBC 2 2 2 . 1 P A ∵ACD是ABC的外角，∴ACD AABC，∴ 2 . 【点睛】本题考查了角平分线定理，三角形内角和定理以及三角形外角性质，待定系数法求一次函数解析 式，解题的关键是掌握所学性质进行解题. 变式1. (2022•南海区八年级期末)阅读下面的材料，并解决问题．(1)已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3 的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1，∠O＝ ；如图2，∠O＝ ；如图3，∠O＝ ；如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交 于点O ，O ，连接O O ，则∠BO O ＝ ．(2)如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证： 1 2 1 2 2 1∠O＝90° ∠A．(3)如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O ，O ，若∠1 1 2 ＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数． 【分析】(1)由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是内角平分线或外角平分 线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案； (2)由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是角平分线，利用角平分线的定义 及三角形内角和定理可证得结论；(3)先分别求出∠ABC与∠ACB的度数，即可求得∠A的度数． 【解答】解；(1)如图1， ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∴∠OBC ∠ABC，∠OCB ∠ACB ∴∠OBC+∠OCB (∠ABC+∠ACB) (180°﹣∠BAC) (180°﹣60°)＝60° ∴∠O＝180°﹣(∠OBC+∠OCB)＝120°； 如图2，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD ∴∠OBC ∠ABC，∠OCD ∠ACD∵∠ACD＝∠ABC+∠A ∴∠OCD (∠ABC+∠A) ∵∠OCD＝∠OBC+∠O ∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC ∠ABC ∠A ∠ABC ∠A＝30° 如图3，∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD∴∠OBC ∠EBC，∠OCB ∠BCD ∴∠OBC+∠OCB (∠EBC+∠BCD) (∠A+∠ACB+∠BCD) (∠A+180°) (60°+180°)＝120° ∴∠O ＝180°﹣(∠OBC+∠OCB)＝60° 如图4，∵∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O ，O 1 2 ∴∠O BC ∠ABC，∠O CB ∠ACB，O B平分∠O BC，O C平分∠O CB，O O 平分BO C 2 2 1 2 1 2 2 1 2 ∴∠O BC+∠O CB (∠ABC+∠ACB) (180°﹣∠BAC) (180°﹣60°)＝80° 2 2 ∴∠BO C＝180°﹣(∠O BC+∠O CB)＝100°∴∠BO O ∠BO C＝50° 2 2 2 2 1 2 故答案为：120°，30°，60°，50°； (2)证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC ∠ABC，∠OCB ∠ACB， ∠O＝180°﹣(∠OBC+∠OCB)＝180° (∠ABC+∠ACB)＝180° (180°﹣∠A)＝90° ∠A． (3)∵∠O BO ＝∠2﹣∠1＝20°∴∠ABC＝3∠O BO ＝60°，∠O BC＝∠O BO ＝20° 2 1 2 1 1 2 1 ∴∠BCO ＝180°﹣20°﹣135°＝25°∴∠ACB＝2∠BCO ＝50° 2 2 ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70° 或由题意，设∠ABO ＝∠O BO ＝∠O BC＝α，∠ACO ＝∠BCO ＝β， 2 2 1 1 2 2 ∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°∴α＝20°，β＝25° ∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°，∴∠A＝70°． 【点评】本题考查了利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进行角的计算或证明，熟练掌握相关性质定理及其应用，是解题的关键． MON 60 变式2．(2021·镇江市外国语学校八年级月考)如图1，已知 ，A、B两点同时从点O出发， ON OM ABO BC 点A沿射线 运动，点B沿射线 运动．(1)如图2，点C为 三条内角平分线交点，连接 、 AC ACB ，在点A、B的运动过程中， 的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请 OC ABM AB 说明理由；(2)如图3，在(1)的条件下，连接 并延长，与 的角平分线交于点P，与 交于点 P BAO BCP BAO Q．① 与 的数量关系为__．②在 中，如果有一个角是另一个角的2倍，求 的度 数． BAO2P 90 60 【答案】(1)不变，120°；(2)① ；② 或 【分析】(1)由CBACAB的和不变可知ACB度数不变； (2)①利用三角形外角的性质和角平分线的定义，分别用∠BAO和∠P表示出∠MBP，据此可得结果； OBA m m BCP ②设 为 度，可用 表示 三个内角，分类讨论可得答案． 【详解】解：(1)ACB的度数不变，理由如下： 1 1 CBA OBA CAB  OAB  点C为ABO三条内角平分线交点， 2 ， 2 ， 1 1 1 CBACAB OBA OAB (OBAOAB)， 2 2 2  MON 60 OBAOAB120 CBACAB60 ， ， ， ACB120，即ACB的度数不变； C ABO BOA2BOP BAO2BAC (2)① 点 为 三条内角平分线交点， ， ， ∴MBABOABAO60BAO，  BP为ABM 的角平分线，MBA2MBP，∴60BAO2MBP， 60BAO ， 30P，整理得： ； MBPBOPP30P 2 BAO2P OBAm MBA180m BAO120m ②设 ，则 ， ， 1 为 的角平分线，ABP90 m，  BP ABM 2  MON 60 C ABO ，点 为 三条内角平分线交点， 1 1 ABC  m，BCPBCOOBC 30 m， 2 2 1 ，P180CBPBCP60 m， CBPABCABP90 2 BCP 中有一个角是另一个角的2倍，分四种情况： 1 (1) ，则902(30 m)，解得 ，此时 ， CBP2BCP 2 m30 BAO120m90 1 (2) ，则902(60 m)，解得 ，此时 ， CBP2P 2 m30 BAO120m90 1 1 (3) ，则30 m2(60 m)，解得 ，此时 ， BCP2P 2 2 m60 BAO120m60 1 1 (4) ，则60 m2(30 m)，解得 ，故舍去， P2BCP 2 2 m0 BCP BAO 90 60 中有一个角是另一个角的2倍， 为 或 ． 【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和，角平分线，一元一次方程等知识点，是一道较综合 BCP 的题目，难点是表示 三个内角分类讨论． 分层提分题组A 基础过关练 1．(2022•丹东期末)如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中∠α等于( ) A．105° B．115° C．120° D．135° 【分析】根据三角板上角的度数的特点及三角形内角与外角的关系解答． 【解答】解：如图，由题意得：∠ABG＝90°， ∵∠G＝30°，∴∠BFG＝180°﹣∠ABG﹣∠G＝60°，∴∠AFH＝∠BFG＝60°， ∵∠α是△AFH的外角，∠A＝45°，∴∠α＝∠A+∠AFH＝105°，故选：A． 【点评】主要考查了三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和． 2．(2021·河南焦作市·八年级期末)如图， 为 的一个外角，点E为边 上一点，延长 到点 F，连接 ，则下列结论错误的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形外角性质结合图形，逐项判断即可． 【详解】∵ ，∴ ，故A选项正确，不符合题意；由三角形外角性质即可直接得出 ，故B选项正确，不符合题意； 没有条件可以证明出 和 的关系，故C选项错误，符合题意； ∵ ， ，∴ ， ∴ ，故D选项正确，不符合题意；故选C． 【点睛】本题考查三角形外角性质，掌握“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解答本 题的关键． 3．(2022春•长沙期中)如图，∠ABD为△ABC的外角，BE平分∠ABD，EB∥AC，∠A＝65°，则∠EBD的 度数为( ) A．50° B．65° C．115° D．130° 【分析】根据平行线的性质，得到∠A＝∠EBA＝65°，再根据BE平分∠ABD，即可得到∠EBD的度数． 【解答】解：∵EB∥AC，∠A＝65°，∴∠EBA＝65°， 又∵BE平分∠ABD，∴∠EBD＝∠EBA＝65°，故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 4．(2022•碑林区校级模拟)如图，已知Rt ABC和Rt DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，点F、A、D、C共线， AB、EF相交于点M，且EF⊥BC，则图中△与∠E相等△的角有( )个． A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】利用平行线的性质与判定可得∠E＝∠BME＝∠AMF，根据同角的余角相等可得∠E＝∠C，即可 求解． 【解答】解：∵∠BAC＝∠EDF＝90°，∴AB∥DE，∠E+∠F＝90°，∴∠E＝∠BME＝∠AMF，∵EF⊥BC，∴∠C+∠F＝90°，∴∠E＝∠C，故与∠E相等的角有3个，故选：C． 【点评】本题主要考查平行线的性质，余角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 5．(2021·山西吕梁市·九年级二模)在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下 四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的判断即可． 【详解】解：∵“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的 即，作 后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不正确，故选： C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，要证明三角形的内角和等于180°即三角形三个内角的和是平角， 就要作辅助线，使得三角形的三个内角的和转化成组成平角的三个角之和． 6.(2022·河南平顶山·八年级期末)已知，在 中， ，点 在线段 的延长线上，过点 作 ，垂足为 ，若 ，则 的度数为( ) A．76° B．65° C．56° D．54° 【答案】D 【分析】根据三角形的内角和是 ，即可求解． 【详解】 ， ，在 中， ， ， 在 中， ， ，故选：D． 【点睛】本题考查了垂直的性质和三角形的内角和，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 7．(2022春•杨浦区校级期中)在△ABC中，如果∠A+∠B＝135°，且∠B＝2∠C，那么△ABC是 三角形． 【分析】利用三角形内角和定理，求得∠B＝90°即可． 【解答】解：∵∠A+∠B＝135°，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝45°， ∵∠B＝2∠C，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形．故答案为：直角． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，关键是要掌握内角和定理 8．(2021秋•澄城县期末)如图，在△ABC中，AN平分∠BAC交BC于N，∠B＝50°，∠ANC＝80°．求∠C 的度数． 【分析】根据三角形的外角性质求出∠BAN，根据角平分线的定义求出∠BAC，根据三角形内角和定理计 算即可． 【解答】解：∵∠B＝50°，∠ANC＝80°，∴∠BAN＝∠ANC﹣∠B＝80°﹣50°＝30°， ∵AN平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAN＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°． 【点评】本题考查的是是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形的一个外 角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 9．(2021春•长春期末)对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容(理由或数学式)． 如图，在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°．(1)求∠EBC的度数；(2)求∠A的度数． 解：(1)∵CD⊥AB(已知)，∴∠CDB＝ 9 0 °． ∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD( 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和 )． ∴∠EBC＝ 9 0 °+35°＝ 12 5 °(等量代换)． (2)∵∠EBC＝∠A+∠ACB( 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和 )， ∴∠A＝∠EBC﹣∠ACB(等式的性质)． ∵∠ACB＝90°(已知)， ∴∠A＝ 125 ° ﹣90°＝ 3 5 °(等量代换)．【分析】(1)由垂直的定义可得∠CDB＝90°，利用三角形外角的性质可得可求解∠EBC的度数； (2)由三角形外角的性质可得∠A＝∠EBC﹣∠ACB，结合∠ACB＝90°可求解∠A的度数． 【解答】解：(1)∵CD⊥AB(已知)， ∴∠CDB＝90°． ∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和)． ∴∠EBC＝90°+35°＝125°(等量代换)． (2)∵∠EBC＝∠A+∠ACB(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和)， ∴∠A＝∠EBC﹣∠ACB(等式的性质)． ∵∠ACB＝90°(已知)， ∴∠A＝125°﹣90°＝35°(等量代换)． 故答案为(1)90；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；90；125； (2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；125°；35． 【点评】本题主要考查三角形外角的性质，垂直的定义，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键． 10. (2021·江苏·苏州市吴江区八年级阶段练习)用两种方法证明“三角形的一个外角等于其不相邻的两个内 角之和”．如图， 是 的一个外角． 求证： ． 证法1： (____) (平角的定义) (_____) (等式的基本性质1) 请把证法1依据填充完整，并用不同的方法完成证法2【答案】见解析 【分析】证法1：根据三角形的内角和和平角的定义即可得到结论； 证法2：根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：已知，∠DAB是△ABC的一个外角． 求证：∠DAB=∠B+∠C 证法1：∵∠BAC+∠B+∠C=180° (三角形内角和定理) ∠BAC+∠DAB=180°(平角的定义) ∴∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+∠DAB(等量代换) ∴∠DAB=∠B+∠C(等式基本性质1) 故答案为：三角形内角和定理，等量代换； 证法2：如图，过点A作AE∥BC，∴∠DAE=∠C，∠EAB=∠B， ∵∠DAB=∠DAE+∠EAB，∴∠DAB=∠B+∠C； 【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，平 行线的性质，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键． 题组B 能力提升练 1．(2022•青山区期末)如图，AD，AE分别为△ABC的高线和角平分线，DF⊥AE于点F，当∠ADF＝69°，∠C＝65°时，∠B的度数为( ) A．21° B．23° C．25° D．30° 【分析】依据三角形内角和定理即可得到∠DAF和∠CAD的度数，再根据角平分线的定义，即可得到 ∠BAC的度数，最后依据三角形内角和定理即可得到∠B的度数． 【解答】解：∵DF⊥AE，∠ADF＝69°∴∠DAF＝21°， ∵AD⊥BC，∠C＝65°，∴∠CAD＝25°， ∴∠CAE＝∠DAF+∠CAD＝21°+25°＝46°， 又∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠CAE＝92°， ∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣92°﹣65°＝23°，故选：B． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握三角形内角和定理：三角形内角和是 180°． 2．(2022春•秦淮区期中)如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平 分∠ACB，若∠BA′C＝110°，则∠1+∠2＝ ． 【分析】连接AA′．首先求出∠BAC，再证明∠1+∠2＝2∠BAC即可解决问题． 【解答】解：连接AA′． ∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝110°， ∴∠A′BC+∠A′CB＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝140°，∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°， ∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A， ∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A， ∴∠1+∠2＝2(∠DAA′+∠EAA′)＝2∠BAC＝80°，故答案为80°． 【点评】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学 会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型． 3．(2021·浙江杭州市·八年级期中)如图1，赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座，晷 面、晷针三部分组成，其中底坐面与日晷所处地球半径垂直； (1)晷针与晷面夹角为___________；(2)如图2，日晷所处纬度 为 ，若太阳光(平行光)与日晷底座面夹 角为 ，则太阳光与该晷面所夹锐角度为___________． 【答案】 【分析】①由垂直于两平行线之一的直线，必垂直于另一条平行线，即可判断出晷针与晷面垂直，即晷针 与晷面夹角为 ． ②由平行线的性质即可求出 ，根据题意可求出 ，再根据 三角形内角和定理即可求出 ，最后由对顶角相等即可求出 ，即太阳光与该晷面所夹锐角度为 ． 【详解】①根据题意晷面与赤道平行，地轴与赤道垂直，∴地轴与晷面垂直， 又∵晷针与地轴平行，∴晷针与晷面垂直．即晷针与晷面夹角为 ． ②可将题干中图简化为如下图： 根据题意结合图形可知： ， ， ， ． ∵ ，∴ ，即 ， ∴ ，即 ． ∵ ， ．∴ ． ∴ ． ∴ ．即太阳光与该晷面所夹锐角度为 ．故答案为 ， ． 【点睛】本题考查平行线的性质和三角形内角和定理．理解题意，能看懂赤道式日晷的二维图形是解答本 题的关键． 4．(2022春•铜梁区校级期中)如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C， 点F在AB上，连接EF交AD于点G．(1)若2∠1+∠EAB＝180°，求证：EF∥BC；(2)若∠C＝72°，∠AEB ＝78°，求∠CBE的度数．【分析】(1)先根据垂直等于得到∠ABC＝90°，则∠C+∠BAC＝90°，再证明2∠C+∠EAB＝180°，加上 2∠1+∠EAB＝180°，则∠1＝∠C，然后根据平行线的判定方法得到结论； (2)先根据三角形内角和定理可计算出计算出∠BAC＝18°，则∠EAD＝18°，根据三角形内角和定理得到 ∠EAD+∠AED＝∠C+∠CBE，即18°+78°＝72°+∠CBE，从而可求出∠CBE的度数． 【解答】(1)证明：∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°， ∵AD是△ABE的角平分线，∴∠BAC ∠EAB， ∴∠C ∠EAB＝90°，即2∠C+∠EAB＝180°， ∵2∠1+∠EAB＝180°，∴∠1＝∠C，∴EF∥BC； (2)解：∵∠ABC＝90°，∠C＝72°，∴∠BAC＝18°，∴∠EAD＝∠BAC＝18°， ∵∠ADE＝∠BDC，∴∠EAD+∠AED＝∠C+∠CBE， 即18°+78°＝72°+∠CBE，∴∠CBE＝24°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理：运用三角形内角和定理可根据两已知角求第三个角．也考查了平 行线的性质． 5．(2022·重庆合川·八年级期末)如图， 的角平分线 、 相交于点 ． (1)若 ， ，求 的度数；(2)求证： ． 【答案】(1) (2)见解析【分析】(1)先利用三角形内角和定理得到 ，再结合角平分线的定义可求解 的度数， 进而可求解 的度数； (2)利用角平分线的定义可求解 ，再结合角平分线的定义可得 进而可证明结论. (1)解： , ， ， 的角平分线 相交于点 ， , ， ， (2)证明: 的角平分线 相交于点 ， ， 即 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理：三角形内角和是180°本题的关键是利用三角形 内角和把 与 联系起来． 6.(2021•定兴县月考)如图所示，有一块直角三角板DEF(足够大)，其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放 置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．(1)若∠A＝40°，则∠ABC+∠ACB ＝ °，∠DBC+∠DCB＝ °∠ABD+∠ACD＝ °．(2)若∠A＝55°，则∠ABD+∠ACD＝ °． (3)请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系 ．【分析】(1)根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC ＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；(2)根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝ 130°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数； (3)根据三角形内角和定义有90°+(∠ABD+∠ACD)+∠A＝180°，则∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A． 【解答】解：(1)在△ABC中，∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°， 在△DBC中，∵∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°；故答案为：140；90；50． (2)在△ABC中，∵∠A＝55°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣55°＝125°， 在△DBC中，∵∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝125°﹣90°＝35°，故答案为：35； (3)∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．证明如下： 在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．在△DBC中，∠DBC+∠DCB＝90°． ∴∠ABC+∠ACB﹣(∠DBC+∠DCB)＝180°﹣∠A﹣90°．∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A， 故答案为：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解答的关键． 7．(2021·上海市川沙中学南校八年级期中)如图1， 、 的角平分线 、 相交于点 ， (1)如果 ，那么 的度数是多少，试说明理由并完成填空； (2)如图2， ，如果 、 的角平分线 、 相交于点 ，请直接写出 度 数； (3)如图2，重复上述过程， 、 的角平分线 、 相交于点 得到 ，设，请用 表示 的度数(直接写出答案) 解：(1)结论： ______度． BA CA ABC ACM 说理如下：因为 2、 2平分 1 和 1 (已知)， ABC 21 ACM 22 所以 1 ， 1 (角平分线的意义)． ACM ABCA 21A 因为 1 1 1， 2( ) (完成以下说理过程)       【答案】(1)32；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；过程见解析；(2)16；(3)2n1 ． 【分析】(1)根据角平分线的定义和三角形的外角的性质进行求解即可； (2)根据(1)的解法进行求解即可；(3)利用(1)的结论求解即可． A 32 【详解】(1)结论： 2 ；理由如下： ABC ACM BA CA A ∵ 1 、 1 的角平分线 2、 2相交于点 2 ABC 21 ACM 22 ∴ 1 ， 1 (角平分线的意义) ACM ABCA 21A ∵ 1 1 1， 2(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和) A ACM ABC A 21 ∴ 1 1 1 ， 2 (等式性质) A 22212A A 32 ∴ 1 2(等量代换)∴ 2 ； A BC ACM BA CA A (2)∵ 2 、 2 的角平分线 3、 3相交于点 3A BC 2A BM ACM 2ACM ∴ 2 3 ， 2 3 (角平分线的意义) ACM A BCA ACM A BM A ∵ 2 2 2， 3 3 3(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和) A ACM A BC A ACM A BM ∴ 2 2 2 ， 3 3 3 (等式性质) A 2ACM 2A BM 2A A 16 ∴ 2 3 3 3(等量代换)∴ 3 ；       (3)∵当A 64，A 32、A 16∴当A ，A =2n1 ． 1 2 3 1 n 【点睛】本题主要考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不 相邻的两个内角的和成为解答本题的关键． 题组C 培优拔尖练 1．(2022春•宜兴市校级月考)如图，∠A＝45°，∠BCD＝135°，∠AEB与∠AFD的角平分线交于点P，下 列结论：①EP⊥FP；②∠AEB+∠AFD＝∠P；③∠A＝∠PEB+∠PFD．其中正确的有( )个． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】延长EP交AB于G，根据角平分线的定义可得∠1＝∠AEP ∠AEB，∠2＝∠PFD ∠AFD， 再根据邻补角的定义求出∠BCF＝45°，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和分别用 ∠1和∠2表示出∠EGB和∠EBG，再利用三角形的内角和定理列式求出∠1+∠2，然后表示出∠EPF即可 判断出①②正确，再求出∠PEB+∠PFD＝45°，判断出③正确． 【解答】解：如图，延长EP交AB于G， ∵∠AEB与∠AFD的角平分线交于点P，∴∠1＝∠AEP ∠AEB，∠2＝∠PFD ∠AFD， ∵∠BCD＝135°，∴∠BCF＝180°﹣135°＝45°， 在△AEG中，∠EGB＝∠A+∠AEP＝45°+∠1， 在△BCF中，∠EBG＝∠AFD+∠BCF＝2∠2+45°， 在△BEG中，∠1+∠EGB+∠EBG＝180°， 即∠1+45°+∠1+2∠2+45°＝180°，解得∠1+∠2＝45°， 在△GFP中，∠EPF＝∠EGB+∠2＝45°+∠1+∠2＝45°+45°＝90°，∴EP⊥FP，故①正确； ∠AEB+∠AFD＝2∠1+2∠2＝2(∠1+∠2)＝90°＝∠P，故②正确； ∵∠PEB+∠PFD＝∠1+∠2＝45°，∴∠A＝∠PEB+∠PFD＝45°，故③正确． 综上所述，正确的结论有①②③共3个．故选：D． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和的性质，作辅助线构造出三角形并求出∠1+∠2＝45°是解题的关键． 2．(2021秋•西安期末)如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的 平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论 ①∠1＝2∠2，②∠BOC＝ 3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2，正确的是 ．(把所有正确的结论的序号写在横线 上) 【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90° ∠1，∠BOC＝ 90°+∠2． 【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE ∠ACD，∠DBE ∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角， ∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE， (∠ACD﹣∠ABC) ∠1，故①正确； ∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC ABC，∠OCB ∠ACB， ∴∠BOC＝180°﹣(∠OBC+∠OCB)＝180° (∠ABC+∠ACB) ＝180° (180°﹣∠1)＝90° ∠1，故②、③错误； ∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO ∠ACB，∠ACE ACD， ∴∠OCE (∠ACB+∠ACD) 180°＝90°， ∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；故答案为：①④． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以 及角平分线的定义． 3. (2021·苏州外国语学校八年级期中)如图，在 中， ， 、 分别平分 、 ，M、N、Q分别在 、 、 的延长线上， 、 分别平分 、 ， 、 分别平分 、 ，则 _______．【答案】52° 【分析】根据三角形外角的性质和角平分线的定义可求出∠E，利用三角形内角和求出 ，得到 ，从而求出 ，再次利用角平分线的定义和三角形内角和得到∠A． 【详解】解： 、 分别平分 、 ， ， ， ， ， 即 ， ， ， 、 分别平分 、 ， ， ， ， ，∴ ， ∴ ， 、 分别平分 、 ，， ， ∴ ， ，故答案为：52°． 用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 4. (2021·河南驻马店市·八年级期末)阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另 一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别 是 ， ， ，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那 么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． (1)如果一个“梦想三角形”有一个角为 ，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 ． (2)如图，已知 ，在射线 上取一点 ，过点 作 交 于点 ，以 为端点 作射线 ，交线段 于点 (点 不与 、 重合)，若 ，判定 、 是否是 “梦想三角形”，为什么？ 【答案】(1) 或 ；(2) ， 都是“梦想三角形”，理由见解析 【分析】(1)分两种情形：当108°是三角形的一个内角的3倍，当另外两个内角是3倍关系，分别求解即可． (2)根据“梦想三角形”的定义可以判断：△AOB、△AOC都是“梦想三角形”． 【详解】解：(1)当108°是三角形的一个内角的3倍，则有这个内角为36°，第三个内角也是36°，故最小的 内角是36°，当另外两个内角是3倍关系，则有另外两个内角分别为：54°，18°，最小的内角是18° 故答案为：36°或18°．(2)结论： ， 都是“梦想三角形” 理由： ， ， ， ， 为“梦想三角形”， ， ， ， ， ， “梦想三角形”． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，“梦想三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分 类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 5．(2021·山西晋城市·八年级期末)综合与实践问题情境：在数学活动课上，全班同学分组进行了一副三角 尺上角的探究活动，如图所示，放置一副三角尺，两个三角尺的顶点O重合，边 与边 重合，试求 的度数．(1)探究展示勤奋小组展示了如下的解决方法(请结合图形1，完成填空) 解：∵ ， ∴ __________(___________________) 又∵ ，∴ __________． (2)反思交流：创新小组受勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2所示，绕顶点O逆时针旋转 ， 当 时，求得 的度数．(请你写出解答过程) (3)探索发现：小明受到旋转的启发，继续进行探究(如图3)，继续绕顶点O逆时针旋转 ，使点B落在边 上，此时发现 与 之间的数量关系． 以下是他的解答过程，请补充完整解：在 与 中， ∵ 又∵ (___________________) __________， __________， ∴ __________． 【答案】(1) ；三角形内角和是 ； ；(2) ；见解析；(3)对顶角相等； ； ； 【分析】(1)利用三角形内角和定理求解即可； (2)利用平行线的性质求得∠AOC=45°，再利用三角形内角和定理求解即可； (3)在△AOE与△BCE中，利用三角形内角和定理得到∠1+∠A=∠2+∠C，计算即可求解． 【详解】解：∵∠OCD=45°，∠OBC=60°，∴∠BOC=75°(三角形内角和是180°)， 又∵∠AOB=90°，∴∠AOC=15°； (2)解：∵DC∥AO，∠OCD=45°，∴∠AOC=45°(两直线平行，内错角相等)， 又∵∠BAO=30°，∴∠AEO=180°−∠AOC−∠BAO=180°−45°−30°=105°(三角形内角和是180°)； (3)在△AOE与△BCE中，∵∠AEO+∠1+∠A=∠CEB+∠2+∠C， 又∵∠AEO=∠CEB(对顶角相等)， ∠A=30°，∠C=45°，∴∠1+∠A=∠2+∠C，∠1−∠2=15°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 6.(2022•蓬溪县月考)某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关 系”进行了探究．(1)如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝ ；(2)如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求 ∠BEC．(用α表示∠BEC)；(3)如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于 点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．(4)如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线 交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝ °，延长BC至点E，∠ECQ 的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝ °．【分析】(1)根据三角形的内角和角平分线的定义；(2)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的 和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；(3)根据三角形的一个外角等于 与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理 列式整理即可得解；(4)结合(1)(2)(3)的解析即可求得． 【解答】解：(1)∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠PBC ABC，∠PCB ∠ACB(角平分线的性质)， ∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°(三角形内角和定理)， ∴∠BPC＝180°﹣(∠PBC+∠PCB)＝180°﹣( ∠ABC ∠ACB)＝180° (∠ABC+∠ACB) ＝180° (180°﹣∠A)＝180°﹣90° ∠A＝90° ∠A＝90 ＝122°．故答案为：122°； (2)∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB ∠ACB，∠ECD ∠ABD． ∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC， ∴∠EBD ∠ABD (∠A+∠ACB)＝∠BEC+∠ECB，即 ∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC， ∴∠BEC ∠A ；(3)结论∠BQC＝90° ∠A． ∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC， ∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，∴∠QBC (∠A+∠ACB)，∠QCB (∠A+∠ABC)． ∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°， ∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB＝180° (∠A+∠ACB) (∠A+∠ABC)， ＝180° ∠A (∠A+∠ABC+∠ACB)＝180° ∠A﹣90°＝90° ∠A； (4)由(3)可知，∠BQC＝90° ∠A＝90° 58°， 由(1)可知∠BPC＝90° ∠BQC＝90° 119°； 由(2)可知，∠R ∠BQC＝29°故答案为119，29． 【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和是解题的关键．