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21.3 实际问题与一元二次方程
【提升训练】
一、单选题
1．某口罩厂六月份的口罩产量为 万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到 万只，则该厂
七八月份的口罩产量的月平均减少率为 （ ）
A． B． C． D．
2．秋冬季节为流感得高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，每轮传染中平均一
个人传染的人数为（ ）
A．7人 B．8人 C．9人 D．10人
3．某小区 年屋顶绿化面积为 ，计划 年屋顶绿化面积要达到 ．设该小区
年至 年屋顶绿化面积的年平均增长率为 ，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．有一人患流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．如果不及时控制，第三轮被传染的人数为（
）
A．234 B．264 C．284 D．294
5．某厂今年7月份的产值为200万元，第三季度总产值为950万元，这两个月的平均增长的百分率是多少？
若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨，若平均每月增长率是x，则可以列方程
（ ）
A． B． C． D．
7．日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律.小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图2），发现这9个数中最大的数与
最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数 是（ ）
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
图1 图2
A．17 B．18 C．19 D．20
8．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程 的两根，则该等腰三角形的底边长为（
）
A．4 B．2 C．6 D．2或4
9．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平
均一个人传染了x个人，下列列式正确是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图是－张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分
（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
11．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件100元降到每件64元，则平均每次降价的百分率为（
）
A．15% B．40% C．25% D．20%
12．某中学举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间只比赛1场，共比赛10场，则参加此次比赛的球队数是
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
13．用一条长40cm的绳子怎样围成一个面积为75cm2的矩形？设矩形的一边为x米，根据题意，可列方程
为（ ）
A．x（40－x）＝75 B．x（20－x）＝75 C．x（x＋40）＝75 D．x（x＋20）＝7
14．为促进消费，重庆市政府开展发放政府补贴消费的“消费券活动”，某超市的月销售额逐步增加；据统
计4月份的销售额为 万元，接下来5月，6月的月增长率相同，6月份的销售额为 万元，若设5月、
6月每月的增长率为 ，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
15．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡 张，则参加活动的同学有（ ）
A．6人 B．7人 C．8人 D．9人
16．有1人患了流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一个人传染了（ ）人．
A．40 B．10 C．9 D．8
17．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛（这样的比赛叫做双循环比赛），共要比赛90场．设有
个球队参加比赛，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．C． D．
18．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果
要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+65x-350=0 B．x2+130x-1400=0 C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0
19．某口罩加工厂今年一月口罩产值达80万元，第一季度总产值达340万元，问二、三月份的月平均增长
率是多少？设月平均增长率为 ，则根据题意可得方程为（ ）
A． B．
C． D．
20．如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，
为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm，则
可以列出关于x的方程是（ ）
A．x（26﹣2x）=80 B．x（24﹣2x）=80
C．（x﹣1）（26﹣2x）=80 D．（x-1）（25﹣2x）=80
21．有一人感染上新冠状肺炎，经过两轮传染后有100人患这种肺炎．则每一轮传染中平均一个人传染了
（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
22．中秋节那天初三某班学生通过微信互送祝福，若每名学生都给全班其他同学发一条，全班共发送了
2450条祝福，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝2450 B． x（x﹣1）＝2450C．2x（x﹣1）＝2450 D．x（x﹣1）＝2450
23．某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到49万元．设平均月增长率为x，根据题意
可列方程是（ ）
A．25(1+ x %)2=49 B．25(1+x)2=49
C．25(1+ x2) =49 D．25(1- x)2=49
24．某商场销售一种新文具，进价为20元/件，市场调查发现，每件售价35元，每天可销售此文具250件，
在此基础上，若销售单价每上涨1元，每天销售量将减少10件，针对这种文具的销售情况，若销售单价定
为 元时，每天可获得4000元的销售利润，则 应满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
25．如图1，有一张长 ，宽 的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴
影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是 ，则纸盒的高为（ ）
A． B． C． D．
26．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第
行有 个点…，前 行的点数和不能是以下哪个结果 （ ）
A．741 B．600 C．465 D．300
27．一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正
方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部
分的面积为（ ）
A．6cm2 B．7 cm2 C．12cm2 D．19 cm2
28．如图，在 中， ， ， ，点 从点 开始沿 边向点 以
的速度移动，同时另一个点 从点 开始沿 以 的速度移动，当 的面积等于
时，经过的时间是（ ）
A． 或 B． C． D．
29．如图，在正方形 中，边长为 的等边三角形 的顶点 分别在 和 上，下列结论：
，其中正确的序号是( )
A．①②④ B．①② C．②③④ D．①③④
30．方程 的整数解有（ ）A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
二、填空题
31．某种植物的主干长出若干树木的支干，每个支干又长出同样树木的小分支，主干、支干、和小分支的
总数是91，每个支干长出x个小分支，则x=______________．
32．某市中学生篮球联赛实行单循环制，参加的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛45场，设参
加比赛的球队有 支，根据题意，可列方程为______．
33．如图，在 中， ， ， ，点P，Q分别同时从A，B出发，点
P沿线段AC以 的速度向点C移动，点Q沿线段BC以 的速度向点C移动，当P，Q其中一点
到达点C时，两点即停止运动，设运动时间为t秒，则当四边形APQB的面积是 时，t的值为
__________________.
34．要为一幅长 ，宽 的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照
片面积的四分之一，设相框边的宽度为 ，则可列出关于 的一元二次方程_______．
35．如图，一块长方形绿地的长为100米，宽为50米，在绿地中开辟两条相同宽度的道路后剩余绿地面积
为4559平方米，如果设道路宽度为 米，则根据题意可列出方程___________．三、解答题
36．李师傅去年开了一家商店，今年开始盈利，1月份盈利2400元，到三月末统计前三个月共计盈利8736
元，且从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同．求每月盈利的平均增长率．
37．列方程解应用题
①如图，我县某单位要在长为40米，宽为24米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形
观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的
，若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的 ，求道路的宽．
②某校九年级一班的一个数学综合实践小组去超市调查某种商品“十一”期间的销售情况，下面是调查后小
阳与其他两位同学交流的情况：
小阳：据调查，该商品的进价为12元／件．
小佳：该商品定价为20元时，每天可售240件．
小欣：在定价为20元的基础上，涨价1元，每天少售20件；降价1元，则每天多售出40件．
根据他们的对话，若销售的商品每天能获利1920元时，应该怎样定价更合理？
38．吉水县中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米6000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产
的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米4335元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调10%，再下调20%，这样更有吸引力，请问房产销售经理
的方案对购房者是否更优惠？为什么？
39．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场
决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至32.4元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多
少元？
40．某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20%，从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2求：该工
程队第二天第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数相同，求这个百分数．
41．某超市销售一种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，超市采取
了降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间发现销售单价每降低1元，平均每天可多售
出2件．
（1）若每件降价5元，则平均每天销售量为_______件；
（2）当每件降价多少元时，该超市每天销售此商品利润为1200元？
42．第十五届中国上海国际艺术节期间，瑞士日内瓦大歌剧院芭蕾舞团芭蕾舞剧《吉赛尔》在市内的城市
剧院演出，主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙26米）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为300平
方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔
栏绳48米．请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？
43．如图，在一块长 米，宽 米的矩形空地 上修建两条水平和一条铅直道路，已
知水平道路和铅直道路的宽之比为 ，剩余空地面积为3456平方米．
（1）请你计算水平和铅直道路的宽分别是多少米．
（2）若将其中一条水平道路改为铅直道路，宽度也随之改变为铅直道路的宽度，也能保证剩余空地面积
为3456平方米，你能说明理由吗？
44．某商场购进一批每盒40元的月饼销售，根据销售经验，应季销售每盒月饼的售价为60元时，每天可
售出400盒．当售价每提高1元时，销量就相应减少10盒．
（1）若商场要每天获得9000元的利润，每盒月饼的售价应定为多少元？
（2）过季处理时，经过两次打折商品每盒售价为29.4元，商场平均每次打几折？45．探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次．
（1）若参加聚会的人数为3，则共握手______次；若参加聚会的人数为6，则共握手____次；
（2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手______次；
（3）若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数．
拓展：
嘉嘉给琪琪出题：“若在直角∠AOB的内部由顶点O引出m条射线（不含OA、OB边），角的总数为
20，求m的值．”
琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20．”琪琪的思考对吗？若对，请求出m的值；若不对，
请说明理由．
46．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，
将对全球造成巨大影响．世界卫生组织提出：如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，
那么这个传播者就可以称为”超级传播者”．如果某地区有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设一
个病毒携带者每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）请判断最初的这名病毒携带者是”超级传播者”吗？求他每轮传染的人数；
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，新冠肺炎病毒的携带者共有多少人？
47．江西赣南脐橙和重庆奉节脐橙是两种优质的脐橙品种，都是中国国家地理标志产品，享有“中华名
果”之美誉．11月份，某水果经销商销售赣南脐橙和奉节脐橙共7000千克，总销售额为62000元，已知
赣南脐橙单价为每千克8元，奉节脐橙的单价为每千克10元．
（1）求11月份该经销商销售赣南脐橙和奉节脐橙的销量各是多少千克？
（2）12月份，脐橙大量上市，这种时令水果越来越受到大家的喜爱，该经销商继续销售这两种脐橙，与
11月份相比，赣南脐橙和奉节脐橙的单价分别下降了 和 ，赣南脐橙和奉节脐橙的销量分别增
加了 和 ，12份的总销售额比11月减少了600元，求 的值．
48．A市2000年有m万人，每年人均用水20吨，当年库存水量刚好供全市使用一年；到2010年时，A市
有2000万人，每年人均用水36吨，原有库存水量不足，须从外地调水a万吨满足需要．预计到2020年A
市人数比2010年下降10%，年人均用水量下降六分之一．
（1）预计2020年A市居民一年用水总量是多少万吨？（2）如果2000～2020年A市的库存水量保持不变，那么2020年，只需调入50% a万吨水即可满足A市
居民使用一年；如果库存水量从2010年起，每一个10年都比前一个10年按一个相同百分数n增加，那么
2020只需调入6% a万吨水即可满足A市居民使用一年，求百分数n．
49．某地区2018年投入教育经费2500万元，2020年投入的教育经费比2018年投入的教育经费多525万元．
（1）求2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2021年该地区将投入教育经费多少万元．
50．汾河公园有一块长为18米，宽为8米的矩形空地，园林师计划在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，
它们的面积之和为90米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽
度是多少米？
51．2020年，受新冠疫情影响，众多学校开展了“停课不停学”的线上教学活动，因此，手写板的需求量
大幅上升．某网店抓住时机销售A，B两款手写板，A型手写板的单价为360元，B型手写板的单价为240
元．
（1）商家在1月共销售两种型号手写板600个，若A型手写板的销售额不低于B型手写板销售额的3倍，
求1月A型手写板至少售出多少个？
（2）该商家在2月继续销售这两种型号的手写板并适当的进行了调整，A型手写板的售价降低了 a%．B
型手写板的销价不变．结果A型手写板的销售量在1月最低销售量的基础上增加了 a%，B型手写板的销
售量在一月保证A最低销量的基础上增加了 a%，结果2月两种手写板的总销售额比1月两种手写板的总
销售额增加了 a%，求a的值．52．某水果经销商批发了一批水果，进货单价为每箱50元，若按每箱60元出售，则可销售80箱．现准备
提价销售，经市场调研发现：每箱每提价1元，销量就会减少2箱，为保护消费者利益，物价部门规定，
销售利润不能超过50%，设该水果售价为每箱x（x＞60）元
（1）用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为 箱；
（2）现在预算要获得1200元利润，应按每箱多少元销售？
53．如图，在 中， ， ， ，点P从点A出发沿边AC向点 以
的速度移动，点Q从 点出发沿CB边向点B以 的速度移动．
（1）如果 同时出发，几秒钟后，可使PQ的长为 厘米？
（2）点 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得 的面积等于 的面积的一半．若存在，
求出运动的时间；若不存在，说明理由．
54．快手、抖音等各大娱乐APP软件深受人们的喜爱，但随着电商时代的热潮，曾经以直播、娱乐为主的
主播也开始转型为带货主播．某快手主播，从今年九月份开始直播带货，并深受粉丝的喜爱，并从十月份
该主播就开始盈利36000元，十二月的盈利达到43560元，且从十月到十二月，每月的盈利的平均增长率
都相同．
（1）求每月盈利的平均增长率；
（2）按照这个平均增长率，预计下个月（即元月份）该主播的盈利将达到多少元？
55．鱼肉味道鲜美，营养价值高，因此它深受人民群众的喜爱，成为人们餐桌上的佳肴．某养殖场经营的
鲫鱼和鲈鱼销售情况如下：
（1）2019年上半年，该养殖场一共销售鲫鱼和鲈鱼6000斤，其中鲫鱼的销量是鲈鱼销量的4倍，则2019
年上半年该养殖场销售鲫鱼多少斤；
（2）2018年该养殖场开始饲养并销售鲫鱼和鲈鱼，全年共销售鲫鱼和鲈鱼8400斤鱼，其中销售鲈鱼400斤，通过市场调研发现，每斤鲫鱼和鲈鱼的利润之比是1：4，该年一共获利48000元；2019年下半年，由
于猪肉的供应量突然减少，导致了鲫鱼和鲈鱼的销售量与价格上涨．2019年下半年的鲫鱼和鲈鱼销售量在
2019年上半年的销售量的基础上分别增加了 ， ；鲫鱼与鲈鱼每斤的利润在2018年的基础上分别
增加 ， ．2019年下半年该养殖场获得的利润比2018年全年利润增加了 ，求a的值．
56．山西因特殊的地理环境，培育出了众多品质一流的特色杂粮．而山西小米以其突出的品质、品种优势，
成为山西现代特色农业的一张“黄金名片”．某地一家杂粮销售商以每千克10元的价格购进一批山西“沁
州黄”小米，当按每千克16元的价格出售时，平均每天可销售200kg．为了尽快减少库存，该商家决定降
价销售，经调查发现，当每千克小米的售价每降低0.5元，平均每天销量可增加40kg．该销售商要想每天
获利1400元，那么每千克小米的售价应为多少元？
57．以互联网为主的新电商时代开启的“双11”火爆商战大幕尚未完全落幕，各大商家又纷纷起一波“双
12”促销狂潮．“双11”当天马老师在某建材品牌官网直营店选定并下单采购了装修新房需要的部分瓷砖和
木地板．在对比核算成本时，他发现若购买50块瓷砖和50块木地板共需30000元；若购买60块瓷砖和30
块木地板共需25500元．
（1）请求出“双11”马老师采购1块瓷砖和1块木地板各需多少钱？
（2）“双11”马老师采购了50块瓷砖和50块木地板，“双12”来临，马老师决定趁此打折机会将还需要
的相同品质的瓷砖和木地板进行采购，询问商家后发现，瓷砖的单价降低了 ，但木地板的单价增加
了 ，马老师经测算还需采购的瓷砖的数量比第一次减少 ，还需采购的木地板数量比第一次减少
，且“双12”采购总费用会比“双11”采购总费用的一半多出1500元，求 的值．
