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专题 02 实际问题与一元二次方程之六大题型
增长率问题
例题：（2023上·重庆万州·九年级统考期末）某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划12月
的营业额要达到3600万元，设该公司11，12两月的营业额的月平均增长率为x，根据题意列方程，
则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用该公司12月的营业额和该公司10月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，
此题得解．
【详解】解：根据题意得： ．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）由济宁籍导演郭帆执导的电影《流浪地球2》
上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，第一天票房约4亿元，以后每天票房按相同的增长
率增长，三天后累计票房收入达18.8亿元，设增长率为 ，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】根据第一天的票房及增长率，即可得出第二天票房约 亿元，第三天票房约
亿元，根据三天后累计票房收入达18.8亿元，即可得到关于 的一元二次方程．
【详解】解： 第一天票房约4亿元，且以后每天票房的增长率为 ，
∵
第二天票房约 亿元，第三天票房约 亿元，
∴
依题意可得： ．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用增长率问题，根据题意找准等量关系，正确列出一元二
次方程是解题的关键．
2．（2023上·吉林长春·九年级统考期末）由于某种药品紧俏，某药店将其两次提价，由原来的每
盒36元，涨到每盒54元．若每次提价的百分率均为x，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【分析】利用基本数量关系：药品原价 平均每次提价的百分率 现在的价格，列方程即可．
【详解】解：由题意可列方程是： ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，最基本数量关系：药品原价 平均每次
提价的百分率 现在的价格，找出等量关系并列出方程是解题的关键．
传播问题
例题：（2023下·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考期末）恼人的新冠病毒．有一个人感
染了病毒，经过两轮传染，一共有144个人感染，则每轮传染中，平均一个人传染了（ ）个人
A．13 B．12 C．11 D．10
【答案】C
【分析】设每轮传染中，平均一个人传染了x个人，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出
x的值，并舍去不合题意的值即可．【详解】解：设每轮传染中，平均一个人传染了x个人，
根据题意有： ，
解得： ， ．
∴每轮传染中，平均一个人传染了11个人．
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
【变式训练】
1．（2023下·辽宁·八年级统考期末）区教育局要组织辖区内学校进行足球友谊赛，赛制为单循环
形式，即每两所学校之间都赛一场，计划安排28场比赛，应邀请多少所学校参加比赛?
【答案】应邀请8所学校参加比赛
【分析】设应邀请x所学校参加比赛，根据列一元二次方程 ，求解即可．
【详解】解：设应邀请x所学校参加比赛，
由题意得： ，
解得： ， （不符合题意舍去），
答：应邀请8所学校参加比赛．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，正确理解题意列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2023上·山西吕梁·九年级校考期末）某市举行中学生足球比赛，要求参加比赛的所有球队直
接进行双循环赛（每两个队之间进行两场比赛），共要进行110场比赛，问有多少支球队参加比赛?
【答案】11支
【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数 队的个数
，把相关数值代入计算即可．
【详解】解：设有 支球队参加比赛．
由题意可得： ，
解得 ， （不合题意，舍去），
∴有11支球队参加比赛．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用；得到比赛总场数的等量关系是解决本题的关键．数字问题
例题：（2023下·江苏·八年级统考期末）读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当
上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，
若设他去世时年龄的个位数为x，则根据题意可列出方程 ．
【答案】
【分析】设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为 ，然后根据个位数的平
方等于他去世时的年龄列出方程即可．
【详解】解：设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为 ，
由题意得， ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的
关键．
【变式训练】
1．（2023上·江苏镇江·九年级统考期末）两个连续奇数的积为323，设其中的一个奇数为 ，可得
方程 ．
【答案】 或
【分析】已知设其中的一个奇数为 ，且设其中的一个奇数为 ，分两种情况讨论：若 为较小的
奇数，则另一个奇数为 ，即可列出方程 ；若 为较大的奇数，则另一个奇数为
，即可列出方程 ，即可正确解答．
【详解】①若 为较小的奇数，则另一个奇数为 ，
∵两个连续奇数的积为323，
∴ ；
②若 为较大的奇数，则另一个奇数为 ，∴ ；
故答案为： 或
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确的理解题意，找出题目中的等量关系
是解题的关键．
2．（2023下·上海浦东新·八年级统考期末）有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并
其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是 ．
【答案】23
【分析】设十位上的数为x，则个位上的数位 ，十位上的数的平方比个位上的数也大1，再建
立方程求出其解就可以得出结论．
【详解】解：设原两位数的十位数字为x，
根据题意得：
∴ ，
解得： ， （不符合题意舍去）
答：这个两位数为23，
故答案为23．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
营销问题
例题：（2023上·辽宁朝阳·九年级统考期末）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，
连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决
定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利
6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【答案】(1)每次下降的百分率为20%．
(2)每千克应涨价5元．
【分析】（1）本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，设每次下降的百分率为x，根据题意表示两次降价后的价格为 元，再建立方程，解方程即可求解；
（2）本题考查了一元二次方程的应用，营销问题，设每千克应涨价y元，则每千克盈利 元，
每天可售出 元，再利用总利润等于每件利润乘以销售量可得方程，再解方程并检验即
可．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x，
依题意得： ，
解得： （不符合题意，舍去）．
答：每次下降的百分率为20%．
（2）设每千克应涨价y元，则每千克盈利 元，每天可售出 元，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ．
又∵要尽快减少库存，
∴ ．
答：每千克应涨价5元．
【变式训练】
1．（2023下·安徽蚌埠·八年级统考期末）某景区5月份的游客人数比4月份增加60％，6月份的游
客人数比5月份减少了10%．
(1)设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式填表：
月份 4月 5月 6月
游客人数／万人 a
(2)求该景区5、6月这两个月份游客人数的月平均增长率；
(3)景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20
件．通过市场调查发现，每件售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽
快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？【答案】(1) ，
(2)20%
(3)每件售价应定为50元
【分析】（1）先根据增长的情况，计算出五月份的人数，再计算出六月份的人数即可；
（2）设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为 ，根据四月份人数和六月份的人数列
出方程求解即可；
（3）设每件的售价定为 元，则每件的销售利润为 元，每天可卖出 件，根据利
润不变列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵该景区5月份的游客人数比4月份增加 ，6月份的游客人数比5月份减
少了 ，且该景区4月份的游客人数为 万人，
∴该景区5月份的游客人数为 万人，
∴6月份的游客人数为 万人．
∴五月的人数为 万人，六月的人数为 万人；
（2）设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为 ，
根据题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去）．
答：该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为 ；
（3）设每件的售价定为 元，则每件的销售利润为 元，每天可卖出
件，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去）．
答：每件售价应定为50元．
【点睛】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
2．（2023下·浙江宁波·八年级统考期末）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组
合名为“江南忆”，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，
4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查
发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该吉祥钧售价为多少元时，月销售利润
达8400元？
【答案】(1)该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%
(2)该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元
【分析】（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次
方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设该吉祥物售价为 元，则每件的销售利润为 元，利用月销售利润=每件的销售利润×
月销售量，可列出关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去）．
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%；
（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为 元，月销售量为
件，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去）．
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．与图形有关的问题
例题：（2023上·新疆喀什·八年级统考期末）有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长
度为12米），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为x米，面积
为 平方米．
(1)用含x的代数式表示 ，并求出x的取值范围；
(2)如果要围成面积为63平方米的花圃，AB的长是多少?
【答案】(1)
(2)7米
【分析】（1）根据各边之间的关系，可得出 的长为 米，利用矩形的面积计算公式，可
用含 的代数式表示 ，再结合 边非负且长度不超过 米，即可得出 的取值范围；
（2）根据围成花圃的面积为 平方米，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的值
即可得出结论．
【详解】（1）解： 的长为 米，且篱笆的总长度为 米，
的长为 米．
花圃的面积 ．
，
．
．
（2）解：依题意得： ，
整理得： ，
解得： （不符合题意，舍去）， ．
答： 的长是 米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出 ；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【变式训练】
1．（2023上·湖南益阳·九年级校考期末）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了 的
铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长 ）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如
图所示）．
(1)若要建的矩形养鸡场面积为 ，求鸡场的长 和宽 ；
(2)该扶贫单位想要建一个 的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由.
【答案】(1)长 为 ，宽 为
(2)想法不能实现
【分析】（1）设 ，则可表示出长 ，由面积关系即可列出方程，解方程即可．
（2）设 ，则可表示出长 ，由面积关系即可列出方程，根据方程是否有解或方程的解
是否符合题意，即可作出判断．
【详解】（1）解：设 ，则 ，
由题意得： ，
整理得： ，
解得： ，
当 时， ，不符合题意；当 时， ，符合题意；
答：鸡场的长 和宽 分别为 与 ．
（2）解：设 ，则 ，
由题意得： ，
整理得： ，
，
方程无实数解；所以想法不能实现．
【点睛】本题考查了一元二次方程与图形，正确列出方程是解题的关键．
2．（2023下·安徽安庆·八年级统考期末）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一段平直的岸
堤（岸堤长 米）为一边，用总长为 米的围网，在水库中围成了如图所示的①②③三块不同的
矩形区域用于不同水产的养殖，且这三块矩形区域的面积相等．
(1)设 的长度为 米，则 ______米， ______米；（用含 的代数式表示）；
(2)当矩形 面积为 米 时，求 的长度；
(3)矩形 的面积能不能等于 米 ，为什么？
【答案】(1) ，
(2) 米
(3)矩形 的面积不可能等于 ，理由见解析
【分析】（1）根据区域 的面积等于区域 和 的面积之和，得到矩形 面积等于矩形
面积，可得出 ，根据围网的总长为 即可求出 的长；
（2）根据矩形区域 的面积 建立方程 ，解方程即可求解；
（3）根据矩形区域 的面积 建立方程 ，解方程即可求解．
【详解】（1）解： 三块矩形区域的面积相等，
矩形 面积是矩形 面积的 倍，
又 是公共边，
，
的长度为 米，
， ，，
米．
故答案为： ， ；
（2）列方程为： ，
解得 ， ，
当 ， ， 舍去 ，
当 ， ， ，
米， 米；
（3）由（2），可列方程： ，
，
，
方程无实数根，
故矩形 的面积不可能等于 米 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，涉及到矩形的周长与面积公式，得出 ，进而
用含 的代数式正确表示出 是解题的关键．
动态几何问题
例题：（2023下·安徽滁州·八年级校联考期中）如图，在 中， ， ，
，点 从点 开始沿 边向点 移动，速度为 ；点 从点 开始沿 边向点
移动，速度为 ，点 分别从点 同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停
止运动．(1)几秒后， 的长度为 ；
(2)几秒后， 的面积为 ；
(3) 的面积能否为 ？请说明理由．
【答案】(1) 后， 的长度为
(2) 或 后， 的面积等于
(3) 的面积不可能等于 ，见解析
【分析】（1）设点 运动的时间为 ，则 ， ， ，在
中，根据勾股定理即可求解；
（2）根据 ，解方程即可求解；
（3）根据 ，得关于 的一元二次方程，运用根与系数的关系判定方程是否有
实数解即可．
【详解】（1）解：设点 运动的时间为 ，则 ， ， ，
，
∴在 中，根据勾股定理，得 ， ，
∴ ，解得 或 （舍去），
∴ 后， 的长度为 ．
（2）解：同（1）中所设，设点 运动的时间为 ，则 ， ，， ，
∴ ，即 ，解得 或 ，
∴ 或 后， 的面积等于 ．
（3）解：不能，理由如下：
当 时，即 ，
∴ ，整理得， ，
∵ ，
∴方程没有实数根，
∴ 的面积不可能等于 ．
【点睛】本题主要考查动点与几何图形的综合，理解动点的运动规律，掌握几何图形的面积计算方
法，一元二次方程根据与系数的关系等知识是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022上·江西九江·九年级统考期中）如图，在 中， ， ．
点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，同时点 从点 开始沿 边向点 以
的速度移动，另外一点也随之停止运动．
(1)几秒后，四边形 的面积等于 ？
(2) 的面积能否等于 ？请说明理由．
【答案】(1)1秒
(2)不能，见解析【分析】（1）根据题意可得当运动时间为 时， ， ，
，根据题意列出方程 ，进行求解即可；
（2）看 的面积能否等于 ，只需要看方程 是否有解即可．
【详解】（1）解： ， ，
当运动时间为 时， ，
根据题意可得：
，
整理得： ，
解得： 或 ，
当 时，点 重合，不符合题意，舍去，
∴经过1秒钟，四边形 的面积等于 ；
（2）解： 的面积不能等于 ，
理由如下：
根据题意可得：
，
整理得： ，
，
所列方程没有实数根，
∴ 的面积不能等于 ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用以及根的判别式，关键在于理解清楚题意，找出等量关
系列出方程求解．
2．（2023下·山东济南·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， 点
从 开始沿边 向点 以 的速度移动，与此同时，点 从点 开始沿边 向点 以
的速度移动．点 ， 同时出发，当点 运动到点 时，两点停止运动，设运动时间为 秒．(1)填空： ______ ， ______ ； 用含 的代数式表示 ；
(2)当 为几秒时， 的长度等于 ；
(3)是否存在某一时刻 ，使四边形 的面积等于 面积的 ？如果存在，求出 的值，如
果不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)t为 秒或 秒
(3)存在时刻 ，使四边形 的面积等于 面积的 ， 的值为
【分析】（1）由路程=速度×时间，可直接求解；
（2）由勾股定理建立方程，解一元二次方程可求解；
（3）由题意可得 的面积等于 面积的 ，由三角形的面积公式可求解．
【详解】（1） 点 从 开始沿边 向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿边 向点
以 的速度移动，
， ，
，
故答案为： ， ；
（2）由题意得 ，
即，
解得： ， ，
当t为 秒或 秒时， 的长度等于 ；
（3）存在，理由如下：
若四边形 的面积等于 面积的 ，
的面积等于 面积的 ，
，
，
解得： 或 ，
当 时，
当 时， ，四边形 变为三角形，不合题意，舍去，
存在时刻 ，使四边形 的面积等于 面积的 ， 的值为 ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方程的应用，灵活
运用这些性质解决问题是解题的关键．
一、单选题
1．（2023下·广西贺州·八年级统考期末）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有196人
患病，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）人．
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A【分析】患流行性感冒的人传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人
传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是 人，则传染 人，依题
意列方程： ，解方程即可求解．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
依题意得 ，
即 ，
解方程得 ， （舍去），
故选：A．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流行性感冒的人把病毒传染给别人，自
己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．
2．（2023上·四川南充·九年级统考期末）在“双减政策”的推动下，我区某中学学生每天书面作
业时长明显减少，2022年上学期每天书面作业平均时长为 ，经过2022年下学期和2023年
上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为 ．设该校这两学期平均每天作
业时长每期的下降率为 ，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用2023年上学期平均每天书面作业时长 年上学期每天书面作业平均时长 该
校这两学期平均每天作业时长每期的下降率 ，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设根据题意得： ．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．
3．（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若
每盆每增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？
设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有 株，得出平均单株盈利为
元，根据每盆花苗株数 平均单株盈利 每盆的总盈利，即可得出方程．
【详解】解：由题意得
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键．
4．（2023下·重庆沙坪坝·八年级统考期末）如图，一块长16m，宽8m的矩形菜地，现要在中间铺
设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为105m2．设石子路的宽度为xm，则下
面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设小路的宽为xm，则草坪的总长度为 ，总宽度为 ，根据题意列出方程
即可求出答案．
【详解】解：设小路的宽为xm，则草坪的总长度为 ，总宽度为 ，根据题意，得： ．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清楚草坪的总长度和总宽度是解题关键．
二、填空题
5．（2023下·山东泰安·八年级统考期末）将一条长 的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一
个正方形，使这两个正方形的面积之和等于 ，则其中较大正方形的边长为 ．
【答案】4
【分析】设其中一个正方形边长为 ，则另一个正方形的边长为 ，根据面积之和等于
列方程求解即可.
【详解】解：设其中一个正方形的边长为 ，
∴这个正方形的周长为 ,
则另一个正方形的边长为 ，
根据题意列方程得 ，
整理得: ，
，
解方程得 ，
当 时，另一正方形边长为： ；
当 时，另一正方形边长为： ；
综上所述，较大的一个正方形的边长为 ．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用——几何问题，正确理解题意列出方程是解题关键．
6．（2023下·山东德州·八年级统考期末）2023年，临邑县某单位为响应国家“厉行节约，反对浪
费”的号召，减少了对办公经费的投入，在两个月内将开支从每月 元降到 元，若平均每
月降低开支的百分率为 ，则可根据题意列出方程为 ．【答案】
【分析】设平均每月降低开支的百分率为 ，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：设平均每月降低开支的百分率为 ，则可根据题意列出方程为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2023下·山东济南·八年级统考期末）如图，将一块正方形空地划出部分区域 阴影部分 进行
绿化，绿化后一边减少了 ，另一边减少了 ，剩余面积为 的矩形空地，则原正方形空地
的边长为 ．
【答案】
【分析】本题可设原正方形的边长为 ，则剩余的空地长为 ，宽为 ，根据长方
形的面积公式可列出方程，进而可求出原正方形的边长．
【详解】解：设原正方形的边长为 ，依题意有：
，
解得： ， （不合题意，舍去），
即：原正方形的边长 ．
故答案是： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的
长和宽是解决本题的关键．
8．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图，将边长为 的正方形 沿其对
角线 剪开，再把 沿着 方向平移，得到 ，若两个三角形重叠部分的面积为 ，
则它移动的距离 等于 ．【答案】2
【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设 ，根据题意阴影部分的面积为
，解方程即可求解．
【详解】设 ， 与 相交于点 ，
∵ 是正方形 剪开得到的，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
，
∵两个三角形重叠部分的面积为4，
∴ ，
解得 ，
即移动的距离 为2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查正方形和图形的平移，一元二次方程的应用，熟练掌握平移的性质，正方形的性
质，列出方程是解题的关键．
三、解答题
9．（2023下·吉林长春·八年级校考期末）随旅游旺季的到来，北湖湿地公园的游客人数逐月增加，
3月份游客人数为8万人，5月份游客人数为12.5万人．(1)求这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率；
(2)预计6月份北湖湿地公园游客人数会继续增长，但增长率不超过前两个月的月平均增长率．已知
北湖湿地公园6月1日至6月10日已接待游客6.625万人，则6月份后20天日均接待游客人数最
多是多少万人？
【答案】(1)这两个月平均增长率为
(2)6月份后20天日均接待游客人数最多是0.45万人
【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由2月份游客人数为1.6万人，
4月份游客人数为2.5万人，列出方程可求解；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由增长率不会超过前两个月的月平均增长率，
列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设这两个月平均增长率为 ，根据题意，得
解得， ， （舍）
答：这两个月平均增长率为 ．
（2）解：设6月份后20天日均接待游客人数是 万人，山题意可得，
答：6月份后20天日均接待游客人数最多是0.45万人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的
关键．
10．（2023上·河南周口·九年级统考期末）某商店于今年三月初以每件40元的进价购进一批水磨
年糕，当年糕售价为每件60元时，三月份共销售192件．四、五月该批年糕销售量持续走高，在
售价不变的基础上，五月份的销售量达到300件．
(1)求四、五两个月销售量的平均增长率；
(2)从六月份起，在五月份的基础上，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经市场调查发现，
该年糕每件降价1元，月销售量增加20件．在顾客获得最大实惠的前提下，当年糕每件降价多少
元时，商场六月仍可获利为6080元？【答案】(1)
(2)每件降价4元
【分析】（1）设四、五两个月销售量的平均增长率为 ，根据三月份销量与五月份销量的关系
列一元二次方程，即可求解；
（2）当年糕每件降价m元时，月销量为 件，单件利润为 元，根据总利润
等于销量乘以单件利润列一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：设四、五两个月销售量的平均增长率为 ，
由题意知： ，
解得 或 （舍），
故四、五两个月销售量的平均增长率为 ；
（2）解：设当年糕每件降价m元时，商场六月仍可获利为6080元，
由题意知： ，
整理得： ，
解得 或 ，
要使顾客获得最大实惠，
，
即在顾客获得最大实惠的前提下，当年糕每件降价4元时，商场六月仍可获利为6080元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
11．（2023下·浙江丽水·八年级统考期末）如图，某学校有一块长 ，宽 的长方形空地，计
划在其中修建三块相同的长方形绿地，三块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.
(1)若设计人行通道的宽度为 ，则三块长方形绿地的面积共多少平方米?
(2)若三块长方形绿地的面积共 ，求人行通道的宽度．【答案】(1)三块的长方形绿地的面积共648平方米
(2)人行通道的宽度为
【分析】（1）根据题意得：三块长方形绿地的长为 ，宽为 ，可求得面积；
（2）设人行通道的宽度为x米，则两块矩形绿地的长为 ，宽为 ，根据题意
得： ，解方程可得．
【详解】（1）解：
答：三块的长方形绿地的面积共648平方米；
（2）解：设人行通道的宽度为x米，
由题意，得 ，
化简，得 ，
解得 ， （不符合题意，舍去）.
答：人行通道的宽度为 ．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，列出一元二次方程是解题的关键．
12．（2023下·江苏南通·八年级统考期末）某学校在“美化校园，幸福学习”活动中，计划利用如
图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用 长的篱笆围成一个矩形花园 （篱笆
只围AB，AD两边）．
(1)若花园的面积为 ，求AB的长；
(2)若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且到墙CD的距离为 ，若要将这棵树围在矩形花园内
（含边界，不考虑树的粗细），问该花园的面积能否为 ？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1) 米或 米
(2)不能，理由见解析
【分析】 由矩形面积公式得出方程，解方程即可；
根据题意可得方程 ，求出 的值，然后再根据 处这棵树是否被围在花园内进行
分析即可．
【详解】（1）解： 米， 米，
由题意得： ，
解得： ， ，
答： 的长为 米或 米；
（2）解：花园的面积不能为 米 ，理由如下：
米， 米，
由题意得： ，
解得： ，
当 时， ，
即当 米， 米 米，这棵树没有被围在花园内，
将这棵树围在矩形花园内 含边界，不考虑树的粗细 ，则花园的面积不能为 米 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（2023上·湖南长沙·九年级统考期末）如图， 中， ， ， ，
动点 从点 开始沿边 向点 以 的速度移动，动点 从点 开始沿边 向点 以
的速度移动．如果 两点分别从 两点同时出发，移动时间为 （单位： ）．(1)求 的面积 关于 的函数解析式；
(2)若 的面积是 面积的 ，求 的值；
(3)问： 的面积能否为 面积的一半？若能，请求出 的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不可能，见解析
【分析】（1）分别用函数 的式子表示出 的长，根据三角形的面积计算公式即可求解；
（2）当运动时间为 时， ， ， ，根据三角形的面积计算公式即
可求解；
（3）根据题意，列式为 ，根据一元二次方程方程根据的判别式可知此方程无实数解，
由此即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得： ， ，
∴
∴ ．
（2）解：当运动时间为 时， ， ， ，
根据题意得： ，即 ，整理得： ，
解得： ，
∴ 的值为 ．
（3）解： 的面积不可能是 面积的一半，理由如下：
根据题意得： ，即 ，
整理得： ，
∵ ，
∴该方程没有实数根，
∴ 的面积不可能是 面积的一半．
【点睛】本题主要考查动点与几何图形的综合，掌握动点运动的规律与线段的长度的关系，几何图
形面积的计算方法，一元二次方程根的判别式的知识是解题的关键．
14．（2023下·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，
， ，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以 的速度向点B移动，
一直到点B为止，点Q以 的速度向点D移动，设移动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，P，Q两点间的距离最小？最小距离是多少？
(2)连接 ．
①当 为等腰三角形时，求t的值；
②在运动过程中，是否存在一个时刻，使得 ？若存在，求出t的值；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)当 时， 最小， 的最小距离为(2)①当 为等腰三角形时，t的值为 或 或 ；②不存在一个时刻，使得
，理由见解析
【分析】（1）首先根据题意，得出 ， ，再根据线段之间数量关系，得出
，再根据垂线段最短，得出当 时， 最小，此时四边形 是矩形，
再根据矩形的性质，得出 ，然后代入数据，得出 ，解出即可得出答案；
（2）①过点 作 于点 ，得矩形 ，矩形 ，根据矩形的性质，得出
， ，再根据线段之间数量关系，得出 ，再根据
勾股定理，得出 ， ，然后分三种情况：当 时，当
时，当 时，分别列出方程进行求解，即可得出答案；
②当 时，根据勾股定理，得出 ，进而得出
，整理得出 ，再根据一元二次方程的根与判别
式的关系，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意，可得： ， ，
∵ ， ，
∴ ，
当 时， 最小，此时四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴当 时， 最小， 的最小距离为 ；
（2）解：①如图，过点 作 于点 ，得矩形 ，矩形 ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，
根据勾股定理，可得： ， ，
当 时，
可得： ，
整理可得： ，
解得： ；
当 时，
可得： ，
整理可得： ，
解得： 或 （不符合题意，舍去），
当 时， 为 的中点，
∴ ，解得： ，
综上可得：当 为等腰三角形时，t的值为 或 或 ；
②不存在一个时刻，使得 ，理由如下：
当 时，
可得： ，
即 ，
整理可得： ，
∵ ，
∴此方程无实数解，
∴不存在一个时刻，使得 ．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、
解一元二方程、一元二次方程的根与判别式的关系，解本题的关键在利用分类讨论思想解答．
