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专题 02 实际问题与一元二次方程（综合题）
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易错点拨
知识点1：列一元二次方程解应用题的一般步骤
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
审(审题目，分清 等)；
设(设未知数，有时会 )；
列(根据题目中的等量关系， )；
解(解方程，注意分式方程需 ，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证 ）
答(写出答案，切忌答非所问).细节剖析:
列方程解实际问题的三个重要环节：
一是 审题；
二是把握问题中的 ；
三是 解的合理性.
知识点2：一元二次方程应用题的主要类型
1.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、
千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字
只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用
其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位
数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：
(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为
几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差
如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为
2.平均变化率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或
降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增
长后的量.)
(2)降低率问题：
平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后
的量.)
3.利息问题
(1)概念：
本金： 叫本金.利息： 叫利息.
本息和： 叫本息和.
期数： 叫期数.
利率： 叫利率.
(2)公式:
利息=
利息税= 本金× =本息和
本金× =本息和(收利息税时)
4.利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=
总利润=
5.形积问题
此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图
形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
细节剖析:
列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得
对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.
易错题专训
一．选择题
1．（2021秋•丹东期末）某超市一月份的营业额为5万元，第一季度的营业额共60万元，如果平均每月
增长率为x，则所列方程为（ ）
A．5（1+x）2＝60 B．5（1+2x）2＝60
C．5（1+2x）＝60 D．5[1+（1+x）+（1+x）2]＝602．（2019•开远市二模）我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的
新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，最终
以每平方米12150元的均价销售，则平均每次下调的百分率是（ ）
A．8% B．9% C．10% D．11%
3．（2021春•鹿城区校级期中）如图1，有一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片，裁去角上两个小正方
形和两个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图 2的有盖纸盒，若纸盒的底面积是28cm2，则
该有盖纸盒的高为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2021秋•江岸区校级月考）如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整
个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等
宽，左、右边衬等宽，则左右边衬的宽度为（ ）cm．
A． B． C． D．
5．（2022春•萧山区期中）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却持续蔓延，
此肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，
设每轮传染中平均每个人传染了x人，则根据题意可列出方程（ ）
A．x（1+x）＝256 B．x+（1+x）2＝256
C．x+x（1+x）＝256 D．1+x+x（1+x）＝256
6．（2022春•福州期末）我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，
创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！某贫困村从2018年开始大力发展乡村民宿旅游产业，据统计，该
村2018年乡村民宿旅游收入约为2000万元，2020年该村乡村民宿旅游收入达到 3380万元，则该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为（ ）
A．20% B．25% C．30% D．35%
二．填空题
7．（2022春•雨山区校级月考）2021年10月10日，第七届黑龙江绿色食品产业博览会开幕，虎林市组建
团队参加，在参加会议前团队每两个人间互送了一次名片，一共送出 90张名片，这个团队有
人．
8．（2021•莱芜区二模）如图，某小区规划在一个长为24m、宽为10m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽
的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为160m2，则
小路的宽度为 m．
9．（2022•锦江区模拟）已知矩形的长和宽分别为a和b，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别
是已知矩形的三分之一，则a，b应该满足的条件为 ．
10．（2022•天府新区模拟）给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周
长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1时，
其“加倍矩形”的对角线长为 ．
11．（2019•江汉区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，动点P从点A开始以每秒1
个单位长度的速度沿边AC向点C运动，同时动点Q从点C开始，以每秒2个单位长度的速度沿C→B→A
的折线在CB、BA边上向点A运动，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ．在运动过程中（Q
点在C、B、A三点除外），线段PQ将△ABC分成一个三角形和一个四边形，若四边形的面积为三角形面
积的2倍，则运动的时间为 秒．
12．（2022春•福山区期末）德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地
有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有 144人感染了德尔塔病毒，如果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有 人感染德尔塔病毒．
13．（2022春•蜀山区期末）如图，某生物兴趣小组要在长40米、宽30米的矩形园地种植蔬菜，为便于
管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽小路，若蔬菜种植面积为 1008平方米，则小路的宽为
米．
三．解答题
14．（2022春•台江区期末）两年前，生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是
6000元．随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3200元，生产1吨乙种药品的成本是
3375元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
15．（2022•沙坪坝区校级一模）农历虎年之际，某社区为了突出浓浓年味，计划购买A与B两种贴花共
500张．已知A贴花的售价是每张15元，B贴花的售价是每张30元，共花费9000元．
（1）求计划购买多少张B贴花？
（2）为了节省费用，社区工作人员最终在网上购买，A贴花每张售价减少了 ，B贴花每张售价也便宜
了m元．现在在（1）的基础上购买B贴花的数量增加了 m张，总数量不变，并且总费用比原计划减
少了（2000+10m）元，求m的值．
16．（2022•碑林区校级二模）某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销
售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件，若超市某月涨价销售该商品共获得利润4000元，求这个月该商品每件的销售价为多少元？
17．（2022•河南一模）喜万家超市以原价为20元/瓶的价格对外销售某种洗手液，为了减少库存，决定降
价销售，经过两次降价后，售价为16.2元/瓶．
（1）求平均每次降价的百分率；
（2）为确保新学期开学工作安全、卫生、健康、有序，某学校决定购买一批洗手液（超过 200瓶），
超市对购买量大的客户有优惠措施，在16.2 元/瓶的基础上推出方案一；每瓶打九折；方案二：不超
过200瓶的部分不打折，超过200瓶的部分打八折．学校应该选择哪种方案更省钱（只能选择一种）？
请说明理由．
18．（2022•江岸区校级模拟）某公司以3万元/吨的价格收购20吨某种水果后，分成A，B两类（A类直接
销售，B类深加工成果酱后再销售），并全部售出：
A类水果的销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（单位：吨）之间的函数关系是y＝﹣x+13．
B类水果深加工总费用m（单位：万元）与加工数量n（单位：吨）之间的函数关系是m＝12+3n，B类果
酱每吨利润率（不考虑深加工费用）是A类水果每吨利润率的2倍，按此标准定B类的销售价格．注：总利润＝售价﹣总成本；利润率＝（售价﹣进价）÷进价．
（1）设其中A类水果有x吨，用含x的代数式表示下列各量．
①B类果酱有 吨；
②A类水果所获得总利润为 万元；
③B类果酱所获得总利润为 万元．
（2）若A类水果比B类果酱获得总利润低24万元，问A，B两类水果各有多少吨？
（3）若A，B两类水果获得总利润和不低于48万元，直接写出x的取值范围．
19．（2021秋•高安市期中）某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部
租出，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为500元，
未租出的车辆每月只需维护费100元．
（1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维
护费）是多少万元？
（2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金
收入扣除维护费）可达到40.4万元？
20．（2021秋•乌鲁木齐期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件可盈利40元．为
了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，
商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由；
（3）该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？
