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第二十一章 一元二次方程
21.2.2 公式法
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．方程2x2－5x＋3＝0的根的情况是
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．两根异号
【答案】B
【解析】∵ =（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，∴方程 有两个不相等的实数根．故选B．
2．方程(x－5)(x＋2)＝1的解为
A．5 B．－2
C．5和－2 D．以上结论都不对
【答案】D
【名师点睛】考查了公式法解一元二次方程，用到的知识点是一元二次方程的求根公式，注意只有当 ≥0
时， .
3．用公式法解方程4y2=12y+3，得到
A．y= B．y=
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
C．y= D．y=【答案】D
【解析】4y2=12y+3，
4y2−12y−3=0，
a=4，b=−12，c=−3，
b2−4ac=(−12)2−4×4×(−3)=192>0，
y= ，
故选D．
4．已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实根，则k的值为
A． B．
C．2或3 D． 或
【答案】A
【解析】∵方程 有两个相等的实根，
∴ =k2−4×2×3=k2−24=0，
解得：k= ．
故选A．
【名师点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当 =0时，方程有两个相等的两个实数根．”是解题的
关键．
5．关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】D[来源:学。
科。网Z。X。X。K]
【名师点睛】考查一元二次方程 根的判别式 ，
当 时，方程有两个不相等的实数根.
当 时，方程有两个相等的实数根.
当 时，方程没有实数根.
6．关于 的一元二次方程 的根的情况是
A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根
C．无实数根 D．不能确定
【答案】A
【名师点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式 =b2−4ac．当
＞0时，方程有两个不相等的实数根；当 =0时，方程有两个相等的实数根；当 ＜0时，方程没有实数
根．
[来源:Zxxk.Com]
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
7．方程x2﹣4x﹣3=0的解为__________．【答案】
【解析】
故答案为：
【名师点睛】考查一元二次方程的解法，常用的解法有：直接开方法，配方法，公式法，因式分解法.根据题
目选择合适的方法.
8．关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是__________．
【答案】m=4．
【名师点睛】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（1） ＞0，方程有两个
不相等的实数根；（2） =0，方程有两个相等的实数根；（3） ＜0方程没有实数根．
[来源:学科网]
9．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则a的值是__________．
【答案】4
【解析】∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，∴ =42﹣4a=16﹣4a=0，解得：
a=4．故答案为4．
10．已知关于x的一元二次方程 有两个相等实数根，则m的值为______．
【答案】0【解析】∵关于x的一元二次方程（m−1）x2−（2m−2）x−1=0有两个相等的实数根，
∴ =（2m−2）2+4（m−1）=0，且m−1≠0，
∴ ，m≠1.
解得，m=0．
故答案是0．
【名师点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义．一元二次方程根的情况与判别式 的关系：
（1） ＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2） =0 ⇔方程有两个相等的实数根；
（3） ＜0⇔ 方程没有实数根．
⇔
11．已知方程组 有两组不相等的实数解，则 的取值范围是_________．
【答案】 且
【 解 析 】 , 把 ② 代 入 ① 得 ， 整 理 得
,当 且 时,方程有两个不相等的根,解得k<1且
k≠0,所以当k<1且k≠0时,方程组有两组不相等的实数解.
故答案为： 且 .
【名师点睛】本题考查了高次方程:通过适当的方法,把高次方程化为次数较低的方程求解.所以解高次方
程一般要降次,即把它转化成二次方程或一次方程.也有的通过因式分解来解.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12．解方程：
（1）x2−16=0；（2）x2−4=−2x.
【答案】(1)x=4，x=−4;(2)x= ,x=− .
1 2 1 213．4x2﹣5=12x（用公式法解）．
[来源:学|科|网]
【答案】 ， ．
【解析】原方程整理为：4x2﹣12x﹣5=0，
∵a=4，b=﹣12，c=﹣5，
∴ =144﹣4×4×（﹣5）=224＞0，
则 ，
∴ ， ．
14．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
【答案】【名师点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当 ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
15．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这
样做的：
由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：
x2+ x=﹣ ，…第一步
x2+ x+（ ）2=﹣ +（ ）2，…第二步
（x+ ）2= ，…第三步
x+ = （b2﹣4ac＞0），…第四步
x= ，…第五步
嘉淇的解法从第________________步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的求根公式是________________．
用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．
【答案】见解析
【解析】（1）嘉淇的解法从第四步开始出现错误；当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是x= ；
故答案为：四；x= ；
（2）x2﹣2x=24，配方得：x2﹣2x+1=24+1，即（x﹣1）2=25，开方得：x﹣1=±5，解得：x=6，x=﹣4．
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【名师点睛】此题考查了解一元二次方程——公式法与配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键.
