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课 型 新授课
课题 21.1一元二次方程
课 时 1
1.经历一元二次方程概念的形成过程，知道什么是一元二次方程.
教学
目标 2.会把一元二次方程化成一般形式，并知道各项及系数的名称.
教 学 重点：判定一个数是否是方程的根；
重 点 难点：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是
难 点 实际问题的根
教 学
多媒体
准 备
（一）创设情境，导入新课
师：（板书：3x-5=0）这是一个什么方程？（稍停）3x-5=0是一个一元
一次方程（板书：一元一次方程）.
师：哪位同学知道什么样的方程是一元一次方程？
生：……（让几名同学回答）
师：（指准 3x-5=0）只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1 的方
程，叫做一元一次方程.（指准“一元一次方程”）一元指的是含有一个未知
数，一次指的是未知数的次数是1.
师：一元一次方程是我们在初一已经学过的，从今天开始，我们要学习
一种新的方程，叫做一元二次方程（板书：一元二次方程）.
教
（二）尝试指导，讲授新课
学 师：什么样的方程是一元二次方程？（板书：x2-x=56）x2-x=56是一个
一元二次方程，（板书：4x2-9=0）4x2-9=0 也是一元二次方程，（板书：
过 x2+3x=0）x2+3x=0也是一元二次方程，（板书：3y2-5y=7）3y2-5y=7也是一元
二次方程.
程
师：从这些一元二次方程，哪位同学能概括什么样的方程是一元二次方
程？（等到有一部分同学举手再叫学生）
生：……（多让几名同学回答）
师：（指准x2-x=56）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，
这样的方程叫做一元二次方程.
（师出示下面的板书）
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二
次方程.
师：请大家把一元二次方程的定义读两遍.（生读）
师：根据一元二次方程的定义，（指准方程）我们很容易判断 x2-x=56，4x2-9=0，x2+3x=0，3y2-5y=7 这些方程都是一元二次方程.（板书：
3x(x-1)=5(x+2)）现在请大家判断，这个方程是不是一元二次方程？为什
么？（让生思考一会儿）
生：……（让几名学生发表看法）
师：把这个方程两边去括号，得到 3x2-3x=5x+10（边讲边板书：3x2-
3x=5x+10），去括号后容易看出，这个方程是一元二次方程.
师：（指 3x2-3x=5x+10）这个方程还可以继续整理，怎么继续整理？
（指准方程）先把右边的5x和10都移到左边去，再合并，得到 3x2-8x-10=0
（边讲边板书：3x2-8x-10=0）.
师：（指原方程和3x2-8x-10=0）大家可以比较这两个方程，这个方程是
这个方程经过整理得到的，这个方程的形式又简单又整齐，我们把这种形式
叫做一元二次方程的一般形式（板书：一元二次方程的一般形式）.
师：从这个例子大家可以看到，任何一个一元二次方程，经过整理，都
可以化成一般形式，一般形式就是 ax2+bx+c=0 这样的形式（边讲边板书：
ax2+bx+c=0）.
师：（指准ax2+bx+c=0）在一元二次方程的一般形式中，我们把ax2叫做
二次项，a是二次项系数（板书：其中a是二次项系数）；bx叫做一次项，b
是一次项系数（板书：b是一次项系数）；c叫做常数项（板书：c是常数
项）.
师：（指准3x2-8x-10=0）譬如，在这个方程中，二次项是 3x2，二次项
系数是3；一次项是-8x，一次项系数是-8；常数项是-10.
师：（指x2+3x=0）大家看这个方程，它的二次项、二次项系数是什么？
生：二次项是x2，二次项系数是1.（多让几名同学回答）
师：（指x2+3x=0）它的一次项、一次项系数是什么？
生：一次项是3x，一次项系数是3.（多让几名同学回答）
师：（指x2+3x=0）它的常数项是什么？
生：常数项是0.（多让几名同学回答，如有必要师作解释）
师：（指 4x2-9=0）大家再看这个方程，它的二次项、二次项系数是什
么？
生：二次项是4x2，二次项系数是4.
师：（指4x2-9=0）它的一次项、一次项系数是什么？
生：……（多让几名同学回答）
师：这个方程的一次项可以写成 0x（边讲边板书：0x），所以这个方程
的一次项是0x，一次项系数是0.
师：（指4x2-9=0）它的常数项是什么？
生：常数项是-9.
师：前面我们学习了一元二次方程的概念和一般形式，下面请大家利用
这些知识来做几个练习.作 业
完成同步练习
布 置
本节课我们学习了一元二次方程根的概念，还学习了用直接开平方法解一元
课堂 二次方程.用直接开平方法解一元二次方程有这么三步，第一步把原方程化成
总结 什么2=常数这种形式；第二步开平方，把一元二次方程化成一元一次方程，
也就是把二次降为一次；第三步解一元一次方程，得到两个根.
课 型 新授课
课题 21.2 一元二次方程的解法复习课
课 时 1
能掌握解一元二次方程的四种方法以及各种解法的要点。会根据不同的方
教学
程特点选用恰当的方法，是解题过程简单合理，通过揭示各种解法的本质联
目标
系，渗透降次化归的思想方法。
教 学
重点：会根据不同的方程特点选用恰当的方法，是解题过程简单合理。
重 点
难点：通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想。
难 点
教 学
多媒体
准 备1．用不同的方法解一元二次方程 3 x2-5x-2=0(配方法，公式法，因式分
解发)
教师点评：三种不同的解法体现了同样的解题思路——把一元二次方程
“降次”转化为一元一次方程求解。
2把下列方程的最简洁法选填在括号内。
(A)直接开平方法 (B) 配方法 (C) 公式法 (D)因式分解法
（1）7x-3=2 x2 ( ) (2)4(9x-1) 2=25 ( ) (3)(x+2)(x-1)=20 (
)
(4) 4x2+7x=2 ( ) (5)2(0.2t+3) 2-12.5=0 ( ) (6) x2+2
x-4=0 ( )
说明:一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、公式法，若没有
教 特殊说明一般不采用配方法。其中，公式法是一般方法，适用于解所有的
一元二次方程，因式分解法是特殊方法，在解符合方程左边易因式分解，
学 右边为0的特点的一元二次方程时，非常简便。
将下列方程化成一般形式，在选择恰当的方法求解。
过 (1)3x2=x+4 (2)(2x+1)(4x-2)=(2x-1) 2+2 (3)(x+3)(x-4)=-6（4）(x+1)
2-2(x-1) 2=6x-5
程 说明：将一元二次方程化成一般形式不仅是解一元二次方程的基本技能，
而节能为揭发的选择提供基础。
4.阅读材料，解答问题：
材料：为解方程(x2-1) 2-5(x2-1) 2+4=0,我们可以视（x2-1）为一个整体，
然后设x2-1=y,原方程可化为 y 2-5y+4=0①.解得y =1,y =4。当y =1时，
1 2 1
x2-1=1 即 x2=2，x=± .当 y =4 时，x2-1=4 即 x2=5, x=±√5。原方
2
程的解为x = ,x =- ,x =√5,
1 2 3
x =-√5
4
解答问题：（1）填空：在由原方程得到①的过程中利用_______法，达到
了降次的目的，体现_______的数学思想。（2）解方程x4—x2—6=0.
作 业
完成同步练习
布 置
(1)说说你对解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程的认识
(消元、降次、化归的思想)
(2)三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：
联系①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即
降次．
课堂 ②公式法是由配方法推导而得到．
总结 ③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一
元二次方程．
区别：①配方法要先配方，再开方求根．
②公式法直接利用公式求根．
③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为 0，再分别使
各一次因式等于0．课 型 新授课
课题 21.2.1 配方法
课 时 1
理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些
具体问题．
提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0，根据平方根的意义
解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．
理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一
教学
些具体问题．
目标
通过复习可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的
解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤．
了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．
通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解
决一些具体题目．
重点 运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，领会降次——转化的数
教 学 学思想．
重 点 讲清直接降次有困难，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解题步骤．
难 点 讲清配方法的解题步骤．
难点 对于用配方法解二次项系数为 1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为 1
的一元二次方程，要先化二次项系数为1，再用配方法求解．
将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技
巧．
通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义
解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程
教 学
多媒体
准 备
一、复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题．
问题1：填空
(1)x2－8x＋________＝(x－________)2；(2)9x2＋12x＋________＝(3x＋
________)2；(3)x2＋px＋________＝(x＋________)2.
解：根据完全平方公式可得：(1)16 4；(2)4 2；(3)()2 .
问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程
与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪
些降次的方法？
二、探索新知
上面我们已经讲了x2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得 x＝±3，如
果x换元为2t＋1，即(2t＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？
(学生分组讨论)
老师点评：回答是肯定的，把2t＋1变为上面的x，那么2t＋1＝±3
即2t＋1＝3，2t＋1＝－3
方程的两根为t ＝1，t ＝－2
1 2
例1 解方程：(1)x2＋4x＋4＝1 (2)x2＋6x＋9＝2
分析：(1)x2＋4x＋4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x＋2)2
教
＝1.
(2)由已知，得：(x＋3)2＝2
学
直接开平方，得：x＋3＝±
即x＋3＝，x＋3＝－
过
所以，方程的两根x ＝－3＋，x ＝－3－
1 2
解：略．
程
例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的 10 m2提高到14.4 m2，
求每年人均住房面积增长率．
分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10
＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是 10(1＋x)＋10(1＋x)x＝
10(1＋x)2
解：设每年人均住房面积增长率为x，
则：10(1＋x)2＝14.4
(1＋x)2＝1.44
直接开平方，得1＋x＝±1.2
即1＋x＝1.2，1＋x＝－1.2
所以，方程的两根是x ＝0.2＝20%，x ＝－2.2
1 2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x ＝－2.2应舍去．
2
所以，每年人均住房面积增长率应为20%.
(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？
共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．
我们把这种思想称为“降次转化思想”．
三、巩固练习
教材第6页 练习．一、复习引入
(学生活动)请同学们解下列方程：
(1)3x2－1＝5 (2)4(x－1)2－9＝0 (3)4x2＋16x＋16＝9 (4)4x2＋16x
＝－7
老师点评：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么
可得
x＝±或mx＋n＝±(p≥0)．
如：4x2＋16x＋16＝(2x＋4)2，你能把 4x2＋16x＝－7 化成(2x＋4)2＝9
吗？
二、探索新知
列出下面问题的方程并回答：
(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？
(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？
问题：要使一块矩形场地的长比宽多 6 m，并且面积为16 m2，求场地的
长和宽各是多少？
(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三
个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有此特征．
(2)不能．
既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降
次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：
x2＋6x－16＝0移项→x2＋6x＝16
两边加(6/2)2使左边配成x2＋2bx＋b2的形式→x2＋6x＋32＝16＋9
左边写成平方形式→(x＋3)2＝25降次→x＋3＝±5即x＋3＝5或x＋3＝
－5
解一次方程→x ＝2，x ＝－8
1 2
可以验证：x ＝2，x ＝－8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以
1 2
场地的宽为2 m，长为8 m.
像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，
叫配方法．
可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一
次方程来解．
例1 用配方法解下列关于x的方程：
(1)x2－8x＋1＝0 (2)x2－2x－＝0
分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法
化为完全平方式；(2)同上．
解：略．
三、巩固练习
教材第9页 练习1，2.(1)(2)．
一、复习引入
(学生活动)解下列方程：
(1)x2－4x＋7＝0 (2)2x2－8x＋1＝0
老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有 x的完全平方
形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两
道题也可以用上面的方法进行解题．
解：略． (2)与(1)有何关联？
二、探索新知
讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)先将已知方程化为一般形式；
(2)化二次项系数为1；
(3)常数项移到右边；
(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方
式；(5)变形为(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±；如果q
＜0，方程无实根．
例1 解下列方程：
(1)2x2＋1＝3x (2)3x2－6x＋4＝0 (3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0
分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法
来完成，即配一个含有x的完全平方式．
解：略．
三、巩固练习
教材第9页 练习2.(3)(4)(5)(6)．
教材第16页 复习巩固1
材第17页 复习巩固2，3.(1)(2)．
作 业
教材第17页 复习巩固3.(3)(4)．
补充：(1)已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0，求x＋y＋z的值．
布 置
(2)求证：无论x，y取任何实数，多项式x2＋y2－2x－4y＋16的值总是正
数.
本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程，那么x＝
±转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那么mx＋n＝
±，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解
左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有 x的完全平方
课堂
形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．
总结
1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．
2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二
次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性．
在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到．
课 型 新授课
课题 21.2.2 公式法
课 时 1
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应
教学
用公式法解一元二次方程．
目标
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．
教 学
重点 求根公式的推导和公式法的应用．
重 点
难点 一元二次方程求根公式的推导．
难 点
教 学
多媒体
准 备
一、复习引入
1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程
(1)x2＝4 (2)(x－2)2＝7
提问1 这种解法的(理论)依据是什么？
提问2 这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的
特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程．)
2．面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配
方成能够“直接开平方”的形式．)
(学生活动)用配方法解方程 2x2＋3＝7x
(老师点评)略
总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)．
(1)先将已知方程化为一般形式；
(2)化二次项系数为1；
(3)常数项移到右边；
(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方
式；
(5)变形为(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±；如果q
教
＜0，方程无实根．
二、探索新知
学
用配方法解方程：
(1)ax2－7x＋3＝0 (2)ax2＋bx＋3＝0
过
如果这个一元二次方程是一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面
配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
程
问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根x ＝，x ＝(这个方
1 2
程一定有解吗？什么情况下有解？)
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把 a，b，c也当成
一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax2＋bx＝－c
二次项系数化为1，得x2＋x＝－
配方，得：x2＋x＋()2＝－＋()2
即(x＋)2＝
∵4a2>0，当b2－4ac≥0时，≥0
∴(x＋)2＝()2
直接开平方，得：x＋＝±
即x＝
∴x ＝，x ＝
1 2
由上可知，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，
c而定，因此：
(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2
－4ac≥0时，将a，b，c代入式子x＝就得到方程的根．(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
公式的理解
(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例1 用公式法解下列方程：
(1)2x2－x－1＝0 (2)x2＋1.5＝－3x
(3)x2－x＋＝0 (4)4x2－3x＋2＝0
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入
公式即可．
补：(5)(x－2)(3x－5)＝0
三、巩固练习
教材第12页 练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)．
作 业
教材第17页 习题4，5.
布 置
本节课应掌握：
(1)求根公式的概念及其推导过程；
(2)公式法的概念；
课堂 (3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，
总结 注意移项要变号，尽量让a>0；2)找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符
号；3)计算b2－4ac，若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求
根公式，算出结果．
(4)初步了解一元二次方程根的情况
课题 21.2.3 因式分解法 课 型 新授课课 时 1
掌握用因式分解法解一元二次方程．
教学
通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法
目标
——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．
教 学 重点 用因式分解法解一元二次方程．
重 点 难点 让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解
难 点 题更简便．
教 学
多媒体
准 备
一、复习引入
(学生活动)解下列方程：
(1)2x2＋x＝0(用配方法) (2)3x2＋6x＝0(用公式法)
老师点评：(1)配方法将方程两边同除以 2后，x前面的系数应为，的一
半应为，因此，应加上()2，同时减去()2.(2)直接用公式求解．
二、探索新知
(学生活动)请同学们口答下面各题．
(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？
(2)等式左边的各项有没有共同因式？
(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式
分解．
因此，上面两个方程都可以写成：
(1)x(2x＋1)＝0 (2)3x(x＋2)＝0
教
因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x＝0
或2x＋1＝0，所以x ＝0，x ＝－.
学 1 2
(2)3x＝0或x＋2＝0，所以 x ＝0，x ＝－2.(以上解法是如何实现降次
1 2
的？)
过
因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，
而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于 0的形式，再使这两个一
程
次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．
例1 解方程：
(1)10x－4.9x2＝0 (2)x(x－2)＋x－2＝0 (3)5x2－2x－＝x2－2x＋
(4)(x－1)2＝(3－2x)2
思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？
解：略 (方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积．)
练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( )
A．(x－3)(x－5)＝10×2，∴x－3＝10，x－5＝2，∴x ＝13，x ＝7
1 2
B．(2－5x)＋(5x－2)2＝0，∴(5x－2)(5x－3)＝0，∴x ＝，x ＝
1 2
C．(x＋2)2＋4x＝0，∴x ＝2，x ＝－2
1 2
D．x2＝x，两边同除以x，得x＝1
三、巩固练习
教材第14页 练习1，2.作 业
教材第17页 习题6，8，10，11.
布 置
本节课要掌握：
(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及
课堂
其应用．
总结
(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为 0，再分别
使各一次因式等于0.
课 型 新授课
课题 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
课 时 1
1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．
教学 2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．
目标 3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律．
4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．
教 学 重点 根与系数的关系及其推导
重 点 难点 正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元
难 点 二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．教 学
多媒体
准 备
一、复习引入
1．已知方程x2－ax－3a＝0的一个根是6，则求a及另一个根的值．
2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学
过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁
的关系？
3．由求根公式可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x ＝，
1
x ＝.观察两式右边，分母相同，分子是－b＋与－b－.两根之间通过什么计算
2
才能得到更简洁的关系？
二、探索新知
解下列方程，并填写表格：
方程 x x x ＋x x ·x
1 2 1 2 1 2
x2－2x＝0
x2＋3x－4＝0
x2－5x＋6＝0
观察上面的表格，你能得到什么结论？
(1)关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为常数，p2－4q≥0)的两根x ，x 与
1 2
系数p，q之间有什么关系？
(2)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根x ，x 与系数a，b，c之间
1 2
又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？
教 解下列方程，并填写表格：
学 方程 x x x ＋x x ·x
1 2 1 2 1 2
2x2－7x－4＝0
过 3x2＋2x－5＝0
5x2－17x＋6＝
程 0
小结：根与系数关系：
(1)关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为常数，p2－4q≥0)的两根x ，x 与
1 2
系数p，q的关系是：x ＋x ＝－p，x ·x ＝q(注意：根与系数关系的前提条
1 2 1 2
件是根的判别式必须大于或等于零．)
(2)形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的方程，可以先将二次项系数化为 1，再利
用上面的结论．
即：对于方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
∵a≠0，∴x2＋x＋＝0
∴x ＋x ＝－，x ·x ＝
1 2 1 2
(可以利用求根公式给出证明)
例1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：
(1)x2－3x－1＝0 (2)2x2＋3x－5＝0
(3)x2－2x＝0 (4)x2＋x＝
(5)x2－1＝0 (6)x2－2x＋1＝0
例2 不解方程，检验下列方程的解是否正确？
(1)x2－2x＋1＝0 (x ＝＋1，x ＝－1)
1 2
(2)2x2－3x－8＝0 (x ＝，x ＝)
1 2
例3 已知一元二次方程的两个根是－1和2，请你写出一个符合条件的
方程．(你有几种方法？)
例4 已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．变式一：已知方程x2－2kx－9＝0的两根互为相反数，求k；
变式二：已知方程2x2－5x＋k＝0的两根互为倒数，求k.
1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．
作 业 (1)x2－5x－3＝0 (2)9x＋2＝x2 (3)6x2－3x＋2＝0
(4)3x2＋x＋1＝0
布 置 2．已知方程x2－3x＋m＝0的一个根为1，求另一根及m的值．
3．已知方程x2＋bx＋6＝0的一个根为－2，求另一根及b的值
1．根与系数的关系．
课堂
2．根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等
总结
于零．课 型 新授课
课题 22.3 实际问题与一元二次方程
课 时 1
1．经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决
实际问题的一般步骤．
2．通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一
元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤．
教学 3．通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方
目标 程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．
4．通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程
解决几何问题．
5．通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列
方程更容易．
重点 利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题．
通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的
教 学
能力．
重 点
难点 在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程．
难 点
如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到
传播问题和百分率问题中的数量关系
教 学
多媒体
准 备
一、引入新课
1．列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？
2．科学家在细胞研究过程中发现：
(1)一个细胞一次可分裂成2个，经过3次分裂后共有多少个细胞？
(2)一个细胞一次可分裂成x个，经过3次分裂后共有多少个细胞？
(3)如是一个细胞一次可分裂成2个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次
分裂，试问经过3次分裂后共有多少个细胞？
二、教学活动
教
活动1：自学教材第19页探究1，思考教师所提问题．
有一人患了流感，经过两轮传染后，有 121人患了流感，每轮传染中平
学
均一个人传染了几个人？
(1)如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了 x个
过
人，第一轮传染后共有________人患流感．第二轮传染后共有________人患
流感．
程
(2)本题中有哪些数量关系？
(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后
有(x＋1)人患了流感，第二轮有x(1＋x)人被传染上了流感．于是可列方程：
1＋x＋x(1＋x)＝121
解方程得x ＝10，x ＝－12(不合题意舍去)
1 2
因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．
变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？活动2：自学教材第19页～第20页探究2，思考老师所提问题．
两年前生产1吨甲种药品的成本是 5000元，生产1吨乙种药品的成本是
6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生
产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？
(2)若设甲种药品年平均下降率为 x，则一年后，甲种药品的成本下降了
________元，此时成本为________元；两年后，甲种药品下降了________
元，此时成本为________元．
(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为 a，增长率为x，则一月(或
一年)后产量为a(1±x)；
二月(或二年)后产量为a(1±x)2；
n月(或n年)后产量为a(1±x)n；
如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.
(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.
活动1 创设情境
1．长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式
________．
2．如图所示：
(1)一块长方形铁皮的长是 10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为 2
cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是
________，高是________，体积是________．
(2)一块长方形铁皮的长是 10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为 x
cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是
________，高是________，体积是________．
活动2 自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题
要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封
面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四
分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到
0.1 cm)．
(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的
比是________．
(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7？试与同伴交流一下．
(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央
矩形的长为________cm，宽为________cm，面积为________cm2.
(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.
(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验．)
(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去
求上下、左右边衬的宽？
活动3 变式练习
如图所示，在一个长为 50 米，宽为 30 米的矩形空地上，建造一个花
园，要求花园的面积占整块面积的 75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占
25%，求路的宽度．答案：路的宽度为5米．
作 业
教材第21－22页 习题21.3第2－7题．
布 置
．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要
检验根是否符合实际．
．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．
．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降
低)n次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．
课堂
．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小
总结
的药品，它的下降率不一定也较小．
．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模
型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．
．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正
确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．
课 型 新授课
课题 22.1.1 二次函数
课 时 1
教学 1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．
2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式．
目标
3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值
范围．
教 学 重点 二次函数的概念和解析式．
重 点 难点 本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强
难 点 的概括能力．
教 学
多媒体
准 备
一、创设情境，导入新课
问题1 现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使
矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，
他说的有道理吗？
问题2 很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是
什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习
“二次函数”(板书课题)．
二、合作学习，探索新知
请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系：
(1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)；
(2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动
转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为 x，两年后王先生共得本
息y元；
(3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为
教 120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)．
学
过
程 (一)教师组织合作学习活动：
1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式．
2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，
共同探讨．
(1)y＝πx2 (2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000 (3)y＝(60
－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112
(二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？
让学生充分发表意见，提出各自看法．
教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有 y＝ax2＋bx＋c(a，
b，c是常数，a≠0)的形式．
板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫
做二次函数(quadratic function)，称a为二次项系数，b为一次项系数，c
为常数项．
请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项．
三、做一做
1．下列函数中，哪些是二次函数？(1)y＝x2 (2)y＝－ (3)y＝2x2－x－1
(4)y＝x(1－x) (5)y＝(x－1)2－(x＋1)(x－1)
2．分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)y＝x2＋1 (2)y＝3x2＋7x－12 (3)y＝2x(1－x)
3．若函数y＝(m2－1)xm2－m为二次函数，则m的值为________．
作 业
教材第41页 第1，2题.
布 置
课堂
反思提高，本节课你有什么收获？
总结
课 型 新授课
课题 22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质
课 时 1
通过画图，了解二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条抛物线，理解其顶点
教学 为何是原点，对称轴为何是 y 轴，开口方向为何向上(或向下)，掌握其顶
目标 点、对称轴、开口方向、最值和增减性与解析式的内在关系，能运用相关性
质解决有关问题．
教 学 重点 从“数”(解析式)和“形”(图象)的角度理解二次函数 y＝ax2的
重 点 性质，掌握二次函数解析式y＝ax2与函数图象的内在关系．难 点 难点 画二次函数y＝ax2的图象．
教 学
多媒体
准 备
一、引入新课
1．下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？
(1)y＝3x－1 (2)y＝2x2＋7 (3)y＝x－2
(4)y＝3(x－1)2＋1
2．一次函数的图象，正比例函数的图象各是怎样的呢？它们各有什么特
点，又有哪些性质呢？
3．上节课我们学习了二次函数的概念，掌握了它的一般形式，这节课我
们先来探究二次函数中最简单的y＝ax2的图象和性质．
二、教学活动
活动1：画函数y＝－x2的图象．
(1)多媒体展示画法(列表，描点，连线)．
(2)提出问题：它的形状类似于什么？
(3)引出一般概念：抛物线，抛物线的对称轴、顶点．
活动2：在坐标纸上画函数y＝－0.5x2，y＝－2x2的图象．
(1)教师巡视，展示学生的作品并进行点拨；教师再用多媒体课件展示正
确的画图过程．
(2)引导学生观察二次函数y＝－0.5x2，y＝－2x2与函数y＝－x2的图象，
提出问题：它们有什么共同点和不同点？
(3)归纳总结：
共同点：①它们都是抛物线；②除顶点外都处于x轴的下方；③开口向
教
下；④对称轴是y轴；⑤顶点都是原点(0，0)．
不同点：开口大小不同．
学
(4)教师强调指出：这三个特殊的二次函数y＝ax2是当a＜0时的情况．系
数a越大，抛物线开口越大．
过
活动3：在同一个直角坐标系中画函数y＝x2，y＝0.5x2，y＝2x2的图象．
类似活动2：让学生归纳总结出这些图象的共同点和不同点，再进一步提
程
炼出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质．
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质
图象 开口 顶 最高或
对称轴 最值
(草图) 方向 点 最低点
a＞0当x＝
____时，
y有最____
值，
是
________.
a＜0当x＝
____时，
y有最____
值，
是
________.
活动4：达标检测
(1)函数 y＝－8x2的图象开口向________，顶点是________，对称轴是
________，当x________时，y随x的增大而减小．(2)二次函数 y＝(2k－5)x2 的图象如图所示，则 k 的取值范围为
________．
(3)如图，①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.比较a，b，c，d
的大小，用“＞”连接________．
答案：(1)下，(0，0)，x＝0，＞0；(2)k＞2.5；(3)a＞b＞d＞c.
作 业
教材第32页 练习．
布 置
1．二次函数的图象都是抛物线．
2．二次函数y＝ax2的图象性质：
课堂 (1)抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是原点．
总结 (2)当 a＞0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当 a＜0
时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点；|a|越大，抛物线的开口越
小．
课 型 新授课
课题 22.1.3.1 二次函数y=ax2+k的图像和性质
课 时 1
1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。
教学
2、让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝
目标
ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。
会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的
教 学
性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系是教学重点。[来源:Z
重 点
正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y
难 点
＝ax2的关系是教学的难点。
教 学
多媒体
准 备
教 一、提出问题[来源:Z*xx*k.Com]1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对
称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，
y随x的增大而______，函数 y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最
______值是______。
2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称
轴和顶点坐标是否相同?
二、分析问题，解决问题
问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究?
问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数 y＝2x2与y＝2x2＋1的图象
吗?
解：(1)列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
…
[ 来
源 :
y＝x2 18 8 2 0 2 8 18 …
学 .
科 .
网]
y＝ x2 3[ 来 源 :Z|xx|
… 19 9 l 3 9 19 …
＋1 k.Com]
(2)描点：(3)连线：
问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关
系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?
学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都
学 比函数y＝2x2的函数值大1。
教师引导学生观察函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象，先研究点位置关系，
过 让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y
＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。
程 问题4：函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系?
由问题3的探索，可以得到结论：函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函
数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的。
问题5： 让学生观察两个函数图象，说出函数 y＝2x2＋1与y＝2x2的图
象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数 y＝2x2的图象的顶点坐标
是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。
问题6：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗?
完成填空：
当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随
x 的增大而增大，当 x______时，函数取得最______值，最______值 y＝
______．
网三、做一做
问题 7：先在同一直角坐标系中画出函数 y＝2x2－2与函数 y＝2x2的图
象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?
问题 8：你能说出函数 y＝2x2－2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐
标，以及这个函数的性质吗?
问题9：在同一直角坐标系中。函数y＝－x2＋2图象与函数y＝－x2的图
象有什么关系?
问题10：你能说出函数y＝－x2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点
坐标吗?
问题11：这个函数图象有哪些性质?
让学生观察函数y＝－x2＋2的图象得出性质：当x＜0时，函数值y随x
的增大而增大；当x＞0时，函数值y随x的增大而减小；当x＝0时，函数取
得最大值，最大值y＝2。作 业
同步学习30页“课堂作业”
布 置
1．在同一直角坐标系中，函数 y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什
课堂
么关系?
总结
2．你能说出函数y＝ax2＋k具有哪些性质?
课 型 新授课
课题 22.1.3.1 二次函数y=a（x-h）2的图像和性质
课 时 1
1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象。
教学 2．让学生经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x－
目标 h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关
系。
重点：会用描点法画出二次函数 y＝a(x－h)2的图象，理解二次函数 y＝a(x
教 学 －h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的
重 点 关系是教学的重点。
难 点 难点：理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象
与二次函数y＝ax2的图象的相互关系是教学的难点。
教 学
多媒体
准 备
一、提出问题
1．在同一直角坐标系内，画出二次函数 y＝－x2，y＝－x2－1的图象，并回
教 答： (1)两条抛物线的位置关系。(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶
点坐标。(3)说出它们所具有的公共性质。
学 2．二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对
称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系?
过 二、分析问题，解决问题
问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题?
程 问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数 y＝2x2与y＝2(x－1)2的图
象吗? 1．让学生完成下表填空。[来源:学。科。网Z。X。X。K]
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …y＝2x2
y＝2(x－
1)2[来源:学&科&网
Z&X&X&K]
2．让学生在直角坐标系中画出图来： 3．教师巡视、指导。
问题3：现在你能回答前面提出的问题吗?
1．教师引导学生观察画出的两个函数图象．根据所画出的图象，完成以下填
空：
开口方向 对 称 顶点坐标
轴
y＝2x2
y＝2(x－1)2
2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函
数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函
数y＝2(x一1)2的图象可以看作是函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到
的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)。
问题4：你可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x－1)2的性质吗?
2．让学生完成以下填空：
当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随
x 的增大而增大；当 x＝______时，函数取得最______值 y＝______。[来
源:Zxxk.Com]
三、做一做
问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数 y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图
象，并比较它们的联系和区别吗?
归结为：函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象开口方向相同，但顶点坐
标和对称轴不同；函数y＝2(x＋1)2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象
向左平移 1个单位得到的。它的对称轴是直线 x＝－1，顶点坐标是(－1，
0)。
问题6；你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x＋1)2的性质吗?
当x＜－1时，函数值y随x的增大而减小；当x＞－1时，函数值y
随x的增大而增大；当x＝一1时，函数取得最小值，最小值y＝0。
问题7：在同一直角坐标系中，函数y＝－(x＋2)2图象与函数y＝－x2的
图象有何关系?
问题8：你能说出函数y＝－(x＋2)2图象的开口方向、对称轴和顶点
坐标吗?
问题9：你能得到函数y＝(x＋2)2的性质吗?
四、课堂练习： P35练习。
作 业
同步学习32页4,5题
布 置
课堂
谈谈本节课的收获和体会。
总结课 型 新授课
课题 22.1.3.1 二次函数y=a（x-h）2+k 的图像和性质
课 时 1
1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。
教学 2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
目标 3．让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋
k的性质。
重点：确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理
教 学 解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数
重 点 y=a(x－h)2＋k的性质是教学的重点。
难 点 难点：正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以
及函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的难点。
教 学
多媒体
准 备
一、提出问题
1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?
2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系?
3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－
1)2＋1有哪些性质?
二、试一试
你能填写下表吗?
y=2x2 向右 向上平移
平移 1个单位
y=2(x － y=2(x－1)2＋1
的图象 1 个
教 1)2 的图象
单 位 [ 来
源:Z*xx*k.Com]
学
开口方 向上
向
过
对称轴 y轴 [来源:学科网]
[来源:
程
学 科
网]
顶 点 (0，0)
问题2：从上表中，你能分别找到函数 y=2(x－1)2＋1与函数y=2(x－1)2、
y=2x2图象的关系吗?[来源:Z|xx|k.Com]
问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?
函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1) 2的图象向上平
称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向
上平移1个单位得到的。当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增
大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。
三、做一做
问题4：在图26．2．3中，你能再画出函数y=2(x－1)2－2的图象，并将
它与函数y=2(x－1)2的图象作比较吗?
问题5：你能说出函数y=－(x－1)2＋2的图象与函数y=－x2的图象的关
系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
四、课堂练习：
1.P37练习
2.41页5
作 业
1.同步学习34页“拓展提高”
2.33页：课堂过关：4
布 置
课堂 1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑?
总结 2．谈谈你的学习体会。
课 型 新授课
课题 22.1.4二次函数y=ax2 +bx+c的图像和性质
课 时 1
1．体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性．
教学
目标
2．能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题．3．通过解决实际问题，让学生训练把教学知识运用于实践的能力．
教 学
1．重点：运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题．
重 点
2．难点：把数学问题与实际问题相联系的过程．
难 点
教 学
多媒体
准 备
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
前几节课我们研究了不同形式的二次函数的图象，形如y＝ax2，y＝ax2＋
c，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k．并对它们的性质进行了比较．但对于二次
函数的一般形式y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)，它是属于上面形式
中的哪一种呢？还是另外一种，它的对称轴和顶点坐标是什么呢？下面我们
一起来讨论这个问题．
Ⅱ．新课讲解
一、1．例题
例：求二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标．
解：把y＝ax2＋bx＋c的右边配方，得
y＝ax2＋bx＋c
＝a(x2＋ )
教
学 ＝a[x2＋2· x＋( )2＋－( )2]
过
＝a(x＋ )2＋ ．
程
[师]大家看配方以后的形式属于前面我们讨论过的哪一种形式呢？
[生]属于y＝a(x－h)2＋k的形式．
[师]在y＝a(x－h)2＋k的形式中，我们知道对称轴为x＝h．顶点坐标为
(h，k)．对比一下，y＝ax2＋bx＋c中的对称轴和顶点坐标是什么呢？
[生甲]对称轴是x＝ ，顶点坐标是( ， )．
[师]确定吗？大家再讨论一下．
Ⅲ．课堂练习
1．随堂练习
2．补充练习
确定下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标．(1)y＝－x2＋ x＋ ；
(2)y＝ －5．
作 业
课本41页6,8
布 置
课堂 本节课学习了如何用配方法把二次函数的一般形式化成顶点式，并能根据顶
总结 点式解决一些问题．
课 型 新授课
课题 22.1.5 待定系数
课 时 1
1、通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究,掌握求解析式的方
法。
教学 2、能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式，体会二次函数解析式之间
目标 的转化。
3、从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴
趣。
教 学 【重点】待定系数法求二次函数的解析式
重 点 【难点】在实际问题中会求二次函数解析式难 点
教 学
多媒体
准 备
复习提问：
1、二次函数常用的几种解析式
一般式 y=ax2+bx+c (a≠0)
顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)
2、待定系数法求函数解析式的步骤：
设---代----解----还原
用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用
一种函数表达式。
二、教学过程：
（一）课前热身：
1、已知抛物线y=ax2+bx+c
当x=1时，y=0，则a+b+c=_____
经过点（-1,0），则___________
经过点（0,-3），则___________
教
经过点（4,5），则___________
学
对称轴为直线x=1，则___________
2、已知抛物线y=a（x-h）2+k
过
(1)顶点坐标是（-3,4）， 则h=_____,k=______代入得y=______________
程
(2)对称轴为直线x=1，则__________代入得y=______________
（二）例题讲解：
已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5）
（－1, 0）三点，求这个函数的解析式？
解：设所求的二次函数为：y=ax2+bx+c
∵二次函数的图象过点（0,-3）（4，5）（－1, 0）
∴c=-3 a =1
16a+4b+c=5 解得 b=-2
a-b+c=0 c=-3
∴所求二次函数为 y=x2-2x-3
（三）变式练习
变式1已知一个二次函数的图象过点（0, -3） （-1,0） （3,0） 三点，求
这个函数的解析式？
变式2已知抛物线的顶点为（1，－4），且过点（0，－3），求抛物线的解析式？
变式3已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5） 对称轴为直线x=1，
求这个函数的解析式？
作 业
课本42页9,11
布 置
课堂
待定系数法求二次函数的解析式
总结
课 型 新授课
课题 22.2 二次函数与一元二次方程
课 时 1
1．总结出二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数
之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实
教学
根．
目标
2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
3．会用计算方法估计一元二次方程的根．
重点
方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似
教 学
解．
重 点
难点
难 点
二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关
系．
教 学
多媒体
准 备
教 一、复习引入
1．二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的开口由什么决定呢？
补充：当a的绝对值相等时，其形状完全相同，当 a的绝对值越大，则
开口越小，反之成立．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质：
(1)顶点坐标与对称轴；
(2)位置与开口方向；
(3)增减性与最值．
当a＞0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大；当x＝－时，函数y有最小值.
当a＜0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小；当x＝－时，函数y有最大值.
二、新课教学
探索二次函数与一元二次方程：
二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象如图所示．
(1)每个图象与x轴有几个交点？
学
(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个根？验证一下一元二次
方程x2－2x＋2＝0有根吗？
过
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程 ax2
＋bx＋c＝0的根有什么关系？
程
归纳：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况：
①有两个交点，
②有一个交点，
③没有交点．
当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当
y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次
方程0＝ax2＋bx＋c的两个根x 与x ；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有且
1 2
只有一个公共点；当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
举例：求二次函数图象y＝x2－3x＋2与x轴的交点A，B的坐标．
结论：方程x2－3x＋2＝0的解就是抛物线y＝x2－3x＋2与x轴的两个交
点的横坐标．因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的．
即：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x ，x ，则抛物线y＝ax2
1 2
＋bx＋c与x轴的两个交点坐标分别是A(x ，0)，B(x ，0)．
1 2
例1 已知函数y＝－x2－7x＋，
(1)写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与y轴的交点
关于图象对称轴的对称点，然后画出函数图象的草图；
(2)自变量x在什么范围内时，y随着x的增大而增大？何时 y随着x的
增大而减少；并求出函数的最大值或最小值．
三、巩固练习
请完成课本练习：第47页1，2
作 业
教材第47页 第3，4，5，6题.
布 置
课堂 二次函数与一元二次方程根的情况的关系．总结
课 型 新授课
课题 22.3实际问题与二次函数
课 时 1
能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型．利用二次
函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的性质解决简单的实际问题，能理解函数图象
教学 的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题．
目标 能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能应用二次函
数的相关性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学
模型．
应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题．
教 学 函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得．
重 点 把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题．
难 点 1．读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．
2．理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系．
教 学
多媒体
准 备
一、复习旧知，引入新课
1．二次函数常见的形式有哪几种？
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是________，对称轴是
________；二次函数的图象是一条________，当 a＞0 时，图象开口向
________，当a＜0时，图象开口向________．
教 2．二次函数知识能帮助我们解决哪些实际问题呢？
二、教学活动
学 活动1：问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小
球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动
过 的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
活动 2：问题：某商场的一批衬衣现在的售价是 60 元，每星期可卖出
程 300 件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10
件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为每件40元，如
何定价才能使利润最大？
1．问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获取的利润会一
样吗？
2．如果你是老板，你会怎样定价？3．以下问题提示，意在降低题目梯度，提示考虑x的取值范围．
(1)若设每件衬衣涨价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，
每件利润为________元，每星期少卖________件，实际卖出________件．所
以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？
(2)若设每件衬衣降价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，
每件利润为________元，每星期多卖________件，实际卖出________件．所
以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？
根据两种定价可能，让学生自愿分成两组，分别计算各自的最大利润；
老师巡视，及时发现学生在解答过程中的不足，加以辅导；最后展示学生的
解答过程，教师与学生共同评析．
活动3：达标检测
某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单
价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责
人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？
答案：(1)y＝－x＋180；(2)w＝(x－100)y＝－(x－140)2＋1 600，当售
价定为140元，w最大为1 600元．
一、引入新课
上节课我们一起研究用二次函数解决利润等代数问题，这节课我们共同
研究二次函数与几何的综合应用．
二、教学过程
问题1：教材第49页探究1.
用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S随矩形一边长l的变化
而变化．当l为多少米时，场地的面积S最大？
分析：
提问1：矩形面积公式是什么？
提问2：如何用l表示另一边？
提问3：面积S的函数关系式是什么？
问题2：如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，
墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多
少？
分析：
提问1：问题2与问题1有什么不同？
提问2：我们可以设面积为S，如何设自变量？
提问3：面积S的函数关系式是什么？
答案：设垂直于墙的边长为x米，S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.
提问4：如何求解自变量x的取值范围？墙长32 m对此题有什么作用？
答案：0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
提问5：如何求最值？
答案：x＝－＝－＝15时，S ＝450.
max
问题3：将问题2中“墙长为32 m”改为“墙长为18 m”，求这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
提问1：问题3与问题2有什么异同？
提问2：可否模仿问题2设未知数、列函数关系式？
提问3：可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？
答案：设矩形面积为 S m2，与墙平行的一边为 x 米，则 S＝·x＝－＋
30x.
提问4：当x＝30时，S取最大值．此结论是否正确？
提问5：如何求自变量的取值范围？
答案：0＜x≤18.
提问6：如何求最值？
答案：由于 30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值．当 x＝18
时，S ＝378.
max
小结：在实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，
要根据自变量的取值范围来确定．通过问题 2与问题3的对比，希望学生能
够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端
点处才有符合实际的最值．
三、回归教材
阅读教材第51页的探究3，讨论有没有其他“建系”的方法？哪种“建
系”更有利于题目的解答？
四、基础练习
1．教材第51页的探究3，教材第57页第7题．
2．阅读教材第52～54页．
作 业
教材第51～52页 习题第1～3题，第8题．
教材第52页 习题第4～7题，第9题．
布 置
1．利用求二次函数的最值问题可以解决实际几何问题．
课堂
2．实际问题的最值求解与函数图象的顶点、端点都有关系，特别要注意
总结
最值的取得不一定在函数的顶点处．课 型 新授课
课题 23.1 图形的旋转
课 时 1
1．了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其
应用它们解决一些实际问题．
教学
2．通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经
目标
历观察，产生概念，应用概念解决一些实际问题．
3．旋转的基本性质．
教 学
重点 旋转及对应点的有关概念及其应用．
重 点
难点 旋转的基本性质．
难 点
教 学
多媒体
准 备
一、复习引入
(学生活动)请同学们完成下面各题．
1．将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后
的图形．
2．如图，已知△ABC 和直线 l，请你画出△ABC 关于 l 的对称图形
△A′B′C′.
3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？
(口述)老师点评并总结：
教
(1)平移的有关概念及性质．
(2)如何画一个图形关于一条直线(对称轴)的对称图形并口述它具有的一
学
些性质．
(3)什么叫轴对称图形？
过
二、探索新知
我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？
程
回答是肯定的，下面我们就来研究．
1．请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋转围绕什么点
呢？从现在到下课时针转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？
(口答)老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时钟的中
心．从现在到下课时针转了________度，分针转了________度，秒针转了
________度．
2．再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新
的位置？(老师点评略)
3．第1，2两题有什么共同特点呢？
共同特点是如果我们把时钟、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都
可以绕着某一固定点转动一定的角度．
像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，
点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对
应点．
下面我们来运用这些概念来解决一些问题．
例1 如图，如果把钟表的指针看做三角形 OAB，它绕O点按顺时针方向
旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：
(1)旋转中心是什么？旋转角是什么？
(2)经过旋转，点A，B分别移动到什么位置？
解：(1)旋转中心是O，∠AOE，∠BOF等都是旋转角．
(2)经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置．
自主探究：
请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一
个点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖
掉的三角形图案(△ABC)，然后围绕旋转中心O转动硬纸板，在黑板上再描出
这个挖掉的三角形(△A′B′C′)，移去硬纸板．
(分组讨论)根据图回答下面问题(一组推荐一人上台说明)
1．线段OA与OA′，OB与OB′，OC与OC′有什么关系？
2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？
3．△ABC与△A′B′C′的形状和大小有什么关系？
老师点评：1.OA＝OA′，OB＝OB′，OC＝OC′，也就是对应点到旋转中
心的距离相等．
2．∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′，我们把这三个相等的角，即对应点与
旋转中心所连线段的夹角称为旋转角．
3．△ABC和△A′B′C′形状相同和大小相等，即全等．
综合以上的实验操作得出：
(1)对应点到旋转中心的距离相等；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等．
例2 如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B
的对应点的位置，以及旋转后的三角形．
分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′＝∠ACD，又由对
应点到旋转中心的距离相等，即 CB＝CB′，就可确定 B′的位置，如图所
示．解：(1)连接CD；
(2)以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE＝∠ACD；
(3)在射线CE上截取CB′＝CB，则B′即为所求的B的对应点；
(4)连接DB′，则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形．
作 业
教材第62～63页 习题4，5，6.
布 置
(学生总结，老师点评)
本节课应掌握：
课堂
1．对应点到旋转中心的距离相等；
总结
2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
3．旋转前、后的图形全等及其它们的应用．
课 型 新授课
课题 23.2.1 中心对称
课 时 11．正确认识什么是中心对称、对称中心，理解关于中心对称图形的性质
教学 特点．
目标 2．能根据中心对称的性质，作出一个图形关于某点成中心对称的对称图
形．
教 学
重点 中心对称的概念及性质．
重 点
难点 中心对称性质的推导及理解．
难 点
教 学
多媒体
准 备
复习引入
问题：作出下图的两个图形绕点O旋转180°后的图案，并回答下列的问
题：
1．以O为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？
2．各对应点绕O旋转180°后，这三点是否在一条直线上？
老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕 O旋转180°后都是重合
的，即甲图与乙图重合，△OAB与△COD重合．
教
学
像这样，把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果它能够与另一个图形
过
重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中
心．
程
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
探索新知
(老师)在黑板上画一个三角形ABC，分两种情况作两个图形：
(1)作△ABC一顶点为对称中心的对称图形；
(2)作关于一定点O为对称中心的对称图形．
第一步，画出△ABC.
第二步，以△ABC的C点(或O点)为中心，旋转180°画出△A′B′C和
△A′B′C′，如图(1)和图(2)所示．
从图(1)中可以得出△ABC与△A′B′C是全等三角形；分别连接对称点AA′，BB′，CC′，点O在这些线段上且O平分这些线
段．
下面，我们就以图(2)为例来证明这两个结论．
证明：(1)在△ABC 和△A′B′C′中，OA＝OA′，OB＝OB′，∠AOB＝
∠A′OB′，∴△AOB≌△A′OB′，∴AB＝A′B′，同理可证：AC＝A′C′，
BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′；
(2)点A′是点A绕点O旋转180°后得到的，即线段OA绕点O旋转180°
得到线段OA′，所以点O在线段AA′上，且OA＝OA′，即点O是线段AA′的
中点．
同样地，点O也在线段BB′和CC′上，且OB＝OB′，OC＝OC′，即点O
是BB′和CC′的中点．
因此，我们就得到
1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被
对称中心所平分．
2．关于中心对称的两个图形是全等图形．
例题精讲
例1 如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O
成中心对称．
分析：中心对称就是旋转 180°，关于点 O 成中心对称就是绕 O 旋转
180°，因此，我们连AO，BO，CO并延长，取与它们相等的线段即可得到．
解：(1)连接AO并延长AO到D，使OD＝OA，于是得到点A的对称点D，
如图所示．
(2)同样画出点B和点C的对称点E和F.
(3)顺次连接DE，EF，FD，则△DEF即为所求的三角形．
例2 (学生练习，老师点评)如图，已知四边形 ABCD和点O，画四边形
A′B′C′D′，使四边形 A′B′C′D′和四边形 ABCD关于点 O成中心对称
(只保留作图痕迹，不要求写出作法)．
作 业
教材第66页 练习
布 置本节课应掌握：
中心对称的两条基本性质：
课堂
1．关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，而且被对
总结
称中心所平分；
2．关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用．
课 型 新授课
课题 23.2.2 中心对称图形
课 时 1
教学 了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两
目标 个概念的应用．复习两个图形关于中心对称的有关概念，利用这个所学知识探索一个图
形是中心对称图形的有关概念及其他的运用．
教 学
重点 中心对称图形的有关概念及其它们的运用．
重 点
难点 区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形．
难 点
教 学
多媒体
准 备
一、复习引入
1．(老师口问)口答：关于中心对称的两个图形具有什么性质？
(老师口述)：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中
心，而且被对称中心所平分．
关于中心对称的两个图形是全等图形．
2．(学生活动)作图题．
(1)作出线段AO关于O点的对称图形，如图所示．
(2)作出三角形AOB关于O点的对称图形，如图所示．
延长AO使OC＝AO，延长BO使OD＝BO，连接CD，则△COD即为所求，如
图所示．
教
学
过 二、探索新知
从另一个角度看，上面的(1)题就是将线段AB绕它的中点旋转180°，因
程 为OA＝OB，所以，就是线段AB绕它的中点旋转180°后与它本身重合．
上面的(2)题，连接AD，BC，则刚才的关于中心O对称的两个图形就成了
平行四边形，如图所示．
∵AO＝OC，BO＝OD，∠AOB＝∠COD
∴△AOB≌△COD
∴AB＝CD
也就是，ABCD绕它的两条对角线交点O旋转180°后与它本身重合．
因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形
能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的
对称中心．
(学生活动)例1 从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，每
一位同学举出三个图形，它们也是中心对称图形．老师点评：老师边提问学生边解答的特点．
(学生活动)例2 请说出中心对称图形具有什么特点？
老师点评：中心对称图形具有匀称美观、平稳的特点．
例3 求证：如图，任何具有对称中心的四边形是平行四边形．
分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的
线段中点，因此，直接可得到对角线互相平分．
证明：如图，O 是四边形 ABCD 的对称中心，根据中心对称性质，线段
AC，BD必过点O，且AO＝CO，BO＝DO，即四边形ABCD的对角线互相平分，因
此，四边形ABCD是平行四边形．
作 业
教材第70页 习题8，9，10.
布 置
本节课应掌握：
课堂
1．中心对称图形的有关概念；
总结
2．应用中心对称图形解决有关问题．
课 型 新授课
课题 23.2.3 关于原点对称的点的坐标
课 时 1
理解点P与点P′关于原点对称时它们的横纵坐标的关系，掌握P(x，y)
教学 关于原点的对称点为P′(－x，－y)的运用．
目标 复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的
坐标的关系及其运用．重点
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P(x，y)关于原点的
教 学
对称点P′(－x，－y)及其运用．
重 点
难点
难 点
运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解
决实际问题．
教 学
多媒体
准 备
一、复习引入
(学生活动)请同学们完成下面三题．
1．已知点A和直线l，如图，请画出点A关于l对称的点A′.
2．如图，△ABC 是正三角形，以点 A 为中心，把△ABC 顺时针旋转
60°，画出旋转后的图形．
3．如图△ABO，绕点O旋转180°，画出旋转后的图形．
教
老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．(略)
学 二、探索新知
(学生活动)如图，在直角坐标系中，已知A(－3，1)，B(－4，0)，C(0，
过 3)，D(2，2)，E(3，－3)，F(－2，－2)，作出A，B，C，D，E，F点关于原
点O的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答：
程 这些坐标与已知点的坐标有什么关系？
老师点评：画法：(1)连接AO并延长AO；
(2)在射线AO上截取OA′＝OA；
(3)过A作AD′⊥x轴于点D′，过A′作A′D″⊥x轴于点D″.
∵△AD′O与△A′D″O全等，
∴AD′＝A′D″，OA＝OA′，
∴A′(3，－1)，
同理可得B，C，D，E，F这些点关于原点的中心对称点的坐标．
(学生活动)分组讨论(每四人一组)：讨论的内容：关于原点作中心对称
时，①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又
有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？提问几个同学口述上面的问题．
老师点评：(1)从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐
标的绝对值相等．(2)坐标符号相反，即P(x，y)关于原点O的对称点P′(－
x，－y)．
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，
即点P(x，y)关于原点O的对称点为P′(－x，－y)．
例1 如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段 AB关于
原点对称的图形．
分析：要作出线段AB关于原点的对称线段，只要作出点 A、点B关于原
点的对称点A′，B′即可．
解：点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)，因此，线段AB的
两个端点A(0，1)，B(3，0)关于原点的对称点分别为A′(0，－1)，B(－3，
0)．
连接A′B′.
则就可得到与线段AB关于原点对称的线段A′B′.
(学生活动)例2 已知△ABC，A(1，2)，B(－1，3)，C(－2，4)，利用关
于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形．
老师点评分析：先在直角坐标系中画出A，B，C三点并连接组成△ABC，
要作出△ABC关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A，B，C三点关
于原点的对称点，依次连接，便可得到所求作的△A′B′C′.
三、巩固练习
教材第69页 练习．
作 业
教材第70页 习题3，4.
布 置
课堂
点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)．
总结课 型 新授课
课题 23.3 课题学习 图案设计
课 时 1
利用平移、轴对称和旋转的这些图形变换中的一种或组合进行图案设计，设
教学 计出称心如意的图案．
目标 通过复习平移、轴对称、旋转的知识，然后利用这些知识让学生开动脑筋，
敝开胸怀大胆联想，设计出一幅幅美丽的图案．
教 学 1．重点：设计图案．
重 点 2．难点与关键：如何利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或它们的
难 点 组合得出图案．
教 学
小黑板、三角尺
准 备
教 一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下面的各题．
学 1．如图，已知线段CD是线段AB平移后的图形，D是B点的对称点，作出线段AB，并回答，AB与CD有什么位置关系．
2．如图，已知线段 CD，作出线段 CD 关于对称轴 L 的
对称线段 C′D′，并说明 CD 与对称线段 C′D′之间有什
么关系？
3．如图，已知线段 CD，作出线段 CD 关于 D 点旋转
90°的旋转后的图形，并说明这两条线段之间有什么关
系？
C
D
老师点评：
1．AB与CD平行且相等；
2．过D点作DE⊥L，垂足为E并延长，使ED′=ED，同理作出C′点，连
结 C′D′，则 CD′就是所求的．CD 的延长线与 C′D′的延长线相交于一
点，这一点在L上并且CD=C ′D′．
3．以D点为旋转中心，旋转后CD⊥C′D′，垂足为D，并且CD=C′D．
二、探索新知
请用以上所讲的平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或组合完成下
过
面的图案设计．
例1．（学生活动）学生亲自动手操作题．
程
按下面的步骤，请每一位同学完成一个别致的图案．
（1）准备一张正三角形纸片（课前准备）（如图a）
（2）把纸片任意撕成两部分（如图b，如图c）
（3）将撕好的如图b沿正三角形的一边作轴对称，得到新的图形．
（4）并将（3）得到的图形以正三角形的一个顶点作为旋转中心旋转，
得到如图（d）（如图c）保持不动）
（5）把如图（d）平移到如图（c）的右边，得到如图（e）
（6）对如图（e）进行适当的修饰，使得到一个别致美丽的如图（f）的
图案．
老师必要时可以给予一定的指导．
三、巩固练习
教材P78 活动1．
四、应用拓展
例2．（学生活动）请利用线段、三角形、矩形、菱形、圆作为基本图
形，绘制一幅反映你身边面貌的图案，并在班级里交流展示．
老师点评：老师点到为止，让学生自由联想，老师也可在黑板上设计
一、二图案．
作 业
教材 活动2
布 置
课堂 本节课应掌握：总结 利用平移、轴对称和旋转的图形变换中的一种或组合设计图案．
课 型 新授课
课题 24.1.2 垂直于弦的直径
课 时 1
理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．
教学
通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理
目标
解．
教 学
重点 垂径定理及其运用．
重 点
难点 探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．
难 点
教 学
多媒体
准 备
教
一、复习引入
①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点
学
所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
过
②连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；
③经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB；
程④圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以 A，C 为端点的弧记作
“AC”，读作“圆弧AC”或“弧AC”．大于半圆的弧(如图所示ABC)叫做优
弧，小于半圆的弧(如图所示AC或BC)叫做劣弧．
⑤圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半
圆．
⑥圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．
二、探索新知
(学生活动)请同学按要求完成下题：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.
(1)如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
(2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．
(老师点评)(1)是轴对称图形，其对称轴是CD.
(2)AM＝BM，AC＝BC，AD＝BD，即直径CD平分弦AB，并且平分AB及ADB.
这样，我们就得到下面的定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
下面我们用逻辑思维给它证明一下：
已知：直径CD、弦AB，且CD⊥AB垂足为M.
求证：AM＝BM，AC＝BC，AD＝BD.
分析：要证AM＝BM，只要证AM，BM构成的两个三角形全等．因此，只要
连接OA，OB或AC，BC即可．
证明：如图，连接OA，OB，则OA＝OB，
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM，
∴AM＝BM，
∴点A和点B关于CD对称，
∵⊙O关于直径CD对称，
∴当圆沿着直线 CD 对折时，点 A 与点 B 重合，AC与BC重合，AD与BD重
合．
∴AC＝BC，AD＝BD.
进一步，我们还可以得到结论：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(本题的证明作为课后练习)
例1 有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB＝60
m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥时，水面宽MN＝32 m时是否需要
采取紧急措施？请说明理由．
分析：要求当洪水到来时，水面宽MN＝32 m是否需要采取紧急措施，只
要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R.解：不需要采取紧急措施，
设OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，CD＝18，
R2＝302＋(R－18)2，
R2＝900＋R2－36R＋324，
解得R＝34(m)，
连接OM，设DE＝x，在Rt△MOE中，ME＝16，
342＝162＋(34－x)2，
162＋342－68x＋x2＝342，x2－68x＋256＝0，
解得x ＝4，x ＝64(不合题意，舍去)，
1 2
∴DE＝4，
∴不需采取紧急措施．
作 业
1．垂径定理推论的证明．
2．教材第89，90页 习题第8，9，10题．
布 置
课堂
垂径定理及其推论以及它们的应用．
总结课 型 新授课
课题 24.1.3 弧、弦、圆心角
课 时 1
1．理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角．
教学
2．掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并能应用此
目标
关系进行相关的证明和计算．
教 学 重点 圆心角、弦、弧之间的相等关系及其理解应用．
重 点 难点 从圆的旋转不变性出发，发现并论证圆心角、弦、弧之间的相等关
难 点 系．
教 学
多媒体
准 备
活动1 动手操作，得出性质及概念
1．在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O和⊙O′.
2．将⊙O绕圆心旋转任意角度后会出现什么情况？圆是中心对称图形
吗？
3．在⊙O中画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这个角叫
什么角？学生先说，教师补充完善圆心角的概念．
如图，∠AOB的顶点在圆心，像这样的角叫做圆心角．
教
学
过
4．判断图中的角是否是圆心角，说明理由．
程
活动2 继续操作，探索定理及推论
1．在⊙O′中，作与圆心角∠AOB相等的圆心角∠A′O′B′，连接AB，
A′B′，将两张纸片叠在一起，使⊙O与⊙O′重合，固定圆心，将其中一个
圆旋转某个角度，使得OA与O′A′重合，在操作的过程中，你能发现哪些等量关系，理由是什么？请与小组同学交流．
2．学生会出现多对等量关系，教师给予鼓励，然后，老师小结：在等圆
中相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3．在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等吗？所对的弦相等吗？
4．综合2，3，我们可以得到关于圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同
圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．请用符号语言
把定理表示出来．
5．分析定理：去掉“在同圆或等圆中”这个条件，行吗？
6．定理拓展：教师引导学生类比定理，独立用类似的方法进行探究：
(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，所对的
弦也分别相等吗？
(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，所对的
弧也分别相等吗？
综上所述，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量
相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．
活动3 学以致用，巩固定理
1．教材第84页 例3.
多媒体展示例3，引导学生分析要证明三个圆心角相等，可转化为证明所
对的弧或弦相等．鼓励学生用多种方法解决本题，培养学生解决问题的意识
和能力，感悟转化与化归的数学思想．
活动4 达标检测，反馈新知
教材第85页 练习第1，2题．
1．如果两个圆心角相等，那么( )
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
2．如图，AB 和 DE 是⊙O 的直径，弦 AC∥DE，若弦 BE＝3，求弦 CE 的
长．
作 业
布 置
3．如图，在⊙O 中，C，D 是直径 AB 上两点，且 AC＝BD，MC⊥AB，
ND⊥AB，M，N在⊙O上．
(1)求证：AM＝BN；
(2)若C，D分别为OA，OB中点，则AM＝MN＝BN成立吗？
答案：1.D；2.3；3.(1)连接OM，ON，证明△MCO≌△NDO，得出∠MOA＝
∠NOB，得出AM＝BN；(2)成立．1．圆心角概念及圆的旋转不变性和对称性．
课堂 2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相
总结 等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，以及其应用．
3．数学思想方法：类比的数学方法，转化与化归的数学思想课 型 新授课
课题 24.1.4 圆周角
课 时 1
．理解圆周角的概念，会识别圆周角．
．掌握圆周角定理，并会用此定理进行简单的论证和计算．
．能推导和理解圆周角定理的两个推论，并能利用这两个推论解决相关
的计算和证明．
教学
．知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是所有多边形都有
目标
外接圆．
．能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个性质解决简单的计算和证
明等问题．
重点
圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的性质的运用．
教 学
圆周角的概念和圆周角定理．
重 点
难点
难 点
用分类讨论的思想证明圆周角定理，尤其是分类标准的确定．
圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用以及如何添加辅助线．
教 学
多媒体，几何画板
准 备
活动1 复习类比，引入概念
1．用几何画板显示圆心角．
2．教师将圆心角的顶点进行移动，如图1.
(1)当角的顶点在圆心时，我们知道这样的角叫圆心角，如∠AOB.
(2)当角的顶点运动到圆周时，如∠ACB这样的角叫什么角呢？
教 学生会马上猜出：圆周角．教师给予鼓励，引出课题．
3．总结圆周角概念．
学 (1)鼓励学生尝试自己给圆周角下定义．估计学生能类比圆心角给圆周角
下定义，顶点在圆周上的角叫圆周角，可能对角的两边没有要求．
过 (2)教师提问：是不是顶点在圆周上的角就是圆周角呢？带着问题，教师
出示下图．
程
学生通过观察，会发现形成圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆周
上；②角的两边都与圆相交．最后让学生再给圆周角下一个准确的定义：顶
点在圆周上，两边都与圆相交的角叫圆周角．
(3)比较概念：圆心角定义中为什么没有提到“两边都与圆相交”呢？
学生讨论后得出：凡是顶点在圆心的角，两边一定与圆相交，而顶点在
圆周上的角则不然，因此，学习圆周角的概念，一定要注意角的两边“都与
圆相交”这一条件．活动2 观察猜想，寻找规律
1．教师出示同一条弧所对圆周角为90°，圆心角为180°和同一条弧所
对圆周角为45°，圆心角为90°的特殊情况的图形．
提出问题：在这两个图形中，对着同一条弧的圆周角和圆心角，它们之
间有什么数量关系．由于情况特殊，学生观察、测量后，容易得出：对着同
一条弧的圆周角是圆心角的一半．
2．教师提出：在一般情况下，对着同一条弧的圆周角还是圆心角的一半
吗？通过上面的特例，学生猜想，得出命题：一条弧所对的圆周角等于它所
对的圆心角的一半．
活动3 动手画图，证明定理
1．猜想是否正确，还有待证明．教师引导学生结合命题，画出图形，写
出已知、求证．
2．先分小组交流画出的图形，议一议：所画图形是否相同？所画图形是
否合理？
3．利用实物投影在全班交流，得到三种情况．若三种位置关系未出现
全，教师利用电脑演示同一条弧所对圆周角的顶点在圆周上运动的过程，得
出同一条弧所对的圆心角和圆周角之间可能出现的不同位置关系，得到圆心
角的顶点在圆周角的一边上、内部、外部三种情况．
4．引导学生选一种最特殊、最容易证明的“圆心角的顶点在圆周角的一
边上”进行证明，写出证明过程，教师点评．
5．引导学生通过添加辅助线，把“圆心角的顶点在圆周角的内部、外
部”转化成“圆心角的顶点在圆周角的一边上”的情形，进行证明，若学生
不能构造过圆周角和圆心角顶点的直径，教师给予提示．然后小组交流讨
论，上台展示证明过程，教师点评证明过程．
6．将“命题”改为“定理”，即“圆周角定理”．
活动4 达标检测，反馈新知
1．教材第88页 练习第1题．
2．如图，∠BAC和∠BOC分别是⊙O中的弧BC所对的圆周角和圆心角，
若∠BAC＝60°，那么∠BOC＝________.
3．如图，AB，AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD＝AB，如果∠ADB
＝30°，那么∠BOC＝________.
答案：1.略；2.120°；3.120°.
活动1 温习旧知
1．圆周角定理的内容是什么？
2．如图，若BC的度数为100°，则∠BOC＝________，∠A＝________.
3．如图，四边形ABCD中，∠B与∠1互补，AD的延长线与DC所夹的∠2
＝60°，则∠1＝________，∠B＝________.4．判断正误：
(1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数；( )
(2)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．( )
答案：1.略；2.100°，50°；3.120°，60°；4.略
活动2 探索圆周角定理的“推论”
1．请同学们在练习本上画一个⊙O.想一想，以A，C为端点的弧所对的
圆周角有多少个？试着画几个．然后教师引导学生：观察下图，∠ABC，
∠ADC，∠AEC的大小关系如何？为什么？
让学生得出结论后，教师继续追问：如果把这个结论中的“同弧”改为
“等弧”，结论正确吗？
2．教师引导学生观察下图，BC是⊙O的直径．请问：BC所对的圆周角
∠BAC是锐角、直角还是钝角？
让学生交流、讨论，得出结论：∠BAC是直角．教师追问理由．
3．如图，若圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦BC经过圆心吗？为什
么？由此能得出什么结论？
4．师生共同解决教材第87页例4.
活动3 探索圆内接四边形的性质
1．教师给学生介绍以下基本概念：
圆内接多边形与多边形的外接圆；圆内接四边形与四边形的外接圆．
2．要求学生画一画，想一想：
在⊙O上任作它的一个内接四边形 ABCD，∠A是圆周角吗？∠B，∠C，
∠D呢？进一步思考，圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
3．先打开几何画板，验证学生的猜想，然后再引导学生证明，最后得出
结论：圆内接四边形对角互补．
4．课件展示练习：
(1)如图，四边形ABCD内接于⊙O，则∠A＋∠C＝________，∠B＋∠ADC
＝________；若∠B＝80°，则∠ADC＝________，∠CDE＝________；(2)如图，四边形 ABCD内接于⊙O，∠AOC＝100°，则∠D＝________，
∠B＝________；
(3)四边形ABCD内接于⊙O，∠A∶∠C＝1∶3，则∠A＝________；
(4)如图，梯形 ABCD 内接于⊙O，AD∥BC，∠B＝75°，则∠C＝
________.
(5)想一想对于圆的任意内接四边形都有这样的关系吗？
答案：(1)180°，180°，100°，80°；(2)130°，50°；(3)45°；
(4)75°；(5)都有．
活动4 巩固练习
1．教材第88页 练习第5题．
2．圆的内接梯形一定是________梯形．
3．若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立( )
A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4
B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4
C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4
D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶2∶1
答案：1.略；2.等腰；3.B
作 业
教材第88页 练习第4题，教材第89页 习题第5题．
教材第89～91页 习题第5，6，13，14，17题．
布 置
1．圆周角概念及定理．
2．类比从一般到特殊的数学方法及分类讨论、转化与化归的数学思想．
课堂
本节课我们学习了圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的重要性质，
总结
要求同学们理解圆内接四边形和四边形的外接圆的概念，理解圆内接四边形
的性质定理；并初步应用性质定理进行有关问题的证明和计算．课 型 新授课
课题 24.2.1点和圆的位置关系
课 时 1
(一)教学知识点
了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上
的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
(二)能力训练要求
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的
教学 探索能力．
目标 2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会
解决数学问题的策略．
(三)情感与价值观要求
1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实
践能力与创新精神．
2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．
教学重点
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这
个结论．
教 学
2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．
重 点
3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
难 点
教学难点
经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同
一条直线上的三个点作圆．
教 学
投影片三张
准 备
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线．
教
那么，经过一点能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有
关探索．
学
Ⅱ．新课讲解
1．回忆及思考
过
投影片(§3．4A)
1．线段垂直平分线的性质及作法．
程
2．作圆的关键是什么？
[生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
作法：如下图，分别以A、B为圆心，以大于 AB长为半径画弧，在AB
的两侧找出两交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线，
直线CD上的任一点到A与B的距离相等．
[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成
的图形叫做圆．定点即为圆心，定长即为半径．根据定义大家觉得作圆的关
键是什么？
[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆
的关键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．
2．做一做(投影片§3．4B)
(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？
(2)作圆，使它经过已知点A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的
圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？
(3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．
你是如何作的？你能作出几个这样的圆？
[师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请
大家互相交换意见并作出解答．
[生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要
圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点 A以外的任意一点为圆
心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意
的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．
(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到
A、B的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的
垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段 AB的垂直平分
线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相
等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即
为半径．圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无
数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．
(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到
三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂
直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．
因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满
足条件的圆．
[师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？
3．过不在同一条直线上的三点作圆．
投影片(§3．4C)
作法 图示
1．连结AB、BC
2．分别作AB、BC的垂直
平分线DE和FG，DE和
FG相交于点O
3．以O为圆心，OA为半径
作圆
⊙O就是所要求作的圆
他作的圆符合要求吗？与同伴交流．
[生]符合要求．
因为连结AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意一点到A、B的距离相
等；连结BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等．
ED与FG的满足条件．
[师]由上可知，过已知一点可作无数个圆．过已知两点也可作无数个
圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．
不在同一直线上的三个点确定一个圆．
4．有关定义
由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的
外接圆(circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形．
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心
(circumcenter)．
Ⅲ．课堂练习
已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，
它们外心的位置有怎样的特点？
解：如下图．O为外接圆的圆心，即外心．
锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角
三角形的外心在三角形的外部．
作 业
习题3．6
布 置
本节课所学内容如下：
课堂 ．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程．
总结 方法．
．了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念．
课题 24.2.2直线和圆的位置关系 课 型 新授课课 时 1
(一)教学知识点
1．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．
2．了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系．
(二)能力训练要求
1．经历探索直线与圆位置关系的过程，培养学生的探索能力．
2．通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线
教学
和圆的位置关系”的对应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转
目标
化．
(三)情感与价值观要求
通过探索直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充满着探索与创
造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信
心．
教学重点
经历探索直线与圆位置关系的过程．
理解直线与圆的三种位置关系．
教 学
了解切线的概念以及切线的性质．
重 点
教学难点
难 点
经历探索直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的三种位置
关系．
探索圆的切线的性质．
教 学
投影片三张
准 备
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有
哪些？
[生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．即圆上的
点到圆心的距离等于半径；圆的内部到圆心的距离小于半径；圆的外部到圆
心的距离大于半径．因此点和圆的位置关系有三种，即点在圆上、点在圆内
和点在圆外．也可以把点与圆心的距离和半径作比较，若距离大于半径在圆
外，等于半径在圆上，小于半径在圆内．
[师]本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系．
教 Ⅱ．新课讲解
1．复习点到直线的距离的定义
学 [生]从已知点向已知直线作垂线，已知点与垂足之间的线段的长度叫做
这个点到这条直线的距离．
过 如下图，C为直线AB外一点，从C向AB引垂线，D为垂足，则线段CD即
为点C到直线AB的距离．
程
2．探索直线与圆的三种位置关系
[师]直线和圆的位置关系，我们在现实生活中随处可见，只要大家注意
观察，这样的例子是很多的．如大家请看课本 113 页，观察图中的三幅照
片，地平线和太阳的位置关系怎样？作一个圆，把直尺的边缘看成一条直
线，固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？[生]把太阳看作圆，地平线看作直线，则直线和圆有三种位置关系；把
直尺的边缘看成一条直线，则直线和圆有三种位置关系．
[师]从上面的举例中，大家能否得出结论，直线和圆的位置关系有几种
呢？
[生]有三种位置关系：
[师]直线和圆有三种位置关系，如下图：
它们分别是相交、相切、相离．
当直线与圆相切时(即直线和圆有唯一公共点)，这条直线叫做圆的切线
(tangent line)．
当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．
当直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
因此，从直线与圆有公共点的个数可以断定是哪一种位置关系，你能总
结吗？
[生]当直线与圆有唯一公共点时，这时直线与圆相切；
当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交；
当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离．
[师]能否根据点和圆的位置关系，点到圆心的距离d和半径r作比较，
类似地推导出如何用点到直线的距离d和半径r之间的关系来确定三种位置
关系呢？
[生]如上图中，圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，当直线与圆
相交时，d＜r；当直线与圆相切时，d＝r；当直线与圆相离时，d＞r，因此
可以用d与r间的大小关系断定直线与圆的位置关系．
[师]由此可知：判断直线与圆的位置关系有两种方法．一种是从直线与
圆的公共点的个数来断定；一种是用d与r的大小关系来断定．
投影片(§3．5．1A)
(1)从公共点的个数来判断：
直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有唯一公共点时，
直线与圆相切；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离．
(2)从点到直线的距离d与半径r的大小关系来判断：
d＜r时，直线与圆相交；
d＝r时，直线与圆相切；
d＞r时，直线与圆相离．
投影片(§3．5．1B)
[例1]已知Rt△ABC的斜边AB＝8cm，AC＝4cm．
(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
(2)以点C为圆心，分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆，这两个圆与
AB分别有怎样的位置关系？
分析：根据d与r间的数量关系可知：
d＝r时，相切；d＜r时，相交；d＞r时，相离．解：(1)如上图，过点C作AB的垂线段CD．
∵AC＝4cm，AB＝8cm；
∴cosA＝ ，
∴∠A＝60°．
∴CD＝ACsinA＝4sin60°＝2 (cm)．
因此，当半径长为2 cm时，AB与⊙C相切．
(2)由(1)可知，圆心C到AB的距离d＝2 cm，所以，当r＝2cm时，d
＞r，⊙C与AB相离；
当r＝4cm时，d＜r，⊙C与AB相交．
3．议一议(投影片§3．5．1C)
(1)你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗？
(2)上图(1)中的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对
称轴吗？
(3)如图(2)，直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD有怎样的位置
关系？说一说你的理由．
对于(3)，小颖和小亮都认为直径AB垂直于CD．你同意他们的观点吗？
[师]请大家发表自己的想法．
[生](1)把一只筷子放在碗上，把碗看作圆，筷子看作直线，这时直线与
圆相交；
自行车的轮胎在地面上滚动，车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆
相切；
杂技团中骑自行车走钢丝中的自行车车轮为圆，地平线为直线，这时直
线与圆相离．
(2)图(1)中的三个图形是轴对称图形．因为沿着d所在的直线折叠，直
线两旁的部分都能完全重合．对称轴是d所在的直线，即过圆心O且与直线l
垂直的直线．
(3)所谓两条直线的位置关系，即为相交或平行，相交又分垂直和斜交，
直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD垂直，因为图(2)是轴对称图
形，AB是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合，因此∠BAC＝∠BAD
＝90°．
[师]因为直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD垂直，直线CD是
⊙O的切线，因此有圆的切线垂直于过切点的直径．
这是圆的切线的性质，下面我们来证明这个结论．
在图(2)中，AB与CD要么垂直，要么不垂直．假设AB与CD不垂直，过
点O作一条直径垂直于CD、垂足为M，则OM＜OA，即圆心O到直线CD的距离
小于⊙O的半径，因此CD与⊙O相交，这与已知条件“直线CD与⊙O相切”
相矛盾，所以AB与CD垂直．
这种证明方法叫反证法，反证法的步骤为第一步假设结论不成立；第二
步是由结论不成立推出和已知条件或定理相矛盾．第三步是肯定假设错误，
故结论成立．
Ⅲ．课堂练习
随堂练习作 业
习题3．7
布 置
本节课学习了如下内容：
1．直线与圆的三种位置关系．
(1)从公共点数来判断．
(2)从d与r间的数量关系来判断．
课堂 2．圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半
总结 径．
3．例题讲解．课 型 新授课
课题 24.2.3圆和圆的位置关系
课 时 1
(一)教学知识点
1．了解圆与圆之间的几种位置关系．
2．了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联
系．
(二)能力训练要求
1．经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力．
教学
2．通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和
目标
动手操作能力．
(三)情感与价值观要求
1．通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受
数学的严谨性以及数学结论的确定性．
2．经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象
思维．
教学重点
探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、
教 学
半径R和r的数量关系的联系．
重 点
教学难点
难 点
探索两个圆之间的位置关系，以及外切、内切时两圆圆心距d、半径R和
r的数量关系的过程．
教 学
多媒体
准 备
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]我们已经研究过点和圆的位置关系，分别为点在圆内、点在圆上、
点在圆外三种；还探究了直线和圆的位置关系，分别为相离、相切、相交．
它们的位置关系都有三种．今天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系，那
么结果是不是也是三种呢？没有调查就没有发言权．下面我们就来进行有关
探讨．
教 Ⅱ．新课讲解
一、想一想
学 [师]大家思考一下，在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢？
[生]如自行车的两个车轮间的位置关系；车轮轮胎的两个边界圆间的位
过 置关系；用一只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等．
[师]很好，现实生活中我们见过的有关两个圆的位置很多．下面我们就
程 来讨论这些位置关系分别是什么．
二、探索圆和圆的位置关系
在一张透明纸上作一个⊙O．再在另一张透明纸上作一个与⊙O半径不等
1
的⊙O．把两张透明纸叠在一起，固定⊙O，平移⊙O，⊙O与⊙O有几种位
2 1 2 1 2
置关系？
[师]请大家先自己动手操作，总结出不同的位置关系，然后互相交流．
[生]我总结出共有五种位置关系，如下图：[师]大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特
点吗？从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑．
[生]如图：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一
个圆的外部；
(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆
的外部；
(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，
有的在另一个圆的内部；
(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O上的点在⊙O的内
2 1
部；
(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O上的点都在⊙O的内部．
2 1
[师]总结得很出色，如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关
系中有相同类型吗？
[生]外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点；相交有两
个公共点．
[师]因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种．
经过大家的讨论我们可知：
投影片(§3．6A)
(1)如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来
考虑，两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．
(2)如果只从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交，并且相离
，相切
三、例题讲解
投影片(§3．6B)
两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图所示(点O，O＇是圆心)，
分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求
∠TPN的大小．
分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP＝O＇P＝OO＇，又TP、NP分别
为两圆的切线，所以PT⊥OP，PN⊥O＇P，即∠OPT＝∠O＇PN＝90°，所以
∠TPN等于360°减去∠OPT＋∠O＇PN＋∠OPO＇即可．
解：∵OP＝OO＇＝PO＇，∴△PO＇O是一个等边三角形．
∴∠OPO＇＝60°．
又∵TP与NP分别为两圆的切线，
∴∠TPO＝∠NPO＇＝90°．
∴∠TPN＝360°－2×90°－60°＝120°．
四、想一想
如图(1)，⊙O与⊙O外切，这个图是轴对称图形吗？如果是，它的对称
1 2
轴是什么？切点与对称轴有什么位置关系？如果⊙O与⊙O内切呢？〔如图
1 2
(2)〕
[师]我们知道圆是轴对称图形，对称轴是任一直径所在的直线，两个圆
是否也组成一个轴对称图形呢？这就要看切点T是否在连接两个圆心的直线
上，下面我们用反证法来证明．反证法的步骤有三步：第一步是假设结论不
成立；第二步是根据假设推出和已知条件或定理相矛盾的结论；第三步是证
明假设错误，则原来的结论成立．
证明：假设切点T不在OO上．
1 2
因为圆是轴对称图形，所以T关于OO的对称点T＇也是两圆的公共点，
1 2
这与已知条件⊙O和⊙O相切矛盾，因此假设不成立．
1 2
则T在OO上．
1 2
由此可知图(1)是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线，切点与对称轴的
位置关系是切点在对称轴上．
在图(2)中应有同样的结论．
通过上面的讨论，我们可以得出结论：两圆相内切或外切时，两圆的连
心线一定经过切点，图(1)和图(2)都是轴对称图形，对称轴是它们的连心
线．
五、议一议
投影片(§3．6C)
设两圆的半径分别为R和r．
(1)当两圆外切时，两圆圆心之间的距离(简称圆心距)d与R和r具有怎
样的关系？反之当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定外切吗？
(2)当两圆内切时(R＞r)，圆心距d与R和r具有怎样的关系？反之，当
d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定内切吗？
[师]如图，请大家互相交流．
[生]在图(1)中，两圆相外切，切点是A．因为切点A在连心线OO上，
1 2
所以OO＝OA＋OA＝R＋r，即d＝R＋r；反之，当d＝R＋r时，说明圆心距
1 2 1 2
等于两圆半径之和，O、A、O在一条直线上，所以⊙O与⊙O只有一个交点
1 2 1 2
A，即⊙O与⊙O外切．
1 2
在图(2)中，⊙O与⊙O相内切，切点是B．因为切点B在连心线OO上，
1 2 1 2
所以OO＝OB－OB，即d＝R－r；反之，当d＝R－r时，圆心距等于两半径
1 2 1 2
之差，即OO＝OB－OB，说明O、O、B在一条直线上，B既在⊙O上，又在
1 2 1 2 1 2 1⊙O上，所以⊙O与⊙O内切．
2 1 2
[师]由此可知，当两圆相外切时，有d＝R＋r，反过来，当d＝R＋r时，
两圆相外切，即两圆相外切 d＝R＋r．
当两圆相内切时，有d＝R－r，反过来，当d＝R－r时，两圆相内切，即
两圆相内切 d＝R－r．
Ⅲ．课堂练习
随堂练习
作 业
习题3．9
布 置
本节课学习了如下内容：
1．探索圆和圆的五种位置关系；
课堂
2．讨论在两圆外切或内切情况下，图形的轴对称性及对称轴，以及切点
总结
和对称轴的位置关系；
3．探讨在两圆外切或内切时，圆心距d与R和r之间的关系．
课 型 新授课
课题 24.3.1弧长及扇形的面积
课 时 1
(一)教学知识点
1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；
教学
2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．
目标
(二)能力训练要求
1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力．
2．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运
用能力．
(三)情感与价值观要求
1．经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索
与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
2．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生
活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提
高大家的运用能力．
教学重点
1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程．
教 学 2．了解弧长及扇形面积计算公式．
重 点 3．会用公式解决问题．
难 点 教学难点
1．探索弧长及扇形面积计算公式．
2．用公式解决实际问题．
教 学
投影片四张
准 备
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部
分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周
长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索．
Ⅱ．新课讲解
一、复习
1．圆的周长如何计算？
2．圆的面积如何计算？
3．圆的圆心角是多少度？
[生]若圆的半径为r，则周长l＝2πr，面积S＝πr2，圆的圆心角是
360°．
二、探索弧长的计算公式
教 投影片(§3．7A)
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm．
学
过
程
(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？
(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
[师]分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因
为圆的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转 1°，传送带上的物品A被传
送圆周长的 ；转动轮转n°，传送带上的物品A被传送转1°时传送距离
的n倍．
[生]解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品 A被传送 2π×10＝
20πcm；(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送 cm；
(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送n× ＝cm．
[师]根据上面的计算，你能猜想出在半径为R的圆中，n°的圆心角所对
的弧长的计算公式吗？请大家互相交流．
[生]根据刚才的讨论可知，360°的圆心角对应圆周长2πR，那么1°的
圆心角对应的弧长为 ，n°的圆心角对应的弧长应为 1°的圆心角
对应的弧长的n倍，即n× ．
[师]表述得非常棒．
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式
为：
l＝ ．
下面我们看弧长公式的运用．
三、例题讲解
投影片(§3．7B)
制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长
度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即
的长(结果精确到0.1mm)．
分析：要求管道的展直长度，即求 的长，根
根弧长公式l＝ 可求得 的长，其中n为圆心
角，R为半径．
解：R＝40mm，n＝110．
∴ 的长＝ πR＝ ×40π≈76.8mm．
因此，管道的展直长度约为76.8mm．
四、想一想
投影片(§3．7C)
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的
另一端拴着一只狗．
(1)这只狗的最大活动区域有多大？
(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？
[师]请大家互相交流．
[生](1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9π；
(2)如图(2)，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角
对应的圆面积，1°的圆心角对应圆面积的 ，即 ×9π＝ ，n°的圆心角对应的圆面积为n× ＝ ．
[师]请大家根据刚才的例题归纳总结扇形的面积公式．
[生]如果圆的半径为R，则圆的面积为πR2，1°的圆心角对应的扇形面
积为 ，n°的圆心角对应的扇形面积为n· ．因此扇形面积的
计算公式为S ＝ πR2，其中R为扇形的半径，n为圆心角．
扇形
五、弧长与扇形面积的关系
[师]我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°的圆心
角所对的弧长的计算公式为l＝ πR，n°的圆心角的扇形面积公式为S
扇形
＝ πR2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n．半径R有关
系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗？请大家互相交流．
[生]∵l＝ πR，S ＝ πR2，
扇形
∴ πR2＝ R· πR．∴S ＝ lR．
扇形
六、扇形面积的应用
投影片(§3．7D)
扇形AOB的半径为12cm，∠AOB＝120°，求 的长(结果精确到0.1cm)
和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2)
分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径 R和圆心角n即
可，本题中这些条件已经告诉了，因此这个问题就解决了．
解： 的长＝ π×12≈25.1cm．
S ＝ π×122≈150.7cm2．
扇形
因此， 的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7cm2．
Ⅲ．课堂练习
随堂练习
作 业
习题3．10
布 置
本节课学习了如下内容：
1．探索弧长的计算公式l＝ πR，并运用公式进行计算；
课堂
总结
2．探索扇形的面积公式S＝ πR2，并运用公式进行计算；
3．探索弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方．课 型 新授课
课题 24.3.2圆锥的侧面积
课 时 1
(一)教学知识点
1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．
2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．
(二)能力训练要求
1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力．
2．了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计算，训练学生的数学应用
教学
能力．
目标
(三)情感与价值观要求
1．让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列
活动，培养学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，
使他们获得学习数学的经验，感受成功的体验．
2．通过运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人类生活的密切联系，激
发他们学习数学的兴趣，克服困难的决心，更好地服务于实际．
教学重点
教 学 1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．
重 点 2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．
难 点 教学难点
经历探索圆锥侧面积计算公式．
教 学 投影片两张
准 备 第一张：(记作§3．8A) 第二张：(记作§3．8B)
教 Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]大家见过圆锥吗？你能举出实例吗？
学 [主]见过，如漏斗、蒙古包．
[师]你们知道圆锥的表面是由哪些面构成的吗？请大家互相交流．
过 [生]圆锥的表面是由一个圆面和一个曲面围成的．[师]圆锥的曲面展开图是什么形状呢？应怎样计算它的面积呢？本节课我们
将解决这些问题．
Ⅲ．新课讲解
一、探索圆锥的侧面展开图的形状
[师](向学生展示圆锥模型)请大家先观察模型，再展开想象，讨论圆锥的侧
面展开图是什么形状．
[生]圆锥的侧面展开图是扇形．
[师]能说说理由吗？
[生甲]因为数学知识是一环扣一环的，后面的知识是在前面知识的基础上学
习的．上节课的内容是弧长及扇形面积，本节课的内容是圆锥的侧面积，而
弧长不是面积，所以我猜想圆锥的侧面展开图应该是扇形．
[师]这位同学用的虽然是猜想，但也是有一定的道理的，并不是凭空瞎想，
还有其他理由吗？
[生乙]我是自己实践得出结论的，我拿一个扇形的纸片卷起来，就得到了一
个圆锥模型．
[师]很好，究竟大家的猜想是否正确呢？下面我就给大家做个演示(把圆锥沿
一母线剪开)，请大家观察侧面展开图是什么形状的？
[生]是扇形．
[师]大家的猜想非常正确，既然已经知道侧面展开图是扇形，那么根据上节
课的扇形面积公式就能计算出圆锥的侧面积，由于我们不能把所有圆锥都剖
开，在展开图中的扇形的半径和圆心角与不展开图形中的哪些因素有关呢？
这将是我们进一步研究的对象．
二、探索圆锥的侧面积公式
[师]圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线(generating line)
程 长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母
线长l，扇形的弧长即为底面圆的周长 2πr，根据扇形面积公式可知S＝
·2πr·l＝πrl．因此圆锥的侧面积为S ＝πrl．
侧
圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积(surfacearea)，全面积为S
全
＝πr2＋πrl．
三、利用圆锥的侧面积公式进行计算．
投影片(§3．8A)
圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽．已知纸帽的底面周长
为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？
(结果精确到0.1cm)2
分析：根据题意，要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积．现在已知底面圆的
周长，从中可求出底面圆的半径，从而可求出扇形的弧长．在高h、底面圆的
半径r、母线l组成的直角三角形中，根据勾股定理求出母线l，代入S ＝
侧
πrl中即可．解：设纸帽的底面半径为r cm，母线长为l cm，则r＝
l＝ ≈22.03cm，
S ＝πrl≈ ×58×22.03＝638.87cm2．
圆锥侧
638.87×20＝12777.4cm2．
所以，至少需要12777.4cm2的纸．
投影片(§3．8B)
如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝13cm，一条直角边AC＝5cm，以直线AB为轴
旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．
分析：首先应了解这个几何体的形状是上下两个圆锥，共用一个底面，表面
积即为两个圆锥的侧面积之和．根据S ＝ πR2或S ＝πrl可知，用第二
侧 侧
个公式比较好求，但是得求出底面圆的半径，因为AB垂直于底面圆，在
Rt△ABC中，由OC、AB＝BC、AC可求出r，问题就解决了．
解：在Rt△ABC中，AB＝13cm，AC＝5cm，
∴BC＝12cm．
∵OC·AB＝BC·AC，
∴r＝OC＝ ．
∴S ＝πr(BC＋AC)＝π× ×(12＋5)
表
＝ π cm2．
Ⅲ．课堂练习
随堂练习
作 业
习题3．11
布 置课堂 本节课学习了如下内容：
总结 探索圆锥的侧面展开图的形状，以及面积公式，并能用公式进行计算．
课 型 新授课
课题 25.1 随机事件
课 时 1
知识技能目标：了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的特点.
数学思考目标：学生经历体验、操作、观察、归纳、总结的过程,发展学生从
教学 纷繁复杂的表象中，提炼出本质特征并加以抽象概括的能力.
目标 解决问题目标：能根据随机事件的特点,辨别哪些事件是随机事件.
情感态度目标：引领学生感受随机事件就在身边,增强学生珍惜机会，把握机
会的意识.
教 学
教学重点：随机事件的特点.
重 点
教学难点：判断现实生活中哪些事件是随机事件.
难 点
教 学
多媒体
准 备
<活动一>
【问题情境】
摸球游戏
三个不透明的袋子均装有10个乒乓球.挑选多名同学来参加游戏.
教
游戏规则
每人每次从自己选择的袋子中摸出一球,记录下颜色,放回,搅匀,重复前
学
面的试验.每人摸球5次.按照摸出黄色球的次数排序,次数最多的为第一名,
其次为第二名,最少的为第三名.
过
【师生行为】
教师事先准备的三个袋子中分别装有10个白色的乒乓球；5个白色的乒
程
乓球和5个黄色的乒乓球；10个黄色的乒乓球.
学生积极参加游戏,通过操作和观察,归纳猜测出在第1个袋子中摸出黄
色球是不可能的,在第2个袋子中能否摸出黄色球是不确定的,在第3个袋子
中摸出黄色球是必然的.教师适时引导学生归纳出必然发生的事件、随机事件、不可能发生的事
件的特点.
【设计意图】
通过生动、活泼的游戏,自然而然地引出必然发生的事件、随机事件和不
可能发生的事件,不仅能够激发学生的学习兴趣,并且有利于学生理解.能够巧
妙地实现从实践认识到理性认识的过渡.
<活动二>
【问题情境】
指出下列事件中哪些是必然发生的,哪些是不可能发生的，哪些是随机事
件？
1.通常加热到100°C时，水沸腾；
2.姚明在罚球线上投篮一次，命中；
3.掷一次骰子，向上的一面是6点；
4.度量三角形的内角和，结果是360°；
5. 经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯；
6.某射击运动员射击一次，命中靶心；
7.太阳东升西落；
8.人离开水可以正常生活100天；
9.正月十五雪打灯；
10.宇宙飞船的速度比飞机快.
【师生行为】
教师利用多媒体课件演示问题,使问题情境更具生动性.
学生积极思考,回答问题,进一步夯实必然发生的事件、随机事件和不可
能发生的事件的特点.在比较充分的感知下，达到加深理解的目的.
教师在学生完成问题后应注意引导学生发现在我们生活的周围大量地存
在着随机事件.
【设计意图】
引领学生经历由实践认识到理性认识再重新认识实践问题的过程, 同时
引入一些常识问题,使学生进一步感悟数学是认识客观世界的重要工具.
<活动三>
【问题情境】
情境1
5名同学参加讲演比赛,以抽签方式决定每个人的出场顺序.签筒中有5根
形状、大小相同的纸签,上面分别标有出场的序号 1,2,3,4,5.小军首先抽签,
他在看不到纸签上的数字的情况下从签筒中随机地抽取一根纸签.
情境2
小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1到6的
点数.
在具体情境中列举不可能发生的事件、必然发生的事件和随机事件.
【师生行为】
学生首先独立思考,再把自己的观点和小组其他同学交流,并提炼出小组
成员列举的主要事件，在全班发布.
【设计意图】
开放性的问题有利于培养学生的发散性思维和创新思维,也有利于学生加
深对学习内容的理解.
<活动四>
【问题情境】
请你列举一些生活中的必然发生的事件、随机事件和不可能发生的事件.
【师生行为】
教师引导学生充分交流，热烈讨论.
【设计意图】
随机事件在现实世界中广泛存在.通过让学生自己找到大量丰富多彩的实例，使学生从不同侧面、不同视角进一步深化对随机事件的理解与认识.
<活动五>
【问题情境】
李宁运动品牌打出的口号是“一切皆有可能”，请你谈谈对这句话的理
解.
【师生行为】
教师注意引导学生独立思考,交流合作,提升学生对问题的理解与判断能
力.
【设计意图】
有意识地引领学生从数学的角度重新审视现实世界，初步感悟辩证统一
的思想.
<活动六>
【问题情境】
归纳、小结
作 业
设计一个摸球游戏,要求对甲乙公平.
布 置
课堂
帮助学生形成较完整的认知结构.作业使课堂内容得以丰富和延展.
总结课 型 新授课
课题 25.1.2 概率的意义
课 时 1
〈一〉知识与技能：1.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生
概率的估计值2.在具体情境中了解概率的意义
〈二〉教学思考：让学生经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过
程，丰富对随机现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型.初步
理解频率与概率的关系.
教学
〈三〉解决问题：在分组合作学习过程中积累数学活动经验，发展学生合
目标
作交流的意识与能力.锻炼质疑、独立思考的习惯与精神，帮助学生逐步建立正
确的随机观念.
〈四〉情感态度与价值观：在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇
心与求知欲.体验数学的价值与学习的乐趣.通过概率意义教学，渗透辩证思想
教育.
教
学
重 【教学重点】在具体情境中了解概率意义.
点 【教学难点】对频率与概率关系的初步理解
难
点
教
学
壹元硬币数枚、图钉数枚、多媒体课件
准
备
一、创设情境，引出问题
教师提出问题：周末市体育场有一场精彩的篮球比赛，老师手中只有一张
球票，小强与小明都是班里的篮球迷，两人都想去.我很为难，真不知该把球给
谁.请大家帮我想个办法来决定把球票给谁.
学生：抓阄、抽签、猜拳、投硬币，……
教师对同学的较好想法予以肯定.（学生肯定有许多较好的想法，在众多方
法中推举出大家较认可的方法.如抓阄、投硬币）
追问，为什么要用抓阄、投硬币的方法呢？
由学生讨论：这样做公平.能保证小强与小明得到球票的可能性一样大
在学生讨论发言后，教师评价归纳.
教 用抛掷硬币的方法分配球票是个随机事件，尽管事先不能确定“正面朝
上”还上“反面朝上”，但同学们很容易感觉到或猜到这两个随机事件发生的
学 可能性是一样的，各占一半，所以小强、小明得到球票的可能性一样大.
质疑：那么，这种直觉是否真的是正确的呢？
过 引导学生以投掷壹元硬币为例，不妨动手做投掷硬币的试验来验证一下.
说明：现实中不确定现象是大量存在的， 新课标指出：“学生数学学习内
程 容应当是现实的、有意义、富有挑战的”，设置实际生活问题情境贴近学生的
生活实际，很容易激发学生的学习热情，教师应对此予以肯定，并鼓励学生积
极思考，为课堂教学营造民主和谐的气氛，也为下一步引导学生开展探索交流
活动打下基础.
二 、动手实践，合作探究
1．教师布置试验任务.
（1）明确规则：把全班分成10组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名
同学作记录，其余同学观察试验必须在同样条件下进行.
（2）明确任务，每组掷币50次，以实事求是的态度，认真统计“正面朝
上” 的频数及 “正面朝上”的频率，整理试验的数据,并记录下来..
2．教师巡视学生分组试验情况.注意：（1）．观察学生在探究活动中，是否积极参与试验活动、是否愿意
交流等，关注学生是否积极思考、勇于克服困难.（2）．要求真实记录试验情
况.对于合作学习中有可能产生的纪律问题予以调控.
3.各组汇报实验结果.
由于试验次数较少，所以有可能有些组试验获得的“正面朝上”的频率与
先前的猜想有出入.
提出问题：是不是我们的猜想出了问题？引导学生分析讨论产生差异的原
因.
在学生充分讨论的基础上，启发学生分析讨论产生差异的原因.使学生认识
到每次随机试验的频率具有不确定性，同时相信随机事件发生的频率也有规律
性， 引导他们小组合作，进一步探究.
解决的办法是增加试验的次数，鉴于课堂时间有限，引导学生进行全班交
流合作.
4．全班交流.
把各组测得数据一一汇报，教师将各组数据记录在黑板上.全班同学对数据
进行累计，按照书上P 要求填好25-2.并根据所整理的数据，在 25.1-1图上
140
标注出对应的点,完成统计图.
表25-2
抛掷次数n 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
“正面向上”的频数
m
“正面向上”的频
率 m n
m
正面向上的频率
n
1
0.5
50 100 150 200 250 300 350 450 500 投掷次数n
想一想1（投影出示）. 观察统图计
25
表
.1-
与
1
统计图，你发现“正面向上”的频率
有什么规律？
注意学生的语言表述情况，意思正确予以肯定与鼓励.“正面朝上”的频率
在0.5上下波动.
想一想2（投影出示）
随着抛掷次数增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？
在学生讨论的基础上，教师帮助归纳.使学生认识到每次试验中随机事件发
生的频率具有不确定性，同时发现随机事件发生的频率也有规律性.在试验次数
较少时，“正面朝上”的频率起伏较大，而随着试验次数的逐渐增加，一般
地，频率会趋于稳定，“正面朝上”的频率越来越接近0.5. 这也与我们刚开始
的猜想是一致的.我们就用0.5这个常数表示“正面向上”发生的可能性的大
小.说明：注意帮助解决学生在填写统计表与统计图遇到的困难.通过以上实践
探究活动，让学生真实地感受到、清楚地观察到试验所体现的规律，即大量重
复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）.鼓励学生在学习
中要积极合作交流，思考探究.学会倾听别人意见，勇于表达自己的见解.
为了给学生提供大量的、快捷的试验数据,利用计算机模拟掷硬币试验的
课件，丰富学生的体验、提高课堂教学效率，使他们能直观地、便捷地观察到
试验结果的规律性--大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附
近 .
其实，历史上有许多著名数学家也做过掷硬币的试验.让学生阅读历史上数
学家做掷币试验的数据统计表（看书P 表25-3）.
141
表25-3
试验者 抛掷次数（n） “正面朝上”次 “正面向上”频
数（m） 率（m/n）
棣莫弗 2048 1061 0.518
布丰 4040 2048 0.5069
费勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
通过以上学生亲自动手实践,电脑辅助演示,历史材料展示, 让学生真实地
感受到、清楚地观察到试验所体现的规律，大量重复试验中，事件发生的频率
逐渐稳定到某个常数附近,即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能
性的大小（概率）.同时,又感受到无论试验次数多么大,也无法保证事件发生的
频率充分地接近事件发生的概率.
在探究学习过程中,应注意评价学生在活动中参与程度、自信心、是否愿意
交流等，鼓励学生在学习中不怕困难积极思考，敢于表达自己的观点与感受,养
成实事求是的科学态度.
5.下面我们能否研究一下“反面向上”的频率情况？
学生自然可依照“正面朝上”的研究方法，很容易总结得出：“反面向
上”的频率也相应稳定到0.5.
教师归纳：
（1）由以上试验，我们验证了开始的猜想，即抛掷一枚质地均匀的硬币
时，“正面向上”与“反面向上”的可能性相等（各占一半）.也就是说，用抛
掷硬币的方法可以使小明与小强得到球票的可能性一样.
（2）在实际生活还有许多这样的例子，如在足球比赛中，裁判用掷硬币的
办法来决定双方的比赛场地等等.
说明：这个环节，让学生亲身经历了猜想试验——收集数据——分析结果
的探索过程，在真实数据的分析中形成数学思考，在讨论交流中达成知识的主
动建构，为下一环节概率意义的教学作了很好的铺垫.
三、评价概括，揭示新知
问题1.通过以上大量试验，你对频率有什么新的认识？有没有发现频率还
有其他作用？
学生探究交流.发现随机事件的可能性的大小可以用随机事件发生的频率逐
渐稳定到的值（或常数）估计或去描述.
通过猜想试验及探究讨论，学生不难有以上认识.对学生可能存在语言上、
描述中的不准确等注意予以纠正，但要求不必过高.
归纳：以上我们用随机事件发生的频率逐渐稳定到的常数刻画了随机事件
的可能性的大小.
那么我们给这样的常数一个名称，引入概率定义.给出概率定义（板书）：
m
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附
n
近，那么这个常数p就叫做事件A的概率（probability）, 记作P（A）= p.注意指出：
1．概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映.
2．概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复
试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同.
想一想(学生交流讨论)
问题2．频率与概率有什么区别与联系?
从定义可以得到二者的联系, 可用大量重复试验中事件发生频率来估计事
件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件
发生的概率)附近，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概
率的近似值,二者不能简单地等同.
说明：猜想试验、分析讨论、合作探究的学习方式十分有益于学生对概率
意义的理解，使之明确频率与概率的联系，也使本节课教学重难点得以突破.为
下节课进一步研究概率和今后的学习打下了基础. 当然，学生随机观念的养成
是循序渐进的、长期的.这节课教学应把握教学难度，注意关注学生接受情况.
四．练习巩固，发展提高.
学生练习
1．书上P143.练习.1. 巩固用频率估计概率的方法.
2．书上P143.练习.2 巩固对概率意义的理解.
教师应当关注学生对知识掌握情况，帮助学生解决遇到的问题.
作
业 （1）完成P144 习题25.1 2、4
（2）课外活动分小组活动，用试验方法获得图钉从一定高度落下后钉尖着
布 地的概率.
置
1．学生互相交流这节课的体会与收获，教师可将学生的总结与板书串一
课堂 起，使学生对知识掌握条理化、系统化.
总结 2．在学生交流总结时，还应注意总结评价这节课所经历的探索过程，体会
到的数学价值与合作交流学习的意义.课 型 新授课
课题 25.2 列举法求概率
课 时 1
知识与技能目标：学习用列表法、画树形图法计算概率，并通过比较概率大
小作出合理的决策。
过程与方法目标，经历实验、列表、统计、运算、设计等活动，学生在具体
教学
情境中分析事件，计算其发生的概率。渗透数形结合，分类讨论，由特殊到
目标
一般的思想，提高分析问题和解决问题的能力。
情感与态度目标，通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充
满着探索和创造，体会数学的应用价值，培养积极思维的学习习惯。
教 学 教学重点：习运用列表法或树形图法计算事件的概率。
重 点 教学难点：能根据不同情况选择恰当的方法进行列举，解决较复杂事件
难 点 概率的计算问题。
教 学
多媒体
准 备
1.创设情景，发现新知
教
教材是通过P151—P152的例5、例6来介绍列表法和树形图法的。
例 5（教材 P151）：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概
学
率：
(1) 两个骰子的点数相同；(2) 两个骰子的点数的和是9；(3) 至少有一
过
个骰子的点数为2。
这个例题难度较大，事件可能出现的结果有36种。若首先就拿这个例题
程
给学生讲解，大多数学生理解起来会比较困难。所以在这里，我将新课的引入方式改为了一个有实际背景的转盘游戏（前一课已有例２作基础）。
（1）创设情景
引例：为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：A、B两个
带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘 A上的数字分别是 1，
6，8，转盘B上的数字分别是4，5，7（两个转盘除表面数字不同外，其他完
全相同）。每次选择2名同学分别拨动A、B两个转盘上的指针，使之产生旋
转，指针停止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表演一个节目（若箭
头恰好停留在分界线上，则重转一次）。作为游戏者，你会选择哪个装置
呢？并请说明理由。
1
4
8 7
6
5
A B
图2 联欢晚会游戏转盘
【设计意图】 选用这个引例，是基于以下考虑：以贴近学生生活的联欢
晚会为背景，创设转盘游戏引入，能在最短时间内激发学生的兴趣，引起学
生高度的注意力，进入情境。
（2）学生分组讨论，探索交流
在这个环节里，首先要求学生分组讨论，探索交流。然后引导学生将实际问
题转化为数学问题，即：
“停止转动后，哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢？”
由于事件的随机性，我们必须考虑事件发生概率的大小。此时我首先引导
学生观看转盘动画，同学们会发现这个游戏涉及A、B两转盘， 即涉及2个
因素，与前一课所讲授单转盘概率问题（教材P148例2）相比，可能产生的
结果数目增多了，列举时很容易造成重复或遗漏。怎样避免这个问题呢？
实际上，可以将这个游戏分两步进行。 于是，指导学生构造表格
（3）指导学生构造表格
A B 4 5 7
1
6
8
首先考虑转动A盘：指针可能指向1，6，8三个数字中的任意一个，可能
出现的结果就会有3个。接着考虑转动B盘：当A盘指针指向1时，B盘指针
可能指向4、5、7三个数字中的任意一个，这是列举法的简单情况。当 A盘
指针指向6或8时，B盘指针同样可能指向4、5、7三个数字中的任意一个。
一共会产生9种不同的结果。
【设计意图】 这样既分散了难点，又激发了学生兴趣，渗透了转化的数
学思想。
（4）学生独立填写表格，通过观察与计算，得出结论（即列表法）
A B 4 5 7
1 （1，4） （1，5） （1，7）
6 （ 6 ， 4 ） （ 6 ， 5 ） （6，7）
8 （ 8 ， 4 ） （ 8 ， 5 ） （ 8 ， 7 ）
从表中可以发现：A盘数字大于B盘数字的结果共有5种。5 4
∴P(A 数较大)= , P(B 数较大)= . ∴P(A 数较大)＞
9 9
P(B数较大)
∴选择A装置的获胜可能性较大。
在学生填写表格过程中，注意向学生强调数对的有序性。
由于游戏是分两步进行的，我们也可用其他的方法来列举。即先转动Ａ
盘，可能出现1，6，8三种结果；第二步考虑转动Ｂ盘，可能出现 4，5，7
三种结果。
（5）解法二：
开始
A 装 1 6 8
置
B装置 4 5 7 4 5 7 4 5 7
由图知：可能的结果为： （1，4），（1，5），（1，7），
（6，4），（6，5），（6，7），
（8，4），（8，5），（8，7）。共计9
种。
5 4
∴P(A数较大)= , P(B数较大)= .
9 9
∴P(A数较大)＞ P(B数较大)
∴选择A装置的获胜可能性较大。
然后，引导学生对所画图形进行观察：若将图形倒置，你会联想到什
么？这个图形很像一棵树，所以称为树形图（在幻灯片上放映）。列表和树
形图是列举法求概率的两种常用的方法。
【设计意图】自然地学生感染了分类计数和分步计数思想。
2.自主分析，再探新知
通过引例的分析，学生对列表法和树形图法求概率有了初步的了解，为
了帮助学生熟练掌握这两种方法，我选用了下列两道例题（本节教材 P151—
P152的例5和例6）。
例1：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
(1) 两个骰子的点数相同；
(2) 两个骰子的点数的和是9；
(3) 至少有一个骰子的点数为2。
例1是教材上一道“掷骰子”的问题，有了引例作基础，学生不难发现：
引例涉及两个转盘，这里涉及两个骰子，实质都是涉及两个因素。于是，学
生通过类比列出下列表。
第2 1
个 2 3 4 5 6
第1个
1 （1， （1， （1， （1， （1， （1，
1） 2） 3） 4） 5） 6）
（2， （2， （2， （2， （2， （2，
2
1） 2） 3） 4） 5） 6）
（3， （3， （3， （3， （3， （3，
3
1） 2） 3） 4） 5） 6）
4 （4， （4， （4， （4， （4， （4，1） 2） 3） 4） 5） 6）
（5， （5， （5， （5， （5， （5，
5
1） 2） 3） 4） 5） 6）
（6， （6， （6， （6， （6， （6，
6
1） 2） 3） 4） 5） 6）
由上表可以看出，同时掷两个骰子，可能出现的结果有36个，它们出现
的可能性相等。由所列表格可以发现：
（1）满足两个骰子的点数相同（记为事件 A）的结果有6个，即（1，
1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），所以 P(A)=
6 1
= 。
36 6
[满足条件的结果在表格的对角线上]
（2）满足两个骰子的点数的和是 9（记为事件 B）的结果有 4 个，即
4 1
（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），所以P(B)= = 。
36 9
[满足条件的结果在（3，6）和（6，3）所在的斜线上]
（3）至少有一个骰子的点数为 2（记为事件 C）的结果有 11 个，所以
11
P(C)= 。
36
[满足条件的结果在数字2所在行和2所在的列上]
接着，引导学生进行题后小结：
当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用
列表法。运用列表法求概率的步骤如下：
①列表 ；
m
②通过表格计数，确定公式P(A)= 中m和n的值；
n
m
③利用公式P(A)= 计算事件的概率。
n
分析到这里，我会问学生：“例1题目中的“掷两个骰子”改为“掷三个
骰子”，还可以使用列表法来做吗？”由此引出下一个例题。
例2： 甲口袋中装有2个相同的球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中
3个相同的球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中2个相同的球，它们分
别写有字母H和I。从三个口袋中各随机地取出1个球。
（1）取出的三个球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别为多
少？
（2）取出的三个球上全是辅音字母的概率是多少？
例2与前面两题比较，有所不同：要从三个袋子里摸球，即涉及到 3个
因素。此时同学们会发现用列表法就不太方便，可以尝试树形图法。
本游戏可分三步进行。分步画图和分类排列相关的结论是解题的关
键。
A B
甲
乙 C D E C D E
丙 H I H I H I H I H I H I
从图形上可以看出所有可能出现的结果共有12个，即：A A A A A A B B B B B B
C C D D E E C C D D E E
H I H I H I H I H I H I
（幻灯片上用颜色区分）
这些结果出现的可能性相等。
（1）只有一个元音字母的结果（黄色）有 5 个，即 ACH，ADH，BCI，
5
BDI，BEH，所以P ；
（一个元音）
12
有两个元音的结果（白色）有 4 个，即 ACI，ADI，AEH，BEI，所以
4 1
P ；
(两个元音) 12 3
1
全部为元音字母的结果（绿色）只有1个，即AEI ，所以P
(三个元音)
12
。
（2）全是辅音字母的结果（红色）共有 2 个，即 BCH，BDH，所以
2 1
P 。
(三个辅音) 12 6
通过例2的解答，很容易得出题后小结：
当一次试验要涉及3个或更多的因素时，通常采用“画树形图”。运用
树形图法
求概率的步骤如下：（幻灯片）
①画树形图 ；
m
②列出结果，确定公式P(A)= 中m和n的值；
n
m
③利用公式P(A)= 计算事件概率。
n
接着我向学生提问：到现在为止，我们所学过的用列举法求概率分为哪几
种情况？ 列表法和画树形图法求概率有什么优越性？什么时候使用“列表
法”方便，什么时候使用“树形图法”更好呢？
【设计意图】 通过对上述问题的思考，可以加深学生对新方法的理解，
更好的认识到列表法和画树形图法求概率的优越性在于能够直观、快捷、准
确地获取所需信息，有利于学生根据实际情况选择正确的方法。
3.应用新知，深化拓展
为了检验学生对列表法和画树形图法的掌握情况，提高应用所学知识解决
问题的能力，在此我选择了教材P154课后练习作为随堂练习。
（1）经过某十字路口的汽车，它可能继续前行，也可能向左或向右，如
果这三种可能性大小相同。三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概
率：
①三辆车全部继续前行；
②两辆车向右转，一辆车向左转；
③至少有两辆车向左转。
[随堂练习（1）是一道与实际生活相关的交通问题，可用树形图法来解
决。]
（2）在6张卡片上分别写有 1——6的整数，随机地抽取一张后放回，
再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概
率是多少？
通过解答随堂练习（2），学生会发现列出的表格和例 1的表格完全一样。不同的是：变换了实际背景，设置的问题也不一样。这时，我提出：我
们是否可以根据这个表格再编一道用列举法求概率的题目来呢？
为了进一步拓展思维，我向学生提出了这样一个问题，供学生课后思
考：
在前面的引例中，转盘的游戏规则是不公平的，你能把它改成一个公平
的游戏吗？
【设计意图】 以上问题的提出和解决有利于学生发现数学问题的本质，
做到举一反三，融会贯通。
作 业
教材第139页～140页 习题第1～3题和第5题
布 置
本节课应掌握：
课堂 1．利用树状图法求概率．
总结 2．什么时候用列表法，什么时候用树状图法，各自的应用特点：有两个
元素且情况较多时用列表法，当有三个或三个以上元素时用树状图法．课 型 新授课
课题 25.3 用频率估计概率
课 时 1
1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，
教学
一般用统计频率的方法来估计概率．
目标
2．会设计模拟试验，能应用模拟试验求概率．
教 学
重点 对利用频率估计概率的理解和应用．
重 点
难点 对利用频率估计概率的理解．
难 点
教 学
多媒体
准 备
一、情境引入
某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下：
投篮次数n 8 10 12 9 16 10
进球次数m 6 8 9 7 12 7
进球频率
教
(1)计算表中各次比赛进球的频率；
(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？
学
解答：(1)0.75，0.8，0.75，0.78，0.75，0.7；
(2)0.75.
过
二、自主探究
利用频率估计概率
程
1．试验要求：
(1)把全班分成10或12组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学做
记录，其余同学观察试验，计算结果，各组必须在同样条件下进行．
(2)明确任务，每组掷币 50 次，认真统计“正面朝上”的频数，算出
“正面朝上”的频率，整理试验的数据，并记录下来．
2．各组汇报试验结果：把各组试验数据汇报给教师，教师积累后填入表格，板书，学生计算出
累加后的频率．(由于试验次数较小，有可能有些组的最后结果和自己的猜想
有出入)
3．根据列表填在教材第142页图中，观察频率变化情况，小组交流后阐
述所得结论．
4．思考：教材第143页“思考”．
5．问题1：教材第144页问题1.
分析：幼树的成活率是实际问题中的概率，在这个实验过程中，移植总
数无限，每一棵小苗成活的可能性不相等，所以不能用列举法求概率，只能
用频率估计概率．
解：教师引导学生完成
方法总结：(1)先计算出每次试验的频率；
(2)观察频率活动情况，选择最接近且围绕波动的频率数作为概率．
用频率估计概率的应用
教材第145页问题2
分析：学生阅读表25－6提供的信息：
(1)估测出损坏率．(实质也是概率问题)
(2)算出完好柑橘的质量．
(3)计算出实际成本，再确定定价．
三、巩固练习
教材第147页 练习．
作 业
教材第147～148页 习题1，2，5.
布 置
课堂 (1)利用频率估计概率，建立在大量重复试验的基础上．
总结 (2)利用频率估计概率，得到的概率是近似值．
