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22.2 二次函数与一元二次方程
【提升训练】
一、单选题
1．如图，抛物线 顶点坐标为 ，对于下列结论：① ；②
；③ ；④若方程 没有实数根，则 ．其中正确的结论有（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．关于二次函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为 B．对称轴为
C．抛物线与 轴有两个交点 D． 与 时函数值一样大
3．如图，抛物线 的对称轴为直线 ，若关于 的一元二次方程 （ 为
实数）在 的范围内有解，则 的取值错误的是（ ）A． B． C． D．
4．如图，二次函数 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为
，结合图象给出下列结论：
① ；
② ；
③关于x的一元二次方程 的两根分别为-3和1；
④若点 ， ， 均在二次函数图象上，则 ；
⑤ （m为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，已知抛物线 与直线 交于 ， 两点，则关于 的不等式
的解集是（ ）A． 或 B． 或 C． D．
6．已知二次函数 图像上部分点的坐标 对应值列表如下：则关于x的方程
的解是（ ）
x … 0 50 200 …
y … 1 1 …
A． B． C． D．
7．二次函数 的顶点坐标为（-1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（
）．A． B．
C． D．关于 的方程 无实数根
8．已知二次函数 （ ， ）的图象经过点 ， ，与x轴交于点
，点 （点A在点B的左侧）．若 ，则有下列结论：① ， ，②
，③ ．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．若抛物线 与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为 ，P为这条抛物线的顶点，则点
P关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线 过一、二、三象限，则直线 与抛物线 的交点个数为（
）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
11．二次函数 的图象的一部分如图所示．已知图象经过点 ，其对称轴为直线
．下列结论：① ；② ；③ ；④若抛物线经过点 ，则关于
的一元二次方程 的两根分别为 ，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．在平面直角坐标系中，已知 和 是抛物线上 的两点，将抛物线
的图象向上平移 （ 是正整数）个单位，使平移后的图象与 轴没有交点，则 的最小值
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
13．若 、 （ ）是关于 的一元二次方程 的两个根， 、 （ ）是关于
的方程 的两根，则 、 、 、 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
14．根据表格中的信息，估计一元二次方程 （ 、 、 为常数， ）的一个解 的
范围为（ ）
x 0 1 2 3 4
ax2+bx+c -14.5 -11.5 -6.5 0.5 9.5
A． B． C． D．
15．已知二次函数 的图象如图所示，有下列5个结论：① ；② ；
③ ；④ （ ）；⑤若方程 ＝1有四个根，则这四个根的和为
2，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
16．已知函数 ，当 时，函数值随 增大而增大，且对任意的 和， 、 相应的函数值 、 总满足 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．若抛物线 的对称轴为直线 ，且该抛物线与x轴交于A、B两点，若 的长是
6，则该抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
18．对于一个函数，当自变量x取a时，其函数值y等于2a，我们称a为这个函数的二倍数．若二次函数y
＝x2+x+c（c为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则c的取值范围是（ ）
A．c＜ B．0＜c＜ C．﹣1＜c＜ D．﹣1＜c＜0
19．二次函数 的图象如图所示，有下列结论：① ；② ；③抛物线
与 轴的另一个交点为 ；④ ．其中，正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．①④
20．已知二次函数 ， ，令 ，（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则21．二次函数 （a，b，c为常数，且 ）中的x与y的部分对应值如下表：
x 0 1 3
y 3 5 3
下列结论：① ；②当 时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程 的一
个根；④当 时， ．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
22．对于一个函数自变量 取 时，函数值为0，则称 为这个函数的零点．若关于 的二次函数
有两个不相等的零点 ， ，关于 的方程 有两
个不相等的非零实数根 和 ，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
23．如图，经过原点的二次函数 的图象，对称轴是直线x=−2．关于下列结论：①
；② ；③方程 的两个根为 =0， =−4；④ 若A（x，1），B
1
（x，2）是抛物线上两点，则x＞x ．其中正确的个数是（ ）
2 1 2
A．1 B．2 C．3 D．4
24．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 为抛物线上一动点，过点 作 交 轴于 ，若点 从点 出发，沿着直线 上方抛物线运动到点 ，则点 经过
的路径长为（ ）
A． B．
C．3 D．
25．利用函数知识对关于代数式 的以下说法作出判断，则正确的有（ ）
①如果存在两个实数 ，使得 ，则
②存在三个实数 ，使得
③如果 ，则一定存在两个实数 ，使
④如果 ，则一定存在两个实数 ，使
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．如图是抛物线 ，其顶点坐标为 ，且与x轴的一个交点在点 和 之
间，下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤关于x的方程 的另一个解在 和 之间，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
27．如图，函数图象C 与C 都经过x轴上的点B并关于垂直于x轴的直线l对称，已知C 是抛物线y＝﹣
1 2 1
2x2＋8x﹣6在x轴上方的部分，若直线y＝x＋m与C 、C 共有3个不同的交点，则m的取值范围是
1 2
（ ）
A．﹣2＜m＜ B．﹣3＜m＜﹣ C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣
28．已知抛物线 与x轴有两个交点 ，现有如下结论：①此抛物线
过定点 ；②若抛物线开口向下，则m的取值范围是 ；③若 时，有 ，
，则m的取值范围是 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
29．如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根是（
）
x 1 2 3 4y ﹣3 ﹣1 3 9
A．1.2 B．2.3 C．3.4 D．4.5
30．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象过点（﹣2，0）和（4，0），现有下四个结论：
①8a+c＝0；
②5a+2b+c＞0；
③若抛地物线与y轴的交点在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），则﹣ ＜a＜﹣ ；
④已知m＞0，关于x的一元二次方程a（x+2）（x﹣4）﹣m＝0的解为x，x（x＜x），则x＜﹣2＜4＜
1 2 1 2 1
x，
2
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
31．如图是抛物线 的部分图象，其顶点为 ，且与 轴的一个交点在点 和
之间下列结论：① ；② ；③ ；④关于 的方程
有两个不相等的实数根．其中正确结论的序号是______．
32．已知抛物线 的顶点坐标为 ，试求：（1） ______；
（2）若关于 的一元二次方程 在 或 的范围内有实数根，则 的取
值范围是______．
33．如图所示，已知二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为
直线 ．直线 与抛物线 交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
则下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的结
论是________（只填写序号）．
34．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a）．下列结论：①abc＜
0；②5a﹣b+c＝0；③若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x 和x，且x＜x， 则﹣5＜x＜x＜1；④
1 2 1 2 1 2
若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确的结论有_______．
35．如图是抛物线 的部分图象，图象过点 ，对称轴为直线 ，有下列四个结论：
① ；② ；③y的最大值为3；④方程 有实数根．其中正确的为
________（将所有正确结论的序号都填入）．三、解答题
36．已知关于 的一元二次方程 ，其中 为常数．
（1）求证：无论 为何值，方程总有两个不相等实数根．
（2）己知函数 的图象不经过第三象限，求 的取值范围．
37．已知二次函数 ．
（1）若图像经过点 ．
① 的值为______；
②无论 为何值，图像一定经过另一个定点______．
（2）若图像与 轴只有1个公共点，求 与 的数量关系．
（3）若该函数图像经过 ，写出函数图像与坐标轴的公共点个数及对应的 的取值范围．
38．已知二次函数 ．
（1）当 时，求出该二次函数的图象与 轴的交点坐标；
（2）若 时，该二次函数的图象与 轴有且只有一个交点，求 的取值范围．
39．某公司决定投资燃油汽车与新能源汽车，该公司信息部的市场调研结果如下：
方案 ：若单独投资燃油汽车时，则所获利润 （千万元）与投资金额 （千万元）之间存在正比例函数
关系例 ，并且当投资2千万元时，可获利润0.8千万元；方案 ：若单独投资新能源汽车时，则所获利润 （千万元）与投资金额 （千万元）之间存在二次函数
关系： ，并且当投资1千万元时，可获利润1.4千万元；当投资3千万元时，可获利润3千
万元．
（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
（2）如果该公司对燃油汽车与新能源汽车这两种产品投资金额相同，且获得总利润为5千万元，求此时该
公司对这两种汽车的投资金额各是多少千万元？
（3）如果公司对燃油汽车投资 千万元，对新能源汽车的投资金额是燃油汽车的两倍，投资所获总利润的
利润率不低于60%，且获得总利润为不低于4千万元，直接写出 的取值范围．
40．已知二次函数 的图象 与 轴有且只有一个公共点．
①求 的顶点坐标；
②将 向下平移若干个单位后，得抛物线 ，如果 与 轴的一个交点为 ，求 的函数关系
式，并求 与 轴的另一个交点坐标；
（2）若 ， 是 上的两点，且 ，求实数 的取值范围．
41．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围；
（2）二次函数 的部分图象如图所示，求一元二次方程 的解．42．已知抛物线 （其中 为常数）
（1）求证：不论 为何值，该抛物线与 轴一定有两个公共点；
（2）若 ， 两点在抛物线上，试比较 与0的大小；
（3）若该抛物线在 的部分与直线 有两个公共点，试求出 的取值范围．
43．在平面直角坐标系中，抛物线 经过 ，点D为抛物线 的顶点．
（1）求抛物线 的表达式；
（2）抛物线 与抛物线 关于x轴对称，在抛物线 是否存在一点P，使得 与 的面积比
，若存在，求出点P的坐标，若不村在，请说明理由．
44．已知二次函数 ．
（1）直接写出该函数图象的对称轴和与 轴的交点坐标．
（2）若该函数图象开口向上，且图象上的一点 在 轴的下方，求证： ．
（3）已知点 ， ， ， 在该函数图象上，若 ， ， ， 四个函数值中
有且只有一个小于零，试求 的取值范围．
45．在平面直角坐标系xOy中，点 ， 为抛物线 上的两
点．
（1）当h=1时，求抛物线的对称轴；
（2）若对于 ， ，都有 ，求h的取值范围．
46．如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，点 在点 左侧，点 的坐标为 ，
，过点 作 轴交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ．（1）若点 的坐标为 ，求 的长．
（2）当 时，求 的值．
47．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 图象的顶点是 ，与 轴交于 两点，与
轴交于 ，点 的坐标是 ．
（1）求二次函数图象的顶点坐标并直接写出直线 的函数关系式．
（2）作一条平行于 轴的直线交二次函数的图象于点 ，与直线 于点 ．若点 的横坐
标分别为 ，且 ，求 的取值范围．
48．已知二次函数 （ 是常数）．
（1）若该函数图像与 轴有两个不同的公共点，求 的取值范围；
（2）求证：不论 为何值，该函数图像的顶点都在函数 的图像上；
（3） ， 是该二次函数图像上的点，当 时，都有 ，则 的取值
范围是___________．49．已知抛物线y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m其中m是常数．
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝4．
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
50．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，解决下列问题：
（1）关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为 ；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）当x为值时，y＜0；
（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，直接写出k的范围．
51．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：
①abc＜0；
②4a+2b+c＞0；
③5a﹣b+c＝0；
④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x 和x，且x＜x，则﹣5＜x＜x＜1；
1 2 1 2 1 2
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8，
其中正确的结论有__．
52．定义：对于二次函数 ，其相依函数为一次函数 ，例如：二次函数的相依函数为：
（1）求二次函数 的相依函数表达式；
（2）如图，二次函数 与其相依函数的图象分别交于点 、 ，过该抛物线的
顶点作直线 平行于 轴，已知点 到直线 的距离为8．
①证明：该二次函数的顶点在其相依函数的图象上；
②点 为抛物线 段上的一个动点，求 面积的最大值．
53．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与两坐标轴分别相交于A，B，C三点
（1）求证：∠ACB=90°
（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．
①求DE+BF的最大值；
②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与 AOG相似，求点D的坐标．54．已知二次函数 的图象开口向上，且经过点 ， ．
（1）求 的值（用含 的代数式表示）；
（2）若二次函数 在 时， 的最大值为1，求 的值；
（3）将线段 向右平移2个单位得到线段 ．若线段 与抛物线 仅有一
个交点，求 的取值范围．
55．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣ ，0），B（2，0）两
点，与y轴交于点C（0，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D为第一象限内抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，求 的最大值；
（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第
四象限内是否存在这样的点P，使△BPQ∽△CAB．若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标，若不
存在，请说明理由．
