初中数学同步8年级下册专题19.3课题学习选择方案（53页）（教师版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_讲义

专题 19.3 课题学习 选择方案 1.能通过函数图象获取信息，发展形象思维； 2.能利用一次函数图象解决简单的实际问题(行程、工程、销售、方案等)； 3.掌握一次函数解析式的求法(待定系数法)，并熟练解决常见图形的面积问题； 知识点01 一次函数中的实际应用 【知识点】一次函数中的实际问题 1)数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了 既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分 析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模 型. 2)正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后 根据函数的性质综合方程(组)、不等式(组)及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3)选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等， 寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 【知识拓展1】行程类问题 【解题技巧】 1)纵坐标表示行驶路程 1.一般该类型x代表时间，y代表行驶路程，需要研究每条线段及拐点的实际意义； |k| =y −y 2.直线中 =行驶速度；3.两线段的交点为两人的相遇点；4.两人间的距离 上 下. 2)纵坐标表示两者之间的距离1.一般该类型x代表时间，y代表两人之间的距离，需要研究每条线段及拐点的实际意义； |k|= |k|= 2.①当两人同向行驶时， 速度差；②当两人相向行驶时， 速度和； 3.x轴上的点为两人的相遇点；4.两人间的距离=y . 例1．(2022·安徽八年级期中)如图，A，B两地相距240km，甲骑摩托车由A地驶往B地，出发1小时后， 乙驾驶汽车由B地驶往A地，乙达到A地停留1小时后，按原路原速返回B地，恰好与甲同时到达B地， 乙行驶过程中两人均匀速行驶，甲乙两人离各自出发点的路程y(km)与乙所用时间x(h)的关系如图，结合图 象回答，当两人之间相距120km时，x＝____________． 【答案】0.5或2或3.5． 【分析】根据甲骑摩托车的速度及时间求出乙行驶的时间，由此得到乙每段行驶的函数解析式，再分段列 方程求解． 【详解】解：由题意和图象可得，甲骑摩托车的速度是：40÷1＝40(km/h)，甲到达B地用的时间为： 240÷40＝6(h)，乙从B地到A地用的时间为：(6﹣1﹣1)÷2＝2h， 当0≤x≤2时，设乙的行驶路程y′与时间x的函数关系式是y′＝ax，240＝2a，得a＝120， 即当0≤x≤2时，乙的行驶路程y′与时间x的函数关系式是y′＝120x， 当2＜x≤3时，y′＝240， 当3＜x≤5时，设乙的行驶路程y′与时间x的函数关系式是y′＝ax+b， 3ab240 a120   5ab0 ，解得b600 ， 即当3＜x≤5时，乙的行驶路程y与时间x的函数关系式是y′＝﹣ 120x+600； n40 m40   设甲的行驶路程y与时间x的函数关系式是y＝mx+n，5mn240，解得n40 ， 即甲的行驶路程y与时间x的函数关系式是y＝40x+40， 当0≤x≤2时，甲乙相遇前，令(40x+40)+120x＝240﹣120，得x＝0.5，甲乙相遇后，令120x+(40x+40)＝240+120，解得，x＝2， 当3＜x≤5时，令40+3×40+40(x﹣3)＝120(x﹣3)+120，解得，x＝3.5， 由上可得，x为0.5或2或3.5时，两人之间相距120km．故答案为：0.5或2或3.5． 【点睛】此题考查待定系数法求一次函数的解析式，一元一次方程的实际应用，解题中分类思想的应用， 正确理解题意是解题的关键． 例2．(2022·安徽淮北·八年级月考)甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500m，先到 终点的人原地休息．已知甲先出发2s．在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y(m)与乙出发的时间t(s)之 间的关系如图所示，给出以下结论：①a8；②b92；③c123．其中正确结论的个数是( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】首先求出甲乙两人的速度，a是乙追上甲所用的时间，根据追上时两人的路程相等，列方程可以 得出；c是乙跑100秒时，两人之间的距离，求出乙出发100秒的路程，甲出发102秒的路程，再相减可以 得 出；b是甲到达终点的时间，因为此图中的t是乙的时间，所以要减去2秒，即可得出结论． 824m/s 5001005m/s 【详解】解：甲的速度为 ；乙的速度为 ； b51004100292m 5a4a20 c100924123s a8 ； ，解得 ， ． ∴正确的有①②③．故正确结论的个数有3个，故选：D． 【点睛】本题是一次函数的应用，属于行程问题，考查了由图得出已知信息，再解决问题；要明确时间、 路程、速度的关系，本题有两个人，速度不同，但同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，理解这一句 话是关键，利用数形结合解决问题． 【即学即练】 1．(2022·广西横县·八年级期末)图中表示甲，乙两名选手在一次自行车越野赛中路程 y (千米)随时间x (分) 变化的图象，从图中可知比赛开始________分钟后两人第一次相遇．【答案】24 【分析】两个函数图象交点的横坐标即为他们的相遇时间，观察图象，有两个交点，第一次在AB段，第 二次在BC段，根据条件首先求出AB解析式，即得出相遇时间． 【详解】解：(1)当15≤x≤33时，设y ＝kx＋b， AB  1 k    9 ∵点(15，5)(33，7)在此直线上，∴ 15kb5，解得 10 ，  b 33kb7  3 1 10 1 10 ∴y＝ x＋ ，当y＝6时， x＋ ＝6 x＝24，即24分钟两人第一次相遇，故答案为：24． 9 3 9 3 【点睛】本题考查了利用函数图像解决实际问题，正确理解函数图像横纵坐标表示的意义，理解问题的过 程，就能够通过图像得到函数问题的相应解决；解决问题的关键是求出AB的解析式． 2.(2022•安徽二模)小华与小明分别从甲，乙两地同时出发，沿一条笔直的人行步道相向而行，两人分别到 达乙，甲两地后立即原路返回，当两人第二次相遇时停止运动．两人步行过程中速度保持不变，且小华的 速度大于小明的速度；两人之间的距离y(单位：米)与所用时间x(单位：分钟)之间函数关系的部分图象如 图所示，请结合图象完成下列问题：(1)求两名同学的速度分别是多少？(2)请直接写出线段AB所在直线的 函数关系式；(3)请在图中补全图象，并在图上标出补充图象的端点坐标．(不必写计算过程)解：(1)两人相向而行，y代表距离，说明甲、乙两地相距1200m， A点代表两人第一次相遇，AB代表两个人维续走，B点代表小华到达乙地， 一共1200m，小华用了20min，∴小华速度：1200÷20＝60 (m/min)， 在A点．两人相遇共走1200m，用时12min，∴两人速度和：1200÷12＝100(m/min)， ∴小明速度：100﹣60＝40(m/min)，∴小华的速度为60m/min，小明的速度为40m/min； (2)小华到乙地时，时间是20，此时小明走20×40＝800，∴B(20，800)，A(12，0)， 设AB解析式：y＝kx+b，把A、B坐标代入解析式，得： ，解得： ， ∴线段AB所在直线的函数关系式为y＝100x﹣1200； (3)C点：此时小明到达甲地，D点：两人第二次相遇，C点横坐标为1200÷40＝30， 此时小华走了30×60＝1800米，相当于往回返走600米，∴C(30，600)，D点：两人再次相遇， 当x＝3600÷100＝36时，此时y值为0，如图所示： 【知识拓展2】图象类方案选择类问题 例1．(2022•深圳期中)某通讯公司推出①，②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种 无月租费，且两种收费方式的通讯时间x(分)与费用y(元)之间的函数关系如图所示． (1)有月租的收费方式是 (填“①”或“②”)，月租费是 元．(2)分别写出①，②两种收费方式中y与自变量x之间的函数表达式：① ；② ． (3)当通讯时间是多少分钟时，两种收费方式的费用一样？ (4)如果某用户一个月通讯时间是350分钟，请说明应该选择哪种收费方式更经济实惠． 解：(1)有月租费的收费方式是①，月租费是20元；故答案为：①；20； (2)设y ＝k x+20，y ＝k x，由题意得： 1 1 2 2 将(500，80)代入y ＝k x+20，得，500k +20＝80，∴k ＝0.12，∴y ＝0.12x+20， 1 1 1 1 1 将(500，100)代入y ＝k x，得，500k ＝100，∴k ＝0.2．∴y ＝0.2x， 2 2 2 2 2 故所求的解析式为y ＝0.12x+20；y ＝0.2x；故答案为：y ＝0.12x+20；y ＝0.2x； 1 2 1 2 (3)当通讯时间相同时y ＝y ，得0.2x＝0.12x+20，解得x＝250； 1 2 故当通讯时间是250分钟时，两种收费方式的费用一样； (3)y ＝0.2x＝0.2×350＝70(元)；y ＝0.12x+20＝0.12×350+20＝62(元)， 2 1 70＞62，故使用有月租费方式更经济实惠． 2．(2022·山东德州初二期中)为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在江汉堤坡种植白杨树，现甲、乙 两家林场有相同的白杨树苗可供选择，其具体销售方案如下： 甲林场 乙林场 购树苗数量 销售单价 购树苗数量 销售单价 不超过1000棵时 4元/棵 不超过2000棵时 4元/棵 超过1000棵的部分 3.8元/棵 超过2000棵的部分 3.6元/棵 设购买白杨树苗x棵，到两家林场购买所需费用分别为y (元)、y (元)．(1)该村需要购买1500棵白杨树苗， 甲 乙 若都在甲林场购买所需费用为 元，若都在乙林场购买所需费用为 元；(2)分别求出y 、y 甲 乙 与x之间的函数关系式；(3)如果你是该村的负责人，应该选择到哪家林场购买树苗合算，为什么？ 【答案】(1)5900，6000；(2)见解析；(3)当0≤x≤1000或x=3000时，两家林场购买一样，当1000＜x＜3000时，到甲林场购买合算；当x＞3000时，到乙林场购买合算． 分析: (1)由单价×数量就可以得出购买树苗需要的费用；(2)根据分段函数的表示法，甲林场分 或 两种情况 .乙林场分 或 两种情况.由由单价×数量就可以得出购买树苗需 要的费用表示出 、 与 之间的函数关系式；(3)分类讨论，当 ， 时， 甲 乙 时，表示出 、 的关系式，就可以求出结论． 甲 乙 【解析】(1)由题意，得． =4×1000+3.8(1500﹣1000)=5900元， =4×1500=6000元； 甲 乙 故答案为5900，6000； (2)当 时， 甲 时． 甲 ∴ ( 取整数). 甲 当 时， 乙 当 时， 乙 ∴ ( 取整数). 乙 (3)由题意，得 当 时，两家林场单价一样，∴到两家林场购买所需要的费用一样． 当 时，甲林场有优惠而乙林场无优惠，∴当 时，到甲林场优惠； 当 时， 甲 乙 当 = 时 解得： 甲 乙 ∴当 时，到两家林场购买的费用一样；当 < 时， 时，到甲林场购买合算； 甲 乙 当 > 时， 解得： ∴当 时，到乙林场购买合算． 甲 乙 综上所述，当 或 时，两家林场购买一样， 当 时，到甲林场购买合算；当 时，到乙林场购买合算． 【即学即练】 1．(2022•驻马店二模)2021年元月，国家发展改革委和生态环境部颁布的《关于进一步加强塑料污染治理 的意见》正式实施，各大塑料生产企业提前做好了转型升级红星塑料有限公司经过市场研究购进一批A型 可降解聚乳酸吸管和一批B型可降解纸吸管生产设备．已知购买5台A型设备和3台B型设备共需130万 元，购买1台A型设备的费用恰好可购买2台B型设备． (1)求两种设备的价格．(2)市场开发部门经过研究，绘制出了吸管的销售收入与销售量(两种吸管总量)的关 系(如y 所示)以及吸管的销售成本与销售量的关系(如y 所示)． 1 2 ①y 的解析式为 ；y 的解析式为 ．②当销售量(x)满足条件 时，该公司盈利(即收入大于成 1 2 本)．(3)由于市场上可降解吸管需求大增，公司决定购进两种设备共 10台，其中A型设备每天生产量为1.2 吨，B型设备每天生产量为0.4吨，每天生产的吸管全部售出．为保证公司每天都达到盈利状态，结合市场 开发部门提供的信息，求出A型设备至少需要购进多少台？ 解：(1)设A型设备每台的价格a万元，B型设备每台b万元， ，解得 ， 答：A型设备每台的价格20万元，B型设备每台10万元； (2)①设y 与x的函数关系式为y ＝kx， 1 1 ∵点(10，20)在该函数图象上，∴10k＝20，得k＝2，即y 与x的函数关系式为y ＝2x； 1 1 设y 与x的函数关系式为y ＝cx+d， ，解得 ， 2 2即y 与x的函数关系式为y ＝x+10；故答案为：y ＝2x，y ＝x+10； 2 2 1 2 ②由图象可得，当x＞10时，该公司盈利，故答案为：x＞10； (3)设购进A型设备m台，则购进B型设备(10﹣m)台， 由题意可得，1.2m+0.4(10﹣m)＞10，解得m＞7.5， ∵m为正整数，∴m至少是8，答：A型设备至少需要购进8台． 2．(2022·湖北江汉·八年级期末)经过武汉人民的不懈努力，新冠疫情已得到有效控制，在武汉市全面复工 复产的过程中，专家建议要定期对办公场所进行消毒杀菌(简称“消杀”)，现有A，B，C三个公司针对中 小企业开展消杀业务，价格如下： 公司 器材租赁费(单位：元) 人工费用(单位：元/平方米) A 0 0.5 B 40 0.3 C 298 0 (1)设某办公场所需要消杀的面积为x平方米(0＜x≤1000)，公司A，B的收费金额y ，y 都是x的函数，则这 1 2 两个函数的解析式分别是 ， ． 若选择公司A最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为 ； 若选择公司B最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为 ； 若选择公司C最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为 ． (2)A公司为了开拓市场推出了以下优惠活动：前a平方米按原价收费，超过的部分半价优惠，经过价格比 较：消杀面积为700平方米的某企业选择了B公司，消杀面积为860平方米的某幼儿园选择了A公司，试 根据以上信息，求a的取值范围． 【答案】(1)y ＝0.5x，y ＝0.3x+40；0＜x≤200；200≤x≤860； 860≤x≤1000；(2)300≤a≤332． 1 2 【分析】(1)根据题意，A公司人工费用每平方米0.5元，可得，y ＝0.5x；B公司需要器材租赁费40元，人 1 工费用每平方米0.3元，则y ＝0.3x+40；若选择公司A最省钱，则需要让A公司的收费金额小于等于B公 2 司和C公司的费用，列出不等式组进行求解；依此类推． (2)已知消杀面积为700平方米的某企业选择了B公司，消杀面积为860平方米的某幼儿园选择了A公司， 由此可列出不等式组，进行求解． 【详解】解：(1)由题意可得，y ＝0.5x，y ＝0.3x+40， 1 2 若选择公司A最省钱，则有 ，解得x≤200，∵0＜x≤1000，∴0＜x≤200； 若选择公司B最省钱，则有 ，解得200≤x≤860； ∵0＜x≤1000，∴200≤x≤860； 若选择公司C最省钱，则有 ，解得x≥860， ∵0＜x≤1000，∴860≤x≤1000． 故答案为：y ＝0.5x；y ＝0.3x+40；0＜x≤200；200≤x≤860；860≤x≤1000． 1 2 (2)根据题意可得，推出优惠活动后，y ＝0.5a+0.25(x﹣a)＝0.25x+0.25a， 1 则有， 解得300≤a≤332． ∴此时a的取值范围为：300≤a≤332． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，明确题意，列出不等式组是解题的关键． 【知识拓展3】最优方案选择问题 【解题步骤】 1.将需求最值对象表示成一次函数； 2.利用题中条件求出自变量的取值范围； 3.利用一次函数的增减性求出y的最值，并找出最优方案。 例1．(2022•新城区校级期末)今年是中国共产党成立100周年，全国上下掀起了学习党史的热潮．某书店 为了满足广大读者的阅读需求，准备购进A、B两种党史学习书籍．已知购进A、B两种书各1本需86元， 购进A种书5本、B种书2本需340元．(1)求A、B两种书的进价；(2)书店决定A种书以每本80元出售，B 种书以每本58元出售，为满足市场需求，现书店准备购进 A、B两种书共100本，且A种书的数量不少于 B种书数量的3倍，请问书店老板如何进货，可获利最大？并求出最大利润． 解：(1)设A种书的进价为x元，B种书的进价为y元， 由题意得： ，解得： ，答：A，B两种书的进价分别为56元，30元； (2)设购进A种书a本，购进B种书(100﹣a)本，获利为w元， 由题意得：w＝(80﹣56)a+(58﹣30)(100﹣a)＝﹣4a+2800， ∵a≥3(100﹣a)，∴a≥75，∵﹣4＜0，∵w随a增大而减小，∴当a＝75时，w最大，最大值为2500元，此时100﹣a＝100﹣75＝25(本)． 答：购进A种书75本，B种书25本时总获利最大，最大利润为2500元． 2．(2022•潼南区期末)洪水无情，人有情，依靠政府战灾情．202特大洪水虽然给我区人民造成极大损失， 但全区人民在区政府的领导之下，老百姓相互支持，很快恢复生产，并喜获丰收.2020年下半年，桂林坝 某农户种植基地收获萝卜192吨，准备运给甲、乙两地的承包商进行包销．该基地用大、小两种货车共18 辆恰好能一次性运完这批萝卜，已知这两种货车的载重量分别为14吨/辆和8吨/辆，运往甲、乙两地的运 费如下表： 车型 运费 运往甲地/(元/辆) 运往乙地/(元/辆) 大货车 720 800 小货车 500 650 (1)求这两种货车各用多少辆；(2)如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，其中前往甲地的大货 车为a辆，总运费为w元，求w关于a的函数关系式；(3)在(2)的条件下，若甲地的承包商包销的萝卜不少 于96吨，请你设计出使总运费最低的货车调配方案，并求出最低总运费． 解：(1)设大货车用x辆，则小货车用y辆，根据题意得： ，解得 ，答：大货车用8辆，小货车用10辆． (2)设运往甲地的大货车是a，那么运往乙地的大货车就应该是(8﹣a)，运往甲地的小货车是(10﹣a)，运往 乙地的小货车是10﹣(10﹣a)， w＝720a+800(8﹣a)+500(10﹣a)+650[10﹣(10﹣a)]，＝70a+11400(0≤a≤8且为整数)； (3)14a+8(10﹣a)≥96，解得a≥ ，又∵0≤a≤8，∴3≤a≤8 且为整数． ∵w＝70a+11400，k＝70＞0，w随a的增大而增大， ∴当a＝3时，W最小，最小值为：W＝70×3+11400＝11610(元)． 答：使总运费最少的调配方案是：3辆大货车、7辆小货车前往甲地；5辆大货车、3辆小货车前往乙地． 最少运费为11610元． 【即学即练】 1．(2022·成都西川中学九年级月考)为了满足学生的物质需求，某中学超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食 品．其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如下表： 甲 乙进价(元/袋) m 售价(元/袋) 20 13 已知：用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同．(1)求m的值．(2)要 使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋的总利润(利润＝售价－进价)不少于5200元，且不超5230元， 求该超市进货甲种绿色袋装食品的数量范围．(3)在(2)的条件下，该超市准备对甲种袋装食品进行优惠促销 活动，决定对甲种袋装食品每袋优惠 元出售，乙种袋装食品价格不变．那么该超市要获得最 大利润应如何进货？ 【答案】(1)10；(2)该超市进货甲种绿色袋装食品的数量范围为240～246；(3)应购进甲种绿色袋装食品240 袋，乙种绿色袋装食品560袋． 【分析】(1)根据“用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同”列出方 程并解答；(2)设购进甲种绿色袋装食品x袋，表示出乙种绿色袋装食品(800﹣x)袋，然后根据总利润列出 一元一次不等式组解答；(3)设总利润为W，根据总利润等于两种绿色袋装食品的利润之和列式整理，然后 根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可． 【详解】(1)依题意得： 解得： ，经检验 是原分式方程的解． (2)设购进甲种绿色袋装食品x袋，表示出乙种绿色袋装食品 袋，根据题意得， ，解得： ， ∵x是正整数， ，∴共有7种方案． (3)设总利润为W，则 ①当 时， ，W随x的增大而增大，所以，当 时，W有最大值， 即此时应购进甲种绿色袋装食品246袋，乙种绿色袋装食品554袋； ②当 时， ，(2)中所有方案获利都一样； ③当 时， ，W随x的增大而减小，所以，当 时，W有最大值， 即此时应购进甲种绿色袋装食品240袋，乙种绿色袋装食品560袋．【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读 懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，(3)要根据一次项系数的情况分情况 讨论． 2．(2022•枣阳市模拟)为推进美丽乡村建设，改善人居环境，创建美丽家园．我市甲、乙两工厂积极生产 了某种建设物资共800吨，甲工厂的生产量比乙工厂的2倍少100吨，这批建设物资将运往A地420吨，B 地380吨，运费如表：(单位：元/吨) 目的地 A B 生产厂 甲 25 20 乙 15 24 (1)求甲、乙两厂各生产了这批建设物资多少吨？(2)设这批物资从甲工厂运往A地x吨，全部运往A，B两 地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，写出x的取值范围并设计使总运费最少的调运方案； (3)由于甲工厂到A地的路况得到了改善，缩短了运输距离和运输时间，运费每吨降低 m元(0＜m≤15)，其 余路线运费不变．若到A，B两市的总运费的最小值不小于14020元，求m的取值范围． 解：(1)设这批建设物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨， 由题意可得， ，解得 ， 答：甲、乙两厂分别生产了这批建设物资500吨、300吨； (2)由题意可得，y＝25x+20(500﹣x)+15(420﹣x)+24[380﹣(500﹣x)]＝14x+13420(120≤x≤420)， ∵k＝14＞0，∴y随x的增大而增大， ∴当x＝120时运费最小，此时500﹣x＝380，420﹣x＝300，380﹣380＝0， 答：总运费最少的调运方案是：甲工厂运往A地120吨，运往B地380吨；乙工厂运往A地300吨； (3)由题意可得，y＝14x+13420﹣mx＝(14﹣m)x+13420， 当0＜m＜14时，14﹣m＞0，则y随x的增大而增大． ∴当x＝120时，y取得最小值，此时y＝(14﹣m)×120+13420≥14020，解得m≤9，∴0＜m≤9； 当m＝14时，14﹣m＝0，y＝13420不合题意，舍去； 当14＜m≤15时，14﹣m＜0，y随x的增大而减少， ∴当x＝420时，y取得最小值，此时y＝(14﹣m)×420+13420≥14020， 解得m≤12 (舍去)，由上可得，m的取值范围是0＜m≤9．知识点02 待定系数法求一次函数解析式 【知识点】求一次函数解析式(待定系数法) 解题技巧：1) 点+点:设函数的解析式为：y=kx+b，当已知两点坐标，将这两点分别代入(待定系数法)，可 得关于k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。 2) 图形:观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。 3) 点+平行:已知直线 与直线 平行，则两个函数的待定系数相同，即 。求直线 的解析式，利用待定系数法，将1个点代入，求解出 的值即可。 4)点+垂直:已知直线 与直线 ，则两个函数的待定系数乘积为－1，即 。求直线 的解析式，利用待定系数法，将1个点代入，求解出 的值即可。 【知识拓展1】“点+点”型 例1．(2022·福建厦门·八年级期末)已知一次函数的图象过点 和 (1)求该函数的解析式；(2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． 【答案】(1)y＝﹣3x+3．(2)见解析 【分析】(1)设一次函数解析式为y＝kx+b，把(0，3)与(2，-3)代入求出k与b的值，即可确定出解析式． (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象即可． (1)解：(1)设一次函数解析式为y＝kx+b， 把(0，3)与(2，﹣3)代入得： ， 解得：k＝﹣3，b＝3， 则一次函数解析式为y＝﹣3x+3． (2)解：函数y＝﹣3x+3图象如图：． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【即学即练1】 1．(2022·重庆永川·八年级期末)已知一次函数 的图象经过点A(－2，3)和点B(4，－1)，则这 个一次函数的解析式为_____． 【答案】 【分析】将两点坐标代入到一次函数中，利用待定系数法求一次函数解析式． 【详解】解：把点A(-2，3)和点B(4，-1)代入y=kx+b得 ，解得 ，所以一次函数的解析式为 ．故答案为： ． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法． 【知识拓展2】“图形”型 例2．(2022·福建漳州·八年级期中)如图，9个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过原点的直 线l将九个正方形组成的图形面积分为1：2的两部分，则该直线的解析式为( )A． B． C． 或 D． 或 【答案】C 【分析】分类讨论：当 下方分得的面积为3时，过 点作 轴于 ，如图，则 ，则可确定 ，然后利用待定系数法求出此时直线 的解析式；当 上方分得的面积为3时，过 点作 轴 于 ，如图，则 ，则可确定 ， ，然后利用待定系数法求出此时直线 的解析式． 【详解】 直线 将九个正方形组成的图形面积分成 的两部分， 两部分的面积分别为3和6， 当 下方分得的面积为3时，过 点作 轴于 ，如图， 则 ， ，解得 ， ， 设直线 的解析式为 ，把 代入得 ，解得 ， 此时直线 的解析式为 ； 当 上方分得的面积为3时，过 点作 轴于 ，如图，则 ， ，解得 ， ， ，设直线 的解析式为 ， 把 ， 代入得 ，解得 ， 此时直线 的解析式为 ，综上所述，直线 的解析式为 或 ．故选： ． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时， 先设 ；将自变量 的值及与它对应的函数值 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程 或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了正方形的性质． 【即学即练2】 2．(2022·四川·威远县八年级期中)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图像分别交x，y轴于点 A，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是_______． 【答案】 【分析】根据已知条件得到 ， ， ，求得 ， ，过 作 交 于 ，过 作 轴于 ，得到 ，根据全等三角形的性质得到 ， ，求得 ， ，设直线 的函数表达式为： ，解方程组于是得到结论． 【详解】解： 一次函数 的图像分别交 、 轴于点 、 ， 令 ，得 ，令 ，则 ， ， ， ， ， ， 过 作 交 于 ，过 作 轴于 ，如图所示：， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，设直线 的函数表达式为： ， ，解得 ， 直线 的函数表达式为： ，故答案为： ． 【点睛】本题考查了一次函数图像与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质， 正确的作出辅助线是解题的关键． 【知识拓展3】“点+平行”型 例3．(2022·吉林吉林·八年级期末)某一次函数的图象经过点(2，-4)，且与直线y=x-3平行，则该一次函数的 解析式为____________． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象与直线y=x-3平行，设一次函数的解析式为y=x+b，再代入(2，-4)，利用待定 系数法求一次函数的解析式． 【详解】解：根据题意，一次函数的图象与直线y=x-3平行，设一次函数的解析式为y=x+b， ∵一次函数的图象经过点(2，-4)， 把(2，-4)代入得b=-9，∴ ．故答案为： ． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【即学即练】 3．(2022·湖南岳阳·八年级期末)把直线 向上平移后得到直线l，直线l经过点(m，n)，且 ， 则直线l的解析式是___________． 【答案】 【分析】设将直线 向上平移 个单位长度后得到直线 ，则直线 的解析式为 ，再将点 代入可得 ，然后根据 可得 ，由此即可得． 【详解】解：设将直线 向上平移 个单位长度后得到直线 ，则直线 的解析式为 ，直线 经过点 ，又 ， ， 直线 的解析式为 ，故答案为： ． 【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键． 【知识拓展4】“点+垂直”型 例4．(2022·江苏南京市·中考真题)将一次函数 的图象绕原点 逆时针旋转 ，所得到的图像 对应的函数表达式是__________． 【答案】 【分析】根据原一次函数与x,y轴的交点坐标，并求出旋转后这两点对应的坐标，再由待定系数法求解一 次方程的表达式即可. 【详解】∵一次函数的解析式为 ，∴设与x轴、y轴的交点坐标为 、 ， ∵一次函数 的图象绕原点 逆时针旋转 ， ∴旋转后得到的图象与原图象垂直，旋转后的点为 、 ， 令 ，代入点得 ， ，∴旋转后一次函数解析式为 ．故答案为 ． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与几何变换，正确把握互相垂直的两直线的位置关系是解题的关键． 【即学即练】 l A(2,0) y  x2 l 4．(2022·成都市初二期中)若直线 经过点 ，且与直线 垂直，则直线 的函数表达式是 ________. y x2 【答案】 y kxb， ykxb k 【分析】先设所求函数解析式是 再根据 与y=x垂直，可解出 值，再带入点A即可得 b 到 的值，从而求出解析式．y kxb， k 1 【解析】设直线l为 ∵直线l经过点A(1,0)且与直线y=x垂直，∴ b2 y x2 y x2 把(-2,0)、代入函数解析式得 故函数解析式是 故答案为： . 【点睛】考查待定系数法求一次函数解析式, 两条直线相交或平行问题，熟练掌握待定系数法是解题的关 键. 知识点03 一次函数与面积问题 【知识点】 一次函数中的三角形面积问题 解题技巧：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，则△OAB为直角三角形。三角形的面积= OA×OB。利 用题干告知的面积和A(B)点的坐标，可求出OB(OA)的长度，从而求出B(A)点的坐标。转化为已知两点求 解析式的问题，利用待定系数法解决。 注：在利用面积求出直角三角形的边长，在将边长转化为点的坐标时，若点在坐标轴的负半轴上，则点的 坐标需添加负号。 【知识拓展1】求确定图形的面积 例1．(2022·重庆忠县·八年级期末)如图，已知一次函数 与 的图像都经过 ，且与 轴分别交于点 、 ，则 的面积为 _____． 【答案】3 【分析】根据题意可知，一次函数 与 都经过 点，所以把点 的坐标分别代入一次函数 与 ，即可算出 和 的值和一次函数解析式，又因为两条直线与 轴分别交于点 、 ，即 ．把 代入已知一次函数解析式中，即可得到点 、 的坐标，即可得出 的长．点 ，即 ．即可算出 的面积． 【详解】解：∵一次函数 与 都经过 点， ∴把 代入 ，可得： ，解得： ； 把 代入 ，可得： ，解得： ． 把 代入 ，可得一次函数解析式为： ； 把 代入 ，可得一次函数解析式为： ； ∵两条直线与 轴分别交于点 、 ，即 ． ∴把 代入 ，可得： ，∴点 ∴把 代入 ，可得： ，∴点 ∴ ， ∵点 ，∴ ，∴ ．故答案为： ． 【点睛】本题考查一次函数解析式的参数问题，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数图像与y轴组成 的面积问题．本题的关键在熟练掌握一次函数与坐标轴组成的面积问题． 【即学即练】 1．(2022·河南南阳·八年级期中)如图，点A，B，C在一次函数y＝－2x＋b的图象上，它们的横坐标依次为 －1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是( ) A．1 B．3 C．3(b－1) D．【答案】B 【分析】先表示出点A，C两点的坐标，再根据阴影部分的特征表示出阴影部分的面积，求解即可． 【详解】解：由题意可得A、C的坐标分别为(－1，b＋2)、(2，b－4)， 又阴影部分为三个有一直角边都是1，另一直角边的长度和为A点纵坐标与C点纵坐标之差的三角形，所 以阴影部分的面积为： ，故选B． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，平面直角坐标系中图形的面积，解题的关键是正确地表 示出阴影部分的面积． 2．(2022·四川广元·八年级期末)如图，一次函数 与 的图象相交于点 ．(1)求点A 的坐标及m的值；(2)若一次函数 与 的图象与x轴分别交于点B，C，求 的面积． 【答案】(1) ； (2) 【分析】(1)把 点的坐标分别代入一次函数解析式中，即可得出二元一次方程组，解出即可得出结果； (2)首先根据一次函数解析式，分别得出点B、C的坐标，进而得出 的长，再根据(1)中点A的坐标，得 出三角形的高，再根据三角形的面积公式，计算即可． (1)解：∵一次函数 与 的图象相交于点 ∴把点 分别代入一次函数 与 ， 可得： ，解得： ，∴点 的坐标为 ， (2)解：∵根据(1)可得：一次函数解析式为 与 ， 又∵一次函数 与 的图象与x轴分别交于点B，C，∴当 时， ，解得： ，即点 的坐标为 ， ∴当 时， ，解得： ，即点 的坐标为 ，∴ ， 又∵ ，∴ ． 【点睛】本题考查了一次函数图象交点的求法、一次函数与几何问题，求出点 的坐标是解本题的 关键． 【知识拓展2】已知图形面积求坐标 1 例2．(2022·静宁县阿阳实验学校八年级期末)已知一次函数y＝ x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于 2 △ABP 点B．(1)求A、B两点的坐标；(2)过B点作直线BP与x轴交于点P，且使 的面积为2，求点P的坐 标． 【答案】(1)A点坐标为(-2，0)，B点坐标为(0，1)；(2)(-6，0)或(2，0) 【分析】(1)根据A、B两点分别在x、y轴上，令y＝0求出x的值；再令x＝0求出y的值即可得出结论； (2)直接根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：(1)∵A、B两点分别在x、y轴上， ∴令y＝0，则x＝－2，令x＝0，则y＝1； ∴A点坐标为(－2，0)，B点坐标为(0，1)； 1 (2)∵△ABP的面积为2，∴ ×OB×AP＝2， 2 又∵OB＝1，∴AP＝4，∴点P的坐标为(－6，0)或(2，0)． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，求一次函数的图象与坐标轴交点坐标是解题的关键． 【即学即练】 2．(2022·湖南·长沙八年级期中)一次函数 的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则 的值为( ) A．2 B． 或 C． D．2或 【答案】D 【分析】分别令y=0和x=0可求得直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积可得到b的方程，求解即可 求得到答案．【详解】解：设直线与x轴交于点A、与y轴交于点B， 在y=2x+b中，令y=0可得x=- ，令x=0可得y=b， ∴A(- ，0)，B(0，b)，∴OA=|- |，OB=|b|， ∵S AOB=1，∴ OA•OB=1，即 ×| |×|b|=1， △ 整理可得|b|2=4，∴b=2或b=-2，故D正确．故选：D． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，用b分别表示出直线与两坐标轴的交点是解题的关键． 【知识拓展3】根据面积关系求坐标 例3．(2022·陕西临潼·八年级期末)如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y轴 交于点A(5，0)，B(0，5)，动点P的坐标为(a，a﹣1)．(1)求直线AB的函数表达式； (2)连接AP，若直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，求此时P点的坐标． 7 4 【答案】(1)直线AB的函数表达式为y=-x+5；(2)点P的坐标为( ， )． 3 3 【分析】(1)设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A(5，0)，B(0，5)代入可求出k、b的值即可得出答案；(2) 5 由题意可知直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，则直线AP经过OB的中点(0， )，设直线AP的解 2 5 析式为y=mx+n，把A(5，0)，(0， )代入，即可求出直线AP的解析式，再把P(a，a-1)代入即可的求出a的 2 值，即可的出答案． 【详解】解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b， 5kb0 k 1   把点A(5，0)，B(0，5)代入上式，得 b5 ，解得：b5 ， ∴直线AB的函数表达式为y=-x+5；5 (2)∵直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，∴直线AP经过OB的中点(0， )， 2 5 设直线AP的解析式为y=mx+n，把A(5，0)，(0， )代入上式， 2  1 m 5mn0   2 得 ，解得 ，∴直线AP的解析式为y=- x+ ，  n 5  n 5 1 5   2  2 2 2 1 5 1 5 7 把p(a，a-1)代入y=- x+ 中，得− a+ ＝a−1，解得：a= ， 2 2 2 2 3 7 4 ∴点P的坐标为( ， )． 3 3 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练应用待定系数法求出函数系数的值是解决本 题的关键． 【即学即练】 3．(2022·广东揭阳·八年级期末)已知一次函数y＝﹣ x+b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比 例函数y＝2x的图象交于点C(1，a)． (1)求a，b的值；(2)方程组 的解为 ．(3)在y＝2x的图象上是否存在点P，使得△BOP 的面积比△AOP的面积大5？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)a＝2，b＝2.5(2) (3)存在， 或 【分析】(1)把点C(1，a)分别代入y＝2x和y= 中，即可求得a，b的值． (2)根据两函数的交点坐标，即可求得方程组的解． (3)设点P 的坐标为(x，2x)，求出点A的坐标和点B的坐标，作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，根据三角形面积公式列方程求得x的值，即可得出点P的坐标． (1)解：由题知，点C(1，a)在y＝2x的图象上， ∴a＝1×2＝2，∴点C 的坐标为(1，2)， ∵点C(1，2)在y= 的图象上，所以，2＝﹣ +b，所以，b＝2.5； (2)解：∵一次函数y＝﹣ x+b的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点C(1，2) ∴方程组 的解为 故答案为 ； (3)解：存在，理由：∵点P在在y＝2x的图象上，∴设点P 的坐标为(x，2x)， ∵一次函数为 ∴点A的坐标为(0，2.5)，点B的坐标为(5，0)， 作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N， ∴△BOP的面积为 ， △AOP的面积为 ， 当5|x|＝ 时，解得 ，∴ ， ∴点P的坐标为 或 ． 【点睛】此题考查了一次函数的问题，解题的关键是掌握一次函数的解析式以及性质、一次函数与二元一 次方程组的关系、三角形的面积公式、明确函数与方程组的关系．题组A 基础过关练 1．(2022·安徽·八年级阶段练习)一次函数y=-x+4的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数y＝−x＋4的图象与两坐标轴的交点坐标， 再利用三角形的面积计算公式，即可求出答案． 【详解】解：∵当x＝0时，y＝4， ∴一次函数y＝−x＋4的图象与y轴交于点(0，4)， ∵当y＝0时，即−x＋4＝0，解得：x＝4， ∴一次函数y＝−x＋4的图象与x轴交于点(4，0)， ∴一次函数y＝−x＋4的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为： ×4×4＝8．故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，牢记直线上任意一点的坐标都满足 函数关系式是解题的关键． 2．(2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末)若y与x成正比例，当x＝5时，y＝6，则y与x的函数解析式为 ________． 【答案】 【分析】根据正比例的概念设出解析式，利用待定系数法计算． 【详解】解：设y＝kx，当x＝5时，y＝6，可得：5k＝6，解得：k＝ ， 则y与x的函数解析式为y＝ x，故答案为：y＝ x． 【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤是解 题的关键． 3．(2022·吉林吉林·八年级期末)某一次函数的图象经过点(2，-4)，且与直线y=x-3平行，则该一次函数的解 析式为____________． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象与直线y=x-3平行，设一次函数的解析式为y=x+b，再代入(2，-4)，利用待定系数法求一次函数的解析式． 【详解】解：根据题意，一次函数的图象与直线y=x-3平行，设一次函数的解析式为y=x+b， ∵一次函数的图象经过点(2，-4)，把(2，-4)代入得b=-9，∴ ．故答案为： ． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4．(2022·辽宁盘锦·八年级期末)若关于x的一次函数 的图象过点(0，3)，请求此一次函数的 解析式． 【答案】 【分析】将(0，3)代入 ，解出m的值，即可求解． 【详解】将(0，3)代入 ，得： ，解得： ， ∴该一次函数解析式为 ． 【点睛】本题考查利用待定系数法求一次函数解析式．掌握函数图象上的点的坐标满足解析式是解题关键． 5．(2022·江苏·八年级专题练习)已知y与x+1成正比例，且当x＝1时，y＝6； (1)求出y与x之间的函数关系式；(2)当x＝﹣3时，求y的值． 【答案】(1)y＝3x+3(2)-6 【分析】(1)根据题意，可设y＝k(x+1)，再把x＝1，y＝6代入，即可求解； (2)把x＝﹣3代入函数关系式，即可求解． (1)解：根据题意，可设y＝k(x+1)，把x＝1，y＝6代入得：6＝2k，解得：k＝3，∴y＝3(x+1)＝3x+3， 即y 与x之间的函数关系式为y＝3x+3； (2)解：当x＝﹣3时，y＝3×(﹣3)+3＝﹣6． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数关系式，正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解 题的关键． 6．(2022·河南·八年级期中)国庆期间某一位公司老板准备和员工去上海旅游，甲旅行社承诺：“老板一人 免费，员工可享受八折优惠”；乙旅行社承诺：“包括老板在内所有人按全票的七五折优惠”，若全票价 为2000元．(1)设参加旅游的员工人数为x，甲、乙旅行社收费分别为y (元)和y (元)，分别写出两个旅行 甲 乙 社收费的表达式；(2)当员工有10人时，哪家旅行社更优惠？(3)员工人数为多少时，两家旅行社花费一样？ 据此，请根据旅游员工人数的多少，为公司老板选择哪家旅行社提出合理化建议(只说出结果)． 【答案】(1)y ＝1600x，y ＝1500x+1500；(2)当员工有10人时，甲家旅行社更优惠；(3)员工人数为15人 甲 乙 时，两家旅行社花费一样，当员工人数多于15人时，选择乙旅行社，当员工人数少于15人时，选择甲旅行社，当员工人数为15人时，两家旅行社一样． 【分析】(1)根据甲旅行社的收费标准，可得甲的函数解析式；根据乙的收费标准，可得乙的函数解析式； (2)根据自变量的值，可得相应的函数值，根据有理数的大小比较，可得答案； (3)根据收费相同，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：(1)由题意可得，y ＝2000x×0.8＝1600x，y ＝2000(x+1)×0.75＝1500x+1500， 甲 乙 即y ＝1600x，y ＝1500x+1500； 甲 乙 (2)当x＝10时，y ＝1600×10＝16000，y ＝1500×10+1500＝16500， 甲 乙 ∵16000＜16500，∴当员工有10人时，甲家旅行社更优惠； (3)由题意可得，1600x＝1500x+1500，解得x＝15， 即员工人数为15人时，两家旅行社花费一样，当员工人数多于15人时，选择乙旅行社，当员工人数少于 15人时，选择甲旅行社，当员工人数为15人时，两家旅行社一样． 【点睛】此题主要考查一次函数的应用，正确理解函数的自变量与因变量之间的关系是解题关键． 7．(2022·江西南昌·八年级期末)某种子站销售一种玉米种子，单价为5元千克，为惠民促销，推出以下销 y x 售方案：付款金额 (元)与购买种子数量 (千克)之间的函数关系如图所示． (1)当x2时，求 y 与x之间的的函数关系式：(2)徐大爷付款20元能购买这种玉米种子多少千克？ y4x2 【答案】(1) ；(2)4.5千克．【分析】(1)当x≥2时函数为一次函数，用待定系数法求函数解析式； (2)把y＝20代入(1)中解析式求解即可. x2 y x ykxb 【详解】解：(1)当 时，设 与 之间的的函数关系式为 ， 2kb10 k 4 将点 2,10 ， 3,14 带入解析式得  3kb14解得  b2∴y4x2． y20 y4x2 x4.5 (2)将 时，带入 中解得 千克． 答：徐大爷付款20元能购买这种玉米种子4.5千克． 【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式． 8．(2022·河南平顶山市·八年级期中)国庆期间某一位公司老板准备和员工去上海旅游，甲旅行社承诺： “老板一人免费，员工可享受八折优惠”；乙旅行社承诺：“包括老板在内所有人按全票的七五折优惠”， 若全票价为2000元．(1)设参加旅游的员工人数为x，甲、乙旅行社收费分别为y (元)和y (元)，分别写出 甲 乙 两个旅行社收费的表达式；(2)当员工有10人时，哪家旅行社更优惠？(3)员工人数为多少时，两家旅行社 花费一样？据此，请根据旅游员工人数的多少，为公司老板选择哪家旅行社提出合理化建议(只说出结果)． 【答案】(1)y ＝1600x，y ＝1500x+1500；(2)当员工有10人时，甲家旅行社更优惠；(3)员工人数为15人 甲 乙 时，两家旅行社花费一样，当员工人数多于15人时，选择乙旅行社，当员工人数少于15人时，选择甲旅 行社，当员工人数为15人时，两家旅行社一样． 【分析】(1)根据甲旅行社的收费标准，可得甲的函数解析式；根据乙的收费标准，可得乙的函数解析式； (2)根据自变量的值，可得相应的函数值，根据有理数的大小比较，可得答案； (3)根据收费相同，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：(1)由题意可得，y ＝2000x×0.8＝1600x，y ＝2000(x+1)×0.75＝1500x+1500， 甲 乙 即y ＝1600x，y ＝1500x+1500； 甲 乙 (2)当x＝10时，y ＝1600×10＝16000，y ＝1500×10+1500＝16500， 甲 乙 ∵16000＜16500，∴当员工有10人时，甲家旅行社更优惠； (3)由题意可得，1600x＝1500x+1500，解得x＝15， 即员工人数为15人时，两家旅行社花费一样，当员工人数多于15人时，选择乙旅行社，当员工人数少于 15人时，选择甲旅行社，当员工人数为15人时，两家旅行社一样． 【点睛】此题主要考查一次函数的应用，正确理解函数的自变量与因变量之间的关系是解题关键． 9.(2022·江苏八年级)在近期“抗疫”期间，某药店销售A、B两种型号的口罩，已知销售80只A型和45只 B型的利润为21元，销售40只A型和60只B型的利润为18元．(1)求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；(2)该药店计划一次购进两种型号的口罩共2000只，其中B型口罩的进货量不少于A型口罩的进货量且不 超过它的3倍，设购进A型口罩x只，这2000只口罩的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式， 并求出自变量x的取值范围；②该药店购进A型、B型口罩各多少只，才能使销售总利润最大？ 【答案】(1)每只A型口罩销售利润为0.15元，每只B型口罩销售利润为0.2元；(2)①y＝﹣ 0.05x+400(500≤x≤1000)；②药店购进A型口罩500只、B型口罩1500只，才能使销售总利润最大． 【分析】(1)根据题意列二元一次方程组，再运用加减消元法解方程组即可；(2)①根据(1)中每只A型口罩销 售利润为0.15元，每只B型口罩销售利润为0.2元，设购进A型口罩x只，则购进乙(2000﹣x)只，根据利 润=单利 销售量，列出x与y的一次函数关系式；②根据一次函数的增减性解题． 【详解】(1)设每只A型口罩销售利润为a元，每只B型口罩销售利润为b 元，根据题意得： ，①-② 得 把 代入①中，得到 ， ， 答：每只A型口罩销售利润为0.15元，每只B型口罩销售利润为0.2元； (2)①根据题意得，y＝0.15x+0.2(2000﹣x)，即y＝﹣0.05x+400； 根据题意得， ，解得500≤x≤1000，∴y＝﹣0.05x+400(500≤x≤1000)； ②∵y＝﹣0.05x+400，k＝﹣0.05＜0；∴y随x的增大而减小， ∵x为正整数，∴当x＝500时，y取最大值，则2000﹣x＝1500， 即药店购进A型口罩500只、B型口罩1500只，才能使销售总利润最大． 【点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用、一次函数的实际应用、一次函数的增减性等知识，是重要 考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 10．(2022·江西赣州·八年级期末)已知一次函数的图象经过点 ，与y轴交于点 ，与x轴交于点 A．(1)画出函数的图象；(2)求一次函数的解析式；(3)求A的坐标． 【答案】(1)函数图像见解析(2)y= - x + 4；(3)A(8， 0)． 【分析】(1)描出已知两点，然后过两点作直线即可；(2)利用待定系数法求得即可； (3)令y= 0，求得x的值，即可求得A的坐标． (1)如图：(2)设一次函数的解析式为y= kx + b， ∵一次函数的图象经过点(2，3)， 与y轴交于点B(0，4)， ∴ 解得： ∴一次函数的解析式为y= - x + 4； (3)令y=0，则- x+4= 0，解得x =8，∴ A(8， 0)． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标 特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． l 11．(2022·江苏常州市·八年级期末)如图，一次函数y＝x＋3的图象 1与x轴交于点B，与过点A(3，0)的一 l l 次函数的图象 2交于点C(1，m)．(1)求m的值；(2)求一次函数图象 2相应的函数表达式； △ABC (3)求 的面积． 【答案】(1)4；(2)y＝﹣2x＋6；(3)12 【分析】(1)把点C(1，m)代入y＝x＋3即可求得；(2)根据待定系数法即可求得； (3)求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可． 【详解】解：(1)∵点C(1，m)在一次函数y＝x＋3的图象上，∴m＝1＋3＝4；l (2)设一次函数图象 2相应的函数表达式为y＝kx＋b， 3kb0 k 2   把点A(3，0)，C(1，4)代入得 kb4 ，解得  b6 ， l ∴一次函数图象 2相应的函数表达式y＝﹣2x＋6； l (3)∵一次函数y＝x＋3的图象 1与x轴交于点B，∴B(﹣3，0)， 1 S ＝ 64＝12 ∵A(3，0)，C(1，4)，∴AB＝6，∴ △ABC 2 . 【点睛】本题考查了一次函数上点的特征、用待定系数法求解析式、一次函数与坐标轴交点的问题；关键 在于掌握好与一次函数相关的基础知识． 题组B 能力提升练 1．(2022·天津市红桥区教师发展中心八年级期末)“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式， 小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y(m)与 步行的时间x(min)之间的函数关系式如图中折线段AB-BC-CD所示．在步行过程中，小明先到达甲地．有 下列结论：①甲、乙两地相距5400m；②两人出发后30min相遇；③小丽步行的速度为100m/min，小明 步行的速度为80m/min；④小明到达甲地时，小丽离乙地还有1080m．其中，正确结论的个数是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】①②直接从图象获取信息即可；③设小丽步行的速度为 m/min，小明步行的速度为 m/min， 且 ＞ ，根据图象和题意列出方程组，求解即可；④由图可知：点C的位置是小明到达甲地，直接用总路程÷时间可得小明的时间，即54min，二人的距离即C的纵坐标，由此可得小丽离乙地的距离． 【详解】解：由图象可知，甲、乙两地相距5400m，小丽与小明出发30min相遇， 故①②正确，符合题意； ③设小丽步行的速度为 m/min，小明步行的速度为 m/min，且 ＞ ， 则 ，解得： ， ∴小丽步行的速度为80m/min，小明步行的速度为100m/min；故③不符合题意； ④5400÷100=54，54×80=4320，∴点C(54，4320)， 点C表示：两人出发54min时，小明到达甲地，此时两人相距4320m．∴5400-4320=1080m， ∴小明到达甲地时，小丽离乙地还有1080m．故④符合题意；故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的应用，从图象获取信息是解题关键． 2．(2022·河北秦皇岛·八年级期末)生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度 与观察 时间 (天)的关系，并画出如图所示的图象( 轴)，该植物最高的高度是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出当0≤x≤50时，y与x的函数解析式，然后将x=50代入函数解 析式求出相应的y的值，从而可以写出该植物最高的高度． 【详解】解：当0≤x≤50时，设y与x的函数解析式为y=kx+b， ∵点(0，6)，(30，12)在该函数图象上， ∴ ，解得 ，即当0≤x≤50时，y与x的函数解析式为y=0.2x+6， 当x=50时，y=0.2×50+6=16，故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答． 3．(2022·四川遂宁·八年级期末)爸爸为小明买了一双新的运动鞋，但要小明自己算出穿几码的鞋，小明回 家量了一下妈妈36码的鞋子长23厘米，爸爸42码的鞋子长26厘米，那么自己穿的鞋子23.5厘米是几码 呢( ) A．35 B．37 C．39 D．40 【答案】B 【分析】设y=kx+b(k≠0)，然后把x=23时，y=36；x=26时，y=42代入得到关于k、b的方程组，然后求得k 和b的值，得到一次函数关系式；然后令x=23.5，计算对应的y的值即可． 【详解】解：设人的鞋子的码数y，鞋长为x，设y=kx+b(k≠0)， ∵当x=23时，y=36；当x=26时，y=42， ∴ ，解得： ∴y=2x-10， 当x=23.5时，y=2×23.5-10=37，所以小明买了鞋是37码．故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，先设出一次函数的关系式y=kx+b(k≠0)，然后根据已知条件确定 k和b的值得到一次函数的关系式是解答本题的关键． 4．(2022·湖南常德·八年级期末)某医药研究所研发了一种新药，经临床实验发现，成人按规定剂量服用， 每毫升血液中含药量 (微克)随时间 (小时)而变化的情况如图所示．研究表明，当血液中含药量 (微 克)时，对治疗疾病有效，则有效时间是__________小时． 【答案】 【分析】当 时，设 ，把(2，6)代入计算即可得 ，当 时，设 ，把点(2，6)， (10，3)代入计算即可得 ，把 代入 中得 ，把 代入 中得 ， 进行计算即可得．【详解】解：当 时，设 ，把(2，6)代入得， ，解得， ， ∴当 ， ， 当 时，设 ，把点(2，6)，(10，3)代入得， 解得， ，∴当 时， ， 把 代入 中，得 ，把 代入 中，得 ， 则 (小时)，即该药治疗的有效时间是3小时，故答案为：3． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数的性质． l A(2,0) y  x2 l 5．(2022·成都市初二期中)若直线 经过点 ，且与直线 垂直，则直线 的函数表达式是 ________. y x2 【答案】 y kxb， ykxb k 【分析】先设所求函数解析式是 再根据 与y=x垂直，可解出 值，再带入点A即可得 b 到 的值，从而求出解析式． y kxb， k 1 【解析】设直线l为 ∵直线l经过点A(1,0)且与直线y=x垂直，∴ b2 y x2 y x2 把(-2,0)、代入函数解析式得 故函数解析式是 故答案为： . 【点睛】考查待定系数法求一次函数解析式, 两条直线相交或平行问题，熟练掌握待定系数法是解题的关 键. 6．(2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习)已知：y与 成正比例，当 时， ． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当自变量x满足_______时相应的函数值满足 ． 【答案】(1) (2)【分析】(1)由题意可设y与x之间的函数关系式为 ，再将 时， 代入，求出k的值， 即可得出y与x之间的函数关系式； (2)由y的取值范围，可确定-2x+1的取值范围，再解出x的解集即可． (1)∵y与 成正比例，∴设y与x之间的函数关系式为 ． ∵当 时， ，∴ ，解得： ， ∴y与x之间的函数关系式为 ； (2)∵ ，∴ 解得： 故答案为： ． 【点睛】本题考查正比例函数的定义，利用待定系数法求函数解析式，解一元一次不等式组．利用待定系 数法求出y与x之间的函数关系式是解题关键． 7．(2022·安徽阜阳·八年级月考)某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费y(元)，用水 量x(立方米)． 用水量x(立方米) 应交水费y(元) 不超过12立方米 每立方米3.5元 超过12立方米 超过的部分每立方米4.5元 (1)若某户居民某月用水10立方米，应交水费 元；若用水15立方米，应交水费 元． (2)求每月应交水费y(元)与用水量x(立方米)之间的函数关系式； (3)若某户居民某月交水费78元，则该户居民用水多少立方米？ 【答案】(1)35；55.5；(2)当0≤x≤12时，y＝3.5x，当x＞12时，y＝4.5x−12；(3)20． x10 y3.5x 123.534.5 【分析】(1)根据题意第一个空把 代入 即可求解，第二个空根据题意列出 即可 求解；(2)根据不超过12立方米时应缴水费＝3.5×用水量，超过12立方米时应缴水费＝3.5×12＋4.5×超出12 立方米的用水量，即可得出y关于x的函数关系式；(3)根据3.5×12＝42(元)，78＞42，即可得出该户居民月 用水量超出12立方米，将y＝78代入y＝4.5x12中，求出x值即可． 【详解】解：(1)某户居民某月用水10立方米小于12立方米，则应交水费为103.535(元)； 某户居民某月用水15立方米大于12立方米，则应交水费为123.534.555.5(元)； (2)当0≤x≤12时，y＝3.5x，当x＞12时，y＝3.5×12＋4.5(x−12)＝4.5x−12； (3)3.5×12＝42(元)，78＞42，即可得出该户居民月用水量超出12立方米，将y＝78代入y＝4.5x12中，784.5x12，解得：x=20 ；答：该户居民用水20立方米 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题意列出y关于x的函数关系式，再根据函数关 系式求值． 8．(2022·成都西川中学九年级月考)为了满足学生的物质需求，某中学超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食 品．其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如下表： 甲 乙 进价(元/袋) m 售价(元/袋) 20 13 已知：用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同．(1)求m的值．(2)要 使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋的总利润(利润＝售价－进价)不少于5200元，且不超5230元， 求该超市进货甲种绿色袋装食品的数量范围．(3)在(2)的条件下，该超市准备对甲种袋装食品进行优惠促销 活动，决定对甲种袋装食品每袋优惠 元出售，乙种袋装食品价格不变．那么该超市要获得最 大利润应如何进货？ 【答案】(1)10；(2)该超市进货甲种绿色袋装食品的数量范围为240～246；(3)应购进甲种绿色袋装食品240 袋，乙种绿色袋装食品560袋． 【分析】(1)根据“用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同”列出方 程并解答；(2)设购进甲种绿色袋装食品x袋，表示出乙种绿色袋装食品(800﹣x)袋，然后根据总利润列出 一元一次不等式组解答；(3)设总利润为W，根据总利润等于两种绿色袋装食品的利润之和列式整理，然后 根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可． 【详解】(1)依题意得： 解得： ，经检验 是原分式方程的解． (2)设购进甲种绿色袋装食品x袋，表示出乙种绿色袋装食品 袋，根据题意得， ，解得： ， ∵x是正整数， ，∴共有7种方案． (3)设总利润为W，则①当 时， ，W随x的增大而增大，所以，当 时，W有最大值， 即此时应购进甲种绿色袋装食品246袋，乙种绿色袋装食品554袋； ②当 时， ，(2)中所有方案获利都一样； ③当 时， ，W随x的增大而减小，所以，当 时，W有最大值， 即此时应购进甲种绿色袋装食品240袋，乙种绿色袋装食品560袋． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读 懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，(3)要根据一次项系数的情况分情况 讨论． 9．(2022·湖北江汉·八年级期末)经过武汉人民的不懈努力，新冠疫情已得到有效控制，在武汉市全面复工 复产的过程中，专家建议要定期对办公场所进行消毒杀菌(简称“消杀”)，现有A，B，C三个公司针对中 小企业开展消杀业务，价格如下： 公司 器材租赁费(单位：元) 人工费用(单位：元/平方米) A 0 0.5 B 40 0.3 C 298 0 (1)设某办公场所需要消杀的面积为x平方米(0＜x≤1000)，公司A，B的收费金额y ，y 都是x的函数，则这 1 2 两个函数的解析式分别是 ， ． 若选择公司A最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为 ； 若选择公司B最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为 ； 若选择公司C最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为 ． (2)A公司为了开拓市场推出了以下优惠活动：前a平方米按原价收费，超过的部分半价优惠，经过价格比 较：消杀面积为700平方米的某企业选择了B公司，消杀面积为860平方米的某幼儿园选择了A公司，试 根据以上信息，求a的取值范围． 【答案】(1)y ＝0.5x，y ＝0.3x+40；0＜x≤200；200≤x≤860； 860≤x≤1000；(2)300≤a≤332． 1 2 【分析】(1)根据题意，A公司人工费用每平方米0.5元，可得，y ＝0.5x；B公司需要器材租赁费40元，人 1 工费用每平方米0.3元，则y ＝0.3x+40；若选择公司A最省钱，则需要让A公司的收费金额小于等于B公 2 司和C公司的费用，列出不等式组进行求解；依此类推． (2)已知消杀面积为700平方米的某企业选择了B公司，消杀面积为860平方米的某幼儿园选择了A公司，由此可列出不等式组，进行求解． 【详解】解：(1)由题意可得，y ＝0.5x，y ＝0.3x+40， 1 2 若选择公司A最省钱，则有 ，解得x≤200， ∵0＜x≤1000，∴0＜x≤200； 若选择公司B最省钱，则有 ，解得200≤x≤860； ∵0＜x≤1000，∴200≤x≤860； 若选择公司C最省钱，则有 ，解得x≥860， ∵0＜x≤1000，∴860≤x≤1000． 故答案为：y ＝0.5x；y ＝0.3x+40；0＜x≤200；200≤x≤860；860≤x≤1000． 1 2 (2)根据题意可得，推出优惠活动后，y ＝0.5a+0.25(x﹣a)＝0.25x+0.25a， 1 则有， 解得300≤a≤332． ∴此时a的取值范围为：300≤a≤332． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，明确题意，列出不等式组是解题的关键． 10．(2022•南关区一模)已知A，B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲 车出发半小时后，乙车从A地出发沿同一路线匀速追赶甲车，两车相遇后，乙车原路原速返回A地．两车 之间的距离y(千米)与甲车行驶时间x(小时)之间的函数关系如图所示，请解答下列问题： (1)甲车的速度是 千米/时，乙车的速度是 千米/时，m＝ ．(2)求乙车返回过程中，y与x之间 的函数关系式．(3)当甲、乙两车相距160千米时，直接写出甲车的行驶时间．解：(1)由图象可得，甲车的速度为：30÷0.5＝60(千米/时)， 乙车的速度为：60×2÷(2﹣0.5)＝80(千米/时)， m＝2+(2﹣0.5)＝2+1.5＝3.5，故答案为：60，80，3.5； (2)当x＝3.5时，y＝1.5×(60+80)＝210，设乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式是y＝kx+b， ∵点(2，0)，(3.5，210)在该函数图象上，∴ ，解得 ， 即乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式是y＝140x﹣280(2≤x≤3.5)； (3)当y＝160时，160＝140x﹣280，解得x＝ ， 答：当甲、乙两车相距160千米时，甲车的行驶时间是 小时． 11．(2022·陕西安康·八年级期末)为促进复工复产，调动消费积极性，两个商场分别推出了如下促销活动． 甲商场：所有商品按标价9折出售． 乙商场：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打8折． 设需要购买商品的原价总额为 元，去甲商场购买应付 元，去乙商场购买应付 元，其函数图象如图所 示． (1)分别求 、 与 的函数关系式． (2)两图象交于点 ，请求出 点坐标，并说明点 的实际意义． (3)黄老师准备去商场购物，请你建议黄老师选择去哪个商场购物更划算． 【答案】(1) ， (2)E点坐标为(600,540)，E点的实际意义：当购买商品的为600元时，甲乙两个商场优惠后所需要的费用 是相等的，均为540元； (3)建议如下：当x＜600时，去甲商场购物更划算；当x=600时，两家商场购物所需费用一样；当x＞600 时，去乙商场购物更划算【分析】(1)根据题意，即可列出去甲商场和乙商场时y与x的关系式，去乙商场时要分 和 两种情况进行列式； (2)根据(1)中的结果，令 即可求解出E点坐标，即可作答； (3)根据(2)中所求E的坐标以及E点的实际意义，结合图象即可作答． (1)根据题意有：去甲商场购买： ， 去乙商场购买：当 时， ；当 时， ， 则有： ； (2)由图可知，E点的横坐标大于300， 则令 ，解得x=600， 当x=600时，有 ，即E点坐标为(600,540)， 由图可知，E点的实际意义：当购买商品的为600元时，甲乙两个商场优惠后所需要的费用是相等的，均 为540元； (3)根据(2)中所求得E的坐标为(600,540)，由结合图象可知： 当x＜600时， ，去甲商场购物更划算； 当x=600时， ，两家商场购物所需费用一样； 当x＞600时， ，去乙商场购物更划算． 则建议如下：当x＜600时，去甲商场购物更划算； 当x=600时，两家商场购物所需费用一样； 当x＞600时，去乙商场购物更划算． 【点睛】本题考查了一次函数的应用以及一次函数与一元一次不等式的关系等知识，明确题意，注意数形 结合是解答本题的关键． 12．(2022·浙江杭州市·八年级期中)某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型 和10台B型电脑的利润为4500元，(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；(2)该商店计划一次购进两 种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这80台电 脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？(3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调 元，且限定商店销售B型电脑的 利润不低于10000元，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及(2)中条件，设计出使这80 台电脑销售总利润最大的进货方案． 【答案】(1)每台A型电脑销售利润为200元，每台B型电脑的销售利润为250元；(2)①y＝−50x＋20000， ②商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大；(3)①0＜m＜50时，商店购进27台A型电脑 和53台B型电脑的销售利润最大，②m＝50时，商店购进A型电脑数量满足26 ≤x≤40的整数时，均获 得最大利润，③当50＜m＜100时，商店购进40台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大． 【分析】(1)设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意列出方程组求解； (2)①据题意得，y＝−50x＋20000；②利用不等式求出x的范围，再根据y＝−50x＋20000的增减性，即可 得到答案；(3)据题意得，y＝(200＋m)x＋250(80−x)，即y＝(m−50)x＋20000，分三种情况讨论，①当0＜m ＜50时，y随x的增大而减小，②m＝50时，m−50＝0，y＝20000，③当50＜m＜100时，m−50＞0，y随 x的增大而增大，分别进行求解． 【详解】解：(1)设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得 ，解得 ， 答：每台A型电脑销售利润为200元，每台B型电脑的销售利润为250元； (2)①据题意得，y＝200x＋250(80−x)，即y＝−50x＋20000， ②据题意得，80−x≤2x，解得x≥26 ，∵y＝−50x＋20000，−50＜0，∴y随x的增大而减小， ∵x为正整数，∴当x＝27时，y取最大值，则80−x＝53， 即商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大； (3)据题意得，y＝(200＋m)x＋250(80−x)，即y＝(m−50)x＋20000， ∵250(80−x)≥10000，解得：x≤40， 26 ≤x≤40，且 为正整数， ①0＜m＜50时，y随x的增大而减小，∴当x＝27时，y取最大值， 即商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大．②m＝50时，m−50＝0， ， 即商店购进A型电脑数量满足26 ≤x≤40的整数时，均获得最大利润； ③当50＜m＜100时，m−50＞0，y随x的增大而增大，∴当x＝40时，y取得最大值． 即商店购进40台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练 掌握一次函数的增减性． 13．(2022•南阳模拟)为了保障羊肉正常供应，某畜牧集团的A，B两个养殖场共出栏肥羊2000只，B养殖 场的肥羊数量是A养殖场的2倍少400只．这批肥羊将运往甲地1300只，乙地700只，运费如下表(单位： 元/只)． 养殖场 A B 目的地 甲 25 18 乙 20 24 (1)求A，B养殖场各出栏多少只肥羊？(2)设这批肥羊从A养殖场运往甲地x只(100≤x≤700)，全部运往甲、 乙两地的总费用为y元，求y与x的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；(3)当每只肥羊的运费 下降a元(0＜a≤18且a为整数)时，按(2)中设计的调运方案，总运费不超过30000元，求a的最小值． 解：(1)设A养殖场出栏m只肥羊，B养殖场出栏 (2m﹣400)只肥羊，根据题意得： m+2m﹣400＝2000，解得：m＝800． 答：A养殖场出栏800只肥羊，B养殖场出栏1200只肥羊； (2)设这批肥羊从A养殖场运往甲地x只，则从A养殖场运往乙地(800﹣x)只， 从B养殖场运往甲地(1300﹣x)只，从B养殖场运往乙地 (x﹣100)只， 根据题意得：y＝25x+20(800﹣x)+18(1300﹣x)+24(×﹣100)＝11x+37000， ∵11＞0，∴y随x的增大而增大，∵100≤x≤700，∴x＝100时，y最小， 答：这批肥羊从A养殖场运往甲地100只，则从A养殖场运往乙地700只，从B养殖场运往甲地1200只， 此时费用最少； (3)总运费z＝100(25﹣x)+700(20﹣a)+1200(18﹣a)＝﹣2000a+38100， 由题意得： ，解得：4.05≤a≤18，且a为整数，∴a的最小值为5．题组C 培优拔尖练 1．(2022·湖南绥宁·八年级期末)甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行 驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车行驶的距离y(km)与时间x(h)的函数图象，有以下结 1 论：①m＝1；②a＝40；③甲车从A地到B地共用了6.5小时；④当两车相距50km时，乙车用时为 h． 4 其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①由函数图象中的信息求出m的值；②根据“路程÷时间＝速度”求出甲的速度，并求出a的值； ③求出甲车行驶的路程y与时间x之间的解析式解答； ④根据甲、乙两车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可． 【详解】解：由题意，得m＝1.5﹣0.5＝1，故①结论正确； 120÷(3.5﹣0.5)＝40(km/h)，则a＝40，故②结论正确； 设甲车休息之后行驶路程y(km)与时间x(h)的函数关系式为y＝kx＋b，由题意，得： 401.5kb k 40   1203.5kb，解得b20，∴y＝40x﹣20(1.5＜x≤7)， 当y＝260时，260＝40x﹣20，解得：x＝7，∴甲车从A地到B地共用了7小时，故③结论错误； 当1.5＜x≤7时，y＝40x﹣20．设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y＝k'x＋b'，由题意得：  02kb  k80   1203.5kb，解得b160，∴y＝80x﹣160．9 19 当40x﹣20﹣50＝80x﹣160时，解得：x＝ ，当40x﹣20＋50＝80x﹣160时，解得：x＝ ， 4 4 9 1 19 11 1 11 ∴ ﹣2＝ ， ﹣2＝ ，所以乙车行驶 小时或 小时，两车恰好相距50km，故④结论错误． 4 4 4 4 4 4 ∴正确结论的个数是2个．故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，分析出每段函数图像所代表的含义是解题的关键． 2．(2022·山东青州·八年级期末)设直线y＝kx+6与y＝(k+1)x+6(k是正整数)及x轴围成的三角形面积为S(k＝ k 1，2，3，…)，则S 的值等于( ) 5 3 9 A． B． C．1 D．3 5 10 【答案】A 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可分别求出直线y=5x+6、y=6x+6与两坐标轴的交点坐标，再 利用三角形的面积公式即可求出结论． 【详解】解：当x=0时，y=5×0+6=6，∴直线y=5x+6与y轴的交点A的坐标为(0，6)； 6 6 当y=0时，5x+6=0，解得：x=  ，∴直线y=5x+6与x轴的交点B的坐标为(  ，0)， 5 5 当x=0时，y=6×0+6=6，∴直线y=6x+6与y轴的交点C的坐标为(0，6)； 当y=0时，6x+6=0，解得：x=-1，∴直线y=6x+6与x轴的交点D的坐标为(-1，0)． 6 3 ∴S = 1 BD•OA= 1 ×|-1-(  )|×6= ，故选：A． 5 2 2 5 5 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，牢记直线上任意一点的坐标都满足 函数关系式y=kx+b是解题的关键． 4 3．(2022·常州市月考)如图，直线y=﹣3 x+8与x轴、y轴分别交于A、B两点，点M是OB上一点，若直线 AB沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C处，则直线AM的解析式是_____．1 x 【答案】y=﹣2 +3． 【分析】首先求出直线与坐标轴交点坐标，进而得出BO，AO的长，再利用勾股定理求出AB的长；根据翻 折变换的性质得出MB=MC，AB=AC=10，然后根据勾股定理直接求出MO的长，即可得出M的坐标，再根 据待定系数法求得直线AM的解析式即可． 4 【解析】∵直线y=﹣3 x+8与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴y=0时，x=6，则A点坐标为：(6，0)， BO2  AO2  82 62 x=0时，y=8，则B点坐标为：(0，8)；∴BO=8，AO=6，∴AB= =10， ∵直线AB沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C处， ∴AB=AC=10，MB=MC，∴OC=AC﹣OA=10﹣6=4． 设MO=x，则MB=MC=8﹣x，在Rt△OMC中，OM2+OC2=CM2， ∴x2+42=(8﹣x)2，解得：x=3，故M点坐标为：(0，3)， 1 设直线AM的解析式为y=kx+3，把A(6，0)代入得0=6k+3，解得k=﹣2 ， 1 1 x x ∴直线AM的解析式是y=﹣2 +3．故答案为：y=﹣2 +3． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理的应用和一次函数图象与几何变换等知识，根据已 知得出A，B两点坐标以及利用翻折变换的性质得出MB=MC，AB=AC是解题关键．4．(2022·浙江·八年级专题练习)如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(0， )，点B为x轴的正半轴上一 动点，作直线AB，△ABO与△ABC关于直线AB对称，点D，E分别为AO，AB的中点，连接DE并延长 交BC所在直线于点F，连接CE，当∠CEF为直角时，则直线AB的函数表达式为__． 【答案】y＝﹣ x+ 【分析】证明△ABO≌△ABC，于是可知∠CBA=∠ABO=30°，得出OB=3即可求出直线AB的函数表达式． 【详解】解：∵△ABO与△ABC关于直线AB对称，∴∠ACB＝∠AOB＝90°， ∵点E是AB的中点，∴CE＝BE=EA∴∠EAC＝∠ECA， ∵∠ECA+∠ECF＝90°，∠ECF+∠CFE＝90°∴∠CFE＝∠BAC， 而点D，E分别为AO，AB的中点，∴DF OB， ∴∠CFE＝∠CBO＝2∠CBA＝2∠ABO， ∵△ABO与△ABC关于直线AB对称， ∴△ABO≌△ABC，∴∠OAB＝∠CAB＝2∠ABO， ∴∠ABO＝30°，而点A的坐标为(0， )，即OA＝ ， ∴OB＝ 3即点B的坐标为(3，0)， 于是可设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，代入A、B两点坐标得 解得k＝﹣ ，b＝ ，故答案为y＝﹣ x+ ．【点睛】本题考查的是三角形的全等，并考查了用待定系数法求函数解析式，找到两个已知点的坐标是解 决本题的关键． 5．(2022·江苏·八年级专题练习)如图，直线 和x轴、y轴分别交于点A、点B，以线段AB为直 角边在第一象限内作等腰直角 ， ，如果在直角坐标平面内有一点 ，且 的 面积与 的面积相等，则a的值为______． 【答案】 −4或 ． 【分析】由已知求出A、B的坐标，求出三角形ABC的面积，再利用S ABP=S ABC建立含a的方程，把 △ △ S ABP表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差，通过解方程求得答案． △ 【详解】解：如图，连接OP， ∵直线 与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴A( ，0)，B(0，1)，AB= =2，∴S ABP=S ABC=2， △ △ 又S ABP=S OPB+S OAB−S AOP，∴|a|×1+ ×1− =4， △ △ △ △ 解得a= −4或 ，故答案为 −4或 ．【点睛】本题考查了一次函数的综合应用；解函数图象与面积结合的问题，要把相关三角形的面积用边落 在坐标轴的其他三角形面积来表示，这样面积与坐标之间就建立了联系；把S ABP表示成有边落在坐标轴 △ 上的三角形面积和、差是正确解答本题的关键． 6．(2022·重庆市南华中学校九年级月考)一艘轮船和一艘快艇分别从甲、乙两个港口同时出发(水流速度不 计)相向而行，快艇匀速航行到达甲港后，立即原速返回乙港(掉头时间忽略不计)，在返回途中追上轮船时 刚好到达一个景点，轮船靠岸1小时供游客观赏游玩，然后继续以原速航行到乙港，两船到达乙港均停止 航行，轮船和快艇之间的距离y(千米)与轮船出发时间x(小时)之间的函数图象如图所示，当快艇返回到乙 港时，轮船距乙港还有______米． 【答案】65 【分析】根据题意可知甲、乙两个港口相距150千米，轮船和快艇第一次相遇用了2.5小时，第二次相遇 用了5小时，根据“路程、速度与时间的关系”列方程组即可分别求出轮船和快艇的速度，再根据题意列 式计算即可求出当快艇返回到乙港时，轮船距乙港的路程． 【详解】解：设轮船的速度为x千米/小时，快艇的速度为y千米/小时，依题意得： 2.5xy150 x15   5yx150 ，解得  y45 ，150-15×(300÷45-1)=65(千米)． 答：当快艇返回到乙港时，轮船距乙港还有65千米．故答案为：65． 【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题，以及待定系数法求函数的解析式，注意利用数形结合可 以加深对题目的理解． 7．(2022·河南·南阳市宛城区官庄镇第一初级中学八年级阶段练习)秤是我国传统的计重工具．如图1，可以 用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为 x(厘米)时，秤钩所挂物重为y(斤)，则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据． (厘米) 1 2 4 7 11 12 y(斤) 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50(1)上表中有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？并说明理由； (2)求出这个一次函数的关系式； (3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，求秤钩所挂物重是多少斤？ 【答案】(1)x=7，y=2.75这组数据错误，理由见解析(2)y=0.25x+0.5(3)4.5斤 【分析】(1)利用描点法画出函数图象即可进行判断； (2)设直线y=kx+b，代入(1，0.75)和(2，1.00)，用待定系数法求解即可； (3)将x=16代入解析式，即可求出y． (1)解：函数图象如图2所示： 观察图象可知：x=7，y=2.75这组数据错误． ∵(7，2.75)这点和其他点不在一条直线上， ∴x=7，y=2.75这组数据错误． (2)设直线解析式：y=kx+b，代入(1，0.75)和(2，1.00)， 得 ，解得 ，∴y=0.25x+0.5． (3)当x=16时，y=4+0.5=4.5． ∴当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，理解题意并用待定系数法求解析式是解题的关键． 8．(2022·广东佛山市·顺德一中大良学校八年级期中)已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为 每人每天200元，双人间为每人每天300元，为吸引客源，促进旅游，在“十·一”黄金周期间酒店进行优 惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、 双人间客房．(1)如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双 人间客房各多少间？(2)设三人间共住了 人，这个团一天一共花去住宿费 元，请写出 与 的函数关系 式，并写出自变量的取值范围．(3)一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种方案：要求 租住的房间正好被住满的，并使住宿费用最低，请写出设计方案，并求出最低的费用． 【答案】(1)租住了三人间8间，双人间13间；(2) ；(3)一天6300元的住宿费不 是最低；若48人入住三人间，则费用最低，为5100元．所以住宿费用最低的设计方案为：48人住3人间， 2人住2人间 【分析】(1)设三人间有 间，双人间有 间．注意凡团体入住一律五折优惠，根据①客房人数 ；②住 宿费6300列方程组求解；(2)根据题意，三人间住了 人，则双人间住了 人．住宿费 三人 间的人数 双人间的人数；(3)根据 的取值范围及实际情况，运用函数的增减性质解答． 【详解】解：(1)设三人间有 间，双人间有 间， 根据题意得： ，解得： ，答：租住了三人间8间，双人间13间； (2)根据题意得： ， (3)因为 ，所以 随 的增大而减小，故当 满足 、 为整数，且 最大时， 即 时，住宿费用最低，此时 ， 答：一天6300元的住宿费不是最低；若48人入住三人间，则费用最低，为5100元． 所以住宿费用最低的设计方案为：48人住3人间，2人住2人间． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答． 9．(2022·河北·大名县束馆镇束馆中学三模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象l：y＝﹣x+4与y轴、 1 x轴分别交于点A，B，与正比例函数图象l：y＝ x交于点C．(1)求点C的坐标；(2)求△OBC的面积与 2 的值；(3)若直线l：y＝kx+2与y轴交于点D，与直线l 或l 交于点P，且△ADP的面积与△OBC的面 3 2 2 积相等，求k的值． 【答案】(1)(3，1)(2)2， (3)-2或- 或 【分析】(1)两函数解析式联立方程组求解即可； (2)先求出点A、B的坐标，进而求出OB，BC、AC即可解答； (3)先求出点D坐标和AD，利用三角形的面积公式和坐标与图形的性质求出点P的横坐标，分点P为直线 l 与直线l 的交点和点P为直线l 直线l 的交点进而求得点P坐标，代入y＝kx+2中即可求解． 3 1 3 2 (1)解：解方程组 ，解得： ，∴点C坐标为(3，1)； (2)解：对于y=-x+4，当x=0时，y=4，当y=0时，由0=-x+4得：x=4， ∴点A坐标为(0，4)，点B坐标为(4，0)，又点C坐标为(3，1)， ∴OB=4，AC= ，BC= ∴ ， ； (3)解：∵y＝kx+2与y轴交于点D，∴点D坐标为(0，2)，则AD=2， 设P的横坐标为a，由 得：a=±2， 当点P为直线l 与直线l 的交点时， 3 1将a=2代入y＝-x+4得：y=2，则P(2，2)， 将P(2，2)代入y＝kx+2得：k=0(舍去)； 将a=-2代入y＝-x+4得：y=6，则P(-2，6)， 将P(-2，6)代入y＝kx+2得：k=-2； 当点P为直线l 与直线l 的交点时， 3 2 将a=2代入y＝ x得：y= ，则P(2， )， 将P(2， )代入y＝kx+2得：k= ； 将a=-2代入y＝ x得：y= ，则P(-2， )， 将P(-2， )代入y＝kx+2得：k= ， 综上，满足条件的k值为-2或 或 ． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及一次函数的图象上点的坐标特征、求一次函数解析式、两直 线的交点问题、坐标与图形、已知两点坐标求两点距离、直线与坐标轴的交点问题、三角形的面积等知识， 都属于基础综合题，需要牢固掌握，解题关键是利用数形结合与分类讨论思想相结合解决问题． 10．(2022·成都市八年级课时练习)某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教 师集体外出活动、每辆汽车上至少要有1名教师． 现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示． 甲种客车 乙种客车 载客量(人/辆) 45 30 租金(元/辆) 400 280 (1)共需租多少辆汽车？(2)给出最节省费用的租车方案 分析：(1)可以从乘车人数的角度考虑租多少辆汽车，要注意到以下要求： ①要保证210名师生都有车坐；②要使每辆汽车上至少要有1名教师． 根据①可知，汽车总数不能小于______；根据②可知，汽车总数不能大于______．综合起来可知汽车总数 为______． (2)租车费用与所租车的种类有关．可以看出，当汽车总数a确定后，在满足各项要求的前提下．尽可能少 地租用甲种客车可以节省费用．y400x280ax 设租用x辆甲种客车，则租车费用y(单位：元)是x的函数，即 ． y 将(1)中确定的a的值代入上式，化简这个函数，得 _________． 为使240名师生有车坐，x不能小于________；为使租车费用不超过2300元，x不能超过________．综合 起来可知x的取值为________． 在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪个方案？试说明理由． 【答案】(1)6；6；6；(2)120x1680；4；5；4或5；两种方案：①4辆甲种客车，2辆乙种客车；②5辆 甲种客车，1辆乙种客车．方案①费用少． 【分析】(1)由师生总数为240人，根据“所需租车数＝人数÷载客量”算出租载客量最大的客车所需辆数， 再结合每辆车上至少要有1名教师，即可得出结论； (2)设租乙种客车x辆，则甲种客车(6−x)辆，根据师生总数为240人以及租车总费用不超过2300元，即可得 出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的值，再设租车的总费用为y元，根据“总费用＝租A 种客车所需费用＋租B种客车所需费用”即可得出y关于x的函数关系式，根据一次函数的性质结合x的 值即可解决最值问题． 【详解】解：(1)∵(234＋6)÷45＝5(辆)…15(人)， ∴保证240名师生都有车坐，汽车总数不能小于6； ∵只有6名教师，∴要使每辆汽车上至少要有1名教师，汽车总数不能大于6；故填： 6，6，6． 6x (2)设租用x辆甲种客车，租乙种客车 辆，则租车费用y是x的函数， 45x306x240 31  即y400x2806x=120x1680，由题意得： 120x16802300 ，解得：4≤x≤ 6 ， y=120x1680 ∵x为整数，∴x＝4，或x＝5，∵租车的总费用为 ，且120＞0， ∴当x＝4时，y取最小值，最小值为2160元，故填：4；5；4或5；两种方案：①4辆甲种客车，2辆乙种 客车；②5辆甲种客车，1辆乙种客车．方案①费用少． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、解一元一次不等式组已经一次函数的性质，解题的关键是：(1)根据 数量关系确定租车数；(2)找出y关于x的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时， 根据数量关系找出函数关系式(不等式或不等式组)是关键． 11．(2022•梁园区二模)某校八年级(2)班50位同学准备在五一当天利用班费集体去本地某游乐园游玩，经 了解，该游乐园票价为200元/人，但对学生门票价格实行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人 以下(包括10人)不打折．10人以上超过10人的部分打b折，班委会进行了统计，设学生为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y (元)及节假日门票费用y (元)与学生x(人)之间的函数关系如图所示．(1)a＝ 1 2 ，b＝ ；(2)直接写出y 、y 与x之间的函数关系式； 1 2 (3)后来，由于五一当天部分同学家中有事不能前去游玩，只能安排这些同学在暑假中(非节假日)游玩，该 班的班费不超过5440元，且全部用到了门票上，则五一当天至少有多少同学未能去游玩？ 解：(1)∵y 图象过点(10，800)，即10人的费用为800元，∴a＝ ×10＝4， 1 ∵y 图象过点(10，2000)和(20，3000)，即20人中后10人费用为1000元， 2 ∴b＝ ×10＝5，故答案为：4，5； (2)设y ＝k x， 1 1 ∵函数图象经过点(0，0)和(10，800)，∴10k ＝800，∴k ＝80，∴y 与x之间的函数关系式为y ＝80x； 1 1 1 1 设y ＝k x+b，①当0≤x≤10时，∵函数图象经过点(0，0)和(10，2000)， 2 2 ∴10k ＝2000，∴k ＝200，∴y ＝200x， 2 2 2 ②当x＞10时，∵函数图象经过点(10，2000)和(20，3000)， ∴ ，解得： ，∴y ＝100x+1000； 2 综上所述，y 与x之间的函数关系式为y ＝ ； 2 2 (3)设共n名学生五一当天去游玩，则暑假去游玩的人数为(50﹣n)人， 当0＜n≤10时，200n+80 (50﹣n)≤5440，解得n＜12，∴0＜n≤10，则50＞50﹣n≥40； 当n＞10时，100n+1000+80×(50﹣n)≤5440，解得n≤22，∴10＜n≤22，∴40＞50﹣n≥28 综上所述，则五一当天至少有28位同学未能去游玩． 12．(2022·四川金牛·七年级期末)已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，出发 2 y x2分钟后，乙减慢了速度，最终比甲晚到，两人所走路程 y (米)与行驶时间 x (分)之间的关系如图所示，请 回答下列问题：(1)求甲的速度为多少米/分？(2)求乙减慢速度后，路程 y 与行驶时间x之间的关系式？(3) 在甲到达B地前，求乙行驶多长时间时，甲、乙两人相距50米？ y50x200,x2 【答案】(1)100米/分；(2) ；(3)乙行驶3分钟或5分钟时，甲、乙两人相距50米． 【分析】(1)由图象可直接进行求解；(2)先设出乙减慢速度后的函数解析式，再利用待定系数法求解即可； (3)根据题意甲、乙相距50米时有两种情况，然后进行分类求解即可． 【详解】解：(1)由图象得：甲的速度为：600÷6=100(米/分)；答：甲的速度为100米/分； ykxb,x2 2,300 6,500 (2)设乙减慢速度后的函数解析式为 ，由图象可把点 和 代入得： 2kb300 k 50   6kb500，解得：b200，∴乙减慢速度后，路程y与行驶时间x之间的关系式为 y50x200,x2 ； y 2100200 y 300 甲 乙 (3)当x=2时， ， ，∴当x=2时不符合题意， y 100x,y 50x200 y y 50 由题意可知 甲 乙 ，当甲、乙相距50米时，则有 甲 乙 ， y 甲 y 乙 50 100x50x20050 x5 ①若 ，即 ，解得： ； y 乙 y 甲 50 50x200100x50 x3 ②若 ，即 ，解得： ； 综上所述，当乙行驶3分钟或5分钟时，甲、乙两人相距50米． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据图象中提供的信息分情况讨论求解问题．