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22.2 二次函数与一元二次方程
【基础训练】
一、单选题
1．抛物线 与坐标轴交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】
先计算判别式的值可判断抛物线与x轴的交点个数，而抛物线与y轴一定有一个交点，于是可判断抛物线
的图象与坐标轴的交点个数．
【详解】
解： ，
解得：x=0或x= ，
∴抛物线与x轴有2个公共点，为（0，0）和（ ，0），
∵x=0时， ，
∴抛物线与y轴的交点为（0，0），
∴抛物线 的图象与坐标轴的交点个数为2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2-4ac决定抛物
线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个
交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
2．抛物线 的位置如图所示，则关于x的一元二次方程 根的
情况是（ ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根 D．没有实数根
【答案】D
【分析】
抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根．
【详解】
解：如图，∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根．
故选：D．
【点睛】
此题考查了二次函数与一元二次方程之间的联系，即抛物线与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的情
况有关．
3．如图是二次函数 的部分图象，使 成立的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】
观察函数图象在y=-1上和上方部分的x的取值范围便可．【详解】
解：由函数图象可知，当y≥-1时，二次函数 不在y=-1下方部分的自变量x满
足：-1≤x≤3，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
4．二次函数 的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
直接利用x=0时，求出y的值进而得出答案．
【详解】
解：二次函数y=x2+2x-1的图象与y轴相交，
令x=0，故y=-1，则图象与y轴的交点坐标是：（0，-1）．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特点，正确得出x=0是解题关键．
5．抛物线 与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
令x=0，求出y的值即可．
【详解】
解：令x=0，则y=3，
∴抛物线y=2x2-4x+3与y轴交点坐标为（0，3）．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知y轴上点的坐标特点是解答此题的关键．6．抛物线 与x轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
通过解方程 即可得到抛物线 的与x轴交点的坐标．
【详解】
解：当y=0时， ，
解得x=-1，x=3，
1 2
所以抛物线 的与x轴交点的坐标是（-1，0），（3，0）．
故选C．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问
题转化为解关于x的一元二次方程．
7．抛物线 与 轴的一个交点是(一1，0)，那么抛物线与 轴的另一个交点坐标是( )
A．(0，0) B．(3，0) C．(-3，0) D．（0，-3)
【答案】B
【分析】
先令y=0，得到一元二次方程 ，解方程即可得到抛物线与 轴的另一个交点坐标．
【详解】
令y=0得到一元二次方程 ，
解得方程的根为： ， ．
已知抛物线 与 轴的一个交点是(一1，0)，
所以抛物线与 轴的另一个交点坐标是 ．故答案选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点问题，比较简单，令y=0列出方程并解方程是解决本题的关键．
8．根据下面表格中的对应值：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．3.22＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【答案】C
【分析】
根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，则x取2.24到2.25之间的
某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x
＜3.25．
【详解】
解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；
x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：C．
【点睛】
本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未
知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下：
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
y -1.59 -1.16 -0.71 -0.24 0.25 0.76
则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解x满足条件（ ）
A．1.2＜x＜1.3 B．1.3＜x＜1.4 C．1.4＜x＜1.5 D．1.5＜x＜1.6
【答案】C
【分析】
仔细看表，可发现y的值﹣0.24和0.25最接近0，再看对应的x的值即可得．【详解】
解：由表可以看出，当x取1.4与1.5之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．
ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为1.4＜x＜1.5．
故选：C．
【点睛】
本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解
的基础上的．
10．抛物线 在 轴上截得的线段长度是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】
令解析式 ，求解出抛物线与 轴交点的横坐标，再作差即可．
【详解】
由 解得 ， ，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了抛物线在 轴上截得的线段长，熟记基本公式，灵活计算是解题关键．
11．若抛物线y＝x2＋2x＋m-1与x轴仅有一个交点，则m的值为( )
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
直接利用抛物线与x轴交点个数与 =b2-4ac的关系即可得出答案．
【详解】
解：∵抛物线 与x轴只有一个交点，
∴解得：m=2
故选C．
【点睛】
此题主要考查了抛物线与x轴交点，得出 =b2-4ac=0是解题关键．
12．抛物线 的部 分图象如图所示，与 轴的一个交点坐标为 ，抛物线的对
称轴是 ．下列结论中：① ；② ；③ ；④若点 在该抛物线上，则
．⑤方程 有两个不相等的实数根；其中正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，最大值（最小值）以及对称性综合判断得出答案．
【详解】
解：抛物线开口向下，则a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，所以b＞0，抛物线与y轴交在正半轴，
c＞0，
∴abc＜0，故①正确，
抛物线的对称轴是x=1即 =1，则b=-2a，故2a+b=0，故②正确；
∵x= =1，即b=-2a，
而x=4时，y=0，即16a+4b+c=0，
∴8a+c=0，c=-8a，∴a+c=a-8a=-7a，
∵a＜0，
∴-7a＞0，即a+c＞0，
所以③正确；
∵当x=1时，该函数取得最大值，此时y=a+b+c，
∴点A（m，n）在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c，故正④确；
∵由图象可得，抛物线的顶点坐标为（1，4），
∴直线y=4与抛物线只有一个交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=4有相等的实数根，故⑤错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用
二次函数的性质和数形结合的思想解答．
13．已知二次函数 的图象与x轴只有一个交点，则这个交点的坐标为 （ ）
A．（0，－1） B．（0，1） C．（－1，0） D．（1，0）
【答案】C
【分析】
根据△＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点列出方程，解方程求出k，再根据二次函数的图象和性
质解答．
【详解】
∵二次函数 的图象与x轴只有一个交点，
∴ ， ，
解得： ，
∴二次函数 ，
当 时， ，
故选C．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，掌握当△＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点是解题的关键．
14．若二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），则关于x的方程a（x-2）2+1=0的实数根为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】
二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），得到4a+1=0，求得a=- ，代入方程a（x-2）2+1=0即可得到
结论．
【详解】
解：∵二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），
∴4a+1=0，
∴a=- ，
∴方程a（x-2）2+1=0为：方程- （x-2）2+1=0，
解得：x=0，x=4，
1 2
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数与x轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解，正确的理解
题意是解题的关键．
15．若抛物线 与x轴的交点坐标为 ，则代数式m2-m+2019的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2017
【答案】C
【分析】
将（m，0）代入抛物线的解析式中，可得m2-m-1=0，然后代入原式即可求出答案．
【详解】解：将（m,0）代入 中，
∴m2-m-1=0，
∴m2-m=1
∴原式=1+2019=2020，
故选C．
【点睛】
本题考查的知识点是抛物线与坐标轴的交点，解题的关键是将交点坐标代入解析式中，然后利用整体代入
法求值即可．
16．二次函数 （a、b、c为常数且 ）中的x与y的部分对应值如下表：
x 0 1 2 3 4 5
y 12 5 0 0 5 12
给出了结论：（1）二次函数 有最小值，最小值为 ；（2）当 时， ；
（3）二次函数 的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个
数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】
观察表格，结合二次函数的性质一一判断即可．
【详解】
解：（1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为-4，故结论错误；
（2）观察表格可知：-1＜x＜3时，y＜0，故结论正确；
（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧，交点分别为（-1，0），
（3，0），故结论正确，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的图象与系数的关系等知识点，能熟记二次函数的图象和性质的内容是解此题的关键．
17．已知 ，若对于所有的实数x，A的值始终比B的值大，则a的值可能（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】
本题只需根据题意列出一元二次不等式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】
解：由题可得： A的值始终比B的值大，
∴有x2+a＞2x，
即x2-2x+a＞0
即y=x2-2x+a的函数图像与x轴无交点，
∴△=4-4a＜0，
∴a＞1．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数与一元二次方程，解题的关键是熟记二次函数与x轴的交点情况和△的关系．
18．直线l过点(0，4)且与y轴垂直，若二次函数 （其中x是
自变量）的图像与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（ ）
A．a＞4 B．a＞0 C．0＜a≤4 D．0＜a＜4
【答案】D
【分析】
由直线l：y=4，化简抛物线 ，令 ，利用判别式
，解出 ，由对称轴在y轴右侧可求 即可．
【详解】
解：∵直线l过点(0，4)且与y轴垂直，
直线l：y=4，
，∴ ，
∵二次函数 （其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同
的交点，
∴ ，
，
∴ ，
又∵对称轴在y轴右侧，
，
∴ ，
∴0＜a＜4．
故选择D．
【点睛】
本题考查二次函数与直线的交点问题，抛物线对称轴，一元二次方程两个不等实根，根的判别式，掌握二
次函数与直线的交点问题转化为一元二次方程实根问题，根的判别式，抛物线对称轴公式是解题关键．
19．关于函数y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）．下列说法正确的是（ ）
A．无论m取何值，函数图象总经过点（1，0）和（﹣1，﹣2）
B．当m≠ 时，函数图像与x轴总有2个交点
C．若m＞ ，则当x＜1时，y随x的增大而减小
D．若m＞0时，函数有最小值是 ﹣m+1
【答案】D
【分析】
根据函数的图象和性质逐一求解即可．
【详解】
解：A、当m=0时，，
当x=-1时，y=2，则不经过（-1，-2），故错误；
B、 ，
当m=0时， ，函数图像与x轴只有1个交点，故错误；
C、 ，
函数的对称轴为直线x= ，
当m＞ 时， ＜1，故当x＜ 时，y随x的增大而减小，故错误；
D、当m＞0时，函数开口向上，
函数的最小值是 ，故正确；
故选D．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴
的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
20．若函数 的图象如图所示，则关于x的一元二次方程 的根的情况为
（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】A【分析】
有图可知 的顶点纵坐标，可知函数与直线 的交点，再将 看作是函数
向上平移5个单位，结合图象即可得出答案．
【详解】
解： 函数的顶点的纵坐标为 ，
直线 与函数图象只有一个交点，
相当于函数 向上平移5个单位，
关于x的一元二次方程 的根的情况为没有实数根．
故选A．
【点睛】
本题考查了抛物线与 轴的交点、二次函数的平移，能够结合图象得出相关信息是解题的关键．
21．如图，己知抛物线 经过点 ， ．当抛物线的开口向上时， 的取值
范围是（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】A
【分析】
根据抛物线 经过点 ，求出 ，由抛物线的开口向上，可得 ，
可得 即可．【详解】
解：∵抛物线 经过点 ，
∴ ， ，
∵抛物线的开口向上，
∴ ， ，
∴ ．
故选择A．
【点睛】
本题考查抛物线性质，利用抛物线经过点求出关于t的代数式，利用抛物线开口方向确定 是解题关
键．
22．关于 的一元二次方程 没有实数根，抛物线 的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】
求出抛物线 的对称轴 -1，可知顶点在y轴的基侧，根据 没有实数根，
可知开口向上的 与x轴没有交点，据此即可判断抛物线在第二象限．
【详解】
解：∵抛物线 的对称轴 ，
∴可知抛物线的顶点在y轴左侧，
又∵关于x的一元二次方程 没有实数根，∴开口向上的 与x轴没有交点，
∴抛物线 的顶点在第二象限．
故选：B．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点个数与相应一元二次方程的解的个数的关系，熟悉二次函数的性质是解题
的关键．
23．如图，是函数 （0≤x≤4）的图象，通过观察图象得出了如下结论：
（1）当x>3时，y随x的增大而增大；
（2）该函数图象与x轴有三个交点；
（3）该函数的最大值是6，最小值是﹣6；
（4）当x > 0时，y随x的增大而增大．
以上结论中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据函数图象的性质进行逐项分析即可．
【详解】解：由题中图象可知，该函数图象与x轴有三个交点，故（2）正确；
令 ，
解得： ， ， ，
即该函数图象与x轴的三个交点坐标分别为 ， ， ，
∴结合图形可知，当x>3时，y随x的增大而增大，故（1）正确；
∵自变量的范围是0≤x≤4，
∴结合图象可知，当 时，函数取得最大值，最大值为 ，
当 时，函数取得最小值，最小值为 ，故（3）正确；
由图象可知，当x > 0时，函数图象既有上升的部分，也有下降的部分，
∴在x > 0时，增减性不是唯一的，故（4）错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查函数图象的性质，掌握函数图象与坐标轴的交点的求法与意义，理解判断函数性质的方法是解题
关键．
24．关于二次函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．函数图象开口向上 B．当 时，
C．当 时，y随x的增大而增大 D．函数图象与x轴有两个交点
【答案】D
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：A．a=1＞0，故函数图象开口向上，正确，不符合题意；
B．当x=6时，y=x2-4x+5=36-24+5=17正确，不符合题意；
C．函数的对称轴为直线x=2，函数图象开口向上，
故当x＞2时，y随x的增大而增大，正确，不符合题意；
D．△=（-4）2-4×1×5＜0，故抛物线和x轴没有交点，故D错误，符合题意；故选：D．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
25．已知抛物线 （ ， ， 是常数， ）经过点 ，其对称轴为直线 ．
有下列结论：① ；② ；③关于 的方程 有两个不等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣4a，则可对①进行判断；利用x＝﹣3时，y＜0可对②进行判断；过
点（0，-3）作x轴的平行线，由该直线与抛物线有两个交点，可得出方程 有两个不相
等的实数根，结论③正确；
【详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线x 2，
∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；
∵
∴
由题意得：过点（0，-3）作x轴的平行线，如图所示．∵该直线y=-3与抛物线有两个交点，
∴方程 有两个不相等的实数根，结论③正确；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，二次函数的增减性，熟练掌握二
次函数的性质以及数形结合是解题的关键．
26．a、b、c为△ABC三边，b＞a，a是c+b，c﹣b的比例中项，抛物线y=x2﹣（sinA+sinB）x﹣（a+b+c）
的对称轴是x= ，交y轴于（0，﹣30），则方程ax2﹣cx+b=0的根的情况是（ ）
A．有两不等实根 B．有两相等实根
C．无实根 D．以上都不对
【答案】C
【分析】
首先证明△ABC是直角三角形，想办法求出a，b，c的值，利用判别式即可解决问题．
【详解】
解：∵a是c+b，c﹣b的比例中项，
∴a2=（c+b）（c﹣b），
∴a2=c2﹣b2，
∴a2+b2=c2①
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴sinA+sinB= ，由题意： ，
解得c=13，
a+b=17 ②，
由①②，
∵b＞a，可得a=5，b=12，
对于方程ax2﹣cx+b=0，
=c2﹣4ab=169﹣4×12×5=﹣71＜0，
∴方程没有实数根，
故选：C．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、比例线段、解直角三角形、二次函数图象与系数的关系．
27．已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论：① ；② ；
③ ；④ ，其中结论正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】
由抛物线开口向下，可判断a符号，再由对称轴在y轴左侧，得到b的符号，又抛物线与y轴交于正半轴，
得到c的符号，即可判断①；根据图象知，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，即可判断②错误；根据图象知，
对称轴在y轴左侧，得到 ，即 ，据此判断③；根据图象与x轴有两个不同的交点，得到，据此判断④．
【详解】
解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0．
∵对称轴在y轴左侧，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
根据图象知，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，得到②错误；
根据图象知，对称轴在y轴左侧，得到 ，即 ，解得 ，得到③正确；
根据图象与x轴有两个不同的交点，得到 ，从而得出结论 ，得到④正确，
则其中正确的有3个，为①③④，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）来说，a的符号由抛物线开口方
向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；此外还要注
意利用抛物线的对称性解题．
28．抛物线 经过 ，对称轴直线 ，关于 的方程 在
的范围有实数根，则 的范围（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意先得出抛物线的解析式，进而利用根的判别式以及二次函数图象的性质进行分析计算即可．
【详解】
解：∵抛物线 经过 ，
∴将 代入可得 ，
∵对称轴直线 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线为 ，
∴ ，
∵关于 的方程 在 的范围有实数根，
∴ ，解得 ，
且同时满足当 ， 以及当 ，解得 （舍去），
或者当 ， 以及当 ，解得 ，
综上可得 的范围为： ．
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数与一元二次方程的结合，熟练掌握二次函数图象的性质并运用数形结合思维分析是解题
的关键．
29．已知二次函数 的顶点为 ，那么关于 的一元二次方程 的根
的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】
根据二次函数图象的平移、二次函数与一元二次方程的联系即可得．
【详解】
将二次函数 的图象向下平移4个单位长度所得到的函数解析式为 ，
二次函数 的顶点为 ，
二次函数 的顶点为 ，即为 ，
二次函数 图象的开口向下，且顶点为 ，
二次函数 的图象与 轴必有两个交点，
关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的
联系是解题关键．
30．给出下列命题及函数 的图象．①如果 那么 ；②如果
，那么 ；③如果 ，那么 ；④如果 ，那么
，则正确命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【答案】C【分析】
先画出函数y=-x，y=-x2，y= 的图象，确定它们的交点坐标，然后观察图象的位置得到当x＜-1时，当-1
＜x＜0时，当0＜x＜1时，当x＞1时函数值的大小，可得结果．
【详解】
解：分别令 ，解得：x=0或x=1，
则y=-x与y=-x2的图象交点坐标为（0，0），（1，-1），
令 ，解得：x=-1或x=1，
则y=-x与y= 的交点坐标为（-1，1），（1，-1），
令 ，解得：x=1，
则y=-x2与y= 的交点坐标为（1，-1）；
当x＜-1时， ，
当-1＜x＜0时， ，
当0＜x＜1时， ，
当x＞1时， ，
∴①③正确，②④错误，
故选C．【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设
是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性
是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了观察函数图象的能力．
二、填空题
31．二次函数 的图像与 轴有两个公共点，则 的取值范围是__________________．
【答案】
【分析】
根据△＞0⇔抛物线与x轴有两个交点，列出不等式即可解决问题．
【详解】
解：∵二次函数y＝x2﹣2x+a的图象与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴4﹣4a＞0，
∴a＜1．
故答案为a＜1
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是记住△＝0⇔抛物线与x轴只有一个交点，△＞0⇔抛物线与x
轴有两个交点，△＜0⇔抛物线与x轴没有交点，属于基础题．
32．如图是二次函数 的部分图象，由图可知方程 的所有解的积等于______．
【答案】-5．
【分析】
观察二次函数 的图象易得对称轴为 ，进而求得与x轴的另一交点坐标，所对应的一
元二次方程的解即为与x轴两交点的横坐标，求出积即可．
【详解】
由图象可知对称轴为 ，
与x轴的一个交点横坐标为5，
它到直线 的距离是3个单位长度，
所以另一个交点横坐标为-1，
∴ ， ，
．
故答案为：-5．
【点睛】
本题考查抛物线的对称轴的定义、抛物线与x轴两交点的与对应一元二次方程的关系，根据抛物线图像求
得交点坐标是解题的关键，属于基础类题目．
33．如图，二次函数 与一次函数 的图像相交于点 和
，则使不等式 成立的x的取值范围是__________．【答案】
【分析】
通过观察函数图象确定x的取值范围即可．
【详解】
解：∵当-1 <x<5时，直线在抛物线的上方
∴ 的解集为 ．
故填 ．
【点睛】
本题主要考查了利用函数图急判定两函数的大小关系，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
34．已知二次函数 与坐标轴交于 三点，则 的面积为_____________．
【答案】6
【分析】
先根据函数解析式确定A、B、C三点的坐标，然后再求面积即可．
【详解】
解：∵
∴抛物线与坐标轴的交点A、B、C的坐标分别为（-3,0）、（1,0）、（0，-3）
∴ 的面积为 =6．
故填6．
【点睛】
本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点，在坐标系中正确确定三角形的底和高成为解答本题的关键．
35．如图，已知二次函数 的图象与正比例函数 的图象在第一象限交于点 ，与 轴正半轴交于点 ，若 ，则 的取值范围是______．
【答案】
【分析】
先求得点A的坐标，再利用已知函数图象得出y 在y 下方时，x的取值范围即可．
1 2
【详解】
解：解方程 ，
得 ，
当 时， ，
∴点A的坐标为( ，4)，
如图所示：若y＜y，则二次函数图象在一次函数图象的下面，
1 2
此时x的取值范围是：0＜x＜4．
故答案为：0＜x＜4．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与不等式，正确利用数形结合求出是解题关键．
三、解答题
36．已知二次函数 的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是直线 ．
（1）求m、n的值；
（2）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点
B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式．【答案】（1）m=2，n=﹣2；（2）一次函数的表达式为y=x+4
【分析】
（1）根据抛物线的对称轴可求得m的值，把点P的横、纵坐标代入抛物线解析式，可求得n的值；（2）
过点P作PC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于D，利用相似三角形的对应边成比例，可求点B的坐标，
进而用待定系数法求得一次函数的解析式．
【详解】
解：（1）∵抛物线的对称轴是直线 ，
∴﹣ =﹣1，
∴m=2
∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），
∴9﹣3m+n=1，得出n=3m﹣8．
∴n=3m﹣8=﹣2．
（2）∵m=2，n=﹣2，
∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣2．
过点P作PC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于D，则PC∥BD，如图所示．
∴ ．∴ ．
∵P（﹣3，1），
∴PC=1．
∵PA：PB=1：5，
∴ = ．
∴BD=6．
∴点B的纵坐标为6．
把y=6代入y=x2+2x﹣2得，6=x2+2x﹣2．
解得x=2，x=﹣4（舍去）．
1 2
∴B（2，6）．
∵一次函数的图象经过点P和点B，
∴ ，解得 ．
∴一次函数的表达式为y=x+4．
【点睛】
本题考查了一次函数、二次函数、相似三角形、待定系数法等知识点，构造相似三角形和待定系数法是解
题的关键．
37．已知抛物线 ．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在 轴上，且开口向下，求其表达式并画出图象；（3）在（2）的条件下，设点 ， 在抛物线上，若 ，借助图象求 的取值范围．
【答案】（1）直线x=1；（2）y=-x2+2x-1，图像见解析；（3）m＜-1或m＞3
【分析】
（1）把解析式化成顶点式即可求得；
（2）根据顶点式得到纵坐标，根据题意得到关于a的方程，解方程结合开口方向求得a的值，从而求得抛
物线的解析式，再画出图像；
（3）根据对称轴得到其对称点，再根据二次函数的增减性写出m的取值．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=ax2-2ax-3+2a2=a（x-1）2+2a2-a-3．
∴抛物线的对称轴为直线x=1；
（2）∵抛物线的顶点在x轴上，
∴2a2-a-3=0，
解得a= 或a=-1，
∵开口向下，
∴a=-1，
∴抛物线为y=-x2+2x-1，
图像如下：
（3）∵抛物线的对称轴为x=1，
则Q（3，y）关于x=1对称点的坐标为（-1，y），
2 2
∴当m＜-1或m＞3时，y＜y．
1 2
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握
二次函数的性质是解题的关键．
38．已知二次函数 的图象经过点 和 ．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求出函数图象与坐标轴的交点．
【答案】（1） ；（2）（0，-3），（-1，0），（3，0）
【分析】
（1）将（1，-4），（-1，0）代入 ，用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）分别令x=0，y=0，求出对应的y值与x值，进而得出此二次函数与坐标轴的交点坐标．
【详解】
解：（1）把（1，-4），（-1，0）代入 ，
得： ，解得： ，
∴二次函数的表达式为为 ；
（2）令x=0，得y=-3，
令y=0，得 ，
解得：x=-1或x=3，
∴抛物线与坐标轴的交点为（0，-3），（-1，0），（3，0）．
【点睛】
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
39．抛物线的顶点坐标是 ，且经过点 ．
（1）求二次函数的关系式；
（2）求该函数图象与 轴的交点坐标．
【答案】（1）y=-3x2-6x；（2）（-2，0）和（0，0）
【分析】
（1）由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x+1）2+3，然后把（1，-9）代入求出a的值即可；（2）令y=0即可求得抛物线与x轴交点的坐标；令x=0，即可求得抛物线与y轴交点坐标．
【详解】
解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）2+3（a≠0），
把（1，-9）代入得a（1+1）2+3=-9，
解得a=-3，
所以抛物线解析式为y=-3（x+1）2+3=-3x2-6x；
（2）由（1）知，抛物线解析式为y=-3x2-6x，
令y=0，则-3x2-6x=0，
解得：x=-2或x=0，
即抛物线与x轴交点为（-2，0）和（0，0）．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式
时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上
三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设
其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
40．已知函数 （m为常数）和 （k为常数）的图像都经过点
（1）求m、k的值．
（2）当 时，求x的取值范围．
【答案】（1）m=1，k=2；（2）x＞3或x＜1
【分析】
（1）将（1，-1）分别代入一次函数和二次函数中，即可求出k和m；
（2）利用作差法并结合函数图像即可求解．
【详解】
解：（1）将（1，-1）分别代入，
得 ，
解得：m=1，k=2；（2）把m=1代入 ，得 ，
把k=2代入 ，得 ，
则 ，
令 ，
解得： ， ，
∵函数开口向上，
∴当 时，x＞3或x＜1．
【点睛】
本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，将交点坐标代入是解题的关键，同时比较大小可以用直接作
差并结合函数图像解答．
41．已知二次函数 的图象经过点 和 ．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当x取何值时 ?
【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）x＜-1或x＞3
【分析】
（1）把两个已知点的坐标代入y=ax2+bx-3中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可；
（2）求出二次函数图像与x轴的交点，结合开口方向可得结果．
【详解】
解：（1）根据题意得： ，
解得： ，
所以二次函数的表达式为y=x2-2x-3；
（2）令x2-2x-3=0，
解得：x=-1或x=3，∴二次函数与x轴交于（-1，0）和（3，0），
∵1＞0，
∴二次函数开口向上，
∴当y＞0时，x的取值范围是x＜-1或x＞3．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是求出函数解析式，
得到与x轴的交点坐标．
42．已知抛物线 经过点 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求此抛物线与坐标轴的三个交点所构成的三角形的面积．
【答案】（1）y=-x2+7x-6；（2）15
【分析】
（1）把A，B的坐标利用待定系数法代入y=-x2+mx+n中，求出m，n的值，从而求出抛物线的解析式．
（2）求出抛物线与x轴的交点，再利用三角形的面积公式就可以求出抛物线与坐标轴的三个交点连接而成
的三角形的面积．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=-x2+mx+n经过点A（1，0），B（0，-6），
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+7x-6．
（2）在y=-x2+7x-6中令y=0，
解得x=6或1，
则抛物线与x轴的另一个交点C是（6，0），
因而AC=5，又B（0，-6），
∴抛物线与y轴交点为（0，-6），即OB=6，
抛物线与坐标轴的三个交点连接而成的三角形的面积S= ×5×6=15．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，注意数与形的结合是解决本题的关键．
43．已知抛物线 与 轴的交点为 ．若自变量 和函数值 的部分对应值如表所
示：
… 0 1 …
… 10 5 4 …
（1）求点 的坐标；
（2）求 与 之间的函数关系式．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）由表格数据可知抛物线 经过点 ，把点 代入抛物线解析式即可求得 点坐
标为 ；
（2）根据待定系数法把点 ， 代入抛物线解析式，得解方程组求出 、b即可求得 与 之间
的函数关系式．
【详解】
解：（1）由抛物线 经过点 ，
∴
∴ ；
（2）由已知得 ，
∴ ，
∵点 ， 在抛物线 上，
∴ ，解得 ，
∴ 与 之间的函数关系式为 ．
【点睛】
本题考查抛物线与y 轴的交点，待定系数法求抛物线解析式，二元一次方程组解法，掌握抛物线与y 轴的
交点，待定系数法求抛物线解析式，二元一次方程组解法是解题关键．
44．已知抛物线 经过点(−1，8)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与x轴交点的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为 ；（2）抛物线与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0）．
【分析】
（1）把已知点的坐标代入 中得到关于c的方程，然后解方程即可；
（2）通过解方程 可得到抛物线与 轴的交点坐标．
【详解】
解：（1）∵抛物线 经过点(−1，8)，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）当 ，则 ．
解得 ，
∴抛物线与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0）．
【点睛】
本题考查了抛物线与 轴的交点：把求二次函数 （a，b，c是常数，a≠0）与 轴的交点坐标问题转化为解关于 的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式．
45．已知二次函数图象经过点 ，并且以直线 为对称轴．
（1）求该二次函数表达式；
（2）求出图象与坐标轴的交点．
【答案】（1） ；（2）（0， ），（-3，0），（3，0）
【分析】
（1）根据抛物线以直线x=0为对称轴，设出抛物线解析式，把已知两点坐标代入求出a与c的值，即可求
出解析式；
（2）分别令x=0，y=0，求出相应的值，即可得到坐标．
【详解】
解：（1）根据题意设抛物线解析式为y=ax2+c，
把（3，0）与（2，-3）代入得： ，
解得：a= ，c= ，
则抛物线解析式为 ；
（2）令x=0，则y= ，
令y=0，解得：x=-3或3，
∴图像与坐标轴的交点坐标为（0， ），（-3，0），（3，0）．
【点睛】
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
46．如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 ，且二次函数图象的顶点坐标为 ，点C，D是抛物线上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
【答案】（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；（2） 或
【分析】
（1）根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后令y=0，解一元二次方程即可求得A、B的坐标；
（2）求得D点的坐标，然后根据图象即可求得．
【详解】
解：（1）设二次函数的表达式为 ，
把点 代入，得 ，解得 ，
∴二次函数的表达式为 ，
当 时，解得 或 ，
∴点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
（2）∵点C，D是抛物线上的一对对称点，C（0，3），对称轴为直线x=-1，
∴D（-2，3），
由图象可知，使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围x＜-2或x＞1．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，也考查了二次函数与不等式的关系．
47．己知抛物线
（1）该抛物线的对称轴是直线______，顶点坐标为_______；（2）画出函数图象，并根据图象求当 时，x的取值范围？
【答案】（1）x=1，（1，3）；（2）图像见解析，0≤x≤2
【分析】
（1）配方后即可确定对称轴及顶点坐标；
（2）根据对称轴、顶点坐标，与坐标轴的交点坐标作出大致图像，根据图象利用数形结合的方法确定答
案即可．
【详解】
解：（1） ，
∴对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，3）；
（2）函数图像如图所示，
由图可知：抛物线与y轴交与点（0，2），
∴当 时，x的取值范围是0≤x≤2．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是确定对称轴及顶点坐标并作出图象．
48．已知二次函数
（1）若该图象经过点 ，求出c的值并求图象的顶点坐标；
（2）若二次函数 的图象与坐标轴有2个交点，求c的值．【答案】（1）c=8，（3，-1）；（2）9或0
【分析】
（1）将点（1，3）代入y=x2-6x+c后即可求出c，然后配方即可求出顶点坐标．
（2）抛物线与坐标轴只有两个交点，有两种情况，一是抛物线与x轴只有一个交点，令△=0即可，即抛
物线必过（0，0），另一种是与x轴的一个交点与y轴的交点必定重合．
【详解】
解：（1）把（1，3）代入y=x2-6x+c，
∴3=1-6+c，
∴c=8，
∴y=x2-6x+8=（x-3）2-1
∴顶点坐标（3，-1）；
（2）当抛物线与x轴只有一个交点时，
∴△=0，
∴36-4c=0，
∴c=9，
当抛物线与x轴、y轴的交点重合时，
此时抛物线必过（0，0），
∴c=0，
综上所述，c=9或0．
【点睛】
本题考查二次函数图象的性质，涉及抛物线与x轴交点问题，解方程、分类讨论的思想等知识．
49．如图，二次函数 图象与x轴的交点为A，与直线 交于点B（4，3）
（1）求此二次函数的顶点坐标和点A的坐标；
（2）根据函数的图象，直接写出当函数值 ＞ 时，自变量x的取值范围．【答案】（1）顶点坐标为(2，-1)，点A的坐标为(1，0)；（2） 或
【分析】
（1）利用配方法把二次函数配成顶点式即可求解；
（2）观察图象，利用数形结合即可求解．
【详解】
解：（1） ，
∴顶点坐标为(2，-1)，
令 ，则 ，
解得： ，
∴点A的坐标为(1，0)；
（2）观察图象，知：当 或 ，二次函数 图象在直线 的上方，
∴当函数值 ＞ 时，自变量x的取值范围为 或 ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，以及二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的
关键．
50．如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，B的坐标及抛物线的对称轴方程；
（2）若点M是该抛物线在第一象限部分上的一动点，且 ，求点M的坐标．【答案】（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，对称轴方程为直线 ；（2）点M的坐标
为
【分析】
（1）直接令 ，解一元二次方程即可，再根据抛物线的对称性得到对称轴方程式即可；
（2）先求出C的坐标，然后设M的坐标，根据面积公式建立方程求解即可．
【详解】
解：（1）当 时，即 ，
整理得 ，
解得 ，
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
根据抛物线的对称性得，
对称轴方程为直线 ；
（2）当 时， ，
∴点C的坐标为 ．
设点M的坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
整理得 ，解得 （不合题意，舍去），
当 时， ，
故点M的坐标为 ．
【点睛】
本题考查抛物线与坐标轴的交点问题，准确求出抛物线与坐标轴的交点，熟练结合坐标系中求三角形面积
的方法是解题关键．
51．二次函数 的图象与 轴交于 、 两点，其顶点 的坐标为 ．
（1）求这二次函数的关系式；
（2）求 的面积．
【答案】（1） ；（2）8
【分析】
（1）根据顶点坐标设顶点式，然后将 代入求解即可得到解析式；
（2）根据解析式求出 的坐标，然后根据 求解即可．
【详解】
（1）∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴设抛物线线的解析式为： ，
将 代入得： ，
解得： ，则
∴抛物线的解析式为： ；
（2）令 得： ，
解得： ， ，
∴ 的坐标为 ， ，
∴ ．
【点睛】
本题考查求二次函数的解析式以及二次函数图象与坐标轴交点的问题，灵活选择合适的方法求函数的解析
式是解题关键．
52．已知二次函数 的图象经过点 ．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）画出这个函数的图象，并利用图象解决下列问题：
①直接写出方程 的解．
②当 满足什么条件时， ．【答案】（1） ；（2）① ， ；② 或
【分析】
（1）把点 代入二次函数解析式进行求解即可；
（2）①由（1）及图像可直接进行求解即可；②当 时可由图像直接进行求解．
【详解】
解：（1）∵二次函数 的图象经过点 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
（2）由五点法可得如图所示：
①由图像可得：方程 的解是 ， ；
②由图象可得，当 时， 或 ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
53．已知函数 ．
（1）若这个函数是一次函数，求 的值；
（2）若这个函数是二次函数，则 的值应怎样？
（3）当 时，该函数图像与 轴是否有交点，有求出交点坐标，没有说明理由．
【答案】（1） ；（2） 且 ；（3）当 时，该函数图像与 轴没有交点，理由见解
析．
【分析】
(1)根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案；
(2)根据二次函数的二次项的系数不等于零，可得答案.
(3)通过根的判别式判断函数图像与 轴是否有交点．
【详解】
（1）依题意得 ，
∴ ，
∴ ；
（2）依题意得 ，
∴ 且 ；
（3）当 时，该函数图像与 轴没有交点.
理由是：当 时，该函数解析式为：
，令 ，得 ，
∵ ，
所以该函数图像与 轴没有交点.
【点睛】
本题考查了一次函数，二次函数的定义，二次函数与x轴的交点坐标，通过根的判别式判断函数图像与
轴是否有交点，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键.
54．如图，抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ．
（1）求点 ， 的坐标；
（2）试判断 的形状，并说明理由．
【答案】（1） ， ；（2）△ABC为直角三角形，理由见解析
【分析】
（1）令 ，求解一元二次方程即可；
（2）根据题意分别求出AB，AC，BC，运用勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】
（1）令 得方程： ，
解得： ， ，
∴ ， ；（2）由抛物线解析式得C的坐标为 ，
∴根据两点的距离公式求得： ， ， ，
∵ ，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°．
【点睛】
本题考查二次函数与坐标轴的交点，两点间的距离公式以及勾股定理的逆定理，掌握求二次函数与坐标轴
的交点以及基本的公式定理是解题关键．
