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第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列方程是一元二次方程的是
A．x2﹣y=1 B．x2+2x﹣3=0
C．x2+ =3 D．x﹣5y=6
【答案】B
2．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1=0，常数项为0，则m值等于
A．1 B．﹣1
C．1或﹣1 D．0
【答案】B
【解析】由题意，得m2﹣1=0，且m﹣1≠0，解得m=﹣1，故选B．
3．若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是
A．1 B．0
[来源:学
C．−1 D．2
【答案】B
【解析】把x=1代入x2﹣x﹣m=0得1﹣1﹣m=0，解得m=0．故选B．
4．若px2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，则
A．p＝1 B．p＞0
C．p≠0 D．p为任意实数
【答案】C
【解析】∵方程px2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，∴二次项系数p≠0．
故选C．
5．方程2x2﹣6x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为
A．6、2、5 B．2、﹣6、5
C．2、﹣6、﹣5 D．﹣2、6、5【答案】C
【解析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数
项．方程2x2﹣6x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、﹣6、﹣5.
故选C.
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的
条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中
a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
6．已知a﹣b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一个根是
A．1 B．﹣2
C．0 D．﹣1
【答案】D
【名师点睛】本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义．解题的关键是要掌握一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)中几个特殊值的特殊形式：x=1时，a+b+c=0；x=﹣1时，a﹣b+c=0．
[来源:Z*xx*k.Com]
7．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，则2020+2a﹣b的值是
A．2016 B．2018
C．2020 D．2022
【答案】B
【解析】∵关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，∴4a﹣2b+4=0，则2a﹣b=﹣2，∴2020+2a﹣
b=2020+（2a﹣b）=2020+（﹣2）=2018．故选B．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解定义．解题时，利用了“整体代入”的数学思想．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
8．若x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解，则m的值为__________．
【答案】1
【解析】将x=﹣1代入方程得：1﹣3+m+1=0，解得：m=1．
9．已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=__________．
【答案】-1
【解析】∵方程(m−1)x|m|+1−3x+1=0是关于x的一元二次方程，∴|m|=1，m−1≠0，
解得：m=−1.故答案为：−1.10．若 是方程 的一个根，则 的值为__________．
【答案】2018
【解析】由题意可知：2m2-3m-1=0，
∴2m2-3m=1,
∴原式=3（2m2-3m）+2015=2018,
故答案为2018.
【名师点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基
础题型．
11．已知关于x的方程（m＋2）x²＋4mx＋1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是__________．
【答案】m≠−2
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程需
注意几个方面：化简后；一个未知数；未知数的最高次数是2；二次项的系数不为0；整式方程.
12．若关于x的方程 的常数项为0，则m的值等于__________．
【答案】
【解析】由题意知，方程（m-3）x 2 +5x+m 2 -18=0的常数项为m 2 −18，
所以m 2 −18=0，
解得：m= ，
故答案为： .
【点睛】本题考查了方程的一般式，本题常数项为0时方程可为一元一次方程也可为一元二次方程，不论
哪一种情况，都符合题意，这是解题的关键所在，也是易错点.
13．一元二次方程2x2+4x﹣1=0的一次项系数及常数项之和为__________．
【答案】3
【解析】由题意，得：4+（﹣1）=3．故答案为3．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的
条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
14．已知一个一元二次方程的一个根为3，二次项系数是1，则这个一元二次方程可以是__________．（只需
写出一个方程即可）
[来源:学科网]
【答案】x2﹣3x=0
[来源:学。科。网]
【解析】一元二次方程的一个根为3，二次项系数是1，这个一元二次方程可以为x2-3x=0．
故答案为x2−3x=0．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次
方程的解．灵活应用整体代入的方法计算．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
[来源:学
15．已知关于x的方程（m2 -1）x2 -（m+1）x+m=0．
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.
【答案】（1）m=1；（2）m≠±1，二次项系数为m2-1、一次项系数为-（m+1），常数项为m．
16．已知x是一元二次方程x2+3x﹣1=0的实数根，求代数式 的值．
【答案】
【解析】原式=
.
∵x2+3x﹣1=0．
∴x2+3x=1．
∴x（x+3）=1.∴原式= .
17．已知x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2=0的根，求代数式 的值．
【答案】2．
18．已知实数a是方程 的根．
（1）计算 的值；
（2）计算 的值．
【答案】（1）2015;（2）5.
【解析】（1）∵实数a是方程 的根，
∴ ．
∴ ，即 ．
∴ ；
（2） ．
∵ ，∴ ．．
