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第二十一章 一元二次方程
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知x、x 是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是
1 2
A．x≠x B．x+x＞0
1 2 1 2
C．x•x＞0 D．x＜0，x＜0
1 2 1 2
【答案】A
C、∵x、x 是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
1 2
∴x•x=﹣2，结论C错误；
1 2
D、∵x•x=﹣2，
1 2
∴x，x 异号，结论D错误．
1 2
故选A．
【名师点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当 ＞0时，方程有两个不相等的实数
根”是解题的关键．
2．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+ =0有两个不相等的实数根x，x．若 + =4m，则m的值是
1 2
A．2 B．﹣1
C．2或﹣1 D．不存在
【答案】A∴x+x= ，xx= ，
1 2 1 2
∵ =4m，
∴ =4m，
∴m=2或﹣1，
∵m＞﹣1，
∴m=2，
故选A．
【名师点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据
二次项系数非零及根的判别式 ＞0，找出关于m的不等式组；（2）牢记两根之和等于﹣ 、两根之积等于 ．
3．一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x 和x，则xx 为
1 2 1 2
A．﹣2 B．1
C．2 D．0
【答案】D
【解析】∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x 和x，
1 2∴xx=0．
1 2
故选D．
【名师点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于 是解题的关键．
4．已知关于x的一元二次方程kx2−2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是
A．k<1 B．k≤1
C．k≤1且k≠0 D．k<1且k≠0
【答案】C
【名师点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零
这一隐含条件．
[来源:学&科&网]
5．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+ (2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足 = −1，则m的值
是
A．3或 −1 B．3
C．−1 D．−3 或 1
【答案】B
【解析】∵α、β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根；
∴α+β=−2m−3,αβ=m2，
⋅
∴ = = =−1，
∴m2−2m−3=0，
解得m=3或m=−1.∵一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0有两个不相等的实数根，
∴ =(2m+3)2−4×1×m2=12m+9>0，
∴m>− ，
∴m=−1不合题意舍去，
∴m=3.
【名师点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识点，根据根与系数的关系结合
=1，找出关于m的方程是解题的关键.
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
6．关于x的方程 的两根互为相反数，则k的值是
A．2 B．±2
C．−2 D．−3
【答案】C
[来源:Zxxk.Com]
【名师点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式 是解决本题的关键.
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
7．一元二次方程 的两根为 ,则 的值为__________．
【答案】2
【解析】由题意得： +2=0， =2，
∴ =−2， =4，
∴ =−2+4=2，
故答案为：2.
【名师点睛】本题考查了一元二次方程根的意义，一元二次方程根与系数的关系等，熟练掌握相关内容
是解题的关键.
8．设 、 是一元二次方程 的两个根，且 ，则 __________， __________．
【答案】 ，
【名师点睛】本题考查了根与系数的关系：若 、 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时， =−， = .
9．方程 的两个根为 、 ，则 的值等于__________．
【答案】3
【解析】根据题意得 ， ，所以 = = =3．故答案为3．
【名师点睛】本题考查了根与系数的关系：若 、 是一元二次方程 （a≠0）的两根时，
， ．
来源:学科网]
10．若 是一元二次方程 x²−6x−2=0的两个实数根，则 =__________．
【答案】6
【解析】∵x+x=﹣ ，∴x+x=6．故答案为：6．
1 2 1 2
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为
x，x，则x+x=﹣ ，x•x= ．
1 2 1 2 1 2
11．已知方程x2−mx−3m＝0的两根是x、x，若x＋x＝1，则 xx＝__________．
1 2 1 2 1 2【答案】−3
【解析】∵ ， ∴ ．
【名师点睛】本题主要考查的是一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题型．理解根与系数的关系的
公式是解决这个问题的关键．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12．已知关于 的一元二次方程 .
（1）试证明：无论 取何值此方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两根 ， 满足 ，求 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）−2.
[来源:学_科_网]
【名师点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当 ≥0时，方程有
两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x2+x2−xx=3p2+1，求出p值．
1 2 1 2
13．已知关于x的一元二次方程x2＋（m−1）x−2m2＋m＝0（m为实数）有两个实数根x，x．
1 2
（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）若x2＋x2＝2，求m的值．
1 2【答案】（1） ;（2） ， .
【名师点睛】本题是常见的根的判别式、根与系数关系的结合试题.把求未知系数m的问题转化为解方程
问题是解决本题的关键.
