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21.2 解一元二次方程
【基础训练】
一、单选题
1．下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
一元二次方程有两个相等的实数根,即 ,由一元二次方程根的判别式，即可求出各选项中方程的 ，即
可得到答案．
【详解】
解：A.因为 ，故不合题意；
B.因为 ，符合题意；
C.因为 ，故不合题意；
D. ，故不合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式 ，牢记Δ=0时，方程有两个相等的实根是解题的关键．
2．一元二次方程 根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【分析】
先将一元二次方程化成一般形式，再利用根的判别式即可得．【详解】
解：将一元二次方程 化成一般形式为 ，
此方程根的判别式为 ，
则此方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
3．已知x、x 是方程x2+5x+2=0的两根，则xx+x+x=（ ）
1 2 1 2 1 2
A．-5 B．-3 C．-7 D．7
【答案】B
【分析】
通过韦达定理即可求出 ， ，即可求出结果．
【详解】
根据原方程和一元二次方程根与系数的关系可得：
， ，
即 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟知韦达定理公式是解答本题的关键．
4．已知一元二次方程 ，则该方程的根的情况是 （ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．两个根都是自然数根 D．无实数根
【答案】A
【分析】
判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式 =b2-4ac的值的符号就可以了．
【详解】 △解：∵ ，
∴ ，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】
】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（1） ＞
0⇔方程有两个不相等的实数根；（2） =0⇔方程有两个相等的实数根；（3） ＜△0⇔方程没有实数△根，
是解决问题的关键． △ △
5．用配方法解关于 的一元二次方程 时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用完全平方公式进行配方即可得到答案．
【详解】
解： ，
∴ ，
∴ ；
故选：C．
【点睛】
本题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握配方法进行化简．
6．一元二次方程 的根是（ ）
A． B． C． ， D． ，
【答案】D
【分析】把原方程化为： 再利用因式分解法解方程即可得到答案．
【详解】
解： ，
或
故选：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解一元二次方程是解题的关键．
7．方程 的解为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D．
【答案】B
【分析】
移项得x2=8，然后利用直接开平方法解方程即可．
【详解】
解：移项得 ，
两边开方的： ，
即 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法：直接开平方法，熟练掌握运算方法是解题的关键．8．已知方程3x2-2x-4=0的两根分别为x 和x，则x+x 的值为（ ）
1 2 1 2
A．- B． C．- D．
【答案】B
【分析】
直接根据根与系数的关系求解．
【详解】
∵3x2-2x-4=0的两根分别为x 和x，
1 2
∴x+x=- ．
1 2
故选：B．
【点睛】
考查了根与系数的关系，解题关键是熟记若x，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x+x=-
1 2 1 2
，xx= ．
1 2
9．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝16 B．（x+3）2＝16 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝2
【答案】A
【分析】
把常数项移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方，配成完全平方的形
式，从而得出答案．
【详解】
解：由原方程移项，得
x2﹣6x＝7，
等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方32，
x2﹣6x+32＝7+32，
∴（x﹣3）2＝16；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法---配方法，熟练掌握配方的步骤是解题的关键；配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数的绝对
值一半的平方．
10．已知 是一元二次方程 的两根，则 的值是（ ）
A．1 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】
用因式分解法解一元二次方程，从而求解．
【详解】
解：
∵ 是一元二次方程 的两根，
∴ ，
∴ =1
故选：A．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程的技巧正确计算是解题关键．
11．方程 的根是（ ）
A．x＝ ，x＝ B．x＝1，x＝
1 2 1 2
C．x＝x＝ D．x＝ ，x＝5
1 2 1 2
【答案】A
【分析】
由 ，利用直接开平方法可得： 或 ，从而可得答案．
【详解】
解：或 ，
故选：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．
12．若方程x2－3x－1＝0的两根为x、x，则x+x 的值为（ ）
1 2 1 2
A．3 B．－3 C． D．
【答案】A
【分析】
根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】
解：∵方程x2-3x-1＝0的两根为x、x，
1 2
∴x+x=3，
1 2
故选A．
【点睛】
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
13．用配方法将方程 变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
把常数项-11移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方．
【详解】
解：把方程x2+6x-11=0的常数项移到等号的右边，得到x2+6x=11，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+6x+9=11+9，
配方得（x+3）2=20．
故选：B．
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使
方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
14．方程 的根是（ ）
A． B． ，
C． D．
【答案】B
【分析】
运用直接开平方法解一元二次方程即可．
【详解】
解：∵
∴
∴x=
∴ ， ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解法，掌握运用直接开平方法解一元二次方程成为解答本题的关键．
15．一元二次方程 配方后可变形为（ ）
A．（x+3）2=10 B．（x+3）2 =8
C．（x﹣3）2 =10 D．（x﹣3）2 =8
【答案】C
【分析】
根据配方法即可求出答案．
【详解】
解：∵x2-6x-1=0，
∴x2-6x=1，∴x2-6x+9=10，
∴（x-3）2=10，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
16．下列方程中，两根分别为2和3的方程是（ ）
A．x2-x-6=0 B．x2-5x-6=0 C．x2+x+6=0 D．x2-5x+6=0
【答案】D
【分析】
根据方程的两根为2和3，结合根与系数的关系即可得出方程，此题得解．
【详解】
解：∵方程的两根分别为2和3，
∴2+3=5，2×3=6，
∴方程为x2-5x+6=0．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系找出方程．本题属于基础题，难度不大，
解决该题型题目时，根据方程的系数结合根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．
17．一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【分析】
由 ，利用因式分解法直接解方程可得答案．
【详解】
解： ，
方程有两个相等的实数根，所以 错误， 正确；
故选：
【点睛】
本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，掌握利用因式分解的方法解一元二次方程是解题的关键．
18．公式法解方程x2﹣3x﹣4＝0，对应a，b，c的值分别是（ ）
A．1，3，4 B．0、﹣3、﹣4 C．1、3、﹣4 D．1、﹣3、﹣4
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的一般形式可知道a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项分别找出来即可．
【详解】
解：∵一元二次方程的标准形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），
∴方程x2﹣3x﹣4＝0，对应a，b，c的值分别是1，﹣3，﹣4；
故选：D．
【点睛】
此题考查一元二次方程的的各项系数，注意方程必须为一般形式是关键．
19．方程 的解为（ ）
A． B． C． ， D． ，
【答案】D
【分析】
据平方根的意义可直接开平方解之．
【详解】
由 得 ，所以 ， ．
故选：D．
【点睛】
考查直接开平方解一元二次方程，关键是理解平方根的意义．
20．定义 ，例如 ，若方程 的一个根是
，则此方程的另一个根是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题中的新定义化简，计算即可得到结果．
【详解】
解：∵
∴
∵方程 的一个根是 ，设另一个根为 ，则有：
解得，
故选：C
【点睛】
此题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，熟练掌握根的定义是解本题的关键．
21．关于x的一元二次方程x2+（2a﹣3）x+a2+1＝0有两个实数根，则a的最大整数解是（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程根的情况，用一元二次方程的判别式代入对应系数得到不等式计算即可.
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根，
∴ ，
解得 ，
则a的最大整数值是0．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是能够熟练地掌握和运用一元二次方程根的判别式.22．方程 的根是( )
A．3 B．－3或3 C．－3 D．9
【答案】B
【分析】
利用直接开平方法解方程即可．
【详解】
解：
直接开平方得：x=±3，
所以x=3，x=-3．
1 2
故选：B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接
开平方的方法求解．
23．方程 的解是（ ）
A． B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【分析】
运用因式分解法求解即可．
【详解】
因式分解得： ，
或 ，
∴ ， ，
故选：C．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，熟练运用因式分解法是解题关键．
24．已知关于 的一元二次方程 为 ， 为 ，则下列结论中，错误的是（ ）
A．如果5是方程 的一个根，那么 是方程 的一个根
B．如果方程 有两个不相等的实数根，那么方程 也有两个不相等的实数根
C．如果方程 与方程 恰有一个相同的根，那么这个根必是
D．当 且 时，方程 与方程 有相同的根
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的解的意义可对A、D进行判断；根据判别式的意义可对B进行判断；解方程
，即可对C进行判断．
【详解】
A、把 代入 得 ，则 ，所以 是方程
的一个根，所以A选项的结论正确；
B、方程 有两个不相等的实数根，则 ，则方程 也有两个不相等的实数根，所以B
选项的结论正确；
C、如果方程 与方程 恰有一个相同的根，则 ， ，利用
，解得 ，所以C选项的结论错误；
D、当 且 时， 为 ， 为 ，方程 与方程 有相同的根，所以 选
项的结论正确．
故选：C．
【点睛】
此题考查根的判别式，一元二次方程的解，解题关键在于掌握一元二次方程 的根与 有如下关系：①当 时，方程有两个不相等的两个实数根；②当 时，方程有两
个相等的两个实数根；③当 时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
25．已知关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣（a﹣2b）x﹣b﹣1＝0，这个方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实根
B．有两个不相等的实根
C．有可能无实根
D．有两个实根，可能相等，也可能不相等
【答案】B
【分析】
先计算判别式并进行配方得到△＝（a+2）2+4（b+1）2，利用a+2≠0得到（a+2）2＞0，而4（b+1）2≥0，
所以△＞0，然后根据判别式的意义进行判断．
【详解】
解：根据题意得a+2≠0，
△＝（a﹣2b）2﹣4×（a+2）（﹣b﹣1）
＝a2+4a+4b2+8b+8
＝（a+2）2+4（b+1）2，
∵（a+2）2＞0，4（b+1）2≥0，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的两个实数根．
故选：B．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，
方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
26．已知关于x的一元二次方程 ，下列说法正确的是（ ）
A．方程有两个相等是实数根 B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】B
【分析】
根据根的判别式判断即可．【详解】
解：一元二次方程 的根的判别式Δ=42-4×（-4）=32＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根；
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练运用根的判别式判断一元二次方程根的情况．
27．已知关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由方程有实数根即△＝b2﹣4ac≥0，从而得出关于m的不等式，解不等式即可得答案．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴△＝b2﹣4ac≥0，即[-(2m-1)]2-4m2≥0，
解得： ，
故选C．
【点睛】
本题主要考查根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，判别式△=b2﹣4ac，当△>0时，方程有两
个不相等得实数根；当△=0时，方程有两个相等得实数根；当△<0时，方程没有实数根；熟练掌握一元二
次方程的根与判别式间的关系是解题的关键．
28．方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】C
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的值判断方程根的情况．
【详解】
解：∵△= ，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方
程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
29．用配方法解方程 ，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，变形后开方即可求出解．
【详解】
解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故选：D．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
30．用配方法解方程 ，将其化为 的形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
把常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，把方程变化为左边是完全平方的形式．
【详解】
解：x2-8x+5=0，
∴x2-8x=-5，
∴x2-8x+16=-5+16，
∴（x-4）2=11．
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
二、填空题
31．已知关于x的一元二次方程（m-1）²x2+（2m-1）x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
__________．
【答案】 且
【分析】
根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到△＞0，由此即可求出m的取值范围，需要注意二次项系数不
为0即可．
【详解】解：由题意可知，一元二次方程（m-1）²x2+（2m-1）x+1=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，且二次项系数m-1≠0，
∴ 且 ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程判别式与根的个数问题，属于基础题，计算过程中细心，特别注意一元二次方程
的二次项系数不为0．
32．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________．
【答案】
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】
解：由关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得：
，
解得： ；
故答案为 ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
33．方程x2+2kx+k2﹣2k+1＝0的两个实数根x，x 满足x2+x2＝4，则k的值为_____．
1 2 1 2
【答案】1
【分析】
由x2+x2＝x2+2x•x+x2﹣2x•x＝（x+x）2﹣2x•x＝4，然后根据根与系数的关系即可得到一个关于k的
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
方程，从而求得k的值．
【详解】
解：∵方程x2+2kx+k2﹣2k+1＝0的两个实数根，∴△＝4k2﹣4（k2﹣2k+1）≥0，
解得 k≥ ．
∵x2+x2＝4，
1 2
∴x2+x2＝x2+2x•x+x2﹣2x•x＝（x+x）2﹣2x•x＝4，
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
又∵x+x＝﹣2k，x•x＝k2﹣2k+1，
1 2 1 2
代入上式有4k2﹣2（k2﹣2k+1）＝4，
整理得k2+2k-3=0,
解得k＝1或k＝﹣3（不合题意，舍去）．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式，利
用根与系数关系构造方程，解一元二次方程是解题关键．
34．若关于 的一元二次方程 有两个不相等实数根，则整数 的最大值 _________．
【答案】0
【分析】
若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．
还要注意二次项系数不为0．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+3=0有两个不相等的实数根，
∴△=4-12（a-1）＞0，且a-1≠0，
解得a＜ ，且a≠1，
则a的最大整数值是0．
故答案为：0．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）
△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
35．已知： ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，且满足，则 的值为______．
【答案】
【分析】
先将 配方，再根据根与系数的关系得到关于m的方程，解方程即可．
【详解】
解： ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，
．
或 （舍去）
故答案为： ．【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解
题关键．
三、解答题
36．
【答案】 ， ， ， ，
【分析】
设 ，先求出 的值，再求 的值．
【详解】
设 ，则原方程变为 ，
∴ ，
∴ ， ．
当 时， ，
∴ ， ；
当 时， ，
∴ ， ；
∴方程的解为： ， ， ， ．
【点睛】
本题考查了高次方程的解法，通过换元把高次方程化为低次方程是解答本题的关键，也考查了直接开平方
法解一元二次方程，解答本题的关键是设 ，将高次方程化为低次方程．
37．解下列方程：（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ， ；（2）
【分析】
（1）将二次项系数化为1，再利用配方法即可得；
（2）将方程左边展开再合并同类项，用十字相乘法分解因式即可得．
【详解】
（1）
解：
解得： ， ；
（2）
解：
解得：【点睛】
本题考查了用配方法和十字相乘因式分解法来解一元二次方程；关键在于能够熟练掌握用配方法和十字相
乘法，在此基础上，将一元二次方程转化成一元一次方程求解．
38．解方程：（用适当的方法解方程）
（1） ．
（2）
（3）
【答案】（1）x= ，x= ；（2）x= ，x= ；（3）x= ，x=
1 2 1 2 1 2
【分析】
（1）利用公式法求解即可；
（2）利用因式分解法求解；
（3）先化为一般式，然后利用公式法求解．
【详解】
解：（1） ，
∵a=1，b=-4，c=2，
∴△= =8，
∴x= ，
∴x= ，x= ；
1 2
（2） ，
∴ ，
∴1-2x=0，3x+5=0，∴x= ，x= ；
1 2
（3） ，
变形可得： ，
∵a=3，b= ，c=-1，
∴△= =14，
∴x= ，
∴x= ，x= ．
1 2
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二
次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．
39．解下列方程
（1）
（2）
【答案】（1）x= ，x= ；（2）x=-3，x=5
1 2 1 2
【分析】
（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1） ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得x= ，x= ；
1 2
（2） ，
∴ ，
∴x+3=0，x-5=0，
解得x=-3，x=5．
1 2
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分
解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
40．解方程．
（1） ．
（2） ．
【答案】（1） ， ；（2） ， ．
【分析】
（1）利用十字相乘法即可求解．
（2）移项，提取公因式即可求解．
【详解】
（1）
解： ，
或 ，
， ．（2）
解：
或 ，
， ．
【点睛】
本题考查利用因式分解法解一元二次方程，掌握十字相乘法和提公因式法解一元二次方程是解答本题的关
键．
41．解一元二次方程：
（1）
（2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）利用十字乘法把方程的左边分解因式，再解方程即可得到答案；
（2）先移项，把方程化为： 再利用提公因式的方法把方程的左边分解因式，再
解方程，从而可得答案．
【详解】
解：（1）
或（2）
移项：
或
【点睛】
本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握利用因式分解的方法解一元二次方程是解题的关
键．
42．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）根据因式分解求解一元二次方程即可；
（2）利用直接开平方法进行求解一元二次方程即可．
【详解】
解：（1）
∴ 或 ，
解得：
（2）解得： ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
43．解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）x=7，x=3；（2）x=3，x=-1；（3）x= ，x= ；（4）x=1，x=
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】
（1）方程两边同除以4，再直接开平方，即可求解；
（2）先移项，再分解因式，即可求解；
（3）利用公式法，即可求解；
（4）先化简，再利用十字相乘法分解因式，即可求解．
【详解】
（1） ，
方程两边同除以4，得： ，
方程两边同开平方：x-5=±2，
∴x=7，x=3；
1 2
（2） ，
移项，得： ，分解因式得： ，即： ，
∴x=3，x=-1；
1 2
（3） ，
a=3，b=-4，c=-1，
x= = = ，
∴x= ，x= ；
1 2
（4） ，
化简得：2x2-5x+3=0，
分解因式得：(x-1)(2x-3)=0，
∴x=1，x= ．
1 2
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，公式法是解题的关键．
44．解下列方程：
（1）x2﹣2x＋1＝25；
（2）2x2﹣5x＋1＝0
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据配方法解一元二次方程的步骤计算可得答案；
（2）利用公式法计算可得答案．
【详解】
解：（1）；
（2）
．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，涉及配方法、公式法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关
键．
45．解下列方程：
（1）2（x﹣3）＝3x（3﹣x）；
（2）3x2﹣5x＋2＝0
【答案】（1） ， ；（2） ，
【分析】
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】
（1）原方程可化为： ，
∴ 或 ，
解得： ；
（2）∵ ，
∴ ，∴ ，
即 ，
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
46．解下列方程：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）利用因式分解法解题；
（2）利用直接开平方法解题．
【详解】
解：（1）
（2）
.
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，涉及因式分解法、直接开平方法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
47．解下列方程：
（1）（x﹣3）2﹣4＝0；
（2）x2﹣4x﹣8＝0．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）利用平方差公式进行求解一元二次方程即可；
（2）利用配方法进行求解一元二次方程即可．
【详解】
解：（1）
∴ ；
（2）
∴ ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
48．解方程：
（1）
（2）【答案】（1） ， ；（2） ，
【分析】
（1）方程利用因式分解法求出解即可；
（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】
（1）解：
∴ 或
（2）解：
∴ 或 ，
【点睛】
本题考查了解一元二次方程 因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
49．解方程
（1）
（2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）用因式分解的方法解该一元二次方程即可；
（2）移项，然后利用因式分解的方法解该一元二次方程即可．
【详解】
解：（1）或
（2）
或
，
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握用因式分解的方法解一元二次方程是解题的关键．
50．（1）解方程： ；
（2）解不等式组
【答案】（1）x=-2，x= ；（2）-5≤x＜-2
1 2
【分析】
（1）先变形得到（x+2）（x+3）+（x+2）（x-2）=0，然后利用因式分解法解方程；
（2）分别解两个不等式得到x＜-2和x≥-5，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
【详解】
解：（1）（x+2）（x+3）+（x+2）（x-2）=0，
（x+2）（x+3+x-2）=0，
所以x=-2，x= ．
1 2（2） ，
解①得x＜-2，
解②得x≥-5，
所以不等式组的解集为-5≤x＜-2．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解不等式组，解题的关键是掌握各自的解法．
51．解方程：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）x=3，x=-1；（2）x=1，x=-1
1 2 1 2
【分析】
（1）先移项，利用直接开平方法求解；
（2）先移项，利用因式分解法求解．
【详解】
解：（1）由原方程，移项，得 ，
开平方，得 ，
∴x=3，x=-1；
1 2
（2）由原方程，移项，得 ，
变形得： ，
∴x-1=0，x+1=0，
∴x=1，x=-1．
1 2
【点睛】
本题考查了因式分解法、直接开平法解一元二次方程．对于解方程的方法的选择，应该根据方程的特点选
择不同的方法．
52．解方程（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ， ；（2） ，
【分析】
（1）先把方程整理为： 再利用因式分解法把方程化为： 从而可得答案；
（2）先把方程整理为 再利用提公因式法分解因式，再解方程从而可得答案．
【详解】
解：（1） ；
或
（2） ，
或【点睛】
本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，掌握提公因式，十字乘法进行因式分解是解题的关键．
53．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围
（2）若 为（1）中的最小整数，请求出此时方程的根．
【答案】（1） ；（2） ，
【分析】
（1）根据方程根的情况可得 ，求解即可；
（2）将k的值代入，求解一元二次方程即可．
【详解】
解：（1） 方程有两个不相等的实数根，
，
解得 ．
的取值范围为 ；
（2） 为（1）中的最小整数
方程为
解得： ， ．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，掌握 与一元二次方程根的情况是解题的关键．
54．解方程（1）（x-1）2 ＝4
（2）x2﹣6x﹣7＝0；
【答案】（1）x=3，x=-1；（2）x=7，x=-1
1 2 1 2【分析】
（1）用直接开平方法解方程即可；
（2）运用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1） ，
；
（2） ，
，
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，运用直接开平方法，因式分解法是解题的关键．
55．如图，在矩形ABCD中， ， ，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点
B移动，同时，点Q从点C出发，以lcm/s的速度沿CD向点D移动（点P到达点B停止时，点Q也随之
停止运动），设点P运动时间为t秒．
（1）试求当t为何值时四边形APQD为矩形；
（2）P、Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为5cm．
【答案】（1）2；（2）当出发1s或3s时，线段PQ的长度为5cm．
【分析】
（1）由矩形的性质，得 ，继而列出关于t的一元一次方程即可解题；
（2）过点P作 于点E，先证明四边形APED是矩形，再根据矩形的性质解得EQ的长，最后在
中，根据勾股定理解题即可．【详解】
解：（1） 四边形APQD为矩形．
，
，
，
,
当 时四边形APQD为矩形;
（2）过点P作 于点E，
，
四边形APED是矩形．
，
，
在 中， ，
， ， ，
答：当出发1s或3s时，线段PQ的长度为5cm．
【点睛】
本题考查矩形的判断与性质、勾股定理，涉及解一元一次方程、解一元二次方程等知识，是重要考点，难
度较易，掌握相关知识是解题关键．
