文档内容
2024-2025 学年八年级（下）期末必考题型专项复习【37 大考点】
【人教版】
【考点1 二次根式】..................................................................................................................................................2
【考点2 二次根式的性质与化简】..........................................................................................................................2
【考点3 最简二次根式】..........................................................................................................................................2
【考点4 分母有理化】..............................................................................................................................................3
【考点5 二次根式的混合运算】..............................................................................................................................3
【考点6 二次根式的化简求值】..............................................................................................................................4
【考点7 二次根式的应用】......................................................................................................................................5
【考点8 勾股定理】..................................................................................................................................................6
【考点9 勾股定理的逆定理】..................................................................................................................................8
【考点10 勾股数（树）】..........................................................................................................................................9
【考点11 勾股定理的应用】....................................................................................................................................10
【考点12 平行四边形的性质】................................................................................................................................11
【考点13 平行四边形的判定】................................................................................................................................12
【考点14 平行四边形的判定与性质】....................................................................................................................13
【考点15 菱形的性质】............................................................................................................................................15
【考点16 菱形的判定】............................................................................................................................................16
【考点17 菱形的的判定与性质】............................................................................................................................17
【考点18 矩形的性质】............................................................................................................................................18
【考点19 矩形的判定】............................................................................................................................................19
【考点20 矩形的判定与性质】................................................................................................................................21
【考点21 正方形的性质】........................................................................................................................................22
【考点22 正方形的判定】........................................................................................................................................23
【考点23 正方形的判定与性质】............................................................................................................................25
【考点24 三角形的中位线】....................................................................................................................................26
【考点25 直角三角形斜边上的中线】....................................................................................................................28
【考点26 变量与函数】............................................................................................................................................29
【考点27 函数的图象】............................................................................................................................................30
【考点28 正比例函数的图象】................................................................................................................................32
【考点29 一次函数的图象】....................................................................................................................................32
【考点30 一次函数的性质】....................................................................................................................................33
【考点31 待定系数法求一次函数解析式】...........................................................................................................34
【考点32 一次函数与方程、不等式】....................................................................................................................35
【考点33 一次函数的应用】....................................................................................................................................36
【考点34 平均数、中位数、众数】........................................................................................................................38
【考点35 方差】........................................................................................................................................................38
【考点36 统计量的选择】........................................................................................................................................39【考点37 数据的分析】............................................................................................................................................40
【考点1 二次根式】
【例1】（24-25八年级·河北承德·期末）若❑√3m−1有意义，则m能取的最小整数值是（ ）
A．m = 0 B．m = 1 C．m = 2 D．m = 3
【变式1-1】（24-25八年级·山东烟台·期末）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．❑√a B．❑√−a C．❑√a2 D．❑√a+1
【变式1-2】（24-25八年级·河南开封·期末）❑√1−a＝2，则a＝ ．
y
【变式1-3】（24-25八年级·四川凉山·期末）已知y=❑√x−4+❑√4−x+3，则 的值为 ．
x
【考点2 二次根式的性质与化简】
【例2】（24-25八年级·四川宜宾·期末）若❑√x(3−x)=❑√x⋅❑√3−x，化简❑√(x+1) 2+|x−4)的结果是
（ ）
A．−3 B．5 C．2x−3 D．3−2x
【变式2-1】（24-25八年级·陕西渭南·期末）已知❑√48n是整数，则正整数n的最小值为 ．
1 1
【变式2-2】（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期末）已知x，y为实数，xy=3，那么 ❑√x3y+ ❑√x y3 的值
x y
为（ ）
A．❑√3 B．±❑√3 C．2❑√3 D．±2❑√3
√ 2 √2 √ 3 √3
【变式2-3】（24-25八年级·湖南湘西·期末）仔细观察下列式子：❑2 =2❑ ，❑3 =3❑ ，
3 3 8 8
√ 4 √ 4
❑4 =4❑ ，…
15 15
（1）请写出如上面的第4个同类型式子 ．
（2）类比上述式子，你能看出其中的规律吗，请写出第n个式子 ．
【考点3最简二次根式】
√ a+2
【例3】（24-25八年级·陕西宝鸡·阶段练习）将二次根式a❑− 化为最简二次根式为（ ）
a2
A．❑√−a−2 B．−❑√−a−2 C．❑√a−2 D．−❑√a−2【变式3-1】（24-25八年级·四川宜宾·期末）下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑ B．❑√30 C．❑√0.3 D．❑√8
3
【变式3-2】（24-25八年级·安徽宿州·期末）最简二次根式❑√b+2与a−√15−2b是同类最简二次根式，则
a−b= ．
【变式3-3】（24-25八年级·河北承德·期末）已知❑√m−2是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整
数值： ．
【考点4 分母有理化】
2a
【例4】（24-25八年级·湖南邵阳·期末）如果❑√3的整数部分是a，小数部分是b，那么 的值是 ．
b
【变式4-1】（24-25八年级·湖南怀化·期末）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：
❑√a+b ❑√5+4
a※b= ，如5※4= =3，那么(2−❑√3)※(7※5)= ．
a−b 5−4
1
【变式4-2】（24-25八年级·河北沧州·期末）我们知道(❑√13+3)(❑√13−3)=4，因此在计算 时，
❑√13−3
分子和分母同时乘以❑√13+3，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化．
1
(1)化简： ；
4+❑√15
1
(2)若a= ，求4a2−12a+5的值；
3−❑√7
【变式4-3】（24-25八年级·湖南怀化·期末）著名数学教育家G·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问
题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一
双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：
数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．
例如：
❑√3−2❑√2=❑√2−2×1×❑√2+1=❑√(❑√2) 2 −2×1×❑√2+1=❑√(❑√2−1) 2=❑√2−1解决问题：
(1)在括号内填上适当的数：❑√14−6❑√5=❑√9−2×3×❑√5+①=❑√(3−②) 2=③
①：________，②：________，③：________．
(2)根据上述思路，化简并求出❑√52−14❑√3+❑√7+4❑√3的值．
2
(3)设❑√51−❑√392的小数部分为b，求证：❑√51−❑√392=2b+ +1．
b【考点5 二次根式的混合运算】
【例5】（24-25八年级·湖南益阳·期末）化简：
1 1 1 1 1
+ + +⋯+ + = ．
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√98+❑√99 ❑√99+❑√100
【变式5-1】（24-25八年级·宁夏中卫·期末）计算：
(1)❑√18×❑
√2
+(❑√3−1) 2
3
❑√15+❑√60
(2) −3❑√5
❑√3
【变式5-2】（24-25八年级·贵州六盘水·期末）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：
a⊗b=❑√ab−❑√a，如3⊗4=❑√3×4−❑√3=❑√3．请你计算5⊗9= ．
【变式5-3】（24-25八年级·湖南岳阳·期末）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道❑√2是无理数，而且
❑√1<❑√2<❑√4，即1<❑√2<2，无理数是无限不循环小数，因此❑√2的小数部分我们不可能全部地写出来，
于是小明用❑√2−1来表示❑√2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道
理，因为❑√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：①∵❑√1<❑√3<❑√4，即1<❑√3<2;∴❑√3的整数部分为1，小数部分为(❑√3−1)．
②∵❑√4<❑√5<❑√9，即2<❑√5<3,∴❑√5的整数部分为2，小数部分为(❑√5−2)．
请解答：
(1)❑√10的整数部分为_______，小数部分为_______；
(3 )
(2)设2+❑√13的整数部分为a，小数部分为b，求 a+❑√13 b的值．
5
【考点6 二次根式的化简求值】
1 2
【例6】（24-25八年级·贵州铜仁·期末）下面是某同学化简 + 的过程：
x+1 x2−1
1 2
+
解：
x+1 x2−1
1 2
= ⋅(x2−1)+ ⋅(x2−1)
…………第①步
x+1 x2−1
=(x−1)+2…………第②步
=x+1…………第③步
(1)该同学的解答过程中，从第______步开始出现错误；（填序号）(2)写出正确的化简过程，并求出当x=❑√3+1时，该代数式的值．
1
【变式6-1】（24-25八年级·四川成都·期末）小明同学在解决问题“已知a= ，求2a2−8a+1的
2+❑√3
值”时，他是这样解答的：
1 2−❑√3
∵a= = =2−❑√3，∴❑√3=2−a，∴(❑√3) 2=(2−a) 2，∴a2=4a−1．
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
∴2a2−8a+1=2(4a−1)−8a+1=8a−2−8a+1=−1．
请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题：
1 1 1 1
(1)化简： + + +⋯+ ；
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2025+❑√2024
1
(2)已知x= ，求2x3−8x2+3x+7的值．
❑√2−1
【变式6-2】（24-25八年级·四川·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．
2
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化
❑√3+1
2 2(❑√3−1) 2(❑√3−1) 2(❑√3−1)
简： = = = = ❑√3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −1 2
化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比
如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求a2+b2．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令
xab ， y ab ，则a2+b2=(a+b) 2−2ab=x2−2y=4+6=10．这样，我们不用求出a，b，就可以得
到最后的结果．
1 1 1 1
(1)计算： + + + ...+ ；
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2019+❑√2017
❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
(2)m 是正整数， a ，b 且2a2+1823ab+2b2=2019．求 m．
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
(3)已知❑√15+x2−❑√26−x2=1，求❑√15+x2+❑√26−x2的值．
【变式6-3】（24-25八年级·四川成都·期末）阅读下列材料，然后回答问题．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b=2，ab=−3，求a2+b2我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令
x=a+b，y=ab，则a2+b2=(a+b) 2−2ab=x2−2y=4+6=10这样，我们不用求出a，b，就可以得到
最后的结果．
❑√7+❑√6 ❑√7−❑√6
(1)计算： + =____
❑√7−❑√6 ❑√7+❑√6
❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
(2)m是正整数，a= ，b= ，且3a2+1711ab+3b2=2005，求m．
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
(3)已知❑√21+x2−❑√17−x2=4，求❑√21+x2+❑√17−x2的值．
【考点7 二次根式的应用】
【例7】（24-25八年级·贵州毕节·期末）“海阔千江辏，风翻大浪随．”海浪的大小与风速和风压有很大
v2
的关系，用风速估计风压的通用公式为w = ，其中w 为风压(kN/m2)，v为风速(m/s)，当风压为
p 1600 p
0.25kN/m2时，估计风速为 m/s．
【变式7-1】（24-25八年级·福建福州·期末）如图，长方体的底面积为36cm2，长、宽、高的比为4:3:2
，求：
(1)这个长方体的长、宽、高分别是多少？
(2)长方体的表面积和体积分别是多少？
【变式7-2】（24-25八年级·广东佛山·期末）如图1，若干张边长a 、a 、a …的正方形纸片，面积分为S
1 2 3 1
、S 、S …，且有以下关系：
2 3
S =2×1+1=3
1
，a =❑√3
1S =2×2+1=5，a =❑√5
2 2
S =2×3+1=7，a =❑√7
3 3
(1)填空：S =_________，S =__________（用含正整数n的式子表示）；
5 n
(2)如图2，在大正方形纸片中放置两个小正方形，面积分别为S ，S ，重叠部分是一个面积为S 的正方
12 13 1
形，求空白部分的面积；
(3)如图3，有一张面积为S 的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为4:3，面积为120，能将这
40
张贺卡不折叠的放入此信封吗？为什么？
【变式7-3】（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，点D和E
分别是BC和AB上的两点，连接DE，将△BDE沿DE折叠得到△B′DE，点B′恰好落在AC的中点处，
DE与BB′交于点F，求折痕DE的长度．
【考点8 勾股定理】
【例8】（24-25八年级·内蒙古包头·期末）如图，小方格都是边长为2的正方形，则△ABC中BC边上的
高是（ ）
A．2.4 B．2.6 C．2.8 D．3
【变式8-1】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，在四边形ABCD中，
∠B=90°，BC=4，AE⊥CD，垂足为E，AE=CE，连接AC，若DE=5， AD=❑√61．求：(1)AC的长；
(2)四边形ABCD的面积．
【变式8-2】（24-25八年级·上海松江·期末）已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB．点D、E
在线段AB上．
(1)如图1，如果CD=CE，求证：AD=BE．
(2)如图2，如果∠DCE=45°，求证：DE2=AD2+BE2．
【变式8-3】（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，Rt△ABC，∠A=90°，将△ABC沿DE翻折，使得
点C与点B重合．若AB=6，AC=8，则折痕DE的长为（ ）
15 25
A．4 B． C．5 D．
4 4
【考点9 勾股定理的逆定理】
【例9】（24-25八年级·江西上饶·阶段练习）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝
15，AC＝20．
(1)求CD的长；
(2)求AB的长；
(3)判断△ABC的形状．【变式9-1】（24-25八年级·河北保定·期末）如图，在3×3网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC
的顶点均在网格的格点（网格线的交点）上．
(1)填空：AC=_______，AB=_____，BC=_____；
(2)△ABC是直角三角形吗？请作出判断，并说明理由．
【变式9-2】（24-25八年级·贵州贵阳·期末）某小区计划对临街直角转弯处进行改造，如图所示设计一片
绿化地（四边形ABCD），D点处放置一雕像，已知AB=3m，BC=4m，CD=13m，AD=12m，求这
片绿化地的面积．
【变式9-3】（24-25八年级·广东广州·期末）若x，y，z均为正整数，x与y互素，且x2+ y2=z2，则称数
组(x,y,z)为基本勾股数组．观察下列基本勾股数组：
(3,4,5)；
(5,12,13)；
(7,24,25)；
(9,40,41)；
…(1)根据以上规律，写出x=11时，基本勾股数组中y，z之值；
(2)若(x,y,z)为基本勾股数组，当y=8时，求x与z的值；
(3)请你猜想基本勾股数组(x,y,z)中x，y，z的规律，并证明你的猜想．
【考点10 勾股数（树）】
【例10】（24-25八年级·江苏南京·期中）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A:∠B:∠C=3:4:5 B．a=1，b=2，c=❑√5
C．∠C=∠A−∠B D．(b+c)(b−c)=a2
【变式10-1】（24-25八年级·吉林·期末）下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A．1，1，❑√2 B．1.5，2，2.5 C．4，5，6 D．5，12，13
【变式10-2】（24-25八年级·河北沧州·期末）在如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是等
腰直角三角形，且最大的正方形的面积为4，按照图①至图③的规律设计图案．图③中所有正方形的面积
和为 ．
【变式10-3】（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期末）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角
形构成，S ，S ，S ，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是
1 2 3
64，9，则S −S +S −S 的值为
1 2 3 4
【考点11 勾股定理的应用】
【例11】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，
DA=10km，CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两
村到E站的距离相等．则E应建在距A km．【变式11-1】（24-25八年级·江苏泰州·期中）如图，在笔直的公路AB旁有一个城市书房C，C到公路AB
的距离CD为80米，AC为100米，BC为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若
公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在
城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响．
【变式11-2】（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，
高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为
_____cm．
【变式11-3】（24-25八年级·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大
门前有两条长度均为200米的通道MA、MB通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320
米．
(1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走
到公路l的距离最短，求新路MD的距离；(2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距
312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过BC区间用时16秒，试判断该车是否超
速，并说明理由．
【考点12 平行四边形的性质】
【例12】（24-25八年级·河南洛阳·期末）如图，已知平行四边形ABCD中AB=3,AD=5，则如图：
AC2+BD2的值为 ．
【变式12-1】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=5．按下列
步骤作图：
①以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交DA，DC于点E，F；
1
②分别以点E，F为圆心，大于 EF长为半径画弧，两弧交于点P；
2
③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式12-2】（24-25八年级·山东淄博·期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交
AD于点E，F，BE，CF相交于点G．
(1)求证：BE⊥CF；
(2)若AB=5，CF=6，求BE的长．
【变式12-3】（24-25八年级·广东佛山·期末）如图，在 ▱ABCD中，AB⊥AC，点E是AD中点，作EF⊥BD于点F，已知AB=4，AC=6，则EF的长为 ．
【考点13 平行四边形的判定】
【例13】（2025·河北石家庄·一模）如图，已知线段AB、AD和射线BP，且AD∥BP，在射线BP上找
一点C，使得四边形ABCD是平行四边形，下列作法不一定可行的是（ ）
A．过点D作DC∥AB与BP交于点C
B．在AD下方作∠ADC与BP交于点C，使∠ADC=∠ABP
C．在BP上截取BC，使BC=AD，连接DC
D．以点D为圆心，AB长为半径画弧，与BP交于点C，连接DC
【变式13-1】（24-25八年级·山东菏泽·期末）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延
长，交AB的延长线于F点，AB=BF，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四
边形ABCD为平行四边形，请证明．你添加的条件是 ．
【变式13-2】（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则
图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（ ）
A．9个 B．8个 C．6个 D．4个
【变式13-3】（24-25八年级·青海海东·期末）在Rt△ABC中，∠ABC=90°,∠ACB=30°．将△ABC
绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是点D、E．(1)如图1，当点E恰好落在AC边上时，求∠ADE的度数；
(2)如图2，当α=60°时，点A、E、D在同一条直线上，点F是边AC的中点，求证：四边形BFDE是平行
四边形．
【考点14 平行四边形的判定与性质】
【例14】（24-25八年级·广东深圳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，CD=2AD,M是AB的中点，
连接DM,MC．下列结论：①DM⊥CM；②AD+BC=CD；③MC平分∠DCB；④若
DM=3,CM=4，则平行四边形ABCD的面积为24．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式14-1】（24-25八年级·山东威海·期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在
AB延长线上，连接ED，且ED=AD，过A作AF⊥AB交ED的延长线于点F，连接BF，CF，CE．
(1)求证：四边形BECF为平行四边形；
(2)若AB=2，求四边形BECF的周长．
【变式14-2】（2025·江苏无锡·一模）如图，在△ABC中，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线
上，若BF=5CF，四边形CDEF是平行四边形，且△BDE与△ADE的面积和为6，则△ABC的面积为
．【变式14-3】（24-25八年级·福建漳州·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（
BD−3
【变式26-2】（24-25八年级·广东揭阳·期中）我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环
境，火星车使用的是新型隔温材料一纳米气凝胶，该材料导热率K(W/m⋅K)与温度T(°C)的关系如表：根
据表格中两者的对应关系，若导热率0.5 W/m⋅K ，则温度为 °C．
温度T(°C) 100 150 200 250 300
导热率K(W/m⋅K) 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
【变式26-3】（24-25八年级·贵州贵阳·期末）小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他
们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小
星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程
s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程
是 km．【考点27 函数的图象】
【例27】（24-25八年级·辽宁本溪·期末）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A→B匀速运
动到点B，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点且
图象是轴对称图形，则△ABC的面积是（ ）
A．30 B．36 C．60 D．72
【变式27-1】（24-25八年级·浙江·期末）如图是一个高为24的容器，现向容器匀速注水，下列图象中能
大致反映容器中水的深度（ℎ）与注水量（V）关系的是（ ）
A． B．C． D．
【变式27-2】（24-25八年级·河北石家庄·期末）如图，直线l（不经过点A，B，E）与五边形ABCDE的
边AB，AE相交，设∠A=x°，∠1+∠2= y°，则能够大致反映y与x函数关系的部分图像是（ ）
A． B．
C． D．
【变式27-3】（24-25八年级·山东烟台·期末）青少年机器人竞赛是一项综合多学科知识和技能的科技活
动．如图是某项机器人竞赛的一段比赛轨道示意图，中间部分为圆形，点P，A，C，Q在同一直线上，
AP=CQ，点A，C所连线段、点B，D所连线段均为圆的直径，现有两个机器人分别从P，Q两点同时出
发，以相同的速度沿着该轨道匀速运动，其路线分别为P→A→D→C→Q和Q→C→B→A→P．
若机器人（看作点）的运动时间为x，两机器人之间的距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
【考点28 正比例函数的图象】
【例28】（24-25八年级·陕西西安·期中）已知正比例函数y=(m−1)x5−m2的图象经过第一、三象限，则m
的值为 ．
【变式28-1】（24-25八年级·贵州贵阳·期末）正比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是
（ ）
1 1
A． B．− C．1 D．2
2 2
【变式28-2】（24-25八年级·广东梅州·期末）已知y与x成正比例，且x=−2时y=4，
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设点(a,−2)在这个函数的图象上，求a．
【变式28-3】（24-25八年级·上海普陀·期末）定义：如果函数图像上的一个点向左平移n个单位，再向上
平移2(n+1)个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，n称为这个函数的“可回
旋单位”．如果y=−6x是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是 ．
【考点29 一次函数的图象】
【例29】（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，点A，B，C，D为平面直角坐标系中的四个点，一次函
数y=kx+1(k>0)的图象不可能经过( )A. 点A
B. 点B
C. 点C
D. 点D
【变式29-1】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如下图，在同一直角坐标系中，直线y=x−a和直线y=ax
的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【变式29-2】（24-25八年级·江苏苏州·期末）一次函数y =k x+b，y =k x+b与y =k x+b的图象如
1 1 2 2 3 3
图所示，k ，k ，k 的大小关系是______.(用“<”连接)
1 2 3
【变式29-3】（24-25八年级·四川成都·期末）已知一次函数y=2x−4，它的图象与x轴交于点A，与y轴
交于点B．
(1)画出函数的图象；
(2)点A的坐标为______，当x ______时，y>0；
(3)求△AOB的面积．【考点30 一次函数的性质】
【例30】（24-25八年级·安徽芜湖·期末）已知一次函数y=kx+b，如表是x与y的一些对应数值，则下列
结论中正确的是( )
x……−1.5012 ……
y……6 31−1……
A. y随x的增大而增大
B. 该函数的图象经过一、二、三象限
C. 一次函数y=kx+b的图象可由一次函数y=−2x的图象向上平移2个单位长度得到
D. 该函数的图象与y轴的交点是(0,3)
【变式30-1】（24-25八年级·河南郑州·期末）若A(2,y )，B(3,y )是一次函数y=−3x+1的图像上的
1 2
两个点，则y 与y 的大小关系是y y .(填“>”，“=”或“<”)
1 2 1 2
【变式30-2】（24-25八年级·安徽铜陵·期末）如果函数y=kx+b(k<0)的自变量x的取值范围是−2≤x≤6
，相应的函数值的取值范围是−8≤ y≤4，那么此函数的解析式为 ．
【变式30-3】（24-25八年级·安徽合肥·期末）已知一次函数y=(2m−1)x+m+2．
(1)在该函数中，y随x的增大而增大，求m的取值范围；
(2)若m=−1，当1≤x≤4时，求y的取值范围．
(3)若直线y=(2m−1)x+m+2经过一、二、四象限，求m的取值范围．
【考点31 待定系数法求一次函数解析式】
【例31】（24-25八年级·安徽淮北·期末）如图，线段MN两个端点的坐标分别为M(1,3)，N(1,1)，一次
函数y=kx+b的图像经过点(4,0)和(0,−3)．(1)求一次函数y=kx+b的解析式；
(2)将直线y=kx+b向上平移a个单位长度，使平移后的直线经过线段MN的中点，求a的值；
(3)若直线y=mx+n经过点(−1,0)，且与线段MN有交点，求m的取值范围．
【变式31-1】（24-25八年级·安徽淮北·期末）已知一次函数的图象经过A(2,−3)、B(−1,3)两点．
(1)求这个函数的解析式；
(2)判断点P(4,−7)是否在该函数图象上．
【变式31-2】（24-25八年级·广西南宁·期末）如图，一次函数y=mx+4的图象与x轴的负半轴相交于点
A(−3,0)，与y轴相交于点B．
(1)求出m的值．
(2)过点B作直线BC与x轴的正半轴相交于点C，且OC=2OA，求直线BC的解析式．
【变式31-3】（24-25八年级·陕西·期末）定义：在平面直角坐标系中，将直线l :y=ax+b (ab≠0)中a
1
和b的值都扩大到原来的k(k>0)倍，得到新的直线l ，则称直线l 为直线l 的“k倍伴随线”，例如直线
2 2 1
y=4x+3的“2倍伴随线”的函数解析式为y=8x+6．
(1)求直线y=2x+3的“3倍伴随线”的函数表达式；
(2)若点(m,−10)在直线y=x−6的“2倍伴随线”上，求m的值．
【考点32 一次函数与方程、不等式】
4
【例32】（24-25八年级·安徽淮南·期末）如图，已知直线y=− x+4分别与x，y轴交于点A，B，与直
3( 4)
线y=kx相交于点C n, ．
3
(1)求n和k的值；
4
(2)求不等式− x+40 ； ③关于x的方程kx+b=x+a的解为x=3； ④当x>3时y >y ，其中正确
1 2
的结论有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式32-3】（24-25八年级·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，当x>−2时，对于x的每一个值，正
1
比例函数y=mx(m≠0)的值都大于一次函数y= x−1的值，则m的取值范围是（ ）
21
A．−2
