2024-2025 学年八年级（下）期末必考题型专项复习【37 大考点】
【人教版】
【考点1 二次根式】..................................................................................................................................................2
【考点2 二次根式的性质与化简】..........................................................................................................................2
【考点3 最简二次根式】..........................................................................................................................................2
【考点4 分母有理化】..............................................................................................................................................3
【考点5 二次根式的混合运算】..............................................................................................................................3
【考点6 二次根式的化简求值】..............................................................................................................................4
【考点7 二次根式的应用】......................................................................................................................................5
【考点8 勾股定理】..................................................................................................................................................6
【考点9 勾股定理的逆定理】..................................................................................................................................8
【考点10 勾股数（树）】..........................................................................................................................................9
【考点11 勾股定理的应用】....................................................................................................................................10
【考点12 平行四边形的性质】................................................................................................................................11
【考点13 平行四边形的判定】................................................................................................................................12
【考点14 平行四边形的判定与性质】....................................................................................................................13
【考点15 菱形的性质】............................................................................................................................................15
【考点16 菱形的判定】............................................................................................................................................16
【考点17 菱形的的判定与性质】............................................................................................................................17
【考点18 矩形的性质】............................................................................................................................................18
【考点19 矩形的判定】............................................................................................................................................19
【考点20 矩形的判定与性质】................................................................................................................................21
【考点21 正方形的性质】........................................................................................................................................22
【考点22 正方形的判定】........................................................................................................................................23
【考点23 正方形的判定与性质】............................................................................................................................25
【考点24 三角形的中位线】....................................................................................................................................26
【考点25 直角三角形斜边上的中线】....................................................................................................................28
【考点26 变量与函数】............................................................................................................................................29
【考点27 函数的图象】............................................................................................................................................30
【考点28 正比例函数的图象】................................................................................................................................32
【考点29 一次函数的图象】....................................................................................................................................32
【考点30 一次函数的性质】....................................................................................................................................33
【考点31 待定系数法求一次函数解析式】...........................................................................................................34
【考点32 一次函数与方程、不等式】....................................................................................................................35
【考点33 一次函数的应用】....................................................................................................................................36
【考点34 平均数、中位数、众数】........................................................................................................................38
【考点35 方差】........................................................................................................................................................38
【考点36 统计量的选择】........................................................................................................................................39【考点37 数据的分析】............................................................................................................................................40
【考点1 二次根式】
【例1】（24-25八年级·河北承德·期末）若❑√3m−1有意义，则m能取的最小整数值是（ ）
A．m = 0 B．m = 1 C．m = 2 D．m = 3
【变式1-1】（24-25八年级·山东烟台·期末）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．❑√a B．❑√−a C．❑√a2 D．❑√a+1
【变式1-2】（24-25八年级·河南开封·期末）❑√1−a＝2，则a＝ ．
y
【变式1-3】（24-25八年级·四川凉山·期末）已知y=❑√x−4+❑√4−x+3，则 的值为 ．
x
【考点2 二次根式的性质与化简】
【例2】（24-25八年级·四川宜宾·期末）若❑√x(3−x)=❑√x⋅❑√3−x，化简❑√(x+1) 2+|x−4)的结果是
（ ）
A．−3 B．5 C．2x−3 D．3−2x
【变式2-1】（24-25八年级·陕西渭南·期末）已知❑√48n是整数，则正整数n的最小值为 ．
1 1
【变式2-2】（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期末）已知x，y为实数，xy=3，那么 ❑√x3y+ ❑√x y3 的值
x y
为（ ）
A．❑√3 B．±❑√3 C．2❑√3 D．±2❑√3
√ 2 √2 √ 3 √3
【变式2-3】（24-25八年级·湖南湘西·期末）仔细观察下列式子：❑2 =2❑ ，❑3 =3❑ ，
3 3 8 8
√ 4 √ 4
❑4 =4❑ ，…
15 15
（1）请写出如上面的第4个同类型式子 ．
（2）类比上述式子，你能看出其中的规律吗，请写出第n个式子 ．
【考点3最简二次根式】
√ a+2
【例3】（24-25八年级·陕西宝鸡·阶段练习）将二次根式a❑− 化为最简二次根式为（ ）
a2
A．❑√−a−2 B．−❑√−a−2 C．❑√a−2 D．−❑√a−2【变式3-1】（24-25八年级·四川宜宾·期末）下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑ B．❑√30 C．❑√0.3 D．❑√8
3
【变式3-2】（24-25八年级·安徽宿州·期末）最简二次根式❑√b+2与a−√15−2b是同类最简二次根式，则
a−b= ．
【变式3-3】（24-25八年级·河北承德·期末）已知❑√m−2是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整
数值： ．
【考点4 分母有理化】
2a
【例4】（24-25八年级·湖南邵阳·期末）如果❑√3的整数部分是a，小数部分是b，那么 的值是 ．
b
【变式4-1】（24-25八年级·湖南怀化·期末）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：
❑√a+b ❑√5+4
a※b= ，如5※4= =3，那么(2−❑√3)※(7※5)= ．
a−b 5−4
1
【变式4-2】（24-25八年级·河北沧州·期末）我们知道(❑√13+3)(❑√13−3)=4，因此在计算 时，
❑√13−3
分子和分母同时乘以❑√13+3，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化．
1
(1)化简： ；
4+❑√15
1
(2)若a= ，求4a2−12a+5的值；
3−❑√7
【变式4-3】（24-25八年级·湖南怀化·期末）著名数学教育家G·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问
题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一
双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：
数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．
例如：
❑√3−2❑√2=❑√2−2×1×❑√2+1=❑√(❑√2) 2 −2×1×❑√2+1=❑√(❑√2−1) 2=❑√2−1解决问题：
(1)在括号内填上适当的数：❑√14−6❑√5=❑√9−2×3×❑√5+①=❑√(3−②) 2=③
①：________，②：________，③：________．
(2)根据上述思路，化简并求出❑√52−14❑√3+❑√7+4❑√3的值．
2
(3)设❑√51−❑√392的小数部分为b，求证：❑√51−❑√392=2b+ +1．
b【考点5 二次根式的混合运算】
【例5】（24-25八年级·湖南益阳·期末）化简：
1 1 1 1 1
+ + +⋯+ + = ．
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√98+❑√99 ❑√99+❑√100
【变式5-1】（24-25八年级·宁夏中卫·期末）计算：
(1)❑√18×❑
√2
+(❑√3−1) 2
3
❑√15+❑√60
(2) −3❑√5
❑√3
【变式5-2】（24-25八年级·贵州六盘水·期末）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：
a⊗b=❑√ab−❑√a，如3⊗4=❑√3×4−❑√3=❑√3．请你计算5⊗9= ．
【变式5-3】（24-25八年级·湖南岳阳·期末）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道❑√2是无理数，而且
❑√1<❑√2<❑√4，即1<❑√2<2，无理数是无限不循环小数，因此❑√2的小数部分我们不可能全部地写出来，
于是小明用❑√2−1来表示❑√2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道
理，因为❑√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：①∵❑√1<❑√3<❑√4，即1<❑√3<2;∴❑√3的整数部分为1，小数部分为(❑√3−1)．
②∵❑√4<❑√5<❑√9，即2<❑√5<3,∴❑√5的整数部分为2，小数部分为(❑√5−2)．
请解答：
(1)❑√10的整数部分为_______，小数部分为_______；
(3 )
(2)设2+❑√13的整数部分为a，小数部分为b，求 a+❑√13 b的值．
5
【考点6 二次根式的化简求值】
1 2
【例6】（24-25八年级·贵州铜仁·期末）下面是某同学化简 + 的过程：
x+1 x2−1
1 2
+
解：
x+1 x2−1
1 2
= ⋅(x2−1)+ ⋅(x2−1)
…………第①步
x+1 x2−1
=(x−1)+2…………第②步
=x+1…………第③步
(1)该同学的解答过程中，从第______步开始出现错误；（填序号）(2)写出正确的化简过程，并求出当x=❑√3+1时，该代数式的值．
1
【变式6-1】（24-25八年级·四川成都·期末）小明同学在解决问题“已知a= ，求2a2−8a+1的
2+❑√3
值”时，他是这样解答的：
1 2−❑√3
∵a= = =2−❑√3，∴❑√3=2−a，∴(❑√3) 2=(2−a) 2，∴a2=4a−1．
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
∴2a2−8a+1=2(4a−1)−8a+1=8a−2−8a+1=−1．
请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题：
1 1 1 1
(1)化简： + + +⋯+ ；
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2025+❑√2024
1
(2)已知x= ，求2x3−8x2+3x+7的值．
❑√2−1
【变式6-2】（24-25八年级·四川·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．
2
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化
❑√3+1
2 2(❑√3−1) 2(❑√3−1) 2(❑√3−1)
简： = = = = ❑√3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −1 2
化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比
如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求a2+b2．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令
xab ， y ab ，则a2+b2=(a+b) 2−2ab=x2−2y=4+6=10．这样，我们不用求出a，b，就可以得
到最后的结果．
1 1 1 1
(1)计算： + + + ...+ ；
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2019+❑√2017
❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
(2)m 是正整数， a ，b 且2a2+1823ab+2b2=2019．求 m．
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
(3)已知❑√15+x2−❑√26−x2=1，求❑√15+x2+❑√26−x2的值．
【变式6-3】（24-25八年级·四川成都·期末）阅读下列材料，然后回答问题．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b=2，ab=−3，求a2+b2我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令
x=a+b，y=ab，则a2+b2=(a+b) 2−2ab=x2−2y=4+6=10这样，我们不用求出a，b，就可以得到
最后的结果．
❑√7+❑√6 ❑√7−❑√6
(1)计算： + =____
❑√7−❑√6 ❑√7+❑√6
❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
(2)m是正整数，a= ，b= ，且3a2+1711ab+3b2=2005，求m．
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
(3)已知❑√21+x2−❑√17−x2=4，求❑√21+x2+❑√17−x2的值．
【考点7 二次根式的应用】
【例7】（24-25八年级·贵州毕节·期末）“海阔千江辏，风翻大浪随．”海浪的大小与风速和风压有很大
v2
的关系，用风速估计风压的通用公式为w = ，其中w 为风压(kN/m2)，v为风速(m/s)，当风压为
p 1600 p
0.25kN/m2时，估计风速为 m/s．
【变式7-1】（24-25八年级·福建福州·期末）如图，长方体的底面积为36cm2，长、宽、高的比为4:3:2
，求：
(1)这个长方体的长、宽、高分别是多少？
(2)长方体的表面积和体积分别是多少？
【变式7-2】（24-25八年级·广东佛山·期末）如图1，若干张边长a 、a 、a …的正方形纸片，面积分为S
1 2 3 1
、S 、S …，且有以下关系：
2 3
S =2×1+1=3
1
，a =❑√3
1S =2×2+1=5，a =❑√5
2 2
S =2×3+1=7，a =❑√7
3 3
(1)填空：S =_________，S =__________（用含正整数n的式子表示）；
5 n
(2)如图2，在大正方形纸片中放置两个小正方形，面积分别为S ，S ，重叠部分是一个面积为S 的正方
12 13 1
形，求空白部分的面积；
(3)如图3，有一张面积为S 的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为4:3，面积为120，能将这
40
张贺卡不折叠的放入此信封吗？为什么？
【变式7-3】（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，点D和E
分别是BC和AB上的两点，连接DE，将△BDE沿DE折叠得到△B′DE，点B′恰好落在AC的中点处，
DE与BB′交于点F，求折痕DE的长度．
【考点8 勾股定理】
【例8】（24-25八年级·内蒙古包头·期末）如图，小方格都是边长为2的正方形，则△ABC中BC边上的
高是（ ）
A．2.4 B．2.6 C．2.8 D．3
【变式8-1】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，在四边形ABCD中，
∠B=90°，BC=4，AE⊥CD，垂足为E，AE=CE，连接AC，若DE=5， AD=❑√61．求：(1)AC的长；
(2)四边形ABCD的面积．
【变式8-2】（24-25八年级·上海松江·期末）已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB．点D、E
在线段AB上．
(1)如图1，如果CD=CE，求证：AD=BE．
(2)如图2，如果∠DCE=45°，求证：DE2=AD2+BE2．
【变式8-3】（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，Rt△ABC，∠A=90°，将△ABC沿DE翻折，使得
点C与点B重合．若AB=6，AC=8，则折痕DE的长为（ ）
15 25
A．4 B． C．5 D．
4 4
【考点9 勾股定理的逆定理】
【例9】（24-25八年级·江西上饶·阶段练习）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝
15，AC＝20．
(1)求CD的长；
(2)求AB的长；
(3)判断△ABC的形状．【变式9-1】（24-25八年级·河北保定·期末）如图，在3×3网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC
的顶点均在网格的格点（网格线的交点）上．
(1)填空：AC=_______，AB=_____，BC=_____；
(2)△ABC是直角三角形吗？请作出判断，并说明理由．
【变式9-2】（24-25八年级·贵州贵阳·期末）某小区计划对临街直角转弯处进行改造，如图所示设计一片
绿化地（四边形ABCD），D点处放置一雕像，已知AB=3m，BC=4m，CD=13m，AD=12m，求这
片绿化地的面积．
【变式9-3】（24-25八年级·广东广州·期末）若x，y，z均为正整数，x与y互素，且x2+ y2=z2，则称数
组(x,y,z)为基本勾股数组．观察下列基本勾股数组：
(3,4,5)；
(5,12,13)；
(7,24,25)；
(9,40,41)；
…(1)根据以上规律，写出x=11时，基本勾股数组中y，z之值；
(2)若(x,y,z)为基本勾股数组，当y=8时，求x与z的值；
(3)请你猜想基本勾股数组(x,y,z)中x，y，z的规律，并证明你的猜想．
【考点10 勾股数（树）】
【例10】（24-25八年级·江苏南京·期中）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A:∠B:∠C=3:4:5 B．a=1，b=2，c=❑√5
C．∠C=∠A−∠B D．(b+c)(b−c)=a2
【变式10-1】（24-25八年级·吉林·期末）下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A．1，1，❑√2 B．1.5，2，2.5 C．4，5，6 D．5，12，13
【变式10-2】（24-25八年级·河北沧州·期末）在如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是等
腰直角三角形，且最大的正方形的面积为4，按照图①至图③的规律设计图案．图③中所有正方形的面积
和为 ．
【变式10-3】（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期末）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角
形构成，S ，S ，S ，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是
1 2 3
64，9，则S −S +S −S 的值为
1 2 3 4
【考点11 勾股定理的应用】
【例11】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，
DA=10km，CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两
村到E站的距离相等．则E应建在距A km．【变式11-1】（24-25八年级·江苏泰州·期中）如图，在笔直的公路AB旁有一个城市书房C，C到公路AB
的距离CD为80米，AC为100米，BC为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若
公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在
城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响．
【变式11-2】（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，
高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为
_____cm．
【变式11-3】（24-25八年级·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大
门前有两条长度均为200米的通道MA、MB通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320
米．
(1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走
到公路l的距离最短，求新路MD的距离；(2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距
312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过BC区间用时16秒，试判断该车是否超
速，并说明理由．
【考点12 平行四边形的性质】
【例12】（24-25八年级·河南洛阳·期末）如图，已知平行四边形ABCD中AB=3,AD=5，则如图：
AC2+BD2的值为 ．
【变式12-1】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=5．按下列
步骤作图：
①以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交DA，DC于点E，F；
1
②分别以点E，F为圆心，大于 EF长为半径画弧，两弧交于点P；
2
③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式12-2】（24-25八年级·山东淄博·期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交
AD于点E，F，BE，CF相交于点G．
(1)求证：BE⊥CF；
(2)若AB=5，CF=6，求BE的长．
【变式12-3】（24-25八年级·广东佛山·期末）如图，在 ▱ABCD中，AB⊥AC，点E是AD中点，作EF⊥BD于点F，已知AB=4，AC=6，则EF的长为 ．
【考点13 平行四边形的判定】
【例13】（2025·河北石家庄·一模）如图，已知线段AB、AD和射线BP，且AD∥BP，在射线BP上找
一点C，使得四边形ABCD是平行四边形，下列作法不一定可行的是（ ）
A．过点D作DC∥AB与BP交于点C
B．在AD下方作∠ADC与BP交于点C，使∠ADC=∠ABP
C．在BP上截取BC，使BC=AD，连接DC
D．以点D为圆心，AB长为半径画弧，与BP交于点C，连接DC
【变式13-1】（24-25八年级·山东菏泽·期末）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延
长，交AB的延长线于F点，AB=BF，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四
边形ABCD为平行四边形，请证明．你添加的条件是 ．
【变式13-2】（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则
图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（ ）
A．9个 B．8个 C．6个 D．4个
【变式13-3】（24-25八年级·青海海东·期末）在Rt△ABC中，∠ABC=90°,∠ACB=30°．将△ABC
绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是点D、E．(1)如图1，当点E恰好落在AC边上时，求∠ADE的度数；
(2)如图2，当α=60°时，点A、E、D在同一条直线上，点F是边AC的中点，求证：四边形BFDE是平行
四边形．
【考点14 平行四边形的判定与性质】
【例14】（24-25八年级·广东深圳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，CD=2AD,M是AB的中点，
连接DM,MC．下列结论：①DM⊥CM；②AD+BC=CD；③MC平分∠DCB；④若
DM=3,CM=4，则平行四边形ABCD的面积为24．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式14-1】（24-25八年级·山东威海·期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在
AB延长线上，连接ED，且ED=AD，过A作AF⊥AB交ED的延长线于点F，连接BF，CF，CE．
(1)求证：四边形BECF为平行四边形；
(2)若AB=2，求四边形BECF的周长．
【变式14-2】（2025·江苏无锡·一模）如图，在△ABC中，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线
上，若BF=5CF，四边形CDEF是平行四边形，且△BDE与△ADE的面积和为6，则△ABC的面积为
．【变式14-3】（24-25八年级·福建漳州·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（
BD<CD），过点B，C分别作射线AD的垂线，垂足分别为点E，F．点G在FC的延长线上，且
∠G=∠CBE．
(1)求证：四边形BCGE为平行四边形；
(2)若AE=CF=7，△EFG的周长为24，求CG的长．
【考点15 菱形的性质】
【例15】（24-25八年级·山东东营·期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，
AE∥BD，OE与AB交于点F．若OE=5，AC=8，则菱形ABCD的面积为 ．
【变式15-1】（24-25八年级·陕西安康·期末）如图，四边形ABCD是菱形，四边形AECF是正方形，若
∠B=46❑∘，求∠BAE的度数．
【变式15-2】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，菱形ABCD的边长为10cm，对角线AC与BD相交于点O，其中BD长12cm．
(1)求对角线AC的长度；
(2)若AE∥DB，且交CB的延长线于点E．
①根据题意，把图形补充完整；
②求三角形AEC的面积．
【变式15-3】（24-25八年级·河南郑州·期末）在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，将△ABE绕
点A逆时针旋转，得到△AHG，点E,B对应的点分别为G,H，GH所在直线分别与直线AD，直线CD相
交于点M,N．
(1)观察猜想：如图1，当线段AH经过点C时，线段NH与线段ND的数量关系是________，线段AN与线
段HD的位置关系是________；
(2)探究证明：如图2，当AH不经过点C时，（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成
立，请说明理由；
(3)拓展延伸：若∠B=30°，AB的长为2，当线段NH与直线CD垂直时，请直接写出NH的长．
【考点16 菱形的判定】
【例16】（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，根据平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，能判定
其为菱形的是（ ）
A． B．C． D．
【变式16-1】（24-25八年级·福建厦门·期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
AC⊥BD，BD平分∠ABC．给出下列两个条件：①AD=CD，②AD∥BC；从二者中选择一个作为
补充条件，使四边形ABCD是菱形，这个条件是 ．（填写序号）
【变式16-2】（24-25八年级·贵州遵义·期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交
于点O，且AC=10，BD=6，AB=4．
(1)求证：AB⊥BD；
(2)E，F分别是AD和BC的中点，连接BE，DF，求证：四边形BEDF是菱形．
【变式16-3】（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是对角线，点B、
E、C、G在同一条直线上，且BE=EC=CG，AE延长线交DC延长线于F．
(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)条件：①AC=BD；②BC=2CD．
请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形DEFG的形状（两个都写以第一个为准）．【考点17 菱形的的判定与性质】
【例17】（24-25八年级·辽宁本溪·期末）如图，正方形ABCD是小明用木条制作的一个学具，在取放学
具时，学具发生了形变，此时∠D =30°，则形变后四边形A BCD 的面积是原正方形ABCD面积的
1 1 1
（ ）
1 ❑√2 ❑√3 ❑√3
A． B． C． D．
2 2 2 3
【变式17-1】（24-25八年级·福建泉州·期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
DE∥AC，CE∥BD．若AB=6，BC=8，则四边形OCED的周长为 ．
【变式17-2】（24-25八年级·浙江台州·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接EB，DF．
(1)求证：四边形EBFD为菱形；
(2)若∠BAD=105°，∠DBF=2∠ABE，求∠ABE的度数．
【变式17-3】（24-25八年级·辽宁沈阳·期末）已知：△ABC，尺规作图得四边形DBEC，作图步骤如
下：
1
（i）分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点P，Q；
2
（ii）直线PQ交AC于点D，连接BD；
（iii）以B为圆心，以BD的长为半径作弧，交直线PQ于点E，连接CE，BE．(1)根据尺规作图，请直接判断四边形DBEC的形状，并说明判断的根据；
(2)在（1）的前提下，若∠BAC=90°，AB=4，AC=8，求四边形DBEC的周长．
【考点18 矩形的性质】
【例18】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中
AD
点，连接AF，BF，CE，DE，若四边形GEHF是矩形，则 的值为（ ）
AB
1 ❑√2 1
A．1 B． C． D．
2 2 4
【变式18-1】（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）如图，在矩形ABCD中，点E、F为对角线AC上两点，
AE=AD，AF=CE，连接DE、BF，若∠CAD=40°，则∠BFE的度数为（ ）
A．75° B．70° C．55° D．40°
【变式18-2】（24-25八年级·江苏无锡·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4，对角线AC、BD
相交于点O，过点O的直线交CD的延长线于点G，交边AD于点E，若AE=2.5，则DG的长为 ．【变式18-3】（24-25八年级·陕西宝鸡·期末）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE,DE．
若CE=CD，过点D作DF⊥CE于点F．求证：CF=EB．
【考点19 矩形的判定】
【例19】（24-25八年级·河北保定·期末）如图，P，Q分别为平行四边形边AB，CD的中点，O为PQ与
AC的交点，在对角线AC上作点M，N，使以M，Q，N，P为顶点的四边形是矩形，下面是两位同学的作
图．
嘉嘉： 淇淇：
以点O为圆心， 分别过点P，Q作
OP的长为半径作弧，交AC于点M，N． PM⊥AC于点M，QN⊥AC于点N．
下列说法正确的是（ ）
A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确
C．两人都正确 D．两人都不正确
【变式19-1】（24-25八年级·辽宁大连·期末）在数学活动课上，小明准备用一根绳子检查一个书架是否为
矩形．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列验证方法中错误的为（ ）A．OA=OB B．AC=BD C．OA=OC D．OA=OD
【变式19-2】（2025·江苏常州·一模）如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A
作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．
(1)求证：D是BC的中点；
(2)若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明．
【变式19-3】（24-25八年级·陕西咸阳·期末）如图，已知在四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，
∠BAD=∠D，点E是AB边上的中点，点F为AD边上一点，连接CF、CE，DA与CE的延长线交于点G
．
(1)求证：四边形ABCD为矩形；
(2)若∠1=2∠2，CF=5，求AF+BC的值．
【考点20 矩形的判定与性质】
【例20】（24-25八年级·贵州黔南·期末）如图，在面积为S的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点
O，E，F，G分别是BC，OB，OC的中点，则四边形EFOG的面积为（ ）1 1 1 1
A． S B． S C． S D． S
4 8 12 16
【变式20-1】（24-25八年级·江苏·期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD，点A
到边CD的距离为5，则四边形ABCD的面积为 ．
【变式20-2】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图：在△ABC中，AB=AC，AD是中线，AN是△ABC
的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E．
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)连接DE，交AC于点F，直接写出DF与AB之间的关系为 ．
【变式20-3】（24-25八年级·山东青岛·单元测试）如图，ON为∠AOB中的一条射线，点P在边OA上，
PH⊥OB于H，交ON于点Q，PM∥OB交ON于点M，MD⊥OB于点D，QR∥OB交MD于点R，
连接PR交QM于点S．(1)求证：四边形PQRM为矩形；
1
(2)若OP= PR，试探究∠AOB与∠BON的数量关系，并说明理由．
2
【考点21 正方形的性质】
【例21】（24-25八年级·四川广安·期末）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长
一倍得到新正方形A B C D ，把正方形A B C D 边长按原法延长一倍得到A B C D （如图2），以
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
此下去……，正方形A B C D 的面积为（ ）
4 4 4 4
A．125 B．500 C．600 D．625
【变式21-1】（24-25八年级·重庆巴南·期末）如图，先将正方形ABCD对折，折痕为MN，再沿DE折
叠，使点C落在折痕MN上，记为点F，连接AF，已知正方形边长为2，则AF的长为（ ）
A．❑√2 B．❑√3 C．2 D．❑√5
【变式21-2】（24-25八年级·河南许昌·期末）如图，E为正方形ABCD边BC上一点，连接AE，将AE绕
点A顺时针旋转45°得到线段AF，连接BF．若AD=2，则线段BF长度的最小值为 ．【变式21-3】（24-25八年级·云南红河·期末）如图，四边形ABCD是正方形，以点B为坐标原点，
BC,BA分别在x轴，y轴上，点E在AB边上，点E的坐标为(0,12)，点F在BC边的延长线上，CF=3，连
接EF，过点D作DH⊥EF于点H，交BC于点M，连接EM,DF和DE，且DF=DE．
(1)求证：DH垂直平分EF；
(2)求正方形ABCD的边长；
(3)求点H的坐标．
【考点22 正方形的判定】
【例22】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，对折等边△ABC纸片，展开铺平，折痕为CH（如图
1），再折叠纸片，使点A，B都落在CH上，且与点D重合，折痕分别为EH和FH（如图2）．在此基础
上继续折叠，小聪和小明分别提供了以下两种方案：
小聪说：将纸片沿EF向上折叠，使得点H落在点G处．
小明说：将∠CED对折，使得角两边EC与ED重合，折痕交CH于点G．
两种方案折叠后均展开铺平，连结EG，FG，则以上方案中折出的四边形EHFG为正方形的是（ ）A．两个方案都能 B．小聪的方案
C．小明的方案两个方案都不能
【变式22-1】（24-25八年级·浙江台州·期末）甲，乙两位同学采用折叠的方法，判断两张四边形纸片是否
为正方形．
甲：如图①进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形；
乙：如图②进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形．
下列判断正确的是（ ）
A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
【变式22-2】（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的
三等分点，连接AE,CE,AF,CF．求证：
(1)△ABE≌△CDF；
1
(2)连接AC，若AC⊥BD，且AC= BD，判断四边形AECF的形状，并证明．
3【变式22-3】（24-25八年级·山东枣庄·期末）如图，平行四边形ABCD，连结BD，∠DBC=90°．点E
在CD边上，过点E作EG⊥BC，垂足为F，交AB延长线于点G，连接BE，CG．
(1)求证：DE=BG；
(2)当E为CD中点时，四边形BECG是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)在满足（2）的条件下，当△BCD满足什么条件时，四边形BECG是正方形？（不必说明理由）
【考点23 正方形的判定与性质】
【例23】（24-25八年级·江苏南通·期末）如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，
EF，GH相交于点O，且OA=4，EF⊥AB，GH⊥BC，BE=BH，则四边形BEOH与四边形DFOG
的面积之和为（ ）
A．4 B．4❑√2 C．8 D．16
【变式23-1】（24-25八年级·河南鹤壁·期末）如图所示，Rt△ABC两条外角平分线交于点D，∠B=90°
，过点D作DE⊥BA于点E，DF⊥BC于点F．若DE=12cm，当点C恰好是BF的中点时，AC=
cm．
【变式23-2】（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=❑√3，点E为对角
线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【变式23-3】（24-25八年级·河北保定·期中）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．将线段
AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连接DE交AC于点F，连接BF．
(1)求证：FB=FD；
(2)如图2，连接CD，点H在线段BE上（不含端点），且BH=CE，连接AH交BF于点N，判断AH与
BF的位置关系，并证明你的结论．
【考点24 三角形的中位线】
【例24】（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，正方形ABCD，点E为AB边上一点，AE=3，BE=1．
∠EDC的平分线交BC于点F，点G是DE的中点，则GF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【变式24-1】（24-25八年级·河南郑州·期末）如图，四边形ABCD中，AC=a,BD=b，且AC⊥BD，
顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形A B C D ，再顺次连接四边形A B C D 各边的中
1 1 1 1 1 1 1 1
点，得到四边形A B C D ……如此进行下去，得到四边形A B C D ，四边形A B C D 的周长是
2 2 2 2 n n n n 5 5 5 5
，四边形A B C D 的面积是 ．
n n n n【变式24-2】（24-25八年级·山东济南·期末）我们知道平行四边形有很多性质，如果我们把平行四边形沿
着边的中点翻折，还会发现新的结论．
【实践探究】
（1）在▱ABCD中，点E为BC的中点，△ABE沿着AE向上折叠，点B落在F处，连接CF并延长交AD
于点G．判断四边形AECG的形状，并说明理由；
【拓展应用】
（2）连接AF，兴趣小组发现AF⊥AB，若∠D=60°，BC=4，求CG的长．
【变式24-3】（24-25八年级·辽宁鞍山·期末）如图，在正方形ABCD中，边长为3，点M，N是边AB，
BC上两点，且BM=CN=1，连接CM，DN；
(1)则DN与CM的数量关系是__________，位置关系是__________；
(2)若点E，F分别是DN与CM的中点，计算EF的长；
(3)延长CM至P，连接BP，若∠BPC=45°，试求PM的长．
【考点25 直角三角形斜边上的中线】
【例25】（24-25八年级·江苏无锡·期末）如图，在四边形ABCD中，BD=AD，AC与BD交于点E，BD⊥AD，AC⊥BC，且AC平分∠DAB．下列结论：
①∠ACD=45°；
②AE=2BC；
③AB−BD=DE；
④BE=CD．
其中正确的结论是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③
【变式25-1】（24-25八年级·浙江杭州·阶段练习）如图，AD，BE均为△ABC的高，且AB=AC，连结
DE交AB于点O，若∠C=38°，则∠OEB的度数为 ．
【变式25-2】（24-25八年级·江苏无锡·期中）如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平
分∠ABC．
(1)求证：AD=DC；
(2)如图2，在上述条件下，若∠A=∠ABC=60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别
为E、F，连接EF，判断△≝¿的形状并证明你的结论．
【变式25-3】（24-25八年级·江苏泰州·期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABD=∠ACD=90°，M是
AD的中点，N是BC上的动点，连接MN．若AD=8，BC=6，则MN的最小值为 ．【考点26 变量与函数】
【例26】（24-25八年级·山西朔州·期末）如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增
加2m/s．根据小球速度v（单位：m/s）关于时间t（单位：s）的函数关系，第4.5s时小球的速度为
m/s
x−1
【变式26-1】（24-25八年级·福建泉州·期末）函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
x+3
A．x≠0 B．x≠−3 C．x≠1 D．x>−3
【变式26-2】（24-25八年级·广东揭阳·期中）我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环
境，火星车使用的是新型隔温材料一纳米气凝胶，该材料导热率K(W/m⋅K)与温度T(°C)的关系如表：根
据表格中两者的对应关系，若导热率0.5 W/m⋅K ，则温度为 °C．
温度T(°C) 100 150 200 250 300
导热率K(W/m⋅K) 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
【变式26-3】（24-25八年级·贵州贵阳·期末）小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他
们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小
星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程
s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程
是 km．【考点27 函数的图象】
【例27】（24-25八年级·辽宁本溪·期末）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A→B匀速运
动到点B，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点且
图象是轴对称图形，则△ABC的面积是（ ）
A．30 B．36 C．60 D．72
【变式27-1】（24-25八年级·浙江·期末）如图是一个高为24的容器，现向容器匀速注水，下列图象中能
大致反映容器中水的深度（ℎ）与注水量（V）关系的是（ ）
A． B．C． D．
【变式27-2】（24-25八年级·河北石家庄·期末）如图，直线l（不经过点A，B，E）与五边形ABCDE的
边AB，AE相交，设∠A=x°，∠1+∠2= y°，则能够大致反映y与x函数关系的部分图像是（ ）
A． B．
C． D．
【变式27-3】（24-25八年级·山东烟台·期末）青少年机器人竞赛是一项综合多学科知识和技能的科技活
动．如图是某项机器人竞赛的一段比赛轨道示意图，中间部分为圆形，点P，A，C，Q在同一直线上，
AP=CQ，点A，C所连线段、点B，D所连线段均为圆的直径，现有两个机器人分别从P，Q两点同时出
发，以相同的速度沿着该轨道匀速运动，其路线分别为P→A→D→C→Q和Q→C→B→A→P．
若机器人（看作点）的运动时间为x，两机器人之间的距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
【考点28 正比例函数的图象】
【例28】（24-25八年级·陕西西安·期中）已知正比例函数y=(m−1)x5−m2的图象经过第一、三象限，则m
的值为 ．
【变式28-1】（24-25八年级·贵州贵阳·期末）正比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是
（ ）
1 1
A． B．− C．1 D．2
2 2
【变式28-2】（24-25八年级·广东梅州·期末）已知y与x成正比例，且x=−2时y=4，
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设点(a,−2)在这个函数的图象上，求a．
【变式28-3】（24-25八年级·上海普陀·期末）定义：如果函数图像上的一个点向左平移n个单位，再向上
平移2(n+1)个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，n称为这个函数的“可回
旋单位”．如果y=−6x是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是 ．
【考点29 一次函数的图象】
【例29】（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，点A，B，C，D为平面直角坐标系中的四个点，一次函
数y=kx+1(k>0)的图象不可能经过( )A. 点A
B. 点B
C. 点C
D. 点D
【变式29-1】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如下图，在同一直角坐标系中，直线y=x−a和直线y=ax
的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【变式29-2】（24-25八年级·江苏苏州·期末）一次函数y =k x+b，y =k x+b与y =k x+b的图象如
1 1 2 2 3 3
图所示，k ，k ，k 的大小关系是______.(用“<”连接)
1 2 3
【变式29-3】（24-25八年级·四川成都·期末）已知一次函数y=2x−4，它的图象与x轴交于点A，与y轴
交于点B．
(1)画出函数的图象；
(2)点A的坐标为______，当x ______时，y>0；
(3)求△AOB的面积．【考点30 一次函数的性质】
【例30】（24-25八年级·安徽芜湖·期末）已知一次函数y=kx+b，如表是x与y的一些对应数值，则下列
结论中正确的是( )
x……−1.5012 ……
y……6 31−1……
A. y随x的增大而增大
B. 该函数的图象经过一、二、三象限
C. 一次函数y=kx+b的图象可由一次函数y=−2x的图象向上平移2个单位长度得到
D. 该函数的图象与y轴的交点是(0,3)
【变式30-1】（24-25八年级·河南郑州·期末）若A(2,y )，B(3,y )是一次函数y=−3x+1的图像上的
1 2
两个点，则y 与y 的大小关系是y y .(填“>”，“=”或“<”)
1 2 1 2
【变式30-2】（24-25八年级·安徽铜陵·期末）如果函数y=kx+b(k<0)的自变量x的取值范围是−2≤x≤6
，相应的函数值的取值范围是−8≤ y≤4，那么此函数的解析式为 ．
【变式30-3】（24-25八年级·安徽合肥·期末）已知一次函数y=(2m−1)x+m+2．
(1)在该函数中，y随x的增大而增大，求m的取值范围；
(2)若m=−1，当1≤x≤4时，求y的取值范围．
(3)若直线y=(2m−1)x+m+2经过一、二、四象限，求m的取值范围．
【考点31 待定系数法求一次函数解析式】
【例31】（24-25八年级·安徽淮北·期末）如图，线段MN两个端点的坐标分别为M(1,3)，N(1,1)，一次
函数y=kx+b的图像经过点(4,0)和(0,−3)．(1)求一次函数y=kx+b的解析式；
(2)将直线y=kx+b向上平移a个单位长度，使平移后的直线经过线段MN的中点，求a的值；
(3)若直线y=mx+n经过点(−1,0)，且与线段MN有交点，求m的取值范围．
【变式31-1】（24-25八年级·安徽淮北·期末）已知一次函数的图象经过A(2,−3)、B(−1,3)两点．
(1)求这个函数的解析式；
(2)判断点P(4,−7)是否在该函数图象上．
【变式31-2】（24-25八年级·广西南宁·期末）如图，一次函数y=mx+4的图象与x轴的负半轴相交于点
A(−3,0)，与y轴相交于点B．
(1)求出m的值．
(2)过点B作直线BC与x轴的正半轴相交于点C，且OC=2OA，求直线BC的解析式．
【变式31-3】（24-25八年级·陕西·期末）定义：在平面直角坐标系中，将直线l :y=ax+b (ab≠0)中a
1
和b的值都扩大到原来的k(k>0)倍，得到新的直线l ，则称直线l 为直线l 的“k倍伴随线”，例如直线
2 2 1
y=4x+3的“2倍伴随线”的函数解析式为y=8x+6．
(1)求直线y=2x+3的“3倍伴随线”的函数表达式；
(2)若点(m,−10)在直线y=x−6的“2倍伴随线”上，求m的值．
【考点32 一次函数与方程、不等式】
4
【例32】（24-25八年级·安徽淮南·期末）如图，已知直线y=− x+4分别与x，y轴交于点A，B，与直
3( 4)
线y=kx相交于点C n, ．
3
(1)求n和k的值；
4
(2)求不等式− x+4<kx的解集．
3
【变式32-1】（24-25八年级·陕西商洛·期末）如图，直线l :y=x+2与直线l :y=kx+b相交于点P(m,4)
1 2
{ y=x+2)
，则方程组 的解是 ．
y=kx+b
【变式32-2】（24-25八年级·广西河池·期末）已知一次函数y =kx+b与y =x+a的图象如图所示，有下
1 2
列结论：①k<0 ； ②a>0 ； ③关于x的方程kx+b=x+a的解为x=3； ④当x>3时y >y ，其中正确
1 2
的结论有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式32-3】（24-25八年级·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，当x>−2时，对于x的每一个值，正
1
比例函数y=mx(m≠0)的值都大于一次函数y= x−1的值，则m的取值范围是（ ）
21
A．−2<m<0 B． <m<1
2
1
C． ≤m≤1 D．1≤m≤2
2
【考点33 一次函数的应用】
【例33】（24-25八年级·江苏无锡·期末）一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经
2
B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早 小时
7
到达目的地．甲、乙两车之间的路程y(km)与两车行驶时间x(h)的函数关系如图所示，请结合图象信息，
解答下列问题：
(1)甲车行驶的速度是______km/h，图中a=______；
(2)求图中线段EF所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的4倍？
【变式33-1】（24-25八年级·浙江杭州·期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种
光伏车棚．已知修建1个A种光伏车棚需投资3万元，1个B种光伏车棚需投资2万元，若修建A，B两种光
伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍．设修建A种光伏车
棚x个，修建车棚总费用为y万元．
(1)求出y（万元）关于x（个）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
【变式33-2】（24-25八年级·河南洛阳·期末）甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．
五一期间，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓按
六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打
折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y （元），在乙采摘
1
园所需总费用为y （元），图中折线OAB表示y 与x之间的函数关系．
2 2(1)甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克 元；
(2)求y 、y 与x之间的函数表达式；
1 2
(3)在图中画出y 与x之间的函数图象，并写出选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量x的取值范
1
围．
【变式33-3】（24-25八年级·江西抚州·期末）为创建“绿色校园”，某校计划分两次购进A，B两种花
草，弟一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费825元，第二次分别购进A，B两种花草12棵和
5棵，共花费325元（两次购进同种花草和价格相同）．
(1)A，B两种花草每棵的价格分别是多少元
(2)若计划购买A，B两种花草共30棵，其中购买A种花草m棵，且m≥12，请你给出一种费用最省的方
案，并求该方案所需费用．
【考点34 平均数、中位数、众数】
【例34】（24-25八年级·四川成都·期末）某学校招聘一名教师，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试、面
试测试，他们的各项测试成绩如表所示，根据要求，学校将笔试、面试得分按6：4的比例确定各人的最后
成绩，然后录用得分最高的候选人，最终被录用的是 ．
测试成绩
项目
甲 乙 丙
8
笔试 70 75
0
8
面试 90 85
0
【变式34-1】（24-25八年级·宁夏中卫·期末）若2024个数x ，x ，…x 的平均数是2，则x +2，x +2
1 2 2024 1 2
，…，x +2的平均数是 ．
2024
【变式34-2】（2025·江苏南京·二模）下表是某少年足球俱乐部学员的年龄分布，其中一个数据被遮盖
了．若这组数据的中位数为13.5岁，则这个俱乐部共有学员 人．1
年龄 14 15 16
3
频数 28 22 23
【变式34-3】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）下表为某班某次数学考试成绩的统计表．已知全班共有
38人，且众数为50分，中位数为60分，则x2−y2的值等于 ．
2
成绩（分） 30 40 50 60 70 90 100
0
次数（人） 2 3 5 x 6 y 3 4
【考点35 方差】
【例35】（24-25八年级·山东淄博·期中）体育课上老师组织了跳远测试（单位：米），小明6次成绩的平
1
均数为7.8，方差为 ．如果小明再跳两次，成绩分别为7.7，7.9，则小明8次跳远成绩的方差为（ ）
60
1 1 3 3
A． B． C． D．
80 60 25 200
【变式35-1】（24-25八年级·山东烟台·期末）某班数学综合与实践活动小组的5位同学在一次数学测验成
绩分别为81分，83分，89分，85分，87分，经过计算这组数据的方差为m、若小红和小明同学也想加入
小组，并且两人成绩均为85分，那么加入后小组成绩的方差为n，则m和n的大小关系为
【变式35-2】（24-25八年级·辽宁丹东·期末）一组数据x ,x ,x ,⋅⋅⋅,x 的方差是a，平均数是b，则另
1 2 3 n
一组数据3x +2,3x +2,3x +2,⋅⋅⋅,3x +2的方差和平均数分别是（ ）
1 2 3 n
A．a，b B．9a，3b+2 C．3b，2a D．3a+2，b+2
【变式35-3】（24-25八年级·四川成都·期末）三个小组每组都有10人，一道满分为3分的题目，三个小
组的得分情况如图所示：观察这三个小组的得分情况，小明发现，“柱子的高度”总是1，2，3，4，但是
它们排列的顺序不同，导致了平均数和方差发生了变化，在这三组中，方差最小的是第 组．
1 1
（可能用到的数学公式：平均数x= (x +x +⋯+x )，方差S2= [(x −x) 2+(x −x) 2+⋯+(x −x) 2)）
n 1 2 n n 1 2 n【考点36 统计量的选择】
【例36】（24-25八年级·江苏无锡·期末）某服装销售商在进行市场占有率的调查时，他最应该关注的是（
）
A．服装型号的平均数 B．服装型号的众数
C．服装型号的中位数 D．最小的服装型号
【变式36-1】（24-25·湖北荆州·八年级·期末）从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比
赛．若这13名队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据
的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．最大值 D．方差
【变式36-2】（24-25八年级·江苏盐城·期中）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次
射击成绩的平均数x（单位：环）及方差S2（单位：环2）如下表所示：
甲 乙 丙 丁
x 9 8 9 9
S2 1.8 0.9 5 0.6
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【变式36-3】（24-25八年级·山东潍坊·期末）某鞋店一周内销售了某种品牌的男鞋60双，各种尺码的销售
量统计如下：
尺码/cm 23.5 24 24.5 25 25.5 26 26.5
销量/双 3 7 6 16 18 8 2
由此你能给这家鞋店提供的进货建议是 .
【考点37 数据的分析】
【例37】（24-25八年级·四川达州·期末）某县教育行政部门为了了解八年级学生每学期参加综合实践活动
的情况，随机抽样调查了该县八年级学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面
两幅不完整的统计图(如图)．请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）求出参加抽样调查的八年级学生人数，并将频数直方图补充完整．
（2）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少?
（3）如果该县共有八年级学生6000人，请你估计“活动时间不少于5天”的大约有多少人？
【变式37-1】（24-25八年级·山东烟台·期中）为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行
抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：
身高情况分组表（单位：cm）
组别 身高
A x＜155
B 155≤x＜160
C 160≤x＜165
D 165≤x＜170
E x≥170
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）样本中，男生的身高众数在 组，中位数在 组；
（2）样本中，女生身高在E组的人数有 人；
（3）已知该校共有男生400人，女生380人，请估计身高在160≤x＜170之间的学生约有多少人？【变式37-2】（24-25八年级·山东潍坊·期中）山青养鸡场有2500只鸡准备对外出售．从中随机抽取了一
部分鸡，统计了它们的质量（单位：kg），并绘制出如下的统计图1和图2．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）图1中m的值为 ；
（2）统计的这组数据的众数是 ；中位数是 ；
（3）求出这组数据的平均数，并估计这2500只鸡的总质量约为多少kg．
【变式37-3】（24-25八年级·山东菏泽·期中）某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取
了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并
将测试结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答以下问题：
(1)本次抽取的学生共有_________人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是_______°，并把条形统计图补充完整；
(2)依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众
数是_________分，中位数是_________分，平均数是_________分；
(3)请估计全校2000名学生中书写能力等级达到优秀的学生大约有多少人？
