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21.2 解一元二次方程
【提升训练】
一、单选题
1．若关于x的一元二次方程 的一个根大于1，另一个根小于1，则a的值可能为（ ）
A． B． C．2 D．4
2．已知x、x 是关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
1 2
A．x+x＞0 B．x．x＞0 C．x＜0，x＜0 D．x﹣x≠0
1 2 1 2 1 2 1 2
3．定义运算：x*y＝x2y﹣2xy﹣1，例如4*2＝42×2﹣2×4×2﹣1＝15，则方程x*1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
4．关于 的一元二次方程 有实数根，则 满足（ ）
A． B． 且 C． 且 D．
5．一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
6．关于 的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．无法确定 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
7．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
8．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 且9．若关于x的一元二次方程 有实数根，则整数a的最大值为（ ）
A．−2 B．−1 C．1 D．2
10．定义运算： ．例如： ．则方程 的根的情况为（
）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
11．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
12．若关于x的一元二次方程 有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
13．已知关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． 且 B． 且 C． D．
14．下列关于一元二次方程，说法正确的是（ ）
A．方程 配方变形为 B．方程 的解为
C．关于 的方程 有实数根，则 D．方程 的解为
15．下面是文明同学在考试中解答的填空题，其中答对的个数是（ ）
①方程 的解是 ；②已知m为方程 的一个根，则 的值
为2；③若关于x的方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ；④若关
于x的方程 的两根的平方和等于6，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．下列说法不正确的是（ ）
A．打开电视剧，电视里播放《小猪佩奇》是偶然事件
B．了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查
C．一元二次方程 只有一个根
D．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是 ， ，
甲的射击成绩稳定
17．一元二次方程 −2x−1＝0，其解的情况正确的是（ ）
A．有两个相等的实数解 B．有两个不相等的实数解
C．没有实数解 D．不确定
18．已知a，b是一元二次方程 的两个根，则 的值等于（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
19．下列方程适合用因式分解法解的是（ ）
A． B．
C． D．
20．若关于x的方程 没有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．一元二次方程 的解为（ ）
A． B． C． ， D． ，
22．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2＋3x＋2＝0 B．﹣x2＋x＋2＝0 C．（x＋1）2＋2＝0 D．3（x﹣1）2﹣2＝0
23．若关于x的一元二次方程x2＋x－3m＋1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞ B．m＜ C．m≥ D．m≤24．关于 的一元二次方程 有实数根，则 满足（ ）．
A． B． 且 C． D． 且
25．若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
26．x=－2是关于x的一元二次方程2x2+3ax－2a2=0的一个根，则a的值为（ ）
A．1或4 B．－1或－4 C．－1或4 D．1或－4
27．实数x满足 ，则 的值为( )
A．3 B．0 C．3或0 D．
28．方程 的解是（ ）
A． ， B． ， C． D． ，
29．若x=0是关于x的一元二次方程（a+2）x2- x+a2+a-6=0的一个根，则a的值是（ ）
A．a ≠2 B．a=2 C．a=-3 D．a=-3或a=2
30．如图，在矩形ABCD中，AB=14，BC=7，M、N分别为AB、CD的中点，P、Q均为CD边上的动点
（点Q在点P左侧），点G为MN上一点，且PQ=NG=5，则当MP+GQ=13时，满足条件的点P有（
）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
31．已知关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是__________．
32．若 ，且 ， ，则（1） 的值为______；（2）的值为_____．
33．已知关于x的一元二次方程 ﹣（2k+1）x+ +1＝0有两个不相等的实数根 ．若 ＝3，则
k的值为_____．
34．关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0的根的情况是_____．
35．若分式 的值为零，则 的值为_______．
三、解答题
36．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ， ．
（1）求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得 成立？如果存在，求出m的值：如果不存在，请说明理由．
37．解方程：
（1）
（2）
38．解下列方程：
（1） ；
（2） ．
39．若关于 的方程 有两个实数根，请求出实数 的取值范围．
40．解方程．
（1）2x2﹣4x﹣3＝0；
（2）（x+1）（x+3）＝15．
41．解方程：
（1）x2-4x-3=0 （2）（x-3）+2x（x-3）=0
（3） （4）42．（1）解方程：（2x﹣5）2＝9．
（2）解方程：（x﹣3）2＝2（x﹣3）．
43．用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）3x（x+2）=5（x+2）
（4）
44．已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根
45．解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)(x＋1)(x＋8)＝－12
46．用适当方法解下列方程
（1）144x2-1=0
（2）（3x-1）2=6．
（3）x2-5x+6=0
（4）
（5）3x（x-1）=2（x-1）
（6）x2-x-1=0
47．解方程：
（1） ；（2） ．
48．解答题：（1）用适当方法解方程： ．
（2）计算：
49．解答下列各题：
（1）计算
（2）解方程：
50．解下列方程．
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
51．阅读理解：
解方程时，我们经常将整体多次出现的部分打包进行换元处理，从而达到了降次、转整等目的，这一“神
奇”的方法叫换元法．
例如：解方程
解：设
原方程化为：
∴
∴ 或 ∴ ，当 时，即
∴ 或
，
当 时，即
∴ 或
∴ ，
∴原方程的解是： ， ， ，
请你利用换元法解方程：
52．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则
称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方
程”．
（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，求c的值；
（2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值；
（3）若点（p，q）在反比例函数y＝ 的图象上，请说明关于x的方程px2+3x+q＝0是“倍根方程”；
（4）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，请说明2b2＝9ac．
53．如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 倍，
那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程 的两个根是 和 ，则方程
就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程 是“倍根方程”，则 ＝ ．（2）若关于 的一元二次方程 是“倍根方程”，则 ， ， 之间的关系为
．
（3）若 是“倍根方程”，求代数式 的值．
54．若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手
点”．
（1）一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为 ；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函
数”，则a＝ ；
（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0的两根，求
它们的“x牵手点”．
55．阅读理解：
解方程： ．
解：方程左边分解因式，得
，
解得 ， ， ．
问题解决：
（1）解方程： ．
（2）解方程： ．
（3）方程 的解为 ．
56．（换元思想）阅读材料：
材料1 若一元二次方程 的两根为 、 ，则 ， .
材料2 已知实数 、 满足 ， ，且 ，求 的值.
解：由题知 、 是方程 的两个不相等的实数根，根据材料1，得 ， .∴ .
根据上述材料解决下面的问题：
（1）一元二次方程 的两根为 ， ，则 ， ___________；
（2）已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值；
（3）已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值.
