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21.2 解一元二次方程
【提升训练】
一、单选题
1．若关于x的一元二次方程 的一个根大于1，另一个根小于1，则a的值可能为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】
设 的两根分别为 可得 由关于x的一元二次方程
的一个根大于1，另一个根小于1，可得 ＜ 再列不等式： ＜
解不等式可得答案．
【详解】
解：设 的两根分别为
关于x的一元二次方程 的一个根大于1，另一个根小于1，
＜
＜
＜
＜
符合题意，所以 不符合题意， 符合题意，
故选：
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，一元一次不等式的解法，掌握以上知识是解题的关键．
2．已知x、x 是关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
1 2
A．x+x＞0 B．x．x＞0 C．x＜0，x＜0 D．x﹣x≠0
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，求出xx，x+x 的值，分析后即可判断A项，B项，C项是否符合题
1 2 1 2
意，结合判别式公式，求该方程的判别式，根据正确情况即可判断D项是否符合题意，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意得：
xx＝﹣2＜0，
1 2
即x 和x 异号，
1 2
即选项B和选项C不合题意，
x+x＝a，
1 2
∵a的值可能为正，可能为负，也可能为0，
∴A项不合题意，
∵△＝a2+8＞0，
∴方程的两根不相等，
即x﹣x≠0，
1 2
即D项符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系，根的判别式公式是解题的关键．
3．定义运算：x*y＝x2y﹣2xy﹣1，例如4*2＝42×2﹣2×4×2﹣1＝15，则方程x*1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】
先转换成一元二次方程，再用根的判别式判断即可．
【详解】
解：根据题意，方程x*1＝0为： ，∵ ，
∴方程有两个不相等的实数根；
故选：A．
【点睛】
本题考查了新定义运算和一元二次方程的根的判别式，解题关键是理解题意，把方程转化为一元二次方程，
再用根的判别式判断．
4．关于 的一元二次方程 有实数根，则 满足（ ）
A． B． 且 C． 且 D．
【答案】B
【分析】
根据根的判别式计算即可．
【详解】
解：∵关于 的一元二次方程 有实数根，
∴ ， ，
∴ ， ，
解得： ， ；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键．
5．一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】
确定a、b、c计算根的判别式，利用根的判别式直接得出结论；
【详解】∵ ，
∴ △=1-0=1＞0，
∴ 原方程有两个不相等的实数根；
故选：D．
【点睛】
本题考查了根的判别式、一元二次方程实数根的情况取决于根的判别式△，正确掌握△的值与根的个数的
关系是解题的关键．
6．关于 的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．无法确定 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
【答案】B
【分析】
判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式 =b2-4ac的值的符号就可以了．
【详解】 △
解：∵关于x的一元二次方程 的二次项系数a=1，一次项系数b=2m-2，常数项
c=-2m，
∴△=（2m-2）2-4（-2m）=4m2+1＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根；
故选：B．
【点睛】
本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（1） ＞0⇔方程
有两个不相等的实数根；（2） =0⇔方程有两个相等的实数根；（3） ＜0△⇔方程没有实数根△．
7．下列一元二次方程中，有两△个不相等实数根的是（ ） △
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．
【详解】
解：A.x2+6x+9=0，则 =62-4×9=36-36=0，即该方程有两个相等实数根，故本选项不合题意；
△
B. ，则 =(-2)2-4×3=4-12=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题意；
△
C. ，则 =(-1)2-4×(-2)=1+8=9>0，即该方程有两个不相等实数根，故本选项合题意；
△
D. ，则 =(-４)2-4×3×2=16-24=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题意．
△
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与 =b2-4ac有如下关系：①
当 ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当 =0时，方程有两个相等的△两个实数根；③当 ＜0时，
方△程无实数根． △ △
8．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 且
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程 有两个不相等的实数根，得到 ，求解即可．
【详解】
∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】
此题考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的三种情况是解题的关键．
9．若关于x的一元二次方程 有实数根，则整数a的最大值为（ ）A．−2 B．−1 C．1 D．2
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出a的范围，确定出所求即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴△＝1−8（a−2）≥0，且a−2≠0，
解得：a≤ 且a≠2，
则整数a的最大值为1．
故选C．
【点睛】
此题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义，掌握一元二次方程根与判别式的关系是
解本题的关键．
10．定义运算： ．例如： ．则方程 的根的情况为（
）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】
根据新定义运算法则以及利用△＞0可判断方程根的情况．
【详解】
解：由题意可知：1☆x=x2-x-1=0，
∴△=1-4×1×（-1）=5＞0，
∴有两个不相等的实数根
故选：A．
【点睛】
本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．
11．下列方程中，没有实数根的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
分别计算判别式 =b2-4ac，再根据计算结果判断根的情况即可找到没有实数根的方程．
【详解】 △
解：（1）∵a=1，b=-1，c=-2，
∴△=b2-4ac=（-1）2-4×1×（-2）=9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
所以A选项不符合题意．
（2）∵a=1，b=-1，c=1，
∴△=b2-4ac=（-1）2-4×1×1=-3＜0，
∴方程没有实数根．
所以B选项符合题意．
（3）∵a=1，b=-2，c=1，
∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，
∴方程有两个相等的实数根；
所以C选项不符合题意．
（4）∵x2=4，
∴可直接得到方程的解为2或-2，
所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式 =b2-4ac．当 ＞0，方程有两个
不相等的实数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 ＜0，方程没有△实数根． △
△ △
12．若关于x的一元二次方程 有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得 =36+36m≥0且m≠0，求出m的取值范围即可．
△【详解】
解：∵关于x的一元二次方程mx2+6x-9=0有两个实数根，
∴△≥0且m≠0，
∴36+36m≥0且m≠0，
∴m≥-1且m≠0，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式 =b2-4ac．当 ＞0，方程有两
个不相等的实数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 ＜0，方程没△有实数根．也△考查了一元二次方
程的定义． △ △
13．已知关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． 且 B． 且 C． D．
【答案】B
【分析】
根据方程有实数根得到．
【详解】
由题意得： ，即 ，且 ，
解得 且 ，
故选：B．
【点睛】
此题考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的三种情况是解题
的关键．
14．下列关于一元二次方程，说法正确的是（ ）
A．方程 配方变形为 B．方程 的解为
C．关于 的方程 有实数根，则 D．方程 的解为
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的解法及一元二次方程根的判别式来判断即可
【详解】
解：A.用配方法解方程 ，
，
，
∴ ，故A不正确；
B.用因式分解法解方程 ，
，
，
∴ ，故B不正确；
C.∵ 关于 的方程 有实数根，
∴当a=0，时， ，方程有实根，
当 时， ，解得 ，
综上所述，若方程有实根时，则 ，故C正确；
D.解方程 ，
，
，
，，故D不正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程及一元二次方程根的判别式，正确理解一元二次方程的解法是解本题的关键，
解题时运用了分类讨论思想．
15．下面是文明同学在考试中解答的填空题，其中答对的个数是（ ）
①方程 的解是 ；②已知m为方程 的一个根，则 的值
为2；③若关于x的方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ；④若关
于x的方程 的两根的平方和等于6，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
①解方程即可判断；
②根据方程的解求得m的值，代入原式求值即可判断；
③利用根的判别式即可求得k的取值范围；
④利用根与系数的关系即可求得 的值即可判断．
【详解】
① ，
因式分解得： ，
解得： ， ，故①错误；
②∵m为方程 的一个根，
∴ ，则 ，∴ ，故②正确；
③由题得：当 ，即 时，方程仅有一根，
当 时，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
综上：k的取值范围为 且 ，故③错误；
④∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
由根与系数的关系得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④正确，
则正确的有②④，
故选：B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的根，根的判别式以及根与系数的关系．灵活运用所学知识是
解答本题的关键．
16．下列说法不正确的是（ ）
A．打开电视剧，电视里播放《小猪佩奇》是偶然事件
B．了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查
C．一元二次方程 只有一个根D．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是 ， ，
甲的射击成绩稳定
【答案】C
【分析】
根据必然事件和偶然事件，抽样调查和普查，一元二次方程跟的判别式和方差依次判断即可．
【详解】
解：A. 打开电视剧，电视里播放《小猪佩奇》是偶然事件，正确，不符合题意；
B. 了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，正确，不符合题意；
C. 一元二次方程 中， ，有两个相等的实数根，故原说法错误，符
合题意；
D. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是 ， ，
甲的射击成绩稳定，正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查必然事件和偶然事件，抽样调查和普查，一元二次方程跟的判别式和方差，注意当 时，一
元二次方程有两个相等的实数根．
17．一元二次方程 −2x−1＝0，其解的情况正确的是（ ）
A．有两个相等的实数解 B．有两个不相等的实数解
C．没有实数解 D．不确定
【答案】B
【分析】
利用一元二次方程根的判别式，得出△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△＝0时，方程有两个相等
的实数根，当△＜0时，方程没有实数根．确定住a，b，c的值，代入公式判断出△的符号．
【详解】
∵△＝b2−4ac＝（−2）2−4×（−1）＝8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的应用在中考中是热点问题，特别注意运算的正确
性．
18．已知a，b是一元二次方程 的两个根，则 的值等于（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】B
【分析】
根据根与系数的关系以及方程的解的定义即可求出答案．
【详解】
解：∵a，b是一元二次方程 的两个根，
∴a2-2a=2020，
由根与系数的关系可知：a+b=2，
∴原式=a2-2a+2a+2b-3，
=2020+2（a+b）-3
=2020+2×2-3
=2021，
故选B．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
19．下列方程适合用因式分解法解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
本题可将选项先化简成 ，看是否可以配成两个相乘的因式，满足则方程适用因式分解．
【详解】
A、 ，适用公式法，不适合用因式分解法来解题；B、 ，即 ，适用公式法，不适合用因式分解法来解题；
C、 ，即 ，则 ，故适合用因式分解法来解题；
D、 ，适用公式法，不适合用因式分解法来解题；
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，
要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
20．若关于x的方程 没有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由关于x的方程mx2-2x+1=0没有实数根，而一元一次方程一定有实数根，所以mx2-2x+1=0一定是一元二
次方程．根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且△＜0，即（-2）2-4•m•1＜0，两个不等
式的公共解即为m的取值范围．
【详解】
解：∵关于x的方程mx2-2x+1=0没有实数根，
∴m≠0且△＜0，即（-2）2-4•m•1＜0，
解得m＞1，
∴m的取值范围为m＞1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数
根；当△＜0，方程有两个相等的实数根；当△=0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．
21．一元二次方程 的解为（ ）
A． B． C． ， D． ，
【答案】C【分析】
方程移项后，提取公因式（x+2），可得两个一元一次方程，解两个方程即可得答案．
【详解】
方程移项得：x(x+2)-(x+2)=0，
提取公因式得：(x+2)(x-1)=0，
x+2=0或x−1=0，
解得：x=1，x=-2，
1 2
故选：C．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：直接开平方法；分解因式法；公式法；配方法，
熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．
22．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2＋3x＋2＝0 B．﹣x2＋x＋2＝0 C．（x＋1）2＋2＝0 D．3（x﹣1）2﹣2＝0
【答案】C
【分析】
分别用一元二次方程根的判别式逐个判断方程的根的情况即可解答．
【详解】
解：A．x2＋3x＋2＝0中，△＝32﹣4×1×2＝1＞0，有两个不相等实数根；
B．﹣x2＋x＋2＝0中，△＝12﹣4×（﹣1）×2＝9＞0，有两个不相等实数根；
C．（x＋1）2＋2＝0中，△＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，没有实数根；
D．3（x﹣1）2﹣2＝0中，△＝（﹣6）2﹣4×3×1＝24＞0，有两个不相等实数根．
故答案为C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，当△＞0时，方程有两个不相等实数根；当△=0时，方程有两
个相等实数根；当△小于0时，方程没有实数根．
23．若关于x的一元二次方程x2＋x－3m＋1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞ B．m＜ C．m≥ D．m≤
【答案】C【分析】
关于x的一元二次方程 有两个实数根，即判别式△= ≥0，即可得到关于m的不
等式，从而求得m的范围；
【详解】
∵ 关于x的一元二次方程 有两个实数根，
∴ ≥0，
解得：m≥ ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，正确掌握根与判别式
的关系是解题的关键．
24．关于 的一元二次方程 有实数根，则 满足（ ）．
A． B． 且 C． D． 且
【答案】B
【分析】
由方程有实数根可知根的判别式b2-4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a一元一次不等式组，解
不等式组即可得出结论．
【详解】
解：由已知得：
，
解得：a≥1且a≠5．
故选：B．
【点睛】
本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解
决该题型题目时，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．25．若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式 =b2-4ac的意义得到m-2≠0且 ≥0，即（-2）2-4×
（m-2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范△围． △
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程（m-2）x2-2x+1=0有实数根，
∴m-2≠0且 ≥0，即（-2）2-4×（m-2）×1≥0，解得m≤3，
∴m的取值△范围是 m≤3且m≠2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式 =b2-4ac：当 ＞0，方程有两个不相等的实数
根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 ＜0，方程没有△实数根． △
26．x=△－2是关于x的一元二次方程2x2+3ax△－2a2=0的一个根，则a的值为（ ）
A．1或4 B．－1或－4 C．－1或4 D．1或－4
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的解的定义知，x=－2满足关于x的一元二次方程2x2+3ax－2a2=0，可得出关于a的方程，
通过解方程即可求得a的值．
【详解】
解：将x=－2代入一元二次方程2x2+3ax－2a2=0，
得： ，
化简得： ，
解得：a=1或a=-4．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的所有解都满足该一元二次方程
的关系式．
27．实数x满足 ，则 的值为( )
A．3 B．0 C．3或0 D．
【答案】A
【分析】
由 ，去分母可得： 利用分组分解法可得：
从而可得： 从而可得答案．
【详解】
解： ，经检验： 符合题意．
故选：
【点睛】
本题考查的是解分式方程，利用因式分解的方法解高次方程，分式的求值，掌握分组分解法分解因式解方
程是解题的关键．
28．方程 的解是（ ）
A． ， B． ， C． D． ，
【答案】B
【分析】
先移项、然后再运用因式分解法求解即可．
【详解】
解：
x（x-1）=0
则 ， ．
故答案为B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，掌握运用因式分解法解一元二次方程成为解答本题的关键．
29．若x=0是关于x的一元二次方程（a+2）x2- x+a2+a-6=0的一个根，则a的值是（ ）
A．a ≠2 B．a=2 C．a=-3 D．a=-3或a=2
【答案】B
【分析】
将x=0代入方程中，可得关于a的一元二次方程方程，然后解方程即可，注意a≥2这一隐含条件．
【详解】解：将x=0代入（a+2）x2- x+a2+a-6=0中，
得： a2+a-6=0，
解得：a=﹣3，a=2，
1 2
∵a+2≠0且a﹣2≥0，即a≥2，
∴a=2，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程方程的解、解一元二次方程、二次根式有意义的条件，理解方程的解的意义，熟练
掌握一元二次方程的解法是解答的关键，注意隐含条件a≥0．
30．如图，在矩形ABCD中，AB=14，BC=7，M、N分别为AB、CD的中点，P、Q均为CD边上的动点
（点Q在点P左侧），点G为MN上一点，且PQ=NG=5，则当MP+GQ=13时，满足条件的点P有（
）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【分析】
分三种情况讨论：当 在 的两侧时，设 则 当 在 的右侧时，设
当 都在 的左侧时，设 再利用勾股定理与平方差公式求解 ，从而可得答案．
【详解】
解：如图，当 在 的两侧时，设 则
矩形ABCD，M、N分别为AB、CD的中点，四边形 四边形 都是矩形，
由勾股定理得：
整理得：
如图，当 在 的右侧时，设
同理可得：解得： 不合题意舍去，
如图，当 都在 的左侧时，设
同理可得：
解得： 不合题意舍去，
综上：满足条件的 点只有 个，
故选：
【点睛】
本题考查的是矩形的性质与判定，勾股定理的应用，平方差公式的应用，一元二次方程的解法，掌握以上
知识是解题的关键．
二、填空题
31．已知关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是__________．
【答案】k 2且k 1
【分析】
当 时，一元二次方程有实数根，结合二次项系数不为0，列出不等式求解即可．
【详解】由题意得 ，
解得 且 ．
故答案为： 且 ．
【点睛】
本题考查根据一元二次方程根的情况求参数取值范围，熟记 时，一元二次方程有实数根是解题的关
键，注意一元二次方程的二次项系数不等于0．
32．若 ，且 ， ，则（1） 的值为______；（2）
的值为_____．
【答案】4 1
【分析】
（1）根据题意，a，b是一元二次方程 的两个不相等的实数根，利用根与系数关系定理求
解即可；
（2）变形 ， 得 ， ，化简后，利用（1）的结论计算
即可．
【详解】
（1）∵ ，且 ， ，
∴a，b是一元二次方程 的两个不相等的实数根，
∴a+b=4,
故答案为：4；
利用根与系数关系定理求解即可；
（2）∵ ， ，
∴ ， ，∴ = ，
∵ ，且 ， ，
∴a，b是一元二次方程 的两个不相等的实数根，
∴a+b=4,ab=1，
∴ = =1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数关系定理，熟练构造一元二次方程，灵活运用
根与系数关系定理是解题的关键．
33．已知关于x的一元二次方程 ﹣（2k+1）x+ +1＝0有两个不相等的实数根 ．若 ＝3，则
k的值为_____．
【答案】1
【分析】
利用判别式的意义得到 ＝ ，然后解不等式即可；
△
根据根与系数的关系得到2k+1＝3，然后解k的方程即可．
【详解】
解：（1）根据题意得 ＝ ，
△
解得k＞ ；
∵一元二次方程 ﹣（2k+1）x+ +1＝0有两个不相等的实数根 且 ＝3，
∴ =2k+1=3，
解得k＝1．
故答案为1．【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系定理，熟练两个定理，准确将定理数学符号化是解题
的关键．
34．关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0的根的情况是_____．
【答案】有两个不相等的实数根
【分析】
先计算判别式，再进行配方得到 ＝（k﹣1）2+4，然后根据非负数的性质得到 ＞0，再利用判别式的意
义即可得到方程总有两个不相等△的实数根． △
【详解】
解： ＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）
＝k2﹣△6k+9﹣4+4k
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+4，
∴（k﹣1）2+4＞0，即 ＞0，
∴方程总有两个不相等△的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点睛】
本题考查根的判别式以及配方法，只要涉及到一元二次方程根的情况，就要用到根的判别式，将根的判别
式先写出来，如果含有参数，则可利用配方法将多项式配成完全平方的形式，再进行分析.
35．若分式 的值为零，则 的值为_______．
【答案】
【分析】
根据分式的值为零的条件是分子为零而分母不为零，然后进行计算即可．
【详解】
解：∵分式 的值为零，
∴ 且 ，
解方程得， ， ；解不等式得， ，
∴
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了分式的值为零的条件和分式没有意义的条件，属于基础知识的考查，比较简单．
三、解答题
36．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ， ．
（1）求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得 成立？如果存在，求出m的值：如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）m＜1；（2）m=-1
【分析】
（1）由方程有两个不相等的实数根，那么△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的
取值范围；
（2）根据根与系数的关系即可得出x+x=-2（m-1），x•x=m2-1，由条件可得出关于m的方程，解之即可
1 2 1 2
得出m的值．
【详解】
解：（1）∵方程x2+2（m-1）x+m2-1=0有两个不相等的实数根x，x．
1 2
∴△=4（m-1）2-4（m2-1）=-8m+8＞0，
∴m<1；
（2）∵原方程的两个实数根为x、x，
1 2
∴x+x=-2（m-1），x•x=m2-1．
1 2 1 2
∵x2+x2=16+xx
1 2 1 2
∴(x+x)2＝16+3xx，
1 2 1 2
∴4（m-1）2=16+3（m2-1），
解得：m=-1，m=9，
1 2
∵m＜1，
∴m=9舍去，
2
即m=-1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出
根与系数的关系；（2）根据根与系数的关系得出m的值，注意不能忽视判别式应满足的条件．
37．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）x=2，x=6；（2）x=2，x=
1 2 1 2
【分析】
（1）用因式分解法求解即可；
（2）移项后用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）∵ ，
∴(x-2)(x-6)=0，
∴x-2=0，x-6=0，
∴x=2，x=6；
1 2
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴x-2=0，5x-2=0
∴x=2，x= ．
1 2
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练
掌握各种方法是解答本题的关键．
38．解下列方程：（1） ；
（2） ．
【答案】（1）x=1，x= ．（2） ， ．
1 2
【分析】
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【详解】
解：（1）∵5x（x-1）=3（x-1），
∴5x（x-1）-3（x-1）=0
∴（x-1）（5x-3）=0，
则x-1=0或5x-3=0，
解得x=1，x= ．
1 2
（1）
∵a=2，b=-7，c=-3，
∴△=（-7）2-4×2×（-3）=73＞0，
则 ，
即 ， ．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分
解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
39．若关于 的方程 有两个实数根，请求出实数 的取值范围．【答案】 取值范围为 且
【分析】
根据一元二次方程根的判别式计算即可；
【详解】
解：∵关于 的方程有两个实数根，
∴ 且 ，
∴ 且 ．
∴ 取值范围为 且 ．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键．
40．解方程．
（1）2x2﹣4x﹣3＝0；
（2）（x+1）（x+3）＝15．
【答案】（1）x＝1+ ，x＝1﹣ ；（2）x＝2，x＝﹣6
1 2 1 2
【分析】
（1）利用公式法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣3，
∴△＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣3）＝40＞0，
则x＝ ＝ ，
∴x＝1+ ，x＝1﹣ ；
1 2
（2）整理得：x2+4x﹣12＝0，∴（x﹣2）（x+6）＝0，
∴x﹣2＝0或x+6＝0，
解得：x＝2，x＝﹣6．
1 2
【点睛】
本题考查一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的各种解法并能灵活运用是解题关键 ．
41．解方程：
（1）x2-4x-3=0 （2）（x-3）+2x（x-3）=0
（3） （4）
【答案】 ；（2） ；（3） ；
（4） ．
【分析】
（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）提取公因式 因式分解，进一步求解可得；
（3）套用求根公式计算可得；
（4）整理为一般式后，利用因式分解法求解可得．
【详解】
解：（1）
∵ ，
∴ ，即 ，
则 ，
∴ ，
∴ ；（2）
∴ ，
则 或 ，
解得： ；
（3）
这里 ，
∴ ，
则 ，
∴ ；
（4）
整理得， ，
则 ，
所以 ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分
解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
42．（1）解方程：（2x﹣5）2＝9．（2）解方程：（x﹣3）2＝2（x﹣3）．
【答案】（1）x＝4，x＝1；（2）x＝3，x＝5
1 2 1 2
【分析】
（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：（1）（2x﹣5）2＝9．
开方得：2x﹣5＝±3，
解得：x＝4，x＝1；
1 2
（2）（x﹣3）2＝2（x﹣3）
移项得：（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0，
x﹣3＝0，x﹣3﹣2＝0，
解得：x＝3，x＝5．
1 2
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有：直接
因式分解法，公式法，配方法等．
43．用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）3x（x+2）=5（x+2）
（4）
【答案】（1） ；（2） ， ；（3） ；（4）
【分析】
（1）利用直接开平方法解一元二次方程，即可求出答案；
（2）利用公式法解一元二次方程，即可得到答案；（3）先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可得到答案；
（4）先整理方程，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可得到答案．
【详解】
解：（1） ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
（2） ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
（3） ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（4） ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握直接开平方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．
44．已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根
【答案】（1）证明见解析；（2）3
【分析】
（1）利用方程的判别式求解即可；
（2）将x=2代入方程求出m=2，得到方程为 ，求出方程的解 ，由此得到答案．
【详解】
解：（1）∵ ，
∴方程恒有两个不相等的实数根；
（2）将x=1代入方程，得 ，
∴ ，
解得m=2，
∴方程为 ，
解得 ，
∴方程的另一个根3．
【点睛】
此题考查一元二次方程根的判别式，方程的解，解一元二次方程，熟记一元二次方程根的判别式的三种情况、正确解一元二次方程是解题的关键．
45．解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)(x＋1)(x＋8)＝－12
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【分析】
（1）利用配方法解方程；
（2）去括号合并同类项，再利用因式分解法解方程；
（3）利用因式分解法解方程；
（4）利用因式分解法解方程．
【详解】
解：（1）
∴
∴ ；
（2）∴ ；
（3）
∴ ，
∴ ；
（4）
∴ ．
【点睛】
此题考查解一元二次方程：配方法及因式分解法，根据方程的特点选择恰当的解法是解题的关键．
46．用适当方法解下列方程
（1）144x2-1=0
（2）（3x-1）2=6．
（3）x2-5x+6=0
（4）
（5）3x（x-1）=2（x-1）
（6）x2-x-1=0【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
；（5） ；（6）
【分析】
（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用直接开平方法解方程；
（3）利用因式分解法解方程；
（4）利用因式分解法解方程；
（5）利用因式分解法解方程；
（6）利用公式法解方程．
【详解】
解：（1）144x2-1=0
∴ ；
（2）（3x-1）2=6
∴ ；
（3）x2-5x+6=0
（x-2）（x-3）=0
∴ ；（4）
（x-1）（3x-2）=0
∴ ；
（5）3x（x-1）=2（x-1）
3x（x-1）-2（x-1）=0
（x-1）（3x-2）=0
∴ ；
（6）x2-x-1=0
∵a=1，b=-1，c=-1，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
此题考查解一元二次方程，根据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键．
47．解方程：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ； ；（2） ，
【分析】
（1）移项，利用平方差公式解一元二次方程即可解答；（2）直接利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】
解：（1）原方程可化为 ，
则 ，
即 ，
∴ ； ；
（2）∵ ，
∴△= =3＞0，
∴ ，
∴ ， ．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，根据方程结构特点灵活选择简便解法是解答的
关键．
48．解答题：（1）用适当方法解方程： ．
（2）计算：
【答案】（1） ， ；（2）
【分析】
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）根据负整数指数幂，零指数幂和特殊角的三角函数值计算即可．【详解】
（1） ，
， ， ，
，
．
（2）原式=
．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程和实数的混合运算，掌握公式法，负整数指数幂，零指数幂和特殊角的三角
函数值是解题的关键．
49．解答下列各题：
（1）计算
（2）解方程：
【答案】（1） ；（2） ， ．
【分析】
（1）先化简各二次根式、计算二次根式的乘法，再合并同类二根式即可求解；
（2）利用因式分解法求解方程即可．【详解】
解：（1）
（2）将方程变形为： ，
，
， ．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握二次根式的混合运算法则和运算顺
序，根据方程特点灵活选用解一元二次方程的方法是解答的关键．
50．解下列方程．
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
【答案】（1） ， ；（2） ， ；（3） ， ；（4）
．
【分析】
（1）用因式分解法解方程即可；
（2）用配方法解方程即可；（3）用因式分解法解方程即可；
（4）先去分母，再解整式方程检验即可．
【详解】
解：（1） ，
，
，
或 ，
， ．
（2） ，
，
，
， ．
（
，
，
， ，
， ．
（4） ，两边同乘 ， ，
移动合并得 ，
解得 ，
检验：把 代入 ，
∴ 是原分式方程的解．
【点睛】
本题考查了一元二次方程和分式方程的解法，解题关键是熟练运用恰当的方法解一元二次方程，按照正确
的步骤解分式方程，注意：分式方程要检验．
51．阅读理解：
解方程时，我们经常将整体多次出现的部分打包进行换元处理，从而达到了降次、转整等目的，这一“神
奇”的方法叫换元法．
例如：解方程
解：设
原方程化为：
∴
∴ 或 ∴ ，
当 时，即
∴ 或
，
当 时，即
∴ 或∴ ，
∴原方程的解是： ， ， ，
请你利用换元法解方程：
【答案】x= 或x= 或x=3或x=-3
【分析】
设 ，然后解关于y的方程；再根据y值解关于x的方程．
【详解】
解： ，
设 ，则原方程化为 ，
∴ ，
∴解得：y=-1或y=2，
当y=-1时，即 ，
解得：x= 或 ；
当y=2时，即 ，
解得：x=3或-3，
综上：原方程的解为x= 或x= 或x=3或x=-3．
【点睛】
本题考查了换元法解一元二次方程．换元法就是把一个复杂的不变整体用一个字母代替，这样就把复杂的
问题转化为简单的问题．
52．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则
称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方
程”．
（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，求c的值；（2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值；
（3）若点（p，q）在反比例函数y＝ 的图象上，请说明关于x的方程px2+3x+q＝0是“倍根方程”；
（4）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，请说明2b2＝9ac．
【答案】（1）c的值为2；（2）0；（3）详见解析；（4）详见解析．
【分析】
（1）设出其中一个根，表示另一个根，根据根与系数的关系，求出方程的两个根，进而求出c的值，
（2）方程有一个根为2，由“倍根方程”的意义可知另一个根为1或4，当另一个根为1时代入方程可得
m﹣n=0，当另一个根为4代入方程可得4m﹣n=0，而代数式4m2﹣5mn+n2可分解为（m﹣n）（4m﹣n），
因此4m2﹣5mn+n2=（m﹣n）（4m﹣n）=0，
（3）点（p，q）在反比例函数y 的图象上，可得pq=2，再根据求根公式求出方程的两个根为x
1
，x ，进而判断是“倍根方程”，
2
（4）设方程两根为x，2x，根据根与系数的关系得到：x+2x= ，x•2x= ，化简后可得结论．
1 1 1 1 1 1
【详解】
（1）设一元二次方程x2﹣3x+c=0的一个根为x，则另一个根为2x，
1 1
由根与系数的关系得：x+2x=3，∴x=1，即一个根为1，而另一个根为2，∴c=1×2=2，
1 1 1
答：c的值为2．
（2）方程（x﹣2）（mx﹣n）=0的一个根为2，则另一个根为1或4，
当另一个根为1时，则﹣1×（m﹣n）=0，∴m﹣n=0，
当另一个根为4时，则2×（4m﹣n）=0，∴4m﹣n=0，∴4m2﹣5mn+n2=（m﹣n）（4m﹣n）=0，
答：代数式4m2﹣5mn+n2的值为0．
（3）∵点（p，q）在反比例函数y 的图象上，∴pq=2，
关于x的方程px2+3x+q=0的根为x ，即：x ，x ，∴x=2x，
1 2 1 2
因此是“倍根方程”．
（4）设方程两根为x，2x，根据根与系数的关系得到：x+2x= ，x•2x= ，∴x= ，
1 1 1 1 1 1 1
，∴ ，∴2b2=9ac．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及新定义“倍根方程”的意义，掌握一元二次方程根与系
数的关系和“倍根方程”的意义是解决问题的关键．
53．如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 倍，
那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程 的两个根是 和 ，则方程
就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程 是“倍根方程”，则 ＝ ．
（2）若关于 的一元二次方程 是“倍根方程”，则 ， ， 之间的关系为
．
（3）若 是“倍根方程”，求代数式 的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）0
【分析】
（1）根据“倍根方程”和根与系数之间的关系可直接求解.
（2）根据题目信息和根与系数的关系找出m,n之间的关系，再对代数式求解.
（3）根据倍根方程的定义找出m，n之间的关系，进行分类讨论即可求解.【详解】
（1）∵一元二次方程 是“倍根方程”
∴令2x=x，有x+ x=3，xx=c
1 2 1 2 1 2
∴c=2
（2）设x=m，x=2m是方程 的解
∴2m+m=- ，2m2=
消去m解得2b2=9ac
所以 ， ， 之间的关系为
（3）∵ 是“倍根方程”
∴方程的两个根分别为x=2和x= ，
∴ =4或 =1，即n=4m或n=m
当n=4m时，原式为（m-n）（4m-n）=0,
当n=m时，原式为（m-n）（4m-n）=0,
∴代数式 =0
【点睛】
本题属于阅读题型，需要有一定的理解和运用能力，关键是要理清题目的条件，运用所学知识求解.
54．若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手
点”．
（1）一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为 ；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函
数”，则a＝ ；
（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0的两根，求
它们的“x牵手点”．【答案】（1）（1，0），a＝﹣2；（2）“x牵手点”为（ ，0）或（ ，0）.
【分析】
（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐
标代入一次函数y=ax+2可求a的值；
（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-4=0，解得x=2，
1
x=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”．
2
【详解】
解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，
所以x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），
由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，
所以0＝a+2，
解得a＝﹣2；
（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”
∴ ，
∴a+b＝0．
∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根
∴a+b＝k＝0，
∴x2﹣4＝0，
∴x＝2，x＝﹣2．
1 2
①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为 ；
②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1的“x牵手点”为（ ，0 ）
∴综上所述，“x牵手点”为 或（ ，0）
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．55．阅读理解：
解方程： ．
解：方程左边分解因式，得
，
解得 ， ， ．
问题解决：
（1）解方程： ．
（2）解方程： ．
（3）方程 的解为 ．
【答案】（1） ， ， ；（2） ， ， ，
；（3） ， ．
【分析】
（1）先分解因式，即可得出一元一次方程和一元二次方程，求出方程的解即可；
（2）先分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可；
（3）整理后分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：（1） ，
∴ ，
∴ ， ，
解得： ， ， ；（2） ，
∴ ，
∴ ， ，
解得： ， ， ， ；
（3） ，
整理得： ，
开方得： ，
∴ ， ，
解方程 得： ， ；
方程 中 ，此方程无解，
所以原方程的解为： ， ，
故答案为： ， ．
【点睛】
本题考查了解高次方程，解一元二次方程，根的判别式等知识点，能把高次方向转化成低次方程是解此题
的关键．
56．（换元思想）阅读材料：
材料1 若一元二次方程 的两根为 、 ，则 ， .材料2 已知实数 、 满足 ， ，且 ，求 的值.
解：由题知 、 是方程 的两个不相等的实数根，根据材料1，得 ， .
∴ .
根据上述材料解决下面的问题：
（1）一元二次方程 的两根为 ， ，则 ， ___________；
（2）已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值；
（3）已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值.
【答案】(1)-3;(2) ;(3)13.
【分析】
（1）直接运用根与系数的关系可求得答案；
（2）利用 ， 满足 ， ， ， 可看作方程 的两实数
根．∴ ， ．然后用整体代入法的思想求解；
（3）设 ，代入 化简为 ，则 与 （即 ）为方程 的两实数
根，然后用整体代入法的思想求解.
【详解】
解：（1） ；
（2）∵ ， 满足 ， ，
∴ ， 可看作方程 的两实数根．∴ ， ．∴ ．
（3）设 ，代入 化简为 ，
则 与 （即 ）为方程 的两实数根，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】
熟练掌握根与系数的关系并灵活应用是解题的关键.
