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21.1 一元二次方程
考点一：一元二次方程的定义：
（1）等号两边都是 整式 ，只含有一个 未知数 （一元），并且 未知数的最高次数 是2（二次）的方
程，叫做一元二次方程．
（2）注意以下几点：①只含有 一个未知数；②未知数的最高次数是 2 ；③等号两边都是整式 ．
考点二：一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0(a≠0)．其中，ax2是 二次项 ，a是 二次项系数 ；bx是 一次项 ，
b是一次项系数 ；c是 常数项 ．
考点三：一元二次方程的根：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的 解 ，也叫做一元二次方程的根．方程
的解的定义是解方程过程中 验根 的依据．将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若
相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根．
题型一：一元二次方程的定义
1．如果（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程，则（ ）
A．m≠0 B．m≠3 C．m＝0 D．m＝3
2．下列方程是关于 的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：一元二次方程一般形式
4．将方程5x2+1＝4x化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．5，4，1 B．5，4，﹣1 C．5，﹣4，1 D．5，﹣4，﹣15．下列说法正确的是（ ）
A．方程8x2﹣7＝0的一次项系数为﹣7
B．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0
C．只有当k＝0时，方程kx2+3x﹣1＝x2为一元二次方程
D．当m取所有实数时，关于x的方程(m2+1)x2﹣mx﹣3＝0为一元二次方程
6．将一元二次方程 化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
题型三：一元二次方程的根
7．若 是关于x的一元二次方程 的一个根，则m的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．已知x＝2是一元二次方程 的一个解，则m的值是（ ）
A．6 B．－6 C．0 D．0或－6
9．若关于 的一元二次方程 的一个根是0，则 的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．
一、单选题
10．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．C． D．
11．一元二次方程 至少有一个根是零的条件是（ ）
A． 且 B．
C． 且 D．
12．已知 是关于x的一元二次方程 的一个根，则k的值为（ ）
A．4 B．－4 C．±1 D．±4
13．关于 的方程 是一元二次方程，则 的值为( )
A．-2 B．2 C．±2 D．1
14．把一元二次方程 化成一般形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．关于x的方程 的解是 ， （a，m，b均为常数， ），则方程
的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D．无法求解
16．m是方程 的根，则代数式 的值为（ ）
A．2018 B．2020 C．2021 D．2022
17．下列方程①x2﹣5x＝2022，② ，③ ，④ ，一定是关于x的一元二
次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．已知a是方程x2﹣2020x＋1＝0的一个根，则 的值为（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
19．若关于x的一元二次方程 的一个根是 ，则一元二次方程 必有一
根为（ ）．
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023一：选择题
20．已知 是一元二次方程 的一个根，则代数式 的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
21．若关于 的一元二次方程 有一根为2022，则方程 必有根为
（ ）
A．2022 B．2020 C．2019 D．2021
22．若 是关于x的一元二次方程 的一个根，则 的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
23．若a是 的一个根，则 的值是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
24．不等式组 的整数解是一个一元二次方程的两根，则该方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
25．已知关于 的方程 ，当 ________时，方程为一元二次方程．
26．若 是关于x一元二次方程 的一个根，则 _________．
27．若a是一元二次方程 的一个根，则 的值是___________．
28．下列方程：（1） （2） （3） （4） （5）
（6） ，其中，一定是关于x的一元二次方程的是___________________（填序号）．29．关于 的方程 的解是 ， （ ， ， 均为常数， ），则方程
的解是______．
30．已知关于 的一元二次方程 有一个根为2，则 的值为______．
31．（1）若(m﹣2)x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是________．
（2）一元二次方程(m+1)x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m＝________．
三、解答题
32．如果 是关于 的一元二次方程 的一个根，求 及另一个根．
33．已知m是方程x2−x−3=0的一个实数根，求代数式 的值．
34．若关于x的一元二次方程 的常数项为0，求m的值．
35．化简求值：已知a是方程 x2＋3x－2＝0的一个根，求代数式 的值．
36．已知 是方程 的一个根，求代数式 的值．
37．已知关于x的一元二次方程x2−(m+1)x+m+6=0的其中一个根为3．
（1）求m的值及方程的另一个根；
（2）若该方程的两根的值为一直角三角形的两边长，求此直角三角形的第三边长．1．B【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】∵（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程
∴m﹣3≠0
∴m≠3
故选：B
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，形如ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的方程叫做一元二次方程，注
意a≠0这个条件．解题的关键是熟记一元二次方程的定义．
2．B【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：A．该方程是分式方程，故本选项不合题意；
B．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．该方程是一元一次方程，故本选项不合题意；
D．该方程中含有两个未知数，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二
次方程．
3．D【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本不选项符合题意；
C、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、原方程整理得x2+x-3=0是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知
数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
4．C【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫
一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数
项进行分析即可．
【详解】解：5x2+1=4x可化为5x2-4x+1=0，
它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为5，-4，1．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须
先把一元二次方程化成一般形式．5．D【分析】根据一元二次方程的定义及一般形式可进行求解．
【详解】解：A、方程8x2﹣7＝0的一次项系数为0，故选项错误；
B、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），故选项错误；
C、当k﹣1≠0，即k≠1时，方程kx2+3x﹣1＝x2为一元二次方程，故选项错误；
D、当m取所有实数时，关于x的方程（m2+1）x2﹣mx﹣3＝0为一元二次方程是正确的．
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及一般形式，熟练掌握一元二次方程的定义及一般形式是解题的关键．
6．C【分析】根据一元二次方程定义解答．
【详解】解：一元二次方程 化为一般形式为 ，
二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，-5，-1，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记方程的一般形式的特点及各字母的名称是解题的关键．
7．C【分析】把x＝2代入x2﹣mx+2＝0，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值．
【详解】解：根据题意，得 ，即 ，
解得， ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次
方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次
方程的根．也考查了解一元一次方程．
8．B【分析】由2是一元二次方程x2 +x+ m = 0的一个解，将x= 2代入方程得到关于m的方程，求出方程的解，
即可得到m的值．
【详解】解：∵2是一元二次方程x2+x+m=0的一个解，
∴将x = 2代入方程得： 4+ 2+m= 0，
解得： m= -6．
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解，即为能使方程左右两边相等的未
知数的值．
9．C【分析】将 代入 中，求出 的值，再根据 ，即可确定 的值．
【详解】将 代入 中
解得
∵这是关于 的一元二次方程
∴解得
故
故答案为：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程解得定义、一元二次方程的定义是解题的关键．
10．D【分析】根据一元二次方程的定义判断选择即可．
【详解】A．当 时，原方程不是一元二次方程，故不符合题意；
B．原方程整理得： ，不是一元二次方程，故不符合题意；
C． 是一元三次方程，故不符合题意；
D．符合一元二次方程的定义，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查判断一元二次方程．掌握一元二次方程的定义是解题关键．
11．A【分析】将x=0代入原式即可求出c的值，另外注意a≠0．
【详解】解：由题意可知：a≠0，
当该方程至少有一个根为0时，
将x=0代入ax2+bx+c=0，
∴c=0，
综上，一元二次方程ax2+bx+c=0至少有一个根是零的条件是a≠0且c=0．
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义以及一元二次方程的解．
12．A【分析】将x=0代入方程计算求出k的值即可．
【详解】因为x=0是一元二次方程 的一个根，
所以 ，
解得 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，理解一元二次方程的根的定义是解题的关键．
13．B【分析】根据一元二次方程的解的定义，即可求解．
【详解】解：∵方程 是一元二次方程，
∴ 且 ，
解得： ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解
题的关键．14．A【分析】先把方程的左边按照平方差公式进行整理，再移项把方程化为 从而可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴
∴方程的一般形式为：
故选A
【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的一般形式： ”是解
本题的关键．
15．C【分析】可把方程a(x+m+2)2+b=0看作关于x+2的一元二次方程，从而得到x+2=−2，x+2=1，然后解两个一
次方程即可．
【详解】可把方程a(x+m+2)2+b=0看作关于x+2的一元二次方程，
而关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x=−2，x=1，
1 2
所以x+2=−2，x+2=1，
所以x=−4，x=-1．
1 2
故选C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法：形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平
方的方法解一元二次方程．
16．D【分析】根据一元二次方程解的定义得到 ，然后把 整体代入所求式子中求解即可．
【详解】解：∵m是方程 的根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．
17．B【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：①x2﹣5x＝2022，是一元二次方程；
② ，当a=0时不是一元二次方程；③ ，是一元二次方程；
④ ，整理后不含二次项，不是一元二次方程，
所以，一定是关于x的一元二次方程的是①③，共2个，
故选：B
【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方
程，一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
18．C【分析】将a代入方程 ，得到 ，即 ， ，再利用
换元法的思想整体代入代数式求值即可．
【详解】解：∵a是方程 的一个根，
∴ ，即 ， ，
∴
，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，利用换元法的思想
是解答本题的关键．
19．A【分析】对一元二次方程 变形，设t＝x＋2得到 ，利用
的一个根是 可得t＝2022，从而求出x即可．
【详解】解：对于一元二次方程 即 ，
设t＝x＋2，则可得 ，
而关于x的一元二次方程 的一个根是 ，
所以 有一个根为t＝2022，所以x＋2＝2022，
解得x＝2020，
所以一元二次方程 必有一根为x＝2020，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
20．B【分析】把 代入一元二次方程 得到 ，再利用整体代入法解题即可．
【详解】解：把 代入一元二次方程 得，
，
，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解、已知式子的值求代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，
掌握相关知识是解题关键．
21．D【分析】设 ，即 可改写为 ，由题意关于x的一元二次方程
有一根为 ，即 有一个根为 ，所以 ，x=2021．
【详解】由 得到 ，
对于一元二次方程 ，
设 ，
所以 ，
而关于x的一元二次方程 有一根为 ，
所以 有一个根为 ，
则 ，
解得 ，
所以一元二次方程 有一根为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．22．D【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程 得4a-b=2，再把 变形为
2+2（4a-b），最后整体代入求值即可．
【详解】解：∵ 是关于x的一元二次方程 的一个根，
∴4a-2-b=0，
∴4a-b=2，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，将代数式进行适当变形是解答本题的关键．
23．D【分析】由 是方程 的一个根，得 ，由此可求得 的值．
【详解】解： 是方程 的一个根，
，
即 ，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解与一元二次方程的关系是解题的关键．
24．D【分析】先解不等式组，可得解集为 ，故整数解为3和4，又因为不等式组的整数解是一个一元二
次方程的两根，故方程为 ，化简得 ，即可得出结论．
【详解】解：解不等式 得 ，
解不等式 得 ，
∴不等式组的解集为 ，
∴不等式组的整数解为3，4，
∵不等式组的整数解是一个一元二次方程的两根，
∴方程为 ，
化简得 ．
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解集、一元二次方程的解．
25． 【分析】根据一元二次方程的定义，即可求出答案．
【详解】解：∵若方程 是一元二次方程，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握二次项系数不等于0是解题的关键．
26． 【分析】直接将方程的解代入方程求解即可．
【详解】解：将 代入方程得：
，
解得：m= ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查已知一元二次方程的解求参数，准确运算是解题的关键．
27．6【分析】将a代入 ，即可得出 ，再把 整体代入 ，即可得出答案．
【详解】∵a是一元二次方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想是本题的关键．
28．（2）（4）##（4）（2）【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：（1） 中未知数的最高次数是1次，因此此方程不是一元二次方程；
（2） 是一元二次方程；
（3） 可以变形为 ，因此原方程不是一元二次方程；
（4） 中 的系数一定不等于0，因此此方程一定是一元二次方程；
（5） 中分母上含有未知数，是分式方程，不是整式方程；
（6） 中 时，不是一元二次方程；
综上分析可知，一定是关于x的一元二次方程的是（2）（4）．
故答案为：（2）（4）．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义，是解题的关键．
29． 【分析】可把方程 看作关于 的一元二次方程，从而得到 或，然后解两个一次方程即可．
【详解】解：把方程 看作关于 的一元二次方程，
而关于 的方程 的解是 ， ，
所以 或 ，，
所以 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根据换元法得到一元一次方程是解题的关键．
30．12【分析】将根代入一元二次方程，求出c的值即可．
【详解】解：将x=2代入方程可得： ，
解得： ．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的定义，将根代入方程求解是解题关键．
31． m≠2 1【分析】（1）根据一元二次方程的定义可进行求解；
（2）把x＝0代入方程即可求解．
【详解】解：（1）∵方程（m﹣2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，
∴m﹣2≠0，解得m≠2．
故答案为：m≠2；
（2）将x＝0代入（m+1）x2+x+m2﹣1＝0，
∴m2﹣1＝0，
∴m＝1或m＝﹣1，
∵m+1≠0，
∴m＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的定义及其它的解是解
题的关键，注意二次项系数不能为0．
32． ， ，另一根为x=1【分析】将x=-2代入解析式即可求出c的值，从而解出另一根．
【详解】解：∵x=﹣2，是关于x的一元二次方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ， ，
当c=0时， ，
即 ，解得 ， ，
当c=8时， ，
即 ，解得 ， ，
故 ， ，另一根为x=1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的解使得方程左右两边相等，能够理解一元二次方程的解
是解决本题的关键．
33．6．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2=m+3，则（m2-m）（m- +1）=（m+3-m）•
，然后合并后进行乘法运算即可．
【详解】解：∵m是方程x2-x-3=0的一个实数根，
∴m2-m-3=0，即m2=m+3，
∴（m2-m）（m- +1）=（m+3-m）•
=3×
=3×2
=6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
34．m＝﹣2【分析】根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m的值即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的常数项为0，
∴
解得：
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，熟练掌握其定义是解本题的关键．
35． 【分析】将代数式化简成 ，从已知求得 的值，代入求解即可．【详解】解：代数式 ，
∵a是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查分式化简求值以及一元二次方程，结合已知条件化简代数式是解题的关键．
36．7【分析】由题意易得 ，然后把代数式进行化简，最后整体代入求解即可．
【详解】解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴
．
37．（1）m=6，方程的另一根为4；（2）此直角三角形的第三边长为5或 ．【分析】（1）把x=3代入方程可
求得m的值，再解方程可求得另一根；
（2）分两种情况讨论，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）把x=3代入方程可得9-3（m+1）+m+6=0，
解得m=6，
当m=6时，原方程为x2-7x+12=0，
解得x=3，x=4，
1 2
即方程的另一根为4；
（2）设此直角三角形的第三边长为a，
当4是直角边时，
∴a= ；
当4是斜边时，
a= ；
故此直角三角形的第三边长为5或 ．
