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21.1 一元二次方程
【提升训练】
一、单选题
1．已知x=1是一元二次方程mx2–2=0的一个解，则m的值是（ ）.
A． B．2 C． D．1或2
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入mx2–2=0可得关于m的一元一次方程，解方程求出m的值即可
得答案.
【详解】
∵x=1是一元二次方程mx2–2=0的一个解，
∴m-2=0，
解得：m=2，
故选：B.
【点睛】
本题考查一元二次方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题，能够使方程左右两边相
等的未知数的值叫做方程的解；熟练掌握定义是解题关键.
2．已知 是一元二次方程 的一个根，则 等于（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】
直接把x=1代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．
【详解】
解：把x=1代入 得m-1-2+1=0，
解得m=2．
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．3．若a，b是方程x2+2x-2016=0的两根，则a2+3a+b=（ ）
A．2016 B．2015 C．2014 D．2012
【答案】C
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义得到a2+2a-2016=0，即a2+2a=2016，则a2+3a+b化简为2016+a+b，再根据
根与系数的关系得到a+b=-2，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】
∵a是方程x2+2x-2016=0的实数根，
∴a2+2a-2016=0，
∴a2=-2a+2016，
∴a2+3a+b=-2a+2016+3a+b=a+b+2016，
∵a、b是方程x2+2x-2016=0的两个实数根，
∴a+b=-2，
∴a2+3a+b=-2+2016=2014．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x，x，则x+x=- ，
1 2 1 2
x•x= ．也考查了一元二次方程的解．
1 2
4．下列方程属于一元二次方程的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
一元二次方程是指只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，根据定义判断
即可．
【详解】
解：A、是一元一次方程，故本选项错误；B、未知数的项的最高次数不是2，不是一元二次方程，故本选项错误；
C、是一元二次方程，故本选项正确；
D、不是整式方程，即不是一元二次方程，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看
化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
5．已知，a是关于m的方程 的一个根，则 的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】
根据方程的解的定义可得a2-2a=3，把2a2-4a-2变形为2(a2-2a)-2，再把a2-2a=3整体代入即可得答案.
【详解】
∵a是关于m的方程 的一个根，
∴a2-2a-3=0，
∴a2-2a=3，
∴2a2-4a-2=2(a2-2a)-2=2×3-2=4，
故选A.
【点睛】
本题考查一元二次方程的解的应用，正确变形，灵活运用整体代入的思想是解题关键.
6．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．（x+1）2＝2（x+1） B． ﹣2＝0
C．32x+2＝0 D．y2+2x＝﹣1
【答案】A
【解析】
【分析】
一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．
【详解】
解：A、由已知方程得到：x2﹣1＝0，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意;
B、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意;
C、该方程属于一元一次方程，故本选项不符合题意；
D、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，
一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．
7．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x ﹣2＝0 B．x+2y＝1
C．3x+ ＝4 D．2x（x﹣1）＝2x +3
【答案】A
【分析】
利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】
A、x2﹣2＝0是一元二次方程，符合题意；
B、x+2y＝1是二元一次方程，不符合题意；
C、3x+ ＝4不是整式方程，不符合题意；
D、方程整理得：2x+3＝0是一元一次方程，不符合题意.
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
8．用公式法解﹣x2+3x＝1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（ ）
A．﹣1，3，1 B．1，3，1 C．﹣1，3，﹣1 D．1，﹣3，﹣1
【答案】C
【分析】将方程整理为一元二次方程的一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项即可．
【详解】
解：将方程整理为一般形式为﹣x2+3x﹣1＝0，
可得二次项系数a＝﹣1，一次项系数b＝3，常数项为﹣1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式，能将方程整理为一元二次方程的一般形式是解题的关键.
9．下方程中是一元二次方程的是（ ）
A．x+1＝0 B．x+y＝2 C． ＝2 D．x ＝1
【答案】D
【解析】
【分析】
一元二次方程必须满足两个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0．
【详解】
A、该方程属于一元一次方程，故本选项错误．
B、该方程属于二元一次方程，故本选项错误．
C、该方程属于分式方程，故本选项错误．
D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，
一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．
10．下列方程中一定是关于x的一元二次方程是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二
次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．【详解】
解：A. 是一元二次方程；
B. 是分式方程，故不符合题意；
C. a=0时是一元一次方程，故不符合题意；
D. 是一元一次方程，故不符合题意.
故选A.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若
是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
11．下列方程属于一元二次方程的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2进行分析即可．
【详解】
A、 ，整理后未知数的最高次数是3次，不是一元二次方程，故此选项错误；
B、 ，没有确定a≠0，不是一元二次方程，故此选项错误；
C、 ，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项错误；
D、 是一元二次方程，故此选项正确；故选D．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：
“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
12．若关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则 的值是( )
A．1 B．0 C．－1 D．2
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入一元二次方程可得到关于m的一元一次方程，然后解一元一次
方程即可．
【详解】
把x=1代入x2-x+m=0得1-1+m=0，
解得m=0．
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因
为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
13．已知 为一元二次方程 的一个根，则 的值是（ ）
A．2016 B．2017
C．2018 D．2019
【答案】C
【分析】
把x=k代入已知方程可以得到关于k的一元二次方程2k2+14k-2=0，所以将“2k2+14k”看作整体进行解答即
可．
【详解】
解：∵k是一元二次方程 的一个根，
∴x=k满足该方程，即k2+7k-1=0，两边同乘以2得：2k2+14k-2=0，
解得k²+7k=2．∴ =2+2016=2018,
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义．解题过程中，利用了“整体代入”数学思想求得所求代数式的值．
14．下面关于 的方程中：① （ ， ， 为任意数）；② ；③
；④ （ 为任意实数）；⑤ ；⑥ .一元二次方程的个数
是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进
行分析即可．
【详解】
解：①ax2+x+b=0，当a=0时，该方程属于一元一次方程，故错误；② ,化简后为一元
一次方程，故错误; ③ 是分式方程，故错误;④ （ 为任意实数）, ⑥
符合一元二次方程的定义，故正确；
⑤ 属于无理方程，故错误；故错误；故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号
两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数
是2．
15．下列方程中是一元二次方程的是（ ）A．3x﹣ ＝0 B．ax2+bx+c＝0
C．（2x﹣1）（3x+2）＝0 D．x2﹣2y+1＝0
【答案】C
【分析】
A中式子 为分式，故该方程属于分式方程；
B中当a=0时，不是二次方程，故不属于一元二次方程；
C中方程化简为 ，属于一元二次方程；
D中方程含2个未知数，故不属于一元二次方程.
【详解】
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义，熟悉“元”、“次”的概念是解题的关键.
16．方程2x2+1＝3x的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．2 和 3 B．2 和﹣3 C．2 和﹣1 D．2 和 1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据方程的一般形式和二次项系数以及一次项系数的定义即可直接得出答案.
【详解】
解：2x2+1＝3x可以化为2x2﹣3x+1＝0，
∴二次项系数为2，一次项系数为﹣3；
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键.
17．下列方程中是关于x一元二次方程的为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】
A.未知数的最高次是3次的，故不是一元二次方程；
B.选项没有说明a≠0，故不是一元二次方程；
C. 是一元二次方程；
D.含有2个未知数，故不是一元二次方程.
故选C.
【点睛】
此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
18．一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．2，3 B．2，﹣3 C．2，﹣1 D．﹣3，0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在
做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别
叫二次项系数，一次项系数，常数项进行解答．
【详解】
解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别是2，﹣3．
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的一般形式，解题关键是掌握要确定二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把
方程化成一般形式．
19．把方程 化为一元二次方程的一般形式后为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】
二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．
【详解】
解：将等号左边根据多项式乘以多项式法则展开，再移项合并同类项,方程整理得：3x2+x-12=0， 故选D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=（a≠0），解决本题的关键是要熟练掌
握整式乘法和一元二次方程的一般形式.
20．将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可将 表示为关于x的一次多项式，
从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”． 已知 ，可用“降次法”求得
的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．无法确定
【答案】B
【分析】
先根据例子求得x2=x+1，再代入x4-3x-1即可得出答案．
【详解】
解：∵x2-x-1=0，
∴x2=x+1，
∴x4-3x-1=（x+1）2-3x-1
=x2+2x+1-3x-1
=x2-x
=x+1-x
=1，
故选B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解及整体代入思想，将四次先降为二次，再将二次降为一次．
21．关于 的方程 是一元二次方程，则( )A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的定义知：a-1≠0，据此可以求得a的取值范围．
【详解】
根据题意，得
a-1≠0，
解得，a≠1．
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．
22．下列关于x的方程 是一元二次方程，则m满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．据
此即可求解．
【详解】
由一元二次方程的定义可得m-2≠0，解得：m≠2．
故选C．
【点睛】
一元二次方程的一般形式是： （a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做
题过程中容易忽视的知识点．
23．已知x＝3是一元二次方程x2－2mx＋1＝0的一个解，则m的值是( )7
±
A． B． 2 C． D．
【答案】C
【分析】
先把 代入原方程得到关于m的一元一次方程，解该方程即可.
【详解】
把 代入原方程
得：
解得：
故选：C.
【点睛】
本题考查一元二次方程和一元一次方程，熟练掌握方程的基本解法是关键.
24．已知x＝1是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程解的定义把x=1代入x2+mx+2=0得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．
【详解】
解：把x＝1代入方程x2+mx+2＝0得1+m+2＝0，
解得m＝﹣3．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因
为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
25．下列方程中，是关于 的一元二次方程的是（ ）
A． （ 是实数） B．C． D．
【答案】D
【分析】
本题根据一元二次方程的定义解答.
【详解】
A、错误，当a=0时，是一元一次方程；
B、两边去括号后 会抵消变成一元一次方程；
C、错误，是分式方程；
D、正确，符合一元二次方程的定义．
故选D.
【点睛】
一元二次方程的一般形式是： 是常数且 特别要注意 的条件．这是在
做题过程中容易忽视的知识点.
26．如果a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，那么代数式8﹣a2+3a的值为：
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的解的定义得到a2-3a=5，再把8-a2+3a变形为8-（a2-3a），然后利用整体代入的方法计
算即可．
【详解】
把x=a代入x2−3x−5=0得a2−3a−5=0，
所以a2−3a=5，
所以8−a2+3a=8−(a2−3a)=8−5=3.
故答案为：3.
【点睛】
本题考查一元二次方程的解的定义和代数式求值.需要求代数式的值时，有时不需要求单个字母的值，如果
求得代数式的值（如本题中易得a2-3a=5），可整体代入.解决本题的关键是能利用加括号法则对代数式进
行变形.27．关于x的方程 是一元二次方程，则a的值是（ ）
A．a＝±2 B．a＝﹣2 C．a＝2 D．
【答案】C
【分析】
本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】
根据题意得 ，解得a＝2．
故选C．
【点睛】
要特别注意二次项系数不等于0这一条件，当二次项系数是0时，上面的方程就不是一元二次方程了．
28．下列方程中，关于 的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
依据一元二次方程的定义求解即可．
【详解】
解：A、ax2+bx+c=0，当a=0时，不是一元二次方程，故A错误；
B、 ，变形后为:2x+1=0，是一元一次方程，故B错误；
C、 ，含有两个未知数，故C错误；
D、 是一元二次方程，故D正确．故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．
29．若 是关于方程 的两个实数根，则实数 的大小关系
是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用a是关于x的一元二次方程（x-m）（x-n）+1=0的根得到（a-m）（a-n）=-1＜0，进而判断出m＜a＜
n，同理判断出m＜b＜n，即可得出结论．
【详解】
解：∵a是关于x的一元二次方程（x-m）（x-n）+1=0的根，
∴（a-m）（a-n）+1=0，
∴（a-m）（a-n）=-1＜0，
∵m＜n，
∴m＜a＜n，
同理：m＜b＜n，
∵a＜b，
∴m＜a＜b＜n．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解的定义，不等式的性质，判断出（a-m）（a-n）＜0是解本题的关键．
30．已知函数 的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c＋1）在该函数图象
的另外一支上，则关于一元二次方程ax2＋bx＋c = 0的两根x，x 判断正确的是（ ）
1 2
A．x ＋ x >1，x·x > 0
1 2 1 2
B．x ＋ x < 0，x·x > 0
1 2 1 2
C．0 < x ＋ x < 1，x·x > 0
1 2 1 2
D．x ＋ x 与x·x 的符号都不确定
1 2 1 2【答案】C
【解析】
试题分析：∵ ，且点A（a，c）在第一象限的一支曲线上，点B（b，c＋1）在第二
象限的一支曲线上，
∴ ，且 .∴ .
又∵x，x 是关于一元二次方程ax2＋bx＋c = 0的两根，
1 2
∴ .∴ .
故选C．
考点：1.反比例函数的性质；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.一元二次方程根与系数的关系；4.分类思
想的应用.
二、填空题
31．已知 是关于 的方程 的一个根，则 ___________.
【答案】2024
【分析】
把 代入方程得出 的值，再整体代入 中即可求解.
【详解】
把 代入方程
得： ，即
∴
故填：2024.
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，运用整体代入法是解题的关键.
32．若 是方程 的一个根，则 的值是________.
【答案】1
【分析】
将 代入方程 ，得到 ，进而得到 ， ，然后代入求值即可.
【详解】
解：由题意，将 代入方程
∴ ， ，
∴
故答案为：1
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，及分式的化简，掌握方程的解的概念和平方差公式是本题的解题关键.
33．若方程(a-3)x|a|-1+2x-8=0是关于x的一元二次方程，则a的值是_____.
【答案】-3
【分析】
根据一元二次方程的定义列方程求出a的值即可.
【详解】
∵方程(a-3)x|a|-1+2x-8=0是关于x的一元二次方程，
∴ -1=2，且a-3≠0，
解得：a=-3，
故答案为：-3
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方
程；一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)，熟练掌握定义是解题关键，注意a≠0的隐含条件，不要漏解.
34．如果 是一元二次方程 的一个根，那么 的值是__________.【答案】6
【分析】
根据 是一元二次方程 的一个根可得m2-3m=2，把 变形后，把m2-3m=2代入
即可得答案.
【详解】
∵ 是一元二次方程 的一个根，
∴m2-3m=2，
∴ =2(m2-3m)+2=2×2+2=6，
故答案为：6
【点睛】
本题考查一元二次方程的解的定义，熟练掌握定义并正确变形是解题关键.
35．一元二次方程（x－2）（x＋3）＝2x＋1化为一般形式是_______________．
【答案】x2－x－7＝0．
【分析】
把方程化为ax2+bx+c=0的形式即可求解．
【详解】
解：（x-2）（x+3）=2x+1，
去括号得x2+3x-2x-6=2x+1，
移项得x2+3x-2x-6-2x-1=0，
合并同类项得x2-x-7=0．
故答案为：x2-x-7=0．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．
这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，
b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
三、解答题
36．选用适当的方法解下列方程：
（1）（3﹣x）2+x2＝9；（2）（2x﹣1）2+（1﹣2x）﹣6＝0；
（3）（3x﹣1）2＝4（1﹣x）2；
（4） （x﹣1）2＝（1﹣x）
【答案】（1）x＝0，x＝3；（2）x＝2，x＝﹣ ；（3）x＝﹣1，x＝ ；（4）x＝1，x＝ ．
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】
（1）用完全平方式变形后，提出公因式求解即可；
（2）整理后分解因式得出两个一元一次方程，求解即可；
（3）先开平方，可得出两个一元一次方程，求解即可；
（4）移项后整理分解因式即可求解．
【详解】
解：（1）（3﹣x）2+x2＝9，
2x2﹣6x＝0，
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x＝0，x＝3；
1 2
（2）（2x﹣1）2+（1﹣2x）﹣6＝0，
（2x﹣1）2﹣（2x﹣1）﹣6＝0，
（2x﹣1﹣3）（2x﹣1+2）＝0，
x＝2，x＝﹣ ；
1 2
（3）（3x﹣1）2＝4（1﹣x）2；
3x﹣1＝±2（x﹣1），
3x﹣1＝2x﹣2或3x﹣1＝﹣2x+2，
x＝﹣1，x＝ ；
1 2
（4） （x﹣1）2＝（1﹣x），
（x﹣1）2+（x﹣1）＝0，（x﹣1）（ x﹣ +1）＝0，
x＝1，x＝ ．
1 2
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
37．解方程：
（1） （配方法）
（2）
【答案】(1) ， ；(2) ， .
【分析】
(1) 按照配方法的基本步骤求解即可；
(2) 用因式分解法求解即可．
【详解】
(1) ∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ， ，
故方程的两个根为 ， ；
(2) ∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ， ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，突出了配方法，熟练掌握配方法的基本要领，灵活选择求解方法是解题
的关键．
38．解方程：
【答案】 ， .
【分析】
把方程整理成一般形式，后用因式分解法求解即可.
【详解】
解：∵ ,
∴ ,
∴ ，∴ ，
∴ ， .
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，熟练进行方程的整理，并能灵活用因式分解法求解是解题的关键.
39．（1）解下列方程： ；
（2）已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根．求m的值．
【答案】(1) ；(2)m=±2.
【分析】
(1)计算根的判别式判断即可；
(2)利用判别式等于零，解关于m的一元二次方程即可.
【详解】
(1)∵ ，
∴a=1，b=4，c=1，
∴△= = >0，
∴ ，
∴ ；
(2) ∵ ，
∴a=1，b=m-2，c=-m+2，
∴△=
=
== ，
∵一元二次方程 有两个相等的实数根,
∴△=0，
∴ =0，
解得m=±2.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法，灵活运用根的判别式是解
题的关键.
40．已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论实数 m 取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根的平方等于 9，求m的值．
【答案】（1）详见解析；（2）m 的值为 1 或﹣5．
【分析】
（1）先由方程根的判别式 得出m代数式，根据其式子特征，变形从而得证；
（2）根据题意得到x=±3是原方程的根，将其代入列出关于m的新方程，通过解新方程求得m的值．
【详解】
（1）证明：∵△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，
∴无论实数 m 取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵方程有一个根的平方等于 9，
∴x＝±3，
当 x＝3 时，m＝1；当 x＝﹣3时， m＝﹣5．
综上所述，m 的值为 1 或﹣5．
【点睛】
本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时要分类讨论，这是此题的易错点．
41．先化简，再求值： ÷ ，其中m是方程 的根．【答案】
【分析】
先将括号内的进行通分，再将除法转换成乘法，从而进一步将含m的式子进行化简，最后整体代入求值即
可
【详解】
原式= = =
又因为m为 的根
所以
所以
所以原式=
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值以及一元二次方程根的意义，熟练掌握相关概念是关键
42．先化简，再求值： ，其中m是方程x2=6-2x的解.
【答案】 ；原式=-2.
【分析】
根据分式的运算法则可以化简题目中的式子，然后根据m是方程x2=6-2x的解，即可求得所求式子的值．
【详解】
==
=
=
=
，
∵m是方程x2=6-2x的解，
∴m2=6-2m，
∴原式= ＝−2．
【点睛】
此题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
43．已知两个方程 和 仅有一个相同的根，求 的值．
【答案】-1
【解析】
【分析】
设相同的根为 ，将a代入，即可得 ，进一步求解 即可.
【详解】
解：设相同的根为 ，由题意，得 ， ，
∴ ．
∴ ．∴ 或 ．
若 ，则方程有两个相同的根，不符合题意．∴ ．
把 代入 ，得 ．
【点睛】
本题主要考查对一元二次方程的解的定义的理解和掌握，能根据方程的特点进行代入计算是解此题的关键．
44．某中学数学兴趣小组对关于 的方程 提出了下列问题：
（1）是否存在 的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出 的值；
（2）是否存在 的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出 的值，并解此方程．
【答案】（1）1 （2） ， ； ，
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义可得 可求得m的值；
（2）当m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程，求出m的值，进一步解方程即可．
【详解】
解：（1）根据一元二次方程的定义，得
解得 ．
（2）由题可知，当 即 时，方程为一元一次方程．
此时方程为 ，解得 ；
当 即 时，方程为一元一次方程，
此时方程为 ，解得 ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程和一元一次方程的定义，（2）中容易漏掉m2+1=1的情况，应考虑全面．45．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ，1， ， （2） ，3，1，
【分析】
（1）利用完全平方公式首先去括号移项进而整理为一元二次方程的一般形式得出各项系数；
（2）去括号移项进而整理为一元二次方程的一般形式得出各项系数.
【详解】
解：（1）去括号，得 ．
移项、合并同类项，得 ．
∴它的二次项系数为1，一次项系数为 ，常数项为 ．
（2）去括号，得 ．
移项、合并同类项，得 ．
∴它的二次项系数为3，一次项系数为1，常数项为 ．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确化简得出一般形式是解题关键．
46．求符合下列条件的抛物线 的表达式.
（1）与 的开口大小相同，方向相反；
（2）经过点（-3,2）.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据两抛物线开口大小相同，方向相反时，二次项系数化为相反数解答即可；（2）把x=-3，y=2代入解析式求出a的值即可；
【详解】
解：（1）∴函数与 的开口大小相同，方向相反，
∴ ，
∴ ；
（2）将点（-3，2）代入 ，得
，解得 ，
∴所求抛物线的表达式为 .
【点睛】
本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，正确代入计算、理解函数性质是解题的关键．
47．已知关于x的一元二次方程x2+(2k−3)x−3k=0.
(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；
(2)如果方程有一个根为1，求k的值.
【答案】（1）详见解析；（2）k=-2
【分析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4k2+9＞0，由此即可证出此方程总有两个不相等的实
数根；
（2）将x=1代入原方程，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．
【详解】
（1）证明：在方程x2+（2k-3）x-3k=0中，
∵△=b2-4ac=（2k-3）2-4×（-3k）=4k2-12k+9+12k=4k2+9＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将x=1代入x2+（2k-3）x-3k=0中，可得：1+（2k-3）-3k=0，
解得：k=-2，
∴如果方程有一个根为1，k的值为-2．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相
等的实数根”；（2）将x=0代入原方程求出k值．
48．已知关于x的一元二次方程x2+2(m−1)x+m2=0的两实数根为x ，x ．
1 2
（1）求m的取值范围．
（2）设y=x +x ，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．
1 2
1 1
【答案】（1）m⩽ ；（2）m= ，最小值1．
2 2
【解析】
【分析】
（1）因为方程有两个实数根,故方程的根的判别式大于或等于0,据此列出不等式即可得出答案；（2）根据
根与系数的关系求解即可..
【详解】
（1）∵原方程有两个实数根，
∴b2−4ac=[2(m−1)] 2−4m2=−8m+4⩾0，
1
解得m⩽ ．
2
（2）∵x ，x 为x2+2(m−1)x+m2=0的两根，
1 2
1
∴y=x +x =−2m+2，且m⩽ ．
1 2 2
1
∵y随m值的增大而减小，故当m= 时，y取得最小值1．
2
【点睛】
本题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系，熟练掌握判别式的三种情况是正确解题
的关键.
49．若 是方程 的一个根，求 的值．【答案】 ．
【分析】
把 代入原方程，得到关于 的一元二次方程， 2-5 +1=0，化简得到 + =5,代入直接求值即可．
【详解】
由题意得， ，则 ．
两边同除以 ，得 ，
所以 ，两边同时平方，得 ，
所以 ，所以 ．
【点睛】
代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式 的值，
然后利用“整体代入法”求代数式的值．
50．方程 ．
（1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求此方程的解；
（2）m取何值时，方程是一元一次方程．
【答案】（1）m=－4，x=±1；（2）m=2或m=0或m=－2或m=1或m=－3
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义得到：m﹣2≠0且 ，解答即可；
（2）根据一元一次方程的定义得到：m－2=0或 或 且2m+2≠0．
【详解】（1）依题意得：m﹣2≠0且 ，解得：m=－4，此时方程为： ，解得：x=±1．即
当m=－4时，它是一元二次方程，方程的解为x=±1．
（2）依题意得：m－2=0，或 或 且2m+2≠0，解得：m=2或m=0或m=－2或m=1
或m=－3．
即当m=2或m=0或m=－2或m=1或m=－3时，它是一元一次方程．
【点睛】
本题考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，属于基础题，掌握定义即可正确解答该题．
51．解方程：（1） ；（2）
【答案】（1） ， ；（2） ， .
【解析】
【分析】
（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
（2）利用直接开平方法解方程得出即可．
【详解】
解：（1）x2−x=0
，
（2）
，
【点睛】
本题考查一元二次方程，熟练掌握计算法则是解题关键.
52．(1)已知x满足x2-4x-2=0，求(2x-3)2-(x+y)(x-y)-y2的值；
(2)如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长
线于点F．求证：DC=CF．【答案】（1）15；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）由x2-4x-2=0可得x2-4x=2，再将原式变形，整体代入即可；
（2）根据等边三角形的性质结合EF⊥DE，可求得 ，可得 .
【详解】
解：（1）
∵ ∴
∴原式=15
（2）∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查了整式化简求值和等边三角形的性质，整体代入与数形结合思想是解题关键.
53．在一元二次方程x2-2ax+b=0中，若a2-b>0，则称a是该方程的中点值.
（1）方程x2-8x+3=0的中点值是________；
（2）已知x2-mx+n=0的中点值是3，其中一个根是2，求mn的值.
【答案】(1)4；(2)48.
【分析】
(1)根据中点值的定义进行求解即可；
(2)根据中点值的定义可求得m的值，再将方程的根代入方程可求得n的值，由此即可求得答案.
【详解】
(1) ，
x2-2×4x+3=0，
42-3=13>0，
所以中点值为4，
故答案为4；
(2)由中点值的定义得： ， ，
，
将 代入方程，得： ， ，
.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根，新定义，弄懂新定义是解题的关键.
54．已知方程 ．
（1）当 为何值时，它是一元二次方程？
（2）当 为何值时，它是一元一次方程？
【答案】（1） （2） 或
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义解答本题；（2）根据一次方程的定义可解答本题．
【详解】
解：（1） 方程 为一元二次方程，
，
解得： ，
所以当 为 或 时，方程方程 为一元二次方程；
（2） 方程 为一元一次方程，
或
解得， 或 ，
故当 为2或 时，方程方程 为一元一次方程．
【点睛】
本题考查一元一次方程的定义、一元二次方程的定义，解题关键是理解一元一次方程的定义和一元二次方
程的定义，尤其是要注意一元一次方程的各种情况要考虑全面．
55．已知 、 是关于 的方程 的两个不相等的实数根.
(1)求实数 的取值范围;
(2)已知等腰 的一边长为7，若 、 恰好是 另外两边长，求这个三角形的周长.
【答案】（1）m>2; (2)17
【解析】
试题分析：（1）由根的判别式即可得；
（2）由题意得出方程的另一根为7，将x=7代入求出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．
试题解析：解：（1）由题意得△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=8m－16＞0，解得：m＞2；
（2）由题意，∵x≠x 时，∴只能取x=7或x=7，即7是方程的一个根，将x=7代入得：49﹣14
1 2 1 2
（m+1）+m2+5=0，解得：m=4或m=10．当m=4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17；
当m=10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；
故三角形的周长为17．
点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．
56．如图（1）在Rt 中, 且 是方程
的根．
（1）求 和 的值；
（2）如图（2），有一个边长为 的等边三角形 从 出发，以1厘米每秒的速度沿 方向移动，
至 全部进入与 为止，设移动时间为xs， 与 重叠部分面积为y，试求出y与x
的函数关系式并注明x的取值范围；
（3）试求出发后多久，点 在线段 上？
【答案】（1）a=4， ；
（2）
（3）出发后 s时，点D在线段AB上
【解析】
解：
（1）根据勾股定理可得，BC=4cm，即a=4．是方程 的根
，
．
(2)由（1）得 ，则等边三角形DEF的边长为 （cm）
如图（1），当 时，易知 ，而 ，
，
如图（2），当 时，
，
综上，（3）如图（3），若点D在线段AB上，过点D作DM⊥BC于点M，此时DM∥AC，
即 ，
又等边三角形DEF的边长2，
即出发后 s时，点D在线段AB上．
点睛：（1）根据勾股定理即可得到a的值． 把a的值代入方程即可得到m的值；
(2)由（1）得到等边三角形DEF的边长．
分两种情况讨论：①当 时，②当 时，分别求出y的解析式即可
（3）若点D在线段AB上，过点D作DM⊥BC于点M，此时DM∥AC， △BDM∽△BAC，得到
DM，再由等边三角形DEF的边长2，得到DM，建立方程，解方程即可．
