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21.1一元二次方程
一元二次方程的有关概念
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一
元二次方程．
注意：
识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次
数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
题型1：一元二次方程的识别
1.下列方程中，一元二次方程的个数为（ ）
1
（1）2x2−3=0 ；（2） x2+ y2=5 ；（3） x(x+3)=x2−1 ；（4） x2+ =2
x2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】下列方程中一元二次方程的个数为（ ）
1
①2x2－3＝0； ②x2＋y2＝5； ③√x2−4=5 ； ④x2+ =2.
x2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-2】在下列方程 4(x−1)(x+2)=5 ， x2+ y2=1 ， 5x2−10=0 ， 2x2+8x=0 ，
1 1
√x2−3x+4=0 ， = 中，其中一元二次方程的个数有（ ）
x4+2x2 2x2+1
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
题型2：一元二次方程定义与字母的值
2.若关于x的方程（m+2）x|m|＋2x-3＝0是一元二次方程，则m＝ .
【变式2-1】(a−2)xa2−2+3x−1=0 是关于 x 的一元二次方程，则 a 的值是 .【变式2-2】已知一元二次方程（m－2）x|m|＋3x－4＝0，那么m的值是 ．
一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如 ，这种形式叫做一
元二次方程的一般形式．其中 是二次项， 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数
项．
注意：
(1)只有当 时，方程 才是一元二次方程；
(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前
面的性质符号.
题型3：一元二次方程的一般形式
3.一元二次方程2x2+x＝3的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）．
A．2，0，3 B．2，1，3 C．2，0，－3 D．2，1，－3
【变式3-1】将方程(3x−2)(x+1)=8x−3化成一元二次方程的一般形式后，其二次项系数是
，一次项系数是 ．
【变式3-2】已知关于x的一元二次方程m(x－1)2＝－3x2＋x的二次项系数与一次项系数互为相反数，
则m的值为多少？
一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
题型4：一元二次方程的解-求字母的值
4.关于x的一元二次方程 x2−m=0 的一个根是3，则m的值是（ ）
A．3 B．−3 C．9 D．−9
【变式4-1】关于x的方程x2﹣6x+k＝0的一个根是2，则k的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式4-2】如果x＝1是关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的一个实数根，那么m＝ ；
题型5：一元二次方程的解-求代数式的值
5.若关于x的一元二次方程为ax2−3bx−5=0(a≠0)有一个根为x=2，那么4a−6b的值是
（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【变式5-1】已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，求代数式1+6m﹣2m2的值.
【变式5-2】已知 m 是方程 x2−3x+1=0 的一个根，求代数式 (m−2) 2+(m−3)(m+1) 的值．已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，代数式5m2﹣5m+2016的值．
一元二次方程根的重要结论
（1）若a+b+c=0,则一元二次方程 必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一
元二次方程 的一个根，则a+b+c=0.
（2）若a-b+c=0,则一元二次方程 必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是
一元二次方程 的一个根，则a-b+c=0.
（3）若一元二次方程 有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方
程 必有一根为0.
题型6：必有一根问题（赋值法）
6.若 a−b+c=0 ，则关于x的方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 必有一根是（ ）
A．1 B．±1 C．0 D．-1
【变式6-1】关于 x 的一元二次方程 ax2−bx−2020=0 满足 a+b=2020 ，则方程必有一根为（
）
A．1 B．−1 C．±1 D．无法确定
【变式6-2】若一元二次方程ax2+bx+c=0中，4a﹣2b+c=0．则此方程必有一根为 ．
1
知识储备：长方形面积=长×宽（ab）；正方形面积=边长×边长（a2）三角形面积=底×高÷2（ ah）；圆的
2
1
面积=πr2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2=[ h(a+b)]
2
列方程小技巧：用含未知数的式子分别表示求面积的必要边长，再根据题意套公式，列方程即可。
题型7：列一元二次方程-面积问题
7.有一个三角形，面积为30cm2，其中一边比这边上的高的4倍少1cm，若设这边上的高为xcm，
请你列出关于x的方程，并判断它是什么方程？若是一元二次方程，把它化为一般形式，并指出二次
项系数、一次项系数和常数项．
【变式7-1】
将边长为4的正方形剪去如图所示的图形（即图中阴影部分），剩余部分的面积为 9，可列出方程为
，将其化成一元二次方程的一般形式为
【变式7-2】《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年5月17日至30日在云南省
昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长为 32m，宽为20m的矩形场地ABCD
（如图所示）上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行、另一条与AD平行，其余部分种草坪，若
使每一块草坪的面积为95m2，求道路的宽度、若设道路的宽度为xm，则x满足的方程为（ ）A．（32﹣x）（20﹣x）＝95 B．（32﹣2x）（20﹣x）＝95
C．（32﹣x）（20﹣x）＝95×6 D．（32﹣2x）（20﹣x）＝95×6
题型8：列一元二次方程-实际问题
8.参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设
有x人参加活动，可列方程为（ ）
1
A． x(x−1)=10 B．x(x−1)=10
2
1
C． x(x+1)=10 D．2x(x−1)=10
2
【变式8-1】某剧场共有448个座位，已知每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少12，求
每行的座位数，如果设每行有x个座位，根据题意可列方程为 。
【变式8-2】建国70周年大阅兵时，以“同心共筑中国梦”为主题的群众游行队伍某表演方阵有8行
12列，后又增加了429人，使得增加的行数和列数相同．请你计算增加了多少行． 若设增加了x
行，由题意可列方程为 ．
一、单选题
1．将一元二次方程3x2−1=6x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，-1 B．3，1 C．3，-6 D．3，6
2．下列方程中，是关于x的一元二次方程为（ ）
A．x2﹣4x+5=0 B．x2+x+1=y
C． +8x﹣5=0 D．（x﹣1）2+y2=3
3．一元二次方程3x2﹣4x﹣5＝0的一次项系数是（ ）
A．1 B．3 C．﹣4 D．﹣54．下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
2
A．5x2- +2=0 B．ax2+bx+c=0
x
C．2x+3=6 D．（a2+2)x2-2x+3=0
5．若方程(a-2)x2+√ax=3是关于x的一元二次方程，则a的范围是（ ）
A．a≠2 B．a≥0 C．a≥0且a≠ 2 D．a为任意实数
6．关于 x 的一元二次方程 4x2−3x+m=0 有两个相等的实数根，那么 m 的值是（ ）
9 9 9 9
A． B． C．− D．−
16 8 8 16
7．把一元二次方程（x+2）（x-3）=4化成一般形式，得（ ）．
A．x2+x-10=0 B．x2-x-6=4 C．x2-x-10=0 D．x2-x-6=0
二、填空题
8．如果 (m−√3)x2+2x+m2−3=0 是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 .
9．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）2x2+3mx+3＝0有一实数根为﹣1，则m＝ .
10．若关于x的一元二次方程(a−1)x2+a2x−a=0有一个根是x=1，则a= ．
11．若(m−2)xm2−2+5x+4=0是关于x的一元二次方程，则m的值为
12．已知关于 x 的一元二次方程 x2 - 2√2x + k = 0 有两个相等的实数根，则 k 的值为 ．
13．方程 (n−3)x|n|−1+3x+3n=0 是关于x的一元二次方程，则 n= ．
三、解答题14．关于x的方程
(m−3)xm2−7−x=5是一元二次方程，则m是多少？
15．已知关于x的一元二次方程（m+3）x2+4x+m2+4m+3=0的一个根为0．试求m的值．
