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第21章 一元二次方程
21.1一元二次方程
1．只含有 一 个未知数，并且未知数的最高次数是 2 ，这样的 整式 方程，叫做一元二次方程．判
别一个方程是不是一元二次方程，必须满足①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是
2；④二次项系数不能为0。
2．一元二次方程的一般形式为：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中 a 为二次项系数， b 为一次项系数， c 为常
数项，注意各项系数的符号。
21.2.1配方法
1．解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“ 降次 ”，转化为两个 一元一次方程 。
2．当 P≥0时，x2 = p 的解为 ，（mx+n）2=p的解为 (m≠0)．
3．通过配成 完全平方式 来解一元二次方程的方法叫做配方法。
4．配方法一般步骤：
(1)化二次项系数为l，并将含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边；
(2)配方：方程两边同时加上 一次项系数的一半的平方 ，使左边配成一个完全平方式，写成
(m x +n) 2 =p 的形式；
(3)若p ≥ 0，则可直接开平方求出方程的解，若p ＜ 0，则方程无解．
21.2.2公式法
1．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)成立的条件是 a≠ 0 ，它的求根公式是 。
2．用公式法解一元二次方程的思路应是：
(1)将方程化成 一般形式 ；
(2)写出相应的a、b、c的值并计算△的值；(3)当△ ≥ 0 时，可直接套用公式得出方程的解。
3．一元二次方程(ax2+bx+c=0(a≠0)
(1)当 b 2 -4a c ＞ 0 时，有两个不相等的实数根；
(2)当 b 2 -4ac= 0 时，有两个相等的实数根；
(3)当 b 2 -4a c ＜ 0 时，没有实数根。
21.2.3因式分解法
1．当一元二次方程的一边为0，而另一边易分解成两个一次因式的乘积，令每个因式分别等于0，得到两个
一元一次方程 ，从而实现降次，这种解法叫作因式分解法。
2．用因式分解法解一元二次方程的步骤：
九年级数学（上）知识要点 第 1 页 共 10 页(1)方程的一边化为0；
(2)将方程另一边分解成 两个一次因式的积 的形式；
(3)令每个因式分别等于0，即得到两个一元一次方程；
(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
1．如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x、x，那么x+x= ，xx= ．
1 2 1 2 1 2
2．在应用根与系数关系式时应注意两个条件：
(l) 二次项系数不为 0 。
(2) △ ≥ 0 。
21.3实际问题与一元二次方程
1．列方程解应用题的一般步骤：
(1)审：审清题意，明确问题中的已知量和 未知量 ；
(2)设：设未知数，可以直接设也可以 间接设 ；
(3)列：依题意构建方程；
(4)解方程，求出未知数的值；
(5)检验作答．
2．构建一元二次方程来解决实际问题时，必须验证方程的解是否符合 实际意义 。
3．面积问题：求不规则图形的面积问题，往往把不规则图形转化成规则图形，找出各部分面积之间的关系，
再运用规则图形的面积公式列出方程。
4．利润=（ 售价 - 进价 ）× 销售量 。
利润率=
第22章 二次函数
22.1.1二次函数
一般地，形如 _ y=a x 2 +b x +c(a≠0) _（ a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，其中__x_是自变量，a、
b、c分别是函数解析式的 _ 二次 __项系数、 _ 一次 __项系数、 常数 __项。
22.1.2二次函数y=ax2图象和性质
1．二次函数y= ax2 的图象是一条 抛物线 ，其对称轴为 y 轴，顶点坐标为 原点 。
2．抛物线y= ax2 与y= - ax2 关于 x 轴对称。抛物线y= ax2 ，当a>0时，开口向 上 ，顶点是它的最 低
九年级数学（上）知识要点 第 2 页 共 10 页点；当a<0时，开口向 下 ，顶点是它的最 高 点。 随着 的增大，开口越来越 小 。
22.1.3二次函数y=ax2+k的图像和性质
1．二次函数y= ax2+k 的图象是一条 抛物线 ．它与抛物线y= ax2的 形状 相同，只是 顶点位
置 不同，它的对称轴为 y 轴，顶点坐标为 (0 , k ) __。
2．二次函数y= ax2+k 的图象可由抛物线y= ax2 平移 得到．当k >0时，抛物线y= ax2 向上平移 k
个单位得y= ax2+k。 当k<0时，抛物线y= ax2 向__ 下 __平移 个单位得y= ax2+k 。
22.1.3二次函数y=a（x-h）2的图像和性质
1．二次函数y= a（x-h）2 的图象是 抛物线 ，它与抛物线y= ax2的 形状 相同，只是 位置
不同；它的对称轴为直线 x =h ， 顶点坐标为 (h,0 ) ．
2．二次函数y= a（x-h）2的图象可由抛物线y= ax2 平移 得到。当h>0时，抛物线y= ax2向 右 平移h
个单位得y= a（x-h）2；当h<0时，抛物线y= ax2向 左 平移 个单位得y= a（x-h）2 。
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质
1．二次函数y=a（x-h）2+k的图象是 抛物线 ，它与抛物线y= ax2的 形状 相同，只是 位置
不同；其对称轴为直线 x =h ，顶点坐标为_ _ (h , k) 。
2．二次函数y=a（x-h）2+k，当a>0时，开口向 上 ，有最 小 值为 k ，在对称轴的左侧，y随x的增
大而 减少 ，右侧相反；当a <0时，恰好相反。
3．把抛物线y= ax2'向左（或右），向上（或下）平移，可得到抛物线y=a（x-h）2+k，其平移方向和距离由 h ，
k 值决定．
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
1．二次函数y =ax2 +bx +c(a≠0)通过配方可化为 的形式，它的对称轴是 ，
顶点坐标是 ，当a>0时，在对称轴的左侧y随x的增大而 减小 ，在对称轴右侧y随x的增大而
增大 ；当a<0时，在对称轴的左侧y随x的增大而 增大 ，在对称轴的右侧y随x的增大而_ __ 减小 _ 。
2．二次函数y =ax2+bx+c的图象与y= ax2的图象 形状相同 ，只是 位置 不同；y =ax2+bx+c的
图象可以看成y=ax2的图象上、下平移或左、右平移得到的。
3． 一般式y =ax2+bx+c：已知图象上 任意三 点坐标或 三 对x、y值，分别代入一般式，可以求
得函数解析式。
4．顶点式y=a（x-h）2+k：已知抛物线 顶点 坐标和另 一 点坐标，可求得解析式。
九年级数学（上）知识要点 第 3 页 共 10 页5．交点式y=a（x-x）（x-x），其中x、x 是图象与x轴两交点的横坐标，还需要一个异于交点的点的坐标，适
1 2 1 2
合此特点的抛物线设为交点式可求得解析式。
22.2二次函数与一元二次方程
1．一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是二次函数y =ax2+bx+c，当 y=0 时，自变量x的值，它是二次
函数的图象与x轴交点的 横坐标 。
2．抛物线y =ax2+bx+c与x轴交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式的关系：当b2 -4ac<0时，抛
物线与x轴 无 交点；当b2 -4ac =0时，抛物线与x轴有 一 个交点（即顶点在x轴上）；当b2
-4ac >0时，抛物线与x轴有 两 个交点。
3．抛物线y =ax2+bx+c的图象与字母系数a、b、c之间的关系：
(1)当a>0时开口 向上 ，当a<0时开口 向下 。
(2)若对称轴在y轴的左边，则a、b 同号 ；若对称轴在y轴的右边，则a、b 异号 ；
(3)若抛物线与y轴的正半轴相交，则c ＞ 0；若抛物线与y轴的负半轴相交，则c ＜ 0；若抛物线经
过原点，则c = 0。
22.3实际问题与二次函数
1．求二次函数y =ax2+bx+c 最值的方法：
(1)用配方法将y =ax2+bx+c 化成y=a（x-h）2+k的形式，当自变量x= h 时，函数y有最大（小）值为 k ；
(2)用公式法，当x= 时，二次函数y有最大（小）值
2．面积最值问题应设图形的一边长为 自变量 ，所求面积为因变量，建立 二 次函数 模型，利用二次
函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的 取值范围 。
3．建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤：
(1)根据题意建立适当的 平面 直角坐标系 ；
(2)把已知条件转化为 点的坐标 ；
(3)合理设出函数 解析式 ；
(4)利用 待定系数 法求出函数解析式；
(5)根据求出的函数解析式进一步分析、判断并进行有关的计算。
第23章 旋转
23.1图形的旋转
１．图形旋转的定义：把一个图形绕着平面内某一点O转动一定的角度就叫做图形的 旋转 ，点O叫作
九年级数学（上）知识要点 第 4 页 共 10 页旋转中心 ，转动的角度叫作 旋转角 。
2．图形旋转的性质：
(l)对应点到旋转中心的距离 相等 ；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 旋转角 ；
(3)旋转前后的图形 全等 ( 或重合 ) 。
3．在旋转的过程中，要确定一个图形旋转后的位置，除了应了解图形原来的位置外，还应了解 旋转中心
、 旋转方向 和 旋转角 。
4．旋转作图的步骤：
(1)首先确定 旋转中心 、旋转方向和 旋转角 ；
(2)其次确定图形的关键点；
(3)将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度；
(4)连接 对应点 ，形成相应的图形。
23.2.1中心对称
1．把一个图形绕着点O旋转180°，能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于点O 对称
或 中心对称 ，点O叫作 对称中心 ，这两个图形中的对应点叫作关于中心的 对称点 。
2．中心对称的两个图形，对称点的连线都经过 对称中心 ，而且被 对称中心 平分，中心对称的两
个图形是 全等图形 。
23.2.2中心对称图形
1．把一个图形绕着某一个点旋转 180 ° ，如果旋转后的图形能够与原来的图形 重合 ，那么这个
图形叫作中心对称图形，这个点就是它的 对称中心 。
2．如果将中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个图形的整体就是 中心对称图形 ；反过来，如
果将一个中心对称图形沿过对称中心的任一条直线分成两个图形，那么这两个图形成 中心对称 。
23.2.3关于原点对称的点的坐标
1．若P(x，y)与P’关于原点对称，则P’的坐标为 ( - x ， -y ) ；
2．点P(x，y)，P( - x，y)，P(x，- y)，P( - x，- y)．则点P与点P 的关系是 关于 y 轴对称 ，点P与点P 的关
1 2 3 1 2
系是 关于 x 轴对称 ，点P与点P 的关系是 关于原点对称 。
3
第24章 圆
24.1.1圆
九年级数学（上）知识要点 第 5 页 共 10 页1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O 旋转一周 ， 另一端点 所形成的图形叫作圆。
这个固定的端点O叫作 圆心 ，线段OA叫做 半径 。
2．连接圆上任意两点间的线段叫作 弦 ，圆上任意两点间的部分叫作 弧 ，直径是经过同圆心
的弦，是圆中最长的弦。
3．在同圆或等圆中，能够 互相重合 的弧叫等弧．
4．确定一个圆有两个要素，一是 圆心 ，二是 半径 ，圆心确定 位置 ，半径确定 大小
。
24.1.2垂直于弦的直径
1．圆是 轴 对称图形，它的对称轴是 经过圆心 的直线；圆又是 中心 对称图形，它的对称中
心是 圆心 。
2．垂直于弦的直径的性质定理是 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 。
3．平分弦（不是直径）的直径 垂直 于弦，并且平分 弦所对的两条弧 。
24.1.3弧、弦、圆心角
1．顶点在 圆心 的角叫作圆心角．
2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等 ，所对的弦 相等 ；两个圆心角及它们所对的
两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么其余各组量也 相等 。
24.1.4圆周角
1．顶点在 圆周上 ，并且 两边都与圆相交 的角叫作圆周角．
2．在同圆或 等圆 中，同弧或 等弧 所对的圆周角 相等 ，都等于这条弧所对的 圆心角
的一半。
3．半圆（或 直径 ）所对的圆周角是 直角 ；90°的圆周角所对的弦是 直径 。
4．如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫作 圆内接多边形 ，这个圆叫作 多边
形的外接圆 圆内接四边形对角 互补 。
24.2.1点和圆的位置关系
1．如图，⊙O的半径为r．
(1)点d在⊙O外，则OA ＞ r；点B在⊙O上，则OB = r；点C在⊙O内，则
OC ＜ _ _ r。
(2)若OA>r，则点d在⊙O 外 ；若OB =r，则点B在⊙O 上 ；若OC<r，则点C在⊙O 内 。
九年级数学（上）知识要点 第 6 页 共 10 页2．在同一平面内，经过一个点能作 无数 个圆；经过两个点可
作 无数 个圆，经过 不在同一直线上 的三个点只能作一个圆。
3．三角形的外心是三角形外接圆的圆心，此点是 三边垂直平分线的交点 。
4．反证法首先假设命题的 结论 不成立，经过推理得出矛盾，由此判定假设 错误 ，从而得到原命
题成立。
24.2.2直线和圆的位置关系
1．直线和圆有 相交 、 相切 、 相离 三种位置关系；
2．直线a与⊙O 有唯一 公共点，则直线a与⊙O相切；直线b与⊙O 有两个 公共点，则直线b与
⊙O相交；直线c与⊙O 没有 公共点，则直线c与⊙O相离。
3．设⊙O的半径为r，直线到圆心的距离为d，则：
(1)直线l 与⊙O 相离 ，则d ＞ r；
1
(2)直线l 与⊙O 相切 ，则d = r；
2
(3)直线l 与⊙O 相交 ，则d ＜ r。
3
4．切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线。
5．切线的性质定理：圆的切线 垂直于经过切点的半径 。
6．经过 圆外 一点作圆的切线，这点和切点之间 线段 的长，叫作这点到圆的切线长。
7．圆的切线长定理：从圆外一点可以引圆的 两 条切线，它们的切线长 相等 ，这一点和圆心的连
线 平分 两条切线的夹角。
8．与三角形各边都 相切 的圆叫作三角形的内切圆，圆心叫作三角形的 内 心，它是三角形 三内
角平分线 的交点。
＊圆和圆的位置关系
在同一平面内，两个半径不同的圆之间有下列五种位置关系：
外离 外切
相交 内切 内含
如果两圆的半径分别为r 和r （r ＜r ），圆心距为d，则:当两圆外离时 _d ＞ r +r ；当两圆外切时
1 2 1 2 1 2
九年级数学（上）知识要点 第 7 页 共 10 页__d=r +r__；当两圆相交时r-r ＜ d ＜ r+r_；当两圆内切时_d=r -r ；当两圆内含时 _ 0 ≤ d ＜ r -r 。
1 2 2 1 1 2 2 1 2 1
24.3正多边形和圆
1．__各边相等__、__各角相等__ 的多边形是正多边形。
2．只要把一个圆分成 相等 的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形
的 外接 圆。
3．一个正多边形的外接圆的 圆心 叫作这个正多边形的中心，外接圆的 半径 叫作这个正多边形
的半径，正多边形每一边所对的 圆心角 叫作正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做
正多边形的 边心距 。
4． 一股地，正n边形的一个内角的度数为 ，中心角的度数等于 ，正多边形的中心角与外角的
大小 相等 。
24.4弧长和扇形面积
1．在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长是圆周长C= ，所以n°的同心角所对的弧长为l
= 。
2．在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆的面积s= ，所以圆心角为n°的扇
形面积是S = 。
扇形
3．用弧长表示扇形面积为 ，其中l为扇形弧长，R为半径。
4．圆锥是由一个 底 面和一个 侧 面围成的，我们把连接圆锥 顶 点和底面圆周上 任意
一点的线段叫作圆锥的母线。
5．圆锥的侧面展开图是一个 扇 形，圆锥的母线是扇形的 半径 ，圆锥底面圆的周长是扇形的
弧长 ，圆锥侧面积是扇形的 面积 。
6．如图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径是 l ，扇
形的弧长是 2π r ，因此圆锥的侧面积为 π r l ，h、r、l之问满是的关系式为
。
第25章 概率初步
25.1.1随机事件
１．在一定条件下，有些事件 必然 会发生，这样的事件称为必然事件。
九年级数学（上）知识要点 第 8 页 共 10 页2．在一定条件下，有些事件必然 不会 发生，这样的事件称为不可能事件。
3．在一定条件下，可能 发生 也可能 不发生 的事件，称为随机事件。
4．生活中的事件可分为 确定性 事件和 随机 事件，其中确定性事件又分为 必然 事件和 不
可能 事件。
25.1.2概率
1．一般地,对于一个随机事件A，我们把刻画其发生_可能性大小_的数值,称为随机事件A发生的概率,记为
__P(A)__.
2．当试验具有以下特点时：①每次试验，可能出现的结果只有__有限__个；②每次试验，各结果出现的可能
性_ _ 相等 __。可以从事件所包含的__ _ 各种可能 的结果数在__全部可能的结果数中所占的_ 比 __，分析
出事件发生的概率。
3．一般地，如果在一次试验中，有_ n _种可能的结果，并且它们发生的可能性都__ 相等 _ _，事件A包含其
m
PA
中的_ m _ 种结果，那么事件A发生的概率为 n 。
4．当A为必然事件时，P（A）=_1_；当A为不可能事件时，P（A）=_0_；当A为随机事件时，_0_<P(A)< _1 _ ，
即事件发生的可能性越大，它的概率越接近_1__；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近_0__。
25.2用列举法求概率
m
1．古典概率：即一个实验有n个结果，而事件A包含了其中的rn个结果，则P(A)= n 。
2．用古典概率定义求概率，必须具备两个条件：
一是一次实验中，可能出现的结果有 有限 个，各种结果发生的可能性 相等 。二是每个基本事件
出现的可能性 相同 。
3．用概率的大小可以判断游戏是否 公平 。
4．当一次试验要涉及两个因素并且可能出观的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常
采用 列表 或画 树状 法。
5．对于二元事件（两次型问题）要分清摸球放回与不放回。
6．若试验只有两步，用 列表法 和 树状法 都可以．若试验在三步或三步以上，只能用 画树状图
来计算。
25.3利用频率估计概率
1．对一般的随机事件，在同样条件下做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的 频率
总在一个 固定 数的附近摆动，显示出一定的稳定性。
2．一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率里会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概
九年级数学（上）知识要点 第 9 页 共 10 页m
率P(A)= P = n 。
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