文档内容
21.1 一元二次方程
一、教学目标
（1）会根据简单的实际问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想.
（2）了解一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式.
（3）会判断一个数是否是一个一元二次方程的解及利用他们解决一些具体问题.
二、教学重难点
（1）教学重点：一元二次方程的定义及其一般形式，一元二次方程的根；
（2）教学难点：通过列出一元二次方程来解决实际问题；
知识点一：一元二次方程的定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元
二次方程.
【提醒】
由一元二次方程的定义可知，只有同时满足以下三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知
数的最高次数是2.这样的方程才是一元二次方程.
例1.下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．xy+2=1 B． C．x2=0 D．ax2+bx+c=0
例2．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+ =1 B．ax2+bx+c=0 C．（x+1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y=0
变式1.若关于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）A．m≠2 B．m=2 C．m≥2 D．m≠0
变式2．若关于x的方程ax2﹣3x=2x2﹣2是一元二次方程，则a的值不能为（ ）
A．2 B．﹣2 C．0 D．3
知识点二：一元二次方程一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax²+bx+c=0(a≠0)，这种形
式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax²称为二次项，bx成为一次项，c称为常数项，a为二次项系数，
b为一次项系数.
【提醒】
1. 任何关于x的一元二次方程都可以化成ax²+bx+c=0(a≠0)的形式，其中“a≠0”是一元二次方程一般
形式的一个重要组成部分，也是一元二次方程的判断标准之一，而b,c可以为0.
2.任何一个一元二次方程经过整理(去分母、去括号、移项、合并同类项)都可以化为一般形式，因此不难
求出各项系数.
3.二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项都包含它前面的符号，一般情况下，二次项系数为
正数，若二次项系数不是正数，可以在方程两边同时乘-1，使二次项系数变为正数，例如：方
程-2x²+3x+1=0可化为2x²-3x-1=0，其中二次项为2x²，二次项系数为2，一次项为-3x，一次项系数
为-3，常数项为-1.
例1．方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．6，2，9 B．2，﹣6，9 C．2，﹣6，﹣9 D．﹣2，6，9
例2．一元二次方程（x+3）（x﹣3）=5x的一次项系数是（ ）
A．﹣5 B．﹣9 C．0 D．5
变式1.将一元二次方程﹣3x2﹣2=﹣4x化成一般形式为（ ）
A．3x2﹣4x+2=0 B．3x2﹣4x﹣2=0 C．3x2+4x+2=0 D．3x2+4x﹣2=0变式2．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项是0，则m的值（ ）
A．1 B．1或2C．2 D．±1
知识点三：一元二次方程的根
能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）.
【提醒】
一元二次方程的根必须满足两个条件：一是未知数的值；二是必须使方程的左、右两边相等.
例1.若2﹣ 是方程x2﹣4x+c=0的一个根，则c的值是（ ）
A．1 B． C． D．
例2．关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．3
变式1.若x=1是方程ax2+bx+c=0的解，则（ ）
A．a+b+c=1 B．a﹣b+c=0 C．a+b+c=0 D．a﹣b﹣c=0
变式2.若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n= ．
拓展点一：一元二次方程的判断
例1.若方程（m﹣2）x +（m+3）x+5=0是一元二次方程，求m的值．
例2．x2a+b﹣2xa+b+3=0是关于x的一元二次方程，求a与b的值．拓展点二：利用一元二次方程的定义求字母的值
例1．当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4=3x2
（1）是一元二次方程；
（2）是一元一次方程；
（3）若x=﹣2是它的一个根，求m的值．
例2.关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+mx﹣1=0是一元二次方程，求m的值．
例3.关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，求m的值．
变式1.若m是一元二次方程方程x|a|﹣1﹣x﹣2=0的一个实数根．
（1）求a的值；（2）不解方程，求代数式（m2﹣m）•（m﹣ +1）的值．
拓展点三：一元二次方程解的应用
例1．已知a是方程2x2+2x﹣3=0的一个根，则 = ．
例2．方程3x2﹣5x+2=0的一个根是a，则6a2﹣10a+2= ．
例3．已知x=﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣6=0的一个解，且a=﹣b，则 的值为
拓展点四：开放题
例1.造一个方程，使它的根是方程3x2﹣7x+2=0的根；
（1）大3；（2）倒数．
例2.造一个方程，使它的根是方程3x2﹣7x+2=0的根；
（1）2倍；
（2）相反数．
拓展点五：创新应用题
例1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利尽快减
少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出
4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？请完成下列问题：
（1）未降价之前，某商场衬衫的总盈利为 元．
（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利 元，平均每天可售出 件（用
含x的代数式进行表示）
（3）请列出方程，求出x的值．例2.一块长方形铁皮长为4dm，宽为3dm，在四角各截去一个面积相等的正方形，做成一个无盖的盒子，
要使盒子的底面积是原来铁皮的面积一半，若设盒子的高为xdm，根据题意列出方程，并化成一般形式．
例3.根据下列问题列方程，并化为一般形式（不必求解）
（1）一个矩形门框的宽比长少1，面积是5，求矩形的宽x；
（2）两个相同的正方形面积和为2，求这个正方形边长y；
（3）一个直角三角形的面积为8，两条直角边相差2，求较短的直角边长x．
