文档内容
21.1 一元二次方程
一、教学目标
（1）会根据简单的实际问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想.
（2）了解一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式.
（3）会判断一个数是否是一个一元二次方程的解及利用他们解决一些具体问题.
二、教学重难点
（1）教学重点：一元二次方程的定义及其一般形式，一元二次方程的根；
（2）教学难点：通过列出一元二次方程来解决实际问题；
知识点一：一元二次方程的定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元
二次方程.
【提醒】
由一元二次方程的定义可知，只有同时满足以下三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知
数的最高次数是2.这样的方程才是一元二次方程.
例1.下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．xy+2=1 B． C．x2=0 D．ax2+bx+c=0
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数是 2次的整式方程，即
可判断答案．
【解答】解：根据一元二次方程的定义：A、是二元二次方程，故本选项错误；
B、是分式方程，不是整式方程，故本选项错误；
C、是一元二次方程，故本选项正确；
D、当a b c是常数，a≠0时，方程才是一元二次方程，故本选项错误；故选：C．
【点评】本题考查了对一元二次方程和一元一次方程的理解，关键是知道一元二次方程含有 3个条件：①
整式方程，②含有一个未知数，③所含未知数的项的次数是1次．
例2．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+ =1 B．ax2+bx+c=0 C．（x+1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y=0
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【解答】解：A、x2+ =1是分式方程，故此选项错误；
B、ax2+bx+c=0（a≠0），故此选项错误；
C、（x+1）（x+2）=1是一元二次方程，故此选项正确；
D、3x2﹣2xy﹣5y=0是二元二次方程，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
变式1.若关于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠2 B．m=2 C．m≥2 D．m≠0
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是 2；
二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：由题意，得
m﹣2≠0，
m≠2，
故选：A．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二
次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
变式2．若关于x的方程ax2﹣3x=2x2﹣2是一元二次方程，则a的值不能为（ ）
A．2 B．﹣2 C．0 D．3
【分析】依据一元二次方程的一般形式进行判断即可．
【解答】解：∵关于x的方程ax2﹣3x=2x2﹣2是一元二次方程，
∴（a﹣2）x2﹣3x+2=0是一元二次方程，
∴a﹣2≠0．
∴a≠2．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
知识点二：一元二次方程一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax²+bx+c=0(a≠0)，这种形
式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax²称为二次项，bx成为一次项，c称为常数项，a为二次项系数，
b为一次项系数.
【提醒】
1. 任何关于x的一元二次方程都可以化成ax²+bx+c=0(a≠0)的形式，其中“a≠0”是一元二次方程一般
形式的一个重要组成部分，也是一元二次方程的判断标准之一，而b,c可以为0.
2.任何一个一元二次方程经过整理(去分母、去括号、移项、合并同类项)都可以化为一般形式，因此不难
求出各项系数.
3.二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项都包含它前面的符号，一般情况下，二次项系数为
正数，若二次项系数不是正数，可以在方程两边同时乘-1，使二次项系数变为正数，例如：方
程-2x²+3x+1=0可化为2x²-3x-1=0，其中二次项为2x²，二次项系数为2，一次项为-3x，一次项系数
为-3，常数项为-1.
例1．方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．6，2，9 B．2，﹣6，9 C．2，﹣6，﹣9 D．﹣2，6，9
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．
这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．要确定二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把方程
化成一般形式．
【解答】解：∵方程2x2﹣6x=9化成一般形式是2x2﹣6x﹣9=0，
∴二次项系数为2，一次项系数为﹣6，常数项为﹣9．
故选：C．
【点评】注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
例2．一元二次方程（x+3）（x﹣3）=5x的一次项系数是（ ）
A．﹣5 B．﹣9 C．0 D．5
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数
常数项．
【解答】解：化为一般式，得
x2﹣5x﹣9=0，
一次项系数为﹣5，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的
条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其
中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
变式1.将一元二次方程﹣3x2﹣2=﹣4x化成一般形式为（ ）
A．3x2﹣4x+2=0 B．3x2﹣4x﹣2=0 C．3x2+4x+2=0 D．3x2+4x﹣2=0
【分析】方程整理为一般形式即可．
【解答】解：方程整理得：3x2﹣4x+2=0，
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．变式2．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项是0，则m的值（ ）
A．1 B．1或2C．2 D．±1
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数
常数项．
【解答】解：由题意，得
m2﹣3m+2=0且m﹣1≠0，
解得m=2，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的
条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其
中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
知识点三：一元二次方程的根
能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）.
【提醒】
一元二次方程的根必须满足两个条件：一是未知数的值；二是必须使方程的左、右两边相等.
例1.若2﹣ 是方程x2﹣4x+c=0的一个根，则c的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】把2﹣ 代入方程x2﹣4x+c=0就得到关于c的方程，就可以解得c的值．
【解答】解：把2﹣ 代入方程x2﹣4x+c=0，得（2﹣ ）2﹣4（2﹣ ）+c=0，
解得c=1；
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的
值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
例2．关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．3
【分析】根据关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，将x=0代入方程即可求得a的值，本题得以
解决．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，
∴02+a2﹣1=0，
解得，a=±1，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解得意义．
变式1.若x=1是方程ax2+bx+c=0的解，则（ ）
A．a+b+c=1 B．a﹣b+c=0 C．a+b+c=0 D．a﹣b﹣c=0
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这
个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=1代入原方程可以求得a、b、c的关系．
【解答】解：把x=1代入ax2+bx+c=0，
可得：a+b+c=0；
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
变式2.若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n= ﹣ 2 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入x2+mx+2n=0得到4+2m+2n=0得n+m=﹣2，然后利用整体
代入的方法进行计算．
【解答】解：∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根，
∴4+2m+2n=0，∴n+m=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次
方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一
元二次方程的根．
拓展点一：一元二次方程的判断
例1.若方程（m﹣2）x +（m+3）x+5=0是一元二次方程，求m的值．
【分析】依据一元二次方程的定义列出关于m的不等式组求解即可．
【解答】解：∵方程（m﹣2）x +（m+3）x+5=0是一元二次方程，
∴m﹣2≠0且m2﹣5m+8=2，
解得：m=3．
【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，依据一元二次方程的定义得到关于 m的不等式组是解题
的关键．
例2．x2a+b﹣2xa+b+3=0是关于x的一元二次方程，求a与b的值．
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．分5种情况分别求解即可．
【解答】解：∵x2a+b﹣2xa+b+3=0是关于x的一元二次方程，
∴① ，解得 ；
② ，解得 ；
③ ，解得 ；
④ ，解得 ；⑤ ，解得 ．
综上所述 ， ， ， ， ．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的概念．解题的关键是分5种情况讨论x的指数．
拓展点二：利用一元二次方程的定义求字母的值
例1．当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4=3x2
（1）是一元二次方程；
（2）是一元一次方程；
（3）若x=﹣2是它的一个根，求m的值．
【分析】（1）根据二次项系数不为0解答；
（2）根据二次项系数为0，一次项系数不为0解答；
（3）根据题意列出关于m的一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：原方程可化为（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣4=0，
（1）当m2﹣1≠0，即m≠±1时，是一元二次方程；
（2）当m2﹣1=0，且m﹣1≠0，即m=﹣1时，是一元一次方程；
（3）x=﹣2时，原方程化为：2m2﹣m﹣3=0，
解得，m= ，m=﹣1．
1 2
【点评】本题考查的是一元一次方程的定义、一元二次方程的定义和一元二次方程的解法，掌握概念、正
确解出一元二次方程是解题的关键．
例2.关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+mx﹣1=0是一元二次方程，求m的值．
【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数
不为0，据此即可求解．【解答】解：根据题意得，|m﹣1|=2，且m+1≠0，
解得：m=3，
答：m的值为3．
【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数
且a≠0），特别要注意a≠0的条件．
例3.关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，求m的值．
【分析】常数项为0，即m2﹣3m+2=0，再根据方程是一元二次方程，须满足m﹣1≠0，问题可求．
【解答】解：由题意，得：m2﹣3m+2=0①，m﹣1≠0②，
解①得：m=2或1；解②得：m≠1，∴m=2．
【点评】本题考查对一元二次方程的掌握情况，要特别注意二次项的系数不为0这个隐含条件．
变式1.若m是一元二次方程方程x|a|﹣1﹣x﹣2=0的一个实数根．
（1）求a的值；
（2）不解方程，求代数式（m2﹣m）•（m﹣ +1）的值．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义来求a的值；
（2）由（1）得到该方程为x2﹣x﹣2=0，把x=m代入可以求得（m2﹣m）、（m﹣ +1）的值；然后将其整
体代入即可求得所求代数式的值．
【解答】解：（1）由于x|a|﹣1﹣x﹣2=0是关于x的一元二次方程，所以|a|﹣1=2，
解得：a=±3；
（2）由（1）知，该方程为x2﹣x﹣2=0，
把x=m代入，得
m2﹣m=2，①又因为m2﹣1﹣ =0，
所以m﹣ =1，②
把①②代入（m2﹣m）•（m﹣ +1），得
（m2﹣m）•（m﹣ +1）=2×（1+1）=4，即（m2﹣m）•（m﹣ +1）=4．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义．解题时，利用了整体代入是数学思
想，减少了繁琐的计算过程，提高了解题的正确率．
拓展点三：一元二次方程解的应用
例1．已知a是方程2x2+2x﹣3=0的一个根，则 = ．
【分析】先通分后进行同分母的分式减法运算，再约分得到原式= ，接着利用a是方程2x2+2x﹣3=0
的一个根得到a2+a= ，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：原式= ﹣
=
=
= ，
∵a是方程2x2+2x﹣3=0的一个根，
∴2a2+2a﹣3=0，∴a2+a= ，
∴原式= = ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
例2．方程3x2﹣5x+2=0的一个根是a，则6a2﹣10a+2= ﹣ 2 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=a代入方程3x2﹣5x+2=0，列出关于a的一元二次方程，通过
变形求得3a2﹣5a的值后，将其整体代入所求的代数式并求值即可．
【解答】解：∵方程3x2﹣5x+2=0的一个根是a，
∴3a2﹣5a+2=0，
∴3a2﹣5a=﹣2，
∴6a2﹣10a+2=2（3a2﹣5a）+2=﹣2×2+2=﹣2．
故答案是：﹣2．
【点评】此题主要考查了方程解的定义．此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求
的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式
的值．
例3．已知x=﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣6=0的一个解，且a=﹣b，则 的值为 3
【分析】把x=﹣1代入方程得出a﹣b﹣6=0，根据a=﹣b求得a、b的值，再将分式分解因式，约分后代入，
即可求出答案
【解答】解：将x=﹣1代入方程ax2+bx﹣6=0，得：a﹣b﹣6=0，
又a=﹣b，∴﹣b﹣b﹣6=0，解得b=﹣3，
则a=3，
∴ =
=
=
=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，得到a﹣b的值，首先把所求的分式进行化简，并且本题利用了
整体代入思想．
拓展点四：开放题
例1.造一个方程，使它的根是方程3x2﹣7x+2=0的根；
（1）大3；
（2）倒数．
【分析】设方程3x2﹣7x+2=0的根为a和b，根据根与系数的关系得到a+b= ，ab= ，
（1）先计算出a+3+b+3和（a+3）（b+3）的值，然后根据根与系数的关系写出满足条件的一元二次方程；
（2）先计算出 + 和 • 的值，然后根据根与系数的关系写出满足条件的一元二次方程．
【解答】解：设方程3x2﹣7x+2=0的根为a和b，
则a+b= ，ab= ，
（1）a+3+b+3= +6= ，（a+3）（b+3）=ab+3（a+b）+9= +7+9= ，所以所求方程为x2﹣ x+ =0，即3x2﹣25x+50=0；
（2） + = = ， • = ，
所以所求方程为x2﹣ x+ =0，即2x2﹣7x+3=0．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次
方程的根．也考查了根与系数的关系．
例2.造一个方程，使它的根是方程3x2﹣7x+2=0的根；
（1）2倍；
（2）相反数．
【分析】设方程3x2﹣7x+2=0的根为a和b，根据根与系数的关系得到a+b= ，ab= ，
（1）先计算出2a+2b和2a•2b的值，然后根据根与系数的关系写出满足条件的一元二次方程；
（2）先计算出﹣a﹣b和（﹣a）（﹣b）的值，然后根据根与系数的关系写出满足条件的一元二次方程．
【解答】解：设方程3x2﹣7x+2=0的根为a和b，
则a+b= ，ab= ，
（1）2a+2b= ，2a•2b=4ab= ，
所以所求方程为x2﹣ x+ =0，即3x2﹣15x+8=0；
（2）﹣a﹣b=﹣ ，（﹣a）（﹣b）=ab= ，
所以所求方程为x2+ x+ =0，即3x2+7x+2=0．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次
方程的根．也考查了根与系数的关系．
拓展点五：创新应用题
例1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利尽快减
少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出
4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？请完成下列问题：
（1）未降价之前，某商场衬衫的总盈利为 90 0 元．
（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价 x元，则每件衬衫盈利 （ 45 ﹣ x ） 元，平均每天可售出
（ 20+4 x ） 件（用含x的代数式进行表示）
（3）请列出方程，求出x的值．
【分析】（1）利用销量20×每件的利润即可；
（2）每件的盈利=原利润﹣降价；销量=原销量+多售的数量；
（3）商场平均每天盈利数=每件的盈利×售出件数；每件的盈利=原来每件的盈利﹣降价数．设每件衬衫
应降价x元，然后根据前面的关系式即可列出方程，解方程即可求出结果．
【解答】解：（1）20×45=900，
故答案为：900；
（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利（45﹣x）元，平均每天可售出（20+4x）件，
故答案为：（45﹣x）；（20+4x）；
（3）由题意得：（45﹣x）（20+4x）=2100，
解得：x=10，x=30．
1 2
因尽快减少库存，故x=30．
答：每件衬衫应降价30元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，需要注意的是：（1）盈利下降，
销售量就提高，每件盈利减，销售量就加；（2）在盈利相同的情况下，尽快减少库存，就是要多卖，降
价越多，卖的也越多，所以取降价多的那一种．
例2.一块长方形铁皮长为4dm，宽为3dm，在四角各截去一个面积相等的正方形，做成一个无盖的盒子，
要使盒子的底面积是原来铁皮的面积一半，若设盒子的高为xdm，根据题意列出方程，并化成一般形式．
【分析】首先表示出无盖长方体盒子的底面长为（4﹣2x）dm，宽为（3﹣2x）dm再根据长方形的面积可得
方程（4﹣2x）（3﹣2x）=4×3× ．
【解答】解：由题意得：无盖长方体盒子的底面长为（4﹣2x）dm，宽为（3﹣2x）dm，由题意得，
（4﹣2x）（3﹣2x）=4×3× ，
整理得：4x2﹣14x+6=0，
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据题意表示出无盖长方体盒子的长与
宽．
例3.根据下列问题列方程，并化为一般形式（不必求解）
（1）一个矩形门框的宽比长少1，面积是5，求矩形的宽x；
（2）两个相同的正方形面积和为2，求这个正方形边长y；
（3）一个直角三角形的面积为8，两条直角边相差2，求较短的直角边长x．
【分析】（1）用未知数表示出矩形的长和宽后利用长乘以宽等于面积列出一元二次方程即可；
（2）根据两个相同的正方形的面积和为2列出方程即可；
（3）设较短的直角边的长为x，然后表示出较长的直角边，利用面积公式列出方程即可．
【解答】解：（1）依题意得x（x﹣1）=5，
化为一元二次方程的一般形式得x2﹣x﹣5=0；
（2）设正方形边长y，根据题意得：2y2=2，化为一般形式为y2=1；
（3）设较短的直角边长x，则较长的直角边为（x+2），
根据题意得： x（x+2）=8，
化为一般形式为x2+2x﹣16=0．
【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够找到等量关系并据此列出方程，
难度不大．
